Konvergenca vrst 1 n 2. Konvergenca vrst na spletu. Pogojni konvergenčni kriteriji

Kaj je meja? Koncept meje

Vsi brez izjeme nekje v globini duše razumejo, kaj je meja, a takoj ko slišijo »meja delovanja« ali »meja zaporedja«, nastane rahla zmeda.

Ne bojte se, to je samo neznanje! Po 3 minutah branja naslednjega boste postali bolj pismeni.

Pomembno je enkrat za vselej razumeti, kaj mislijo, ko govorijo o nekih omejujočih položajih, pomenih, situacijah in sploh, ko se v življenju zatekajo k izrazu meja.

Odrasli to razumejo intuitivno, zato bomo to analizirali na več primerih.

Primer ena

Spomnimo se vrstic iz pesmi skupine "Chaif": "... ne vzemite do meje, ne vzemite do meje ...".

Primer dva

Zagotovo ste že slišali stavek o izjemno stabilnem položaju predmeta v prostoru.

Sami lahko enostavno simulirate takšno situacijo s stvarmi, ki so pri roki.

Na primer, rahlo nagnite plastično steklenico in jo spustite. Vrnil se bo na dno.

Toda obstajajo skrajni nagnjeni položaji, čez katere bo preprosto padel.

Spet je omejevalni položaj v tem primeru nekaj posebnega. Pomembno je razumeti to.

Obstaja veliko primerov uporabe izraza limit: limit človeške zmožnosti, natezno trdnost materiala in tako naprej.

No, z brezpravjem se ukvarjamo vsak dan)))

Sedaj pa nas zanima limita zaporedja in limita funkcije v matematiki.

Omejitev številčno zaporedje v matematiki

Limit (številskega zaporedja) je eden od osnovnih pojmov matematične analize. Na stotine in stotine izrekov, ki definirajo sodobno znanost, temeljijo na konceptu prehoda do meje.

Takoj konkreten primer zaradi jasnosti.

Recimo, da obstaja neskončno zaporedje števil, od katerih je vsako za polovico manjše od prejšnjega, začenši z eno: 1, ½, ¼, ...

Torej je meja številčnega zaporedja (če obstaja) neka določena vrednost.

V procesu razpolovitve se vsaka naslednja vrednost v zaporedju neomejeno približuje določenemu številu.

Zlahka je uganiti, da bo nič.

Pomembno!

Ko govorimo o obstoju meje (mejne vrednosti), to ne pomeni, da bo nek člen v zaporedju enak tej mejni vrednosti. Za to si lahko samo prizadeva.

Iz našega primera je to več kot jasno. Ne glede na to, kolikokrat delimo ena z dve, nikoli ne bomo dobili nič. Tam bo samo dvakrat manjše število od prejšnjega, vendar ne nič!

Limit funkcije v matematiki

IN matematična analiza Daleč najpomembnejši je koncept limita funkcije.

Ne da bi se poglobili v teorijo, recimo naslednje: mejna vrednost funkcije morda ne spada vedno v obseg vrednosti same funkcije.

Ko se argument spremeni, si bo funkcija prizadevala za neko vrednost, vendar je morda nikoli ne bo sprejela.

Na primer, hiperbola 1/x na nobeni točki nima vrednosti nič, ampak se nagiba k ničli brez omejitev, ko teži x do neskončnosti.

Kalkulator omejitev

Naš cilj ni, da vam jih damo teoretično znanje, za to obstaja veliko pametnih debelih knjig.

Vendar predlagamo, da uporabite spletni kalkulator meje, s katerimi lahko svojo rešitev primerjate s pravilnim odgovorom.

Poleg tega kalkulator ponuja postopno rešitev za meje, pri čemer pogosto uporablja L'Hopitalovo pravilo z uporabo diferenciacije števca in imenovalca funkcije, ki je zvezna v točki ali na določenem segmentu.

Običajno je druga izjemna meja zapisana v tej obliki:

\begin(enačba) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\desno)^x=e\end(enačba)

Število $e$, navedeno na desni strani enačbe (1), je iracionalno. Približna vrednost tega števila je: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Če naredimo zamenjavo $t=\frac(1)(x)$, lahko formulo (1) prepišemo na naslednji način:

\begin(enačba) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(enačba)

Kot pri prvi izjemni omejitvi ni pomembno, kateri izraz stoji namesto spremenljivke $x$ v formuli (1) ali namesto spremenljivke $t$ v formuli (2). Glavna stvar je izpolniti dva pogoja:

1. Osnova stopnje (tj. izraz v oklepajih formul (1) in (2)) naj teži k enotnosti;
2. Eksponent (tj. $x$ v formuli (1) ali $\frac(1)(t)$ v formuli (2)) mora težiti k neskončnosti.

Druga izjemna meja naj bi razkrila negotovost $1^\infty$. Upoštevajte, da v formuli (1) ne navajamo, o kateri neskončnosti ($+\infty$ ali $-\infty$) govorimo. V vsakem od teh primerov je formula (1) pravilna. V formuli (2) lahko spremenljivka $t$ teži k ničli tako na levi kot na desni.

Opažam, da obstaja tudi več koristnih posledic druge izjemne meje. Primeri uporabe druge izjemne meje in njene posledice so zelo priljubljeni med prevajalci standardnih standardnih izračunov in testov.

Primer št. 1

Izračunajte mejo $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Naj takoj opozorimo, da osnova stopnje (tj. $\frac(3x+1)(3x-5)$) teži k enotnosti:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\levo|\frac(\infty)(\infty)\desno| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

V tem primeru se eksponent (izraz $4x+7$) nagiba k neskončnosti, tj. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Osnova stopnje teži k enoti, eksponent teži k neskončnosti, tj. imamo opravka z negotovostjo $1^\infty$. Uporabimo formulo, da razkrijemo to negotovost. V osnovi potence formule je izraz $1+\frac(1)(x)$, v primeru, ki ga obravnavamo, pa je osnova potence: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. Zato bo prvo dejanje formalna prilagoditev izraza $\frac(3x+1)(3x-5)$ v obliko $1+\frac(1)(x)$. Najprej dodajte in odštejte eno:

$$ \lim_(x\to\infty)\levo(\frac(3x+1)(3x-5)\desno)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\levo(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\desno)^(4x+7) $$

Upoštevajte, da ne morete preprosto dodati enote. Če smo prisiljeni dodati enega, ga moramo tudi odšteti, da ne spremenimo vrednosti celotnega izraza. Za nadaljevanje rešitve upoštevamo, da

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

Ker je $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, potem:

$$ \lim_(x\to\infty)\levo(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\desno)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ levo(1+\frac(6)(3x-5)\desno)^(4x+7) $$

Nadaljujmo s prilagajanjem. V izrazu $1+\frac(1)(x)$ formule je števec ulomka 1, v našem izrazu $1+\frac(6)(3x-5)$ pa je števec $6$. Če želite v števcu dobiti 1 $, spustite 6 $ v imenovalec z naslednjo pretvorbo:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

torej

$$ \lim_(x\to\infty)\levo(1+\frac(6)(3x-5)\desno)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\levo(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\desno)^(4x+7) $$

Torej, osnova diplome, tj. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, prilagojen na obliko $1+\frac(1)(x)$, zahtevano v formuli. Zdaj pa začnimo delati z eksponentom. Upoštevajte, da so v formuli izrazi v eksponentih in v imenovalcu enaki:

To pomeni, da morata biti v našem primeru eksponent in imenovalec enaka. Da dobimo izraz $\frac(3x-5)(6)$ v eksponentu, preprosto pomnožimo eksponent s tem ulomkom. Seveda, da bi nadomestili takšno množenje, boste morali takoj pomnožiti z recipročnim ulomkom, tj. z $\frac(6)(3x-5)$. Torej imamo:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\desno)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\levo(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\desno)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\levo(\levo(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\desno)^(\ frac(3x-5)(6))\desno)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Ločeno razmislimo o meji ulomka $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$, ki se nahaja v potenci:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\levo|\frac(\infty)(\infty)\desno| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\desno))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

Primer št. 4

Poiščite mejo $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Ker imamo za $x>0$ $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, potem:

$$ \lim_(x\do+\infty)x\levo(\ln(x+1)-\ln(x)\desno) =\lim_(x\to+\infty)\levo(x\cdot\ln\ levo(\frac(x+1)(x)\desno)\desno) $$

Če ulomek $\frac(x+1)(x)$ razširimo v vsoto ulomkov $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$, dobimo:

$$ \lim_(x\to+\infty)\levo(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\desno)\desno) =\lim_(x\to+\infty)\levo (x\cdot\ln\levo(1+\frac(1)(x)\desno)\desno) =\lim_(x\to+\infty)\levo(\ln\levo(\frac(x+1) (x)\desno)^x\desno) =\ln(e) =1. $$

Odgovori: $\lim_(x\to+\infty)x\levo(\ln(x+1)-\ln(x)\desno)=1$.

Primer št. 5

Poiščite mejo $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Ker $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ in $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, potem imamo opravka z negotovostjo oblike $1^\infty$. Podrobna pojasnila so podana v primeru št. 2, tu pa se bomo omejili na kratko rešitev. Z zamenjavo $t=x-2$ dobimo:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\levo|\begin(poravnano)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\levo(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\desno)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Ta primer lahko rešite na drugačen način z zamenjavo: $t=\frac(1)(x-2)$. Seveda bo odgovor enak:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\levo|\begin(poravnano)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(poravnano)\desno| =\lim_(t\to\infty)\levo(1+\frac(3)(t)\desno)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\do\infty)\levo(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\desno)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\levo(\levo(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\desno)^(\frac(t)(3))\desno)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Odgovori: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Primer št. 6

Poiščite mejo $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

Ugotovimo, h čemu stremi izraz $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ pod pogojem $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\levo|\frac(\infty)(\infty)\desno| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Tako imamo v dani meji opravka z negotovostjo oblike $1^\infty$, ki jo bomo razkrili z uporabo druge izjemne meje:

$$ \lim_(x\to\infty)\levo(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\desno)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\levo(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\desno)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\levo(1+\frac(7)(2x^2-4)\desno)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\levo(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\desno)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\levo(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\desno)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\desno)^(\frac(2x^2-4)(7))\desno)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Odgovori: $\lim_(x\to\infty)\levo(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\desno)^(3x)=1$.