Vsota neenakosti istega pomena so negativna števila. Rešujemo sistem neenačb – lastnosti in računske metode. Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Polje realnih števil ima lastnost urejenosti (razdelek 6, str. 35): za poljubna števila a, b velja ena in edina od treh relacij: ali . V tem primeru vnos a > b pomeni, da je razlika pozitivna, razlika v vpisu pa negativna. Za razliko od polja realnih števil polje kompleksna števila ni urejeno: za kompleksna števila koncepta "več" in "manj" nista definirana; Zato to poglavje zajema samo realna števila.

Relacije imenujemo neenačbe, števili a in b sta člena (ali dela) neenačbe, znaki > (večji od) in neenačbe a > b in c > d imenujemo neenačbe istega (ali enega in istega) pomen; neenakosti a > b in c Iz definicije neenakosti takoj sledi, da

1) vsako pozitivno število, večje od nič;

2) vsako negativno število je manjše od nič;

3) vsako pozitivno število je večje od katerega koli negativnega števila;

4) od dveh negativnih števil je večje tisto, katerega absolutna vrednost je manjša.

Vse te izjave dopuščajo preprosto geometrijsko razlago. Naj gre pozitivna smer številske osi desno od izhodišče; potem, ne glede na znake števil, je večje od njih predstavljeno s točko, ki leži desno od točke, ki predstavlja manjše število.

Neenakosti imajo naslednje osnovne lastnosti.

1. Asimetrija (nepovratnost): če je , potem , in obratno.

Dejansko, če je razlika pozitivna, potem je razlika negativna. Pravijo, da je treba pri preurejanju členov neenakosti pomen neenakosti spremeniti v nasprotno.

2. Tranzitivnost: če , potem . Iz pozitivnosti razlik namreč izhaja, da

Poleg znakov neenakosti se uporabljajo tudi znaki neenakosti in Definirani so na naslednji način: vnos pomeni, da bodisi ali Zato lahko na primer pišete in tudi. Običajno se neenakosti, zapisane z znaki, imenujejo stroge neenakosti, tiste, ki so zapisane z znaki, pa nestroge neenakosti. V skladu s tem se sami znaki imenujejo znaki stroge ali nestroge neenakosti. Zgoraj obravnavani lastnosti 1 in 2 veljata tudi za nestroge neenakosti.

Oglejmo si zdaj dejanja, ki jih je mogoče izvesti na eni ali več neenačbah.

3. Dodajanje istega števila členom neenakosti ne spremeni pomena neenakosti.

Dokaz. Naj sta podani neenačba in poljubno število. Po definiciji je razlika pozitivna. Temu številu prištejmo dve nasprotni števili, ki ga ne bosta spremenili, tj.

To enakost lahko prepišemo na naslednji način:

Iz tega izhaja, da je razlika pozitivna, torej

in to je bilo treba dokazati.

To je osnova za možnost, da je kateri koli člen neenakosti zamaknjen iz enega dela v drugega z nasprotnim predznakom. Na primer iz neenakosti

iz tega sledi

4. Pri množenju členov neenačbe z istim pozitivnim številom se pomen neenakosti ne spremeni; Ko člene neenakosti pomnožimo z istim negativnim številom, se pomen neenakosti spremeni v nasprotno.

Dokaz. Naj potem Če potem, ker je produkt pozitivnih števil pozitiven. Če odpremo oklepaj na levi strani zadnje neenakosti, dobimo , tj. Zadeva se obravnava na podoben način.

Povsem enak zaključek lahko naredimo glede deljenja delov neenakosti s katerim koli številom, ki ni nič, saj je deljenje s številom enakovredno množenju s številom in imata števili enaka predznaka.

5. Naj bodo členi neenakosti pozitivni. Potem, ko se njeni členi dvignejo na isto pozitivno potenco, se pomen neenakosti ne spremeni.

Dokaz. Naj v tem primeru, s tranzitivnost lastnine, in . Nato pa zaradi monotonega povečanja funkcija moči za in pozitivno bomo imeli

Zlasti, če je kje naravno število, potem dobimo

to pomeni, da se pri pridobivanju korena iz obeh strani neenakosti s pozitivnimi členi pomen neenakosti ne spremeni.

Naj bodo členi neenakosti negativni. Potem ni težko dokazati, da se pomen neenakosti pri povišanju njenih členov na liho naravno potenco ne spremeni, ko pa se poviša na sodo naravno potenco, se spremeni v nasprotno. Iz neenakosti z negativnimi členi lahko izluščimo tudi koren lihe stopnje.

Naj imajo nadalje členi neenakosti različne predznake. Potem, ko ga postavite v celo stopnjo pomen neenakosti se ne spremeni in ko jo povzdignemo na sodo potenco, v splošnem primeru o pomenu nastale neenakosti ni mogoče reči nič določnega. Pravzaprav se pri povečanju števila na liho potenco predznak števila ohrani in zato se pomen neenakosti ne spremeni. Ko neenakost dvignemo na sodo potenco, nastane neenakost s pozitivnimi členi, njen pomen pa bo odvisen od absolutnih vrednosti členov izvorne neenakosti; neenakost z enakim pomenom kot prvotna neenakost nasprotnega pomena in se lahko dobi celo enakost!

Koristno je preveriti vse, kar je bilo povedano o dvigovanju neenakosti na potence, na naslednjem primeru.

Primer 1. Naslednje neenačbe povišajte na navedeno potenco, po potrebi spremenite znak neenakosti v nasprotni ali enakovredni znak.

a) 3 > 2 na potenco števila 4; b) do stopnje 3;

c) do stopnje 3; d) do stopnje 2;

e) na potenco števila 5; e) do stopnje 4;

g) 2 > -3 na potenco 2; h) na potenco števila 2,

6. Od neenakosti lahko preidemo na neenakost med če sta člena neenakosti oba pozitivna ali oba negativna, potem med njunima recipročnima vrednostma obstaja neenakost nasprotnega pomena:

Dokaz. Če sta a in b enakega predznaka, je njun produkt pozitiven. Deli z neenakostjo

kar je bilo potrebno pridobiti.

Če imajo členi neenačbe nasprotna predznaka, ima neenakost med njunima recipročnima enak pomen, saj so predznaki recipročnih vrednosti enaki predznakom samih količin.

Primer 2. Preverite zadnjo lastnost 6 z naslednjimi neenačbami:

7. Logaritmiranje neenačb je možno samo v primeru, ko so členi neenačb pozitivni (negativna števila in ničelni logaritmi nimajo).

Naj . Potem bo

in kdaj bo

Pravilnost teh trditev temelji na monotonosti logaritemska funkcija, ki narašča z osnovo in pada z

Torej pri logaritemiranju neenačbe, sestavljene iz pozitivnih členov, na osnovo, večjo od ena, nastane neenakost enakega pomena, kot je dana, in pri logaritmiranju na pozitivno osnovo, manjšo od ena, neenakost nastane nasprotni pomen.

8. Če, potem če, ampak, potem.

To takoj izhaja iz lastnosti monotonosti eksponentna funkcija(str. 42), ki se poveča v primeru in zmanjša, če

Pri seštevanju členovnih neenakosti enakega pomena nastane neenakost enakega pomena kot podatek.

Dokaz. Dokažimo to trditev za dve neenakosti, čeprav velja za poljubno število dodanih neenakosti. Naj bodo neenakosti podane

Po definiciji bodo številke pozitivne; potem se tudi njihova vsota izkaže za pozitivno, tj.

Z različnim združevanjem izrazov dobimo

in zato

in to je bilo treba dokazati.

O pomenu neenakosti, ki jo dobimo s seštevanjem dveh ali več neenakosti različnih pomenov, v splošnem primeru ni mogoče reči ničesar določnega.

10. Če od ene neenačbe odštejemo člen za členom drugo neenakost nasprotnega pomena, tedaj nastane neenakost enakega pomena kot prva.

Dokaz. Naj sta podani dve neenakosti z različnim pomenom. Drugega od njih lahko glede na lastnost ireverzibilnosti prepišemo takole: d > c. Seštejmo zdaj dve enako pomenski neenakosti in dobimo neenakost

enak pomen. Iz slednjega ugotovimo

in to je bilo treba dokazati.

O pomenu neenakosti, ki jo dobimo tako, da od ene neenakosti odštejemo drugo enakega pomena, v splošnem primeru ni mogoče reči ničesar določnega.

Neenakost je zapis, v katerem so števila, spremenljivke ali izrazi povezani z znakom<, >, ali . To pomeni, da neenakost lahko imenujemo primerjava števil, spremenljivk ali izrazov. Znaki < , > , ⩽ in ⩾ se imenujejo znaki neenakosti.

Vrste neenakosti in kako se berejo:

Kot je razvidno iz primerov, so vse neenakosti sestavljene iz dveh delov: levega in desnega, ki sta povezana z enim od znakov neenakosti. Glede na znak, ki povezuje dele neenakosti, jih delimo na stroge in nestroge.

Stroge neenakosti- neenakosti, katerih deli so povezani z znakom< или >. Nestroge neenakosti- neenačbe, pri katerih so deli povezani z znakom oz.

Razmislimo o osnovnih pravilih primerjave v algebri:

• Vsako pozitivno število, večje od nič.
• Vsako negativno število je manjše od nič.
• Od dveh negativnih števil je večje tisto, katerega absolutna vrednost je manjša. Na primer, -1 > -7.
• a in b pozitivno:

  a - b > 0,

  to a več b (a > b).

• Če je razlika dveh neenakih števil a in b negativno:

  a - b < 0,

  to a manj b (a < b).

• Če je število večje od nič, potem je pozitivno:

  a> 0, kar pomeni a- pozitivno število.

• Če je število manjše od nič, je negativno:

  a < 0, значит a- negativno število.

Ekvivalentne neenakosti- neenakosti, ki so posledica drugih neenakosti. Na primer, če a manj b, To b več a:

a < b in b > a- ekvivalentne neenakosti

Lastnosti neenačb

1. Če obema stranema neenakosti dodamo isto število ali od obeh strani odštejemo isto število, dobimo enakovredno neenakost, tj.

   če a > b, To a + c > b + c in a - c > b - c

   Iz tega sledi, da je mogoče člene neenakosti prenesti iz enega dela v drugega z nasprotnim predznakom. Na primer seštevanje obeh strani neenakosti a - b > c - d Avtor: d, dobimo:

   a - b > c - d

   a - b + d > c - d + d

   a - b + d > c

2. Če obe strani neenakosti pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom, dobimo enakovredno neenakost, tj.
3. Če obe strani neenakosti pomnožimo ali delimo z istim negativnim številom, potem dobimo neenakost, ki je nasprotna dani, to je, Zato pri množenju ali deljenju obeh delov neenakosti z negativnim številom znak neenakost je treba spremeniti v nasprotno.

   To lastnost lahko uporabite za spreminjanje predznakov vseh členov neenačbe tako, da pomnožite obe strani z -1 in spremenite predznak neenakosti v nasprotno:

   -a + b > -c

   (-a + b) · -1< (-c) · -1

   a - b < c

   Neenakost -a + b > -c enako neenakosti a - b < c

1 . če a>b, To b< a ; nasprotno, če A< b , To b > a.

Primer. če 5x – 1 > 2x + 1, To 2x +1< 5x — 1 .

2 . če a>b in b > c, To a > c. Enako A< b in b< с , To a< с .

Primer. Iz neenakosti x > 2у, 2 leti > 10 iz tega sledi x >10.

3 . če a > b, to a + c > b + c in a – c > b – c. če A< b , To a + c in a - c , tiste. obema stranema neenakosti lahko dodate (ali odštejete) enako količino

Primer 1. Glede na neenakost x + 8>3. Če od obeh strani neenakosti odštejemo število 8, ugotovimo x > - 5.

Primer 2. Glede na neenakost x – 6< — 2 . Če na obe strani dodamo 6, dobimo X< 4 .

4 . če a>b in c > d, to a + c >b + d; popolnoma enako, če A< b in z< d , To a + c< b + d , tj. dve neenakosti istega pomena) lahko dodajamo člen za členom. To velja za poljubno število neenakosti, na primer če a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, To a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

Primer 1. Neenakosti — 8 > — 10 in 5 > 2 so resnične. Če jih seštejemo člen za členom, ugotovimo pravo neenakost — 3 > — 8 .

Primer 2. Podan je sistem neenakosti ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)y< 4 . Če jih seštejemo po izrazih, ugotovimo x< 22 .

Komentiraj. Dveh neenakosti istega pomena ni mogoče odšteti ena od druge po členu, saj je rezultat lahko resničen, lahko pa tudi napačen. Na primer, če iz neenakosti 10 > 8 2 > 1 , potem dobimo pravilno neenakost 8 > 7 če pa iz iste neenakosti 10 > 8 odštevaj neenakost člen za členom 6 > 1 , potem pridemo do absurda. Primerjaj naslednjo točko.

5 . če a>b in c< d , To a – c > b – d; če A< b in c - d, To a - c< b — d , to je, od ene neenakosti lahko odštejemo, člen za členom, drugo neenakost nasprotnega pomena), pustimo predznak neenakosti, od katere je bila druga odšteta.

Primer 1. Neenakosti 12 < 20 in 15 > 7 so resnične. Če odštejemo drugi člen za členom od prvega in pustimo predznak prvega, dobimo pravilno neenakost — 3 < 13 . Z odštevanjem prvega od drugega člena za členom in puščanjem predznaka drugemu najdemo pravilno neenakost 3 > — 13 .

Primer 2. Podan je sistem neenakosti (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Če od prve neenakosti odštejemo drugo, ugotovimo l< 10 .

6 . če a > b in m je torej pozitivno število ma > mb in a/n > b/n, tj. obe strani neenakosti lahko delimo ali pomnožimo z istim pozitivnim številom (predznak neenakosti ostane enak, če). a>b in n je torej negativno število na< nb in a/n< b/n , to pomeni, da lahko obe strani neenakosti pomnožimo ali delimo z istim negativnim številom, vendar moramo predznak neenakosti spremeniti v nasprotno.

Primer 1. Razdelitev obeh strani prave neenakosti 25 > 20 na 5 , dobimo pravilno neenakost 5 > 4 . Če razdelimo obe strani neenakosti 25 > 20 na — 5 , potem morate spremeniti znak > na < , in potem dobimo pravilno neenakost — 5 < — 4 .

Primer 2. Iz neenakosti 2x< 12 iz tega sledi X< 6 .

Primer 3. Iz neenakosti -(1/3)х — (1/3)х > 4 iz tega sledi x< — 12 .

Primer 4. Glede na neenakost x/k > y/l; iz tega izhaja, da lx > ky, če so znaki števil l in k sta enaka, pa kaj lx< ky , če so znaki števil l in k nasprotje.

Neenakosti igrajo vidno vlogo v matematiki. V šoli se ukvarjamo predvsem s numerične neenakosti, z definicijo katere bomo začeli ta članek. In potem bomo našteli in utemeljili lastnosti številskih neenačb, na katerem temeljijo vsi principi dela z neenakostmi.

Naj takoj opozorimo, da so številne lastnosti številskih neenakosti podobne. Zato bomo gradivo predstavili po isti shemi: oblikujemo lastnost, podamo njeno utemeljitev in primere, po katerih preidemo na naslednjo lastnost.

Navigacija po strani.

Numerične neenakosti: definicija, primeri

Ko smo predstavili pojem neenakosti, smo opazili, da so neenakosti pogosto definirane z načinom zapisa. Tako smo neenakosti poimenovali smiselne algebrski izrazi ki vsebuje znake, ki niso enaki ≠, manj kot<, больше >, manjše ali enako ≤ ali večje ali enako ≥. Na podlagi zgornje definicije je priročno dati definicijo numerične neenakosti:

Srečanje s številskimi neenačbami se pojavi pri pouku matematike v prvem razredu takoj po seznanitvi s prvimi naravnimi števili od 1 do 9 in seznanitvi s primerjalno operacijo. Res je, tam jih preprosto imenujejo neenakosti, pri čemer izpustijo definicijo "številske". Zaradi jasnosti ne bi škodilo podati nekaj primerov najpreprostejših numeričnih neenakosti iz te faze njihovega študija: 1<2 , 5+2>3 .

In dlje od naravna števila znanje se razširi na druge vrste števil (cela, racionalna, realna števila), preuči pravila za njihovo primerjavo, s čimer se bistveno razširi pestrost tipov številskih neenakosti: −5>−72, 3>−0,275·(7 −5,6), .

Lastnosti številskih neenačb

V praksi delo z neenakostmi omogoča številne lastnosti številskih neenačb. Izhajajo iz koncepta neenakosti, ki smo ga uvedli. V zvezi s števili je ta koncept podan z naslednjo izjavo, ki jo lahko štejemo za definicijo odnosov »manj kot« in »več kot« na množici števil (pogosto se imenuje diferencialna definicija neenakosti):

Opredelitev.

• število a več številk b takrat in samo takrat, ko je razlika a−b pozitivno število;
• število a je manjše od števila b, če in samo če je razlika a−b negativno število;
• število a je enako številu b, če in samo če je razlika a−b enaka nič.

To definicijo je mogoče preoblikovati v definicijo odnosov »manjše ali enako« in »večje ali enako«. Tukaj je njegovo besedilo:

Opredelitev.

• število a je večje ali enako b, če in samo če je a−b nenegativno število;
• a je manjše ali enako b, če in samo če je a−b nepozitivno število.

Te definicije bomo uporabili pri dokazovanju lastnosti numeričnih neenakosti, na pregled katerih nadaljujemo.

Osnovne lastnosti

Pregled začnemo s tremi glavnimi lastnostmi neenakosti. Zakaj so osnovni? Ker so odraz lastnosti neenakosti v najsplošnejšem smislu in ne le v odnosu do številskih neenakosti.

Številske neenakosti, zapisane z znaki< и >, značilnost:

Številske neenakosti, zapisane s šibkima znakoma neenakosti ≤ in ≥, imajo lastnost refleksivnosti (in ne antirefleksivnosti), saj neenakosti a≤a in a≥a vključujejo primer enakosti a=a. Zanje je značilna tudi antisimetričnost in tranzitivnost.

Torej imajo numerične neenakosti, zapisane z znakoma ≤ in ≥, naslednje lastnosti:

• refleksivnost a≥a in a≤a sta pravi neenakosti;
• antisimetrija, če je a≤b, potem b≥a, in če je a≥b, potem b≤a.
• tranzitivnost, če a≤b in b≤c, potem a≤c, in tudi, če a≥b in b≥c, potem a≥c.

Njihov dokaz je zelo podoben že podanim, zato se na njih ne bomo zadrževali, temveč prešli na druge pomembne lastnosti številskih neenakosti.

Druge pomembne lastnosti številskih neenačb

Osnovne lastnosti številskih neenakosti dopolnimo z nizom rezultatov, ki imajo velik praktični pomen. Na njih temeljijo metode za ocenjevanje vrednosti izrazov; na njih temeljijo načela rešitve neenačb itd. Zato je priporočljivo, da jih dobro razumemo.

V tem razdelku bomo oblikovali lastnosti neenakosti samo za en znak stroge neenakosti, vendar je vredno upoštevati, da bodo podobne lastnosti veljale za nasprotni znak, pa tudi za znake nestroge neenakosti. Razložimo to s primerom. V nadaljevanju oblikujemo in dokažemo naslednjo lastnost neenakosti: če a

• če a>b potem a+c>b+c ;
• če a≤b, potem a+c≤b+c;
• če a≥b, potem a+c≥b+c.

Za udobje bomo predstavili lastnosti številskih neenakosti v obliki seznama, medtem ko bomo podali ustrezno izjavo, jo formalno zapisali s črkami, podali dokaz in nato prikazali primere uporabe. In na koncu članka bomo vse lastnosti številskih neenakosti povzeli v tabeli. Gremo!

Dodajanje (ali odštevanje) poljubnega števila obema stranema prave številske neenakosti povzroči pravo številsko neenakost. Z drugimi besedami, če sta števili a in b takšni, da je a

Da bi to dokazali, dopolnimo razliko med levo in desno stranjo zadnje numerične neenakosti in pokažimo, da je negativna pod pogojem a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Ker po pogoju a

Na dokazu te lastnosti numeričnih neenakosti za odštevanje števila c se ne zadržujemo, saj lahko na množici realnih števil odštevanje nadomestimo z dodajanjem −c.

Na primer, če k obema stranema pravilne številske neenakosti 7>3 dodate število 15, dobite pravilno številsko neenakost 7+15>3+15, kar je isto, 22>18.

Če obe strani veljavne številske neenakosti pomnožimo (ali delimo) z istim pozitivnim številom c, dobimo veljavno številsko neenakost. Če obe strani neenakosti pomnožimo (ali delimo) z negativnim številom c in je predznak neenakosti obrnjen, potem bo neenakost resnična. V dobesedni obliki: če števili a in b zadovoljujeta neenakost a b·c.

Dokaz. Začnimo s primerom c>0. Zaračunajmo razliko med levo in desno stranjo numerične neenakosti, ki jo dokazujemo: a·c−b·c=(a−b)·c . Ker po pogoju a 0 , potem bo zmnožek (a−b)·c negativno število kot zmnožek negativnega števila a−b in pozitivnega števila c (kar izhaja iz ). Zato je a·c−b·c<0 , откуда a·c

Na dokazu obravnavane lastnosti deljenja obeh strani prave številske neenakosti z istim številom c se ne zadržujemo, saj lahko deljenje vedno nadomestimo z množenjem z 1/c.

Pokažimo primer uporabe analizirane lastnosti na določenih številkah. Na primer, lahko imate obe strani pravilne numerične neenakosti 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

Iz pravkar obravnavane lastnosti množenja obeh strani številske enakosti s številom sledita dva praktično dragocena rezultata. Zato jih oblikujemo v obliki posledic.

Vse zgoraj obravnavane lastnosti v tem odstavku združuje dejstvo, da je najprej podana pravilna številska neenakost, iz nje pa z nekaj manipulacijami z deli neenakosti in predznakom dobimo drugo pravilno številsko neenakost. Zdaj bomo predstavili blok lastnosti, v katerem je na začetku podana ne ena, ampak več pravilnih številskih neenakosti, nov rezultat pa dobimo iz njihove skupne uporabe po seštevanju ali množenju njihovih delov.

Če števila a, b, c in d zadoščajo neenačbam a

Dokažimo, da je (a+c)−(b+d) negativno število, to bo dokazalo, da a+c

Z indukcijo se ta lastnost razširi na člen za členom seštevanje treh, štirih in na splošno poljubnega končnega števila numeričnih neenakosti. Torej, če za števila a 1, a 2, …, a n in b 1, b 2, …, b n veljajo naslednje neenakosti: a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

Na primer, dane so nam tri pravilne številske neenakosti z enakim predznakom −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

Številske neenakosti istega predznaka lahko pomnožite s členom, pri čemer sta obe strani predstavljeni s pozitivnimi številkami. Zlasti za dve neenakosti a

Da bi to dokazali, lahko pomnožite obe strani neenakosti a

Ta lastnost velja tudi za množenje poljubnega končnega števila pravih številskih neenakosti s pozitivnimi deli. To je, če so a 1, a 2, …, a n in b 1, b 2, …, b n pozitivna števila in a 1 a 1 a 2 ... a n .

Ločeno je treba omeniti, da če notacija za številske neenakosti vsebuje nepozitivna števila, lahko njihovo množenje po členih povzroči napačne številske neenakosti. Na primer, številske neenakosti 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

• Posledica. Člensko množenje enakih pravih neenakosti oblike a

Na koncu članka, kot smo obljubili, bomo zbrali vse preučene lastnosti v tabela lastnosti številskih neenačb:

Reference.

• Moro M.I.. Matematika. Učbenik za 1 razred. začetek šola V 2 urah 1. del (Prvo polletje) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6. izd. - M.: Izobraževanje, 2006. - 112 str .: ilustr.+Add. (2 ločeni l. ilustr.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Matematika: učbenik za 5. razred. splošno izobraževanje ustanove / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str .: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: učbenik za 8. razred. splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.