Ostrogradov Gaussov izrek za vektor električne indukcije. Gaussov izrek. Uporaba Gaussovega izreka

Glavna uporabna naloga elektrostatike je izračun električnih polj, ustvarjenih v različnih napravah in napravah. Na splošno je ta problem rešen z uporabo Coulombovega zakona in principa superpozicije. Vendar pa postane ta naloga zelo zapletena, če upoštevamo veliko število točkovnih ali prostorsko porazdeljenih nabojev. Še večje težave nastanejo, ko so v prostoru dielektriki ali prevodniki, ko pod vplivom zunanjega polja E 0 pride do prerazporeditve mikroskopskih nabojev, ki ustvarjajo lastno dodatno polje E. Zato so za praktično rešitev teh težav pomožne metode in tehnike ki uporabljajo zapleten matematični aparat. Upoštevali bomo najpreprostejšo metodo, ki temelji na uporabi izreka Ostrogradskega–Gaussa. Za oblikovanje tega izreka uvedemo nekaj novih konceptov:

A) gostota naboja

Če je naelektreno telo veliko, potem morate poznati porazdelitev nabojev v telesu.

Volumska gostota naboja– merjeno s polnjenjem na enoto prostornine:

Površinska gostota naboja– merjeno z nabojem na enoto površine telesa (ko je naboj porazdeljen po površini):

Linearna gostota naboja(razporeditev naboja vzdolž vodnika):

b) vektor elektrostatične indukcije

Vektor elektrostatične indukcije (vektor električnega premika) je vektorska količina, ki označuje električno polje.

Vektor enak produktu vektorja na absolutno dielektrično konstanto medija na dani točki:

Preverimo dimenzijo D v enotah SI:

, ker
,

potem dimenzije D in E ne sovpadata, njihove številčne vrednosti pa so tudi različne.

Iz definicije sledi, da za vektorsko polje velja enako načelo superpozicije kot za polje :

Polje grafično predstavljen z indukcijskimi črtami, tako kot polje . Indukcijske črte so narisane tako, da tangenta v vsaki točki sovpada s smerjo , število vrstic pa je enako numerični vrednosti D na dani lokaciji.

Da bi razumeli pomen uvoda Poglejmo si primer.

	ε> 1	Na meji votline z dielektrikom so povezani negativni naboji koncentrirani in Polje se zmanjša za faktor  in gostota se nenadoma zmanjša.
Za isti primer: D = Eεε 0	, potem: vrstice nadaljevati neprekinjeno. Črte začnite z brezplačnimi stroški (pri na kateri koli - vezani ali prosti), na dielektrični meji pa njihova gostota ostane nespremenjena. torej– neprekinjenost indukcijskih vodov močno olajša izračun , in poznavanje povezave z lahko najdete vektor .

V) vektorski tok elektrostatične indukcije

Oglejmo si površino S v električnem polju in izberimo smer normale

1. Če je polje enotno, potem je število poljskih črt skozi površino S:

2. Če je polje neenakomerno, potem je površina razdeljena na infinitezimalne elemente dS, ki veljajo za ravne in polje okoli njih je enakomerno. Zato je tok skozi površinski element: dN = D n dS,

in skupni pretok skozi katero koli površino je:

(6)

Indukcijski tok N je skalarna količina; odvisno od  lahko > 0 oz< 0, или = 0.

Poglejmo, kako se spremeni vrednost vektorja E na meji med dvema medijema, na primer zrakom (ε 1) in vodo (ε = 81). Poljska jakost v vodi se nenadoma zmanjša za faktor 81. To vektorsko vedenje E povzroča določene nevšečnosti pri izračunu polj v različnih okoljih. Da bi se izognili tej nevšečnosti, je uveden nov vektor D– vektor indukcije ali električnega premika polja. Vektorska povezava D in E izgleda kot

D = ε ε 0 E.

Očitno bo za polje točkastega naboja električni premik enak

Lahko vidimo, da se električni premik meri v C/m2, ni odvisen od lastnosti in je grafično predstavljen s črtami, podobnimi nateznim črtam.

Smer poljskih črt označuje smer polja v prostoru (poljske črte seveda ne obstajajo, uvedene so za udobje ponazoritve) ali smer vektorja poljske jakosti. Z uporabo napetostnih linij lahko označite ne samo smer, ampak tudi velikost poljske jakosti. Da bi to naredili, je bilo dogovorjeno, da jih izvedemo z določeno gostoto, tako da je število napetostnih črt, ki prebadajo površino enote pravokotno na napetostne črte, sorazmerno vektorskemu modulu E(slika 78). Nato število črt, ki prodrejo v osnovno območje dS, normalo na katero n tvori z vektorjem kot α E, je enak E dScos α = E n dS,

kjer je E n vektorska komponenta E po normalni smeri n. Vrednost dФ E = E n dS = E d S klical tok vektorja napetosti skozi mesto d S(d S= dS n).

Za poljubno zaprto površino S vektorski tok E skozi to površino je enaka

Podoben izraz ima tok vektorja električnega pomika Ф D

.

Ostrogradsky-Gaussov izrek

Ta izrek nam omogoča, da določimo tok vektorjev E in D iz poljubnega števila nabojev. Vzemimo točkasti naboj Q in definirajmo pretok vektorja E skozi sferično površino s polmerom r, v središču katere se nahaja.

Za sferično površino α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 in

Ф E = E · 4 πr 2 .

Z zamenjavo izraza za E dobimo

Tako iz vsakega točkovnega naboja izhaja tok vektorja F E E enako Q/ ε 0 . Če posplošimo ta sklep na splošen primer poljubnega števila točkastih nabojev, podamo formulacijo izreka: skupni tok vektorja E skozi zaprto površino poljubne oblike je številčno enaka algebraični vsoti električnih nabojev znotraj te površine, deljeni z ε 0, tj.

Za vektorski tok električnega premika D lahko dobite podobno formulo

tok indukcijskega vektorja skozi zaprto površino je enak algebraični vsoti električnih nabojev, ki jih pokriva ta površina.

Če vzamemo zaprto površino, ki ne zajema naboja, potem vsaka črta E in D bo dvakrat prečkal to površino - na vhodu in izstopu, tako da se skupni tok izkaže za nič. Pri tem je treba upoštevati algebraično vsoto vhodnih in izstopnih črt.

Uporaba Ostrogradsky-Gaussovega izreka za izračun električnih polj, ki jih ustvarjajo ravnine, krogle in valji

Sferična površina s polmerom R nosi naboj Q, enakomerno porazdeljen po površini s površinsko gostoto σ

Vzemimo točko A zunaj krogle na razdalji r od središča in v mislih narišemo kroglo s polmerom r, ki je simetrično nabita (slika 79). Njegova površina je S = 4 πr 2. Tok vektorja E bo enak

Po Ostrogradsky-Gaussovem izreku
, torej,
ob upoštevanju, da je Q = σ 4 πr 2 , dobimo

Za točke na površini krogle (R = r)

D Za točke, ki se nahajajo znotraj votle krogle (v krogli ni naboja), je E = 0.

2 . Votla cilindrična površina s polmerom R in dolžino l nabito s konstantno površinsko gostoto naboja
(Slika 80). Narišimo koaksialno cilindrično ploskev s polmerom r > R.

Vektor toka E skozi to površino

Po Gaussovem izreku

Z enačenjem desnih strani zgornjih enakosti dobimo

.

Če je podana linearna gostota naboja valja (ali tanke niti).
to

3. Polje neskončnih ravnin s površinsko gostoto naboja σ (slika 81).

Oglejmo si polje, ki ga ustvarja neskončna ravnina. Iz premislekov o simetriji sledi, da ima intenziteta na kateri koli točki v polju smer, pravokotno na ravnino.

V simetričnih točkah bo E enak po velikosti in nasproten po smeri.

V mislih zgradimo površino valja z osnovo ΔS. Nato bo skozi vsako osnovo valja prišel tok

F E = E ΔS, skupni pretok skozi cilindrično površino pa bo enak F E = 2E ΔS.

Znotraj površine je naboj Q = σ · ΔS. Po Gaussovem izreku mora biti res

kjer

Dobljeni rezultat ni odvisen od višine izbranega valja. Tako je poljska jakost E na kateri koli razdalji enaka po velikosti.

Za dve različno nabiti ravnini z enako površinsko gostoto naboja σ je po principu superpozicije izven prostora med ravninama poljska jakost nič E = 0, v prostoru med ravninama pa
(slika 82a). Če so ravnine naelektrene z enakimi naboji z enako površinsko gostoto naboja, opazimo nasprotno sliko (slika 82b). V prostoru med ravninama E = 0, v prostoru pa zunaj ravnin
.

Predstavimo koncept vektorskega toka električne indukcije. Oglejmo si neskončno majhno območje. V večini primerov je treba poznati ne le velikost mesta, temveč tudi njegovo orientacijo v prostoru. Predstavimo koncept vektorske površine. Dogovorimo se, da s ploščinskim vektorjem razumemo vektor, ki je usmerjen pravokotno na ploščino in je številčno enak velikosti ploščine.

Slika 1 - K definiciji vektorja - mesta

Imenujmo vektorski tok preko platforme
pikčasti produkt vektorjev in
. torej

Vektor toka skozi poljubno površino se najde z integracijo vseh osnovnih tokov

(4)

Če je polje enakomerno in površina ravna ki se nahaja pravokotno na polje, potem:

. (5)

Podan izraz določa število silnic, ki prebadajo mesto na časovno enoto.

Ostrogradsky-Gaussov izrek. Divergenca električne poljske jakosti

Vektor električne indukcije skozi poljubno zaprto površino enaka algebraični vsoti prostih električnih nabojev , prekrit s to površino

(6)

Izraz (6) predstavlja izrek O-G v integralni obliki. Izrek 0-Г deluje z integralnim (totalnim) učinkom, tj. če
ni znano, ali to pomeni odsotnost nabojev na vseh točkah proučevanega dela prostora ali pa je vsota pozitivnih in negativnih nabojev, ki se nahajajo na različnih točkah tega prostora, enaka nič.

Da bi našli locirane naboje in njihovo velikost v danem polju, je potrebna relacija, ki povezuje vektor električne indukcije na dani točki z nabojem na isti točki.

Recimo, da moramo določiti prisotnost naboja v točki A(slika 2)

Slika 2 – Za izračun vektorske divergence

Uporabimo izrek O-G. Tok vektorja električne indukcije skozi poljubno površino, ki omejuje prostornino, v kateri se točka nahaja A, je enako

Algebraično vsoto nabojev v prostornini lahko zapišemo kot prostorninski integral

(7)

kje - plačilo na enoto prostornine ;

- element glasnosti.

Za pridobitev povezave med poljem in nabojem v točki A zmanjšali bomo prostornino s krčenjem površine do točke A. V tem primeru obe strani naše enakosti delimo z vrednostjo . Če se premaknemo do meje, dobimo:

.

Desna stran dobljenega izraza je po definiciji volumetrična gostota naboja na obravnavani točki v prostoru. Leva stran predstavlja mejo razmerja pretoka vektorja električne indukcije skozi zaprto površino na prostornino, ki jo omejuje ta površina, ko se prostornina nagiba k ničli. Ta skalarna količina je pomembna značilnost električnega polja in se imenuje vektorska divergenca .

Torej:

,

torej

, (8)

kje - volumetrična gostota naboja.

Z uporabo tega razmerja preprosto rešimo inverzni problem elektrostatike, tj. iskanje porazdeljenih nabojev po znanem polju.

Če vektor je podana, kar pomeni, da so njene projekcije znane
,
,
na koordinatne osi kot funkcijo koordinat in za izračun porazdeljene gostote nabojev, ki so ustvarili dano polje, se izkaže, da je dovolj najti vsoto treh delnih odvodov teh projekcij glede na ustrezne spremenljivke. Na tistih točkah, za katere
brez stroškov. Na točkah, kjer
pozitiven, obstaja pozitiven naboj z volumsko gostoto, ki je enaka
, in na tistih točkah, kjer
bo imela negativno vrednost, obstaja negativen naboj, katerega gostota je določena tudi z vrednostjo divergence.

Izraz (8) predstavlja izrek 0-Г v diferencialni obliki. V tej obliki izrek kaže, da da so viri električnega polja prosti električni naboji; poljske črte vektorja električne indukcije se začnejo in končajo pri pozitivnih oziroma negativnih nabojih.

Gaussov izrek za električno indukcijo (električni premik)[

Za polje v dielektričnem mediju lahko Gaussov elektrostatični izrek zapišemo še drugače (na alternativni način) - skozi tok vektorja električnega premika (električna indukcija). V tem primeru je formulacija izreka naslednja: tok vektorja električnega premika skozi zaprto površino je sorazmeren s prostim električnim nabojem, ki ga vsebuje ta površina:

V diferencialni obliki:

Gaussov izrek za magnetno indukcijo

Tok vektorja magnetne indukcije skozi katero koli zaprto površino je enak nič:

ali v diferencialni obliki

To je enakovredno dejstvu, da v naravi ni "magnetnih nabojev" (monopolov), ki bi ustvarjali magnetno polje, tako kot električni naboji ustvarjajo električno polje. Z drugimi besedami, Gaussov izrek za magnetno indukcijo kaže, da je magnetno polje (popolnoma) vrtinec.

Gaussov izrek za Newtonovo gravitacijo

Za poljsko jakost Newtonove gravitacije (gravitacijski pospešek) Gaussov izrek praktično sovpada s tistim v elektrostatiki, z izjemo le konstant (ki so še vedno odvisne od poljubne izbire sistema enot) in, kar je najpomembneje, predznaka:

kje g- jakost gravitacijskega polja, M- gravitacijski naboj (tj. masa) znotraj površine S, ρ - masna gostota, G- Newtonova konstanta.

Prevodniki v električnem polju. Polje v vodniku in na njegovi površini.

Prevodniki so telesa, skozi katera lahko prehajajo električni naboji iz naelektrenega telesa v nenaelektreno. Sposobnost prevodnikov, da skozi sebe prenašajo električne naboje, je razložena s prisotnostjo prostih nosilcev naboja v njih. Prevodniki - kovinska telesa v trdnem in tekočem stanju, tekoče raztopine elektrolitov. Prosti naboji prevodnika, vnesenega v električno polje, se pod njegovim vplivom začnejo premikati. Prerazporeditev nabojev povzroči spremembo električnega polja. Ko električna poljska jakost v prevodniku postane enaka nič, se elektroni prenehajo premikati. Pojav ločevanja različnih nabojev v prevodniku v električnem polju imenujemo elektrostatična indukcija. V prevodniku ni električnega polja. Uporablja se za elektrostatično zaščito - zaščito s kovinskimi vodniki pred električnim poljem. Površina prevodnega telesa katerekoli oblike v električnem polju je ekvipotencialna površina.

Kondenzatorji

Za pridobitev naprav, ki bi pri nizkem potencialu glede na medij na sebi kopičile (kondenzirale) opazne naboje, uporabljajo dejstvo, da se električna kapaciteta prevodnika povečuje, ko se mu približujejo druga telesa. Dejansko se pod vplivom polja, ki ga ustvarijo nabiti vodniki, na telesu, ki ga prinese, pojavijo inducirani (na prevodniku) ali povezani (na dielektriku) naboji (slika 15.5). Naboji, ki so v predznaku nasprotni naboju prevodnika q, se nahajajo bližje prevodniku kot tisti z istim imenom z q in zato močno vplivajo na njegov potencial.

Ko torej katero koli telo približamo naelektrenemu prevodniku, se poljska jakost zmanjša in posledično se zmanjša potencial prevodnika. Po enačbi to pomeni povečanje kapacitivnosti prevodnika.

Kondenzator je sestavljen iz dveh prevodnikov (plošč) (slika 15.6), ločenih z dielektrično plastjo. Ko na prevodnik prenesemo določeno potencialno razliko, se njegove plošče naelektrijo z enakimi naboji nasprotnega predznaka. Električno kapaciteto kondenzatorja razumemo kot fizikalno količino, ki je sorazmerna z nabojem q in obratno sorazmerna s potencialno razliko med ploščama.

Določimo kapacitivnost ploščatega kondenzatorja.

Če je površina plošče S in je naboj na njej q, potem je poljska jakost med ploščama

Po drugi strani pa potencialna razlika med ploščama izvira iz

Energija sistema točkastih nabojev, naelektrenega prevodnika in kondenzatorja.

Vsak sistem nabojev ima nekaj potencialne interakcijske energije, ki je enaka delu, porabljenemu za ustvarjanje tega sistema. Energija sistema točkastih nabojev q 1 , q 2 , q 3 ,… q n je opredeljeno kot sledi:

kje φ 1 – potencial električnega polja, ki ga ustvarjajo vsi naboji, razen q 1 na točki, kjer se nahaja naboj q 1 itd. Če se spremeni konfiguracija sistema nabojev, se spremeni tudi energija sistema. Za spremembo konfiguracije sistema je treba opraviti delo.

Potencialno energijo sistema točkastih nabojev lahko izračunamo še na drug način. Potencialna energija dveh točkovnih nabojev q 1 , q 2 na medsebojni razdalji je enako. Če je nabojev več, potem lahko potencialno energijo tega sistema nabojev opredelimo kot vsoto potencialnih energij vseh parov nabojev, ki jih je mogoče sestaviti za ta sistem. Torej je za sistem treh pozitivnih nabojev energija sistema enaka

Električno polje točkastega naboja q 0 na razdalji od njega v mediju z dielektrično konstanto ε (Glej sliko 3.1.3). Slika 3.1.3	; Potencial je skalar, njegov predznak je odvisen od predznaka naboja, ki ustvarja polje.
Slika 3.1.4. Električno polje enakomerno nabite krogle s polmerom v točki C na razdalji od njene površine (slika 3.1.4). Električno polje krogle je podobno polju točkastega naboja, ki je enak naboju krogle q sf in skoncentriran v njegovem središču. Razdalja do točke, kjer se določi napetost, je (+R)	a ; Zunaj obsega: , Potencial znotraj krogle je stalen in enak
in napetost znotraj krogle je nič σ Električno polje enakomerno nabite neskončne ravnine s površinsko gostoto (Glej sliko 3.1.5).	Slika 3.1.5. Imenuje se polje, katerega jakost je v vseh točkah enaka. homogena σ Površinska gostota
– naboj na enoto površine (kjer sta naboj in površina ravnine). Dimenzija površinske gostote naboja. Električno polje ploščatega kondenzatorja z naboji na ploščah enake velikosti, vendar nasprotnega znaka (glej sliko 3.1.6).	Slika 3.1.6 E=0. Napetost med ploščama kondenzatorja z vzporednimi ploščami, zunaj kondenzatorja Potencialna razlika u med ploščama (ploščami) kondenzatorja: , kjer d – razdalja med ploščama, – dielektrična konstanta dielektrika, nameščenega med ploščama kondenzatorja.

Površinska gostota naboja na ploščah kondenzatorja je enaka razmerju med količino naboja na njej in površino plošče:.

Energija nabitega osamljenega vodnika in kondenzatorja Če ima izoliran prevodnik naboj q, potem je okoli njega električno polje, katerega potencial na površini prevodnika je enak , kapacitivnost pa C. Povečajmo naboj za količino dq. Pri prenosu naboja dq iz neskončnosti mora biti delo opravljeno enako

. Toda potencial elektrostatičnega polja danega prevodnika v neskončnosti je nič. Potem

Pri prenosu naboja dq iz prevodnika v neskončnost enako delo opravijo sile elektrostatičnega polja. Posledično, ko se naboj prevodnika poveča za količino dq, se potencialna energija polja poveča, tj.

Z integracijo tega izraza najdemo potencialno energijo elektrostatičnega polja nabitega prevodnika, ko se njegov naboj poveča od nič do q:

Z uporabo razmerja lahko dobimo naslednje izraze za potencialno energijo W:

Splošna formulacija: Tok vektorja električne poljske jakosti skozi poljubno izbrano zaprto površino je sorazmeren z električnim nabojem znotraj te površine.

V sistemu SGSE:

V sistemu SI:

je tok vektorja električne poljske jakosti skozi zaprto površino.

- skupni naboj v volumnu, ki omejuje površino.

- električna konstanta.

Ta izraz predstavlja Gaussov izrek v integralni obliki.

V diferencialni obliki Gaussov izrek ustreza eni od Maxwellovih enačb in je izražen kot sledi

v sistemu SI:

,

v sistemu SGSE:

Tukaj je volumetrična gostota naboja (v primeru prisotnosti medija celotna gostota prostih in vezanih nabojev) in je operator nabla.

Za Gaussov izrek velja princip superpozicije, to je, da tok vektorja jakosti skozi površino ni odvisen od porazdelitve naboja znotraj površine.

Fizična osnova Gaussovega izreka je Coulombov zakon ali z drugimi besedami Gaussov izrek je integralna formulacija Coulombovega zakona.

Gaussov izrek za električno indukcijo (električni premik).

Za polje v snovi lahko Gaussov elektrostatični izrek zapišemo drugače – skozi tok vektorja električnega premika (električna indukcija). V tem primeru je formulacija izreka naslednja: tok vektorja električnega premika skozi zaprto površino je sorazmeren s prostim električnim nabojem, ki ga vsebuje ta površina:

Če upoštevamo izrek za poljsko jakost v snovi, potem je treba kot naboj Q vzeti vsoto prostega naboja, ki se nahaja znotraj površine, in polarizacijskega (induciranega, vezanega) naboja dielektrika:

,

kje ,
je polarizacijski vektor dielektrika.

Gaussov izrek za magnetno indukcijo

Tok vektorja magnetne indukcije skozi katero koli zaprto površino je enak nič:

.

To je enakovredno dejstvu, da v naravi ni "magnetnih nabojev" (monopolov), ki bi ustvarjali magnetno polje, tako kot električni naboji ustvarjajo električno polje. Z drugimi besedami, Gaussov izrek za magnetno indukcijo kaže, da je magnetno polje vrtinčno.

Uporaba Gaussovega izreka

Za izračun elektromagnetnih polj se uporabljajo naslednje količine:

Volumetrična gostota naboja (glej zgoraj).

Površinska gostota naboja

kjer je dS infinitezimalna površina.

Linearna gostota naboja

kjer je dl dolžina infinitezimalnega segmenta.

Oglejmo si polje, ki ga ustvarja neskončna enotno naelektrena ravnina. Naj bo površinska gostota naboja ravnine enaka in enaka σ. Predstavljajmo si valj z generatrisami, pravokotnimi na ravnino, in bazo ΔS, ki se nahaja simetrično glede na ravnino. Zaradi simetrije. Tok vektorja napetosti je enak . Z uporabo Gaussovega izreka dobimo:

,

iz katerega

v sistemu SSSE

Pomembno je omeniti, da ima Gaussov izrek v integralni obliki kljub svoji univerzalnosti in splošnosti razmeroma omejeno uporabo zaradi neprijetnosti pri izračunu integrala. Vendar pa je v primeru simetričnega problema njegova rešitev veliko preprostejša kot uporaba principa superpozicije.