Fizikalna formula nihajnega gibanja. Mehanske vibracije. Pretvorba energije v oscilacijskih sistemih

4.2. Pojmi in definicije razdelka "nihanja in valovi"

Enačba harmonične vibracije in njegova rešitev:

, x=Acos(ω 0t+α ) ,

A– amplituda nihanj;

α – začetna faza nihanj.

Obdobje nihanja materialna točka nihanje pod delovanjem elastične sile:

kje m– masa materialne točke;

k– koeficient togosti.

Obdobje nihanja matematičnega nihala:

kje l– dolžina nihala;

g= 9,8 m/s 2 – pospešek prostega pada.

Amplituda vibracij, dobljena s seštevanjem dveh enako usmerjenih harmoničnih vibracij:

kje A 1 in A 2 – amplitude komponent nihanja;

φ 1 in φ 2 sta začetni fazi komponent nihanj.

Začetna faza nihanj, dobljena s seštevanjem dveh enako usmerjenih harmoničnih nihanj:

.

Enačba dušena nihanja in njegova rešitev:

, ,

– frekvenca dušenih nihanj,

tukaj je ω 0 lastna frekvenca nihanj.

Logaritemski dekrement dušenja:

kjer je β koeficient slabljenja;

– periodo dušenih nihanj.

Faktor kakovosti oscilacijskega sistema:

kjer je θ logaritemski dekrement slabljenja

Enačba prisilnih nihanj in njena stacionarna rešitev:

, x=A cos (ω t-φ ),

kje F 0 – amplitudna vrednost sile;

– amplituda dušenih nihanj;

φ= – začetna faza.

Resonančna frekvenca nihanja:

,

kjer je ω 0 – lastna ciklična frekvenca nihanj;

β je koeficient slabljenja.

Dušena elektromagnetna nihanja v vezju, sestavljenem iz kapacitivnostiC, induktivnostLin odpornostR:

,

kje q– naboj na kondenzatorju;

q m– amplitudna vrednost naboja na kondenzatorju;

β = R/2L– koeficient slabljenja,

Tukaj R– odpornost tokokroga;

L– induktivnost tuljave;

– ciklična frekvenca nihanj;

tukaj ω 0 – lastna frekvenca nihanj;

α – začetna faza nihanj.

Obdobje elektromagnetnih nihanj:

,

kje Z– zmogljivost kondenzatorja;

L– induktivnost tuljave;

R– odpornost tokokroga.

Če je upor vezja majhen, kaj ( R/2L) 2 <<1/L.C., potem je obdobje nihanja:

Valovna dolžina:

kje v – hitrost širjenja valov;

T– obdobje nihanja.

Enačba ravnih valov:

ξ =A cos (ω t-kx),

kje A– amplituda;

ω – ciklična frekvenca;

– valovno število.

Enačba sferičnih valov:

,

kje A– amplituda;

ω – ciklična frekvenca;

k– valovno število;

r– razdalja od središča valovanja do obravnavane točke v mediju.

? Prosta harmonična nihanja v vezju

Idealno vezje je električno vezje, sestavljeno iz zaporedno vezanega kondenzatorja s kapacitivnostjo Z in induktorji L. Po harmoničnem zakonu se spremeni napetost na ploščah kondenzatorja in tok v induktorju.

? Harmonični oscilator. Vzmetna, fizikalna in matematična nihala, njihove nihajne dobe

Harmonični oscilator je vsak fizični sistem, ki niha. Klasični oscilatorji - vzmetna, fizikalna in matematična nihala. Vzmetno nihalo - masna masa m, obešen na absolutno elastični vzmeti in izvaja harmonična nihanja pod delovanjem elastične sile. T= . Fizikalno nihalo je togo telo poljubne oblike, ki niha pod vplivom gravitacije okoli vodoravne osi, ki ne poteka skozi njegovo težišče. T= . Matematično nihalo je izoliran sistem, sestavljen iz materialne točke z maso m, obešena na neraztegljivi breztežni niti dolžine L, in nihajo pod vplivom gravitacije. T= .

? Proste neblažene mehanske vibracije (enačba, hitrost, pospešek, energija). Grafični prikaz harmoničnih nihanj.

Nihanja se imenujejo prosta, če nastanejo zaradi prvotno posredovane energije v kasnejši odsotnosti zunanjih vplivov na nihajni sistem. Vrednost se spreminja po zakonu sinusa ali kosinusa. , S- premik iz ravnotežnega položaja, A– amplituda, w 0 - ciklična frekvenca, – začetna faza nihanj. Hitrost, pospešek. Polna energija - E= . Grafično - z uporabo sinusnega ali kosinusnega vala.

? Koncept nihajnih procesov. Harmonična nihanja in njihove značilnosti. Perioda, amplituda, frekvenca in faza nihanj. Grafični prikaz harmoničnih nihanj.

Periodične procese, ki se skozi čas ponavljajo, imenujemo oscilatorni. Periodična nihanja, pri katerih se koordinata telesa s časom spreminja po zakonu sinusa ali kosinusa, imenujemo harmonična. Perioda je čas enega nihanja. Amplituda je največji odmik točke od njenega ravnotežnega položaja. Frekvenca je število popolnih nihanj na časovno enoto. Faza je količina pod znakom sinusa ali kosinusa. Enačba: , Tukaj S- količina, ki označuje stanje nihajnega sistema - ciklična frekvenca. Grafično - z uporabo sinusnega ali kosinusnega vala.

? Dušena nihanja. Diferencialna enačba teh nihanj. Logaritemski dekrement dušenja, relaksacijski čas, faktor kakovosti.

Nihanja, katerih amplituda se s časom zmanjšuje, na primer zaradi trenja. Enačba: , Tukaj S- količina, ki označuje stanje nihajnega sistema, - ciklična frekvenca, - koeficient dušenja. Logaritemski dekrement dušenja, kjer n– število nihanj, opravljenih med zmanjševanjem amplitude n enkrat. Relaksacijski čas t - med katerim se amplituda zmanjša za e-krat. Faktor kakovosti Q= .

? Nedušena prisilna nihanja. Diferencialna enačba teh nihanj. Kaj je resonanca? Amplituda in faza prisilnih nihanj.

Če je izguba energije nihanja, ki vodi do njihovega dušenja, v celoti kompenzirana, se vzpostavijo nedušena nihanja. Enačba: . Tukaj je desna stran zunanji vpliv, ki se spreminja po harmoničnem zakonu. Če naravna frekvenca nihanj sistema sovpada z zunanjo, se pojavi resonanca - močno povečanje amplitude sistema. Amplituda , .

? Opišite seštevanje nihajev iste smeri in enake frekvence, medsebojno pravokotnih nihajev. Kaj so utripi?

Amplituda nastalega nihanja, ki je posledica seštevanja dveh harmoničnih nihanj iste smeri in enake frekvence, je tukaj A– amplitude, j – začetne faze. Začetna faza nastalega nihanja . Medsebojno pravokotna nihanja - enačba trajektorije , Tukaj A in IN amplitude dodanih nihanj, j-fazna razlika.

? Opišite relaksacijska nihanja; samonihanja.

Relaksacija - lastna nihanja, ki se po obliki močno razlikujejo od harmoničnih, zaradi znatne disipacije energije v samonihajnih sistemih (trenje v mehanskih sistemih). Lastna nihanja so nedušena nihanja, ki jih podpirajo zunanji viri energije v odsotnosti zunanje spremenljive sile. Razlika od prisilnih je v tem, da frekvenco in amplitudo lastnih nihanj določajo lastnosti samega nihajnega sistema. Razlikujejo se od prostih nihanj - razlikujejo se po neodvisnosti amplitude od časa in od začetnega kratkotrajnega vpliva, ki vzbuja nihajni proces. Primer samonihajnega sistema je ura.

? Valovanje (osnovni pojmi). Vzdolžni in prečni valovi. Stoječi val. Valovna dolžina, njen odnos s periodo in frekvenco.

Proces širjenja nihanja v prostoru imenujemo valovanje. Smer, v kateri val prenaša vibracijsko energijo, je smer, v kateri se val premika. Vzdolžno - nihanje delcev medija poteka v smeri širjenja valov. Prečno - vibracije delcev medija se pojavljajo pravokotno na smer širjenja valovanja. Stoječe valovanje nastane s superpozicijo dveh potujočih valov, ki se širita drug proti drugemu z enakimi frekvencami in amplitudami, v primeru transverzalnih valov pa z enako polarizacijo. Valovna dolžina je razdalja, ki jo val prepotuje v eni periodi. (valovna dolžina, v- hitrost valovanja, T- obdobje nihanja)

? Princip superpozicije (prekrivanja) valov. Skupinska hitrost in njen odnos s fazno hitrostjo.

Načelo superpozicije - ko se v linearnem mediju širi več valov, se vsak širi, kot da drugih valov ne bi bilo, posledični premik delca medija pa je kadar koli enak geometrijski vsoti premikov, ki jih delci prejemajo, medtem ko sodelujejo v vsakem od sestavnih valovnih procesov. Skupinska hitrost je hitrost gibanja skupine valov, ki tvorijo lokaliziran valovni paket v vsakem trenutku v prostoru. Hitrost gibanja faze valovanja je fazna hitrost. V nerazpršenem okolju sovpadajo.

? Elektromagnetno valovanje in njegove lastnosti. Energija elektromagnetnega valovanja.

Elektromagnetno valovanje – elektromagnetna nihanja, ki se širijo v prostoru. Eksperimentalno pridobil Hertz leta 1880. Lastnosti - lahko se širi v mediju in vakuumu, v vakuumu enako c, v mediju manj, prečno, E in B medsebojno pravokotna in pravokotna na smer širjenja. Intenzivnost narašča z naraščajočim pospeškom sevajočega nabitega delca; pod določenimi pogoji se pojavijo značilne valovne lastnosti - uklon itd. Volumetrična gostota energije .

Optika

Osnovne formule optike

Hitrost svetlobe v mediju:

kje c– hitrost svetlobe v vakuumu;

n– lomni količnik medija.

Dolžina poti optičnega svetlobnega valovanja:

L = ns,

kje s– geometrijska dolžina poti svetlobnega vala v mediju z lomnim količnikom n.

Optična razlika poti med dvema svetlobnima valovoma:

∆ = L 1 – L 2 .

Odvisnost fazne razlike od optične razlike na poti svetlobnih valov:

kjer je λ valovna dolžina svetlobe.

Pogoj za maksimalno ojačanje svetlobe med interferenco:

∆ = kλ ( = 0, 1, 2, …) .

Pogoj za maksimalno slabljenje svetlobe:

Optična razlika v poti svetlobnih valov, ki nastane, ko se monokromatska svetloba odbije od tankega filma:

∆ = 2d ,

kje d- debelina filma;

n– lomni količnik filma;

jaz i– lomni kot svetlobe v filmu.

Polmer svetlobe Newtonovi obroči v odbiti svetlobi:

r k = , (k = 1, 2, 3, …),

kje k– številka zvonjenja;

R– polmer zakrivljenosti.

Polmer Newtonovih temnih obročev v odbiti svetlobi:

r k = .

Kot odklona žarkov φ, ki ustreza maksimumu (svetlobni pas) med uklonom na eni reži, se določi iz pogoja

a sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

kje a– širina reže;

k– zaporedno številko maksimuma.

Kotičekφodklon žarkov, ki ustreza maksimumu (svetlobni pas) med uklonom svetlobe na uklonski mreži, se določi iz pogoja

d sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

kje d– periodo uklonske rešetke.

Ločljivost uklonske rešetke:

R= = kN,

kjer je ∆λ najmanjša razlika v valovnih dolžinah dveh sosednjih spektralnih linij (λ in λ+∆λ), pri kateri so te črte vidne ločeno v spektru, dobljenem s to rešetko;

n– skupno število rež rešetke.

Wulf-Braggova formula:

2d greh θ = κ λ,

kjer je θ pašni kot (kot med smerjo vzporednega rentgenskega žarka, ki vpada na kristal, in atomsko ravnino v kristalu);

d je razdalja med atomskimi ravninami kristala.

Brewsterjev zakon:

tan ε B=n 21 ,

kjer je ε B– vpadni kot, pri katerem je žarek, ki se odbije od dielektrika, popolnoma polariziran;

n 21 – relativni lomni količnik drugega medija glede na prvega.

Malusov zakon:

jaz = jaz 0 cos 2 α ,

kje jaz 0 – jakost ravninsko polarizirane svetlobe, ki vpada na analizator;

jaz– jakost te svetlobe po analizatorju;

α je kot med smerjo nihanja električnega vektorja vpadne svetlobe, ki vpada na analizator, in ravnino prepustnosti analizatorja (če nihanja električnega vektorja vpadne svetlobe sovpadajo s to ravnino, potem analizator prepušča to svetlobo brez oslabitev).

Kot zasuka ravnine polarizacije monokromatske svetlobe pri prehodu skozi optično aktivno snov:

a) φ = αd(v trdnih snoveh),

kje α – rotacijska konstanta;

d– dolžina prepotovane poti svetlobe v optično aktivni snovi;

b) φ = [α]pd(v raztopinah),

kje [α] – specifično rotacijo;

str– masna koncentracija optično aktivne snovi v raztopini.

Rahel pritisk pri normalnem vpadu na površino:

,

kje Njo– energijska osvetlitev (obsevanje);

ω – volumetrična gostota energije sevanja;

ρ – odbojni koeficient.

4.2. Koncepti in definicije oddelka "optika".

? Motnje valov. Skladnost. Maksimalni in minimalni pogoji.

Interferenca je medsebojna krepitev ali oslabitev koherentnih valov, ko se superponirajo (koherentni - imajo enako dolžino in konstantno fazno razliko na mestu njihove superpozicije).

Največ ;

najmanj .

Tukaj je D razlika optične poti, l je valovna dolžina.

? Huygens-Fresnelov princip. Pojav difrakcije. Režna difrakcija, uklonska rešetka.

Huygens-Fresnelov princip - vsaka točka v prostoru, ki jo v danem trenutku doseže razširjajoči val, postane vir elementarnih koherentnih valov. Difrakcija je upogibanje valov okoli ovir, če je velikost ovire primerljiva z valovno dolžino, odstopanje svetlobe od premočrtnega širjenja. Difrakcija v režah je v vzporednih žarkih. Ravni val pade na oviro; uklonski vzorec se opazuje na zaslonu, ki se nahaja v goriščni ravnini zbirne leče, nameščene na poti svetlobe, ki prehaja skozi oviro. Zaslon ustvari "difrakcijsko sliko" oddaljenega vira svetlobe. Uklonska mreža je sistem vzporednih rež enake širine, ki ležijo v isti ravnini in so ločeni z neprozornimi prostori enake širine. Uporablja se za razdelitev svetlobe v spekter in merjenje valovnih dolžin.

? Razpršitev svetlobe (normalna in nenormalna). Bouguerjev zakon. Pomen absorpcijskega koeficienta.

Disperzija svetlobe - odvisnost absolutnega lomnega količnika snovi n na frekvenco ν (ali valovno dolžino λ) svetlobe, ki vpada na snov (). Hitrost svetlobe v vakuumu ni odvisna od frekvence, zato v vakuumu ni disperzije. Normalna disperzija svetlobe – če lomni količnik z naraščanjem frekvence monotono narašča (z naraščanjem valovne dolžine pada). Anomalna disperzija – če se lomni količnik z naraščajočo frekvenco monotono zmanjšuje (narašča z naraščajočo valovno dolžino). Posledica disperzije je razgradnja bele svetlobe v spekter, ko se ta lomi v snovi. Absorpcijo svetlobe v snovi opisuje Bouguerjev zakon

jaz 0 in jaz– jakost ravnega monokromatskega svetlobnega vala na vhodu in izhodu iz plasti absorpcijske snovi debeline X, a je absorpcijski koeficient, odvisen od valovne dolžine in je različen za različne snovi.

? Kako se imenuje polarizacija valov? Pridobivanje polariziranih valov. Malusov zakon.

Polarizacija je sestavljena iz pridobivanja prednostne usmeritve smeri nihanj v prečnih valovih. Urejenost usmerjenosti vektorjev električne in magnetne poljske jakosti elektromagnetnega valovanja v ravnini, ki je pravokotna na smer širjenja svetlobnega žarka. E , B - pravokotno. Naravno svetlobo lahko s polarizatorji pretvorimo v polarizirano svetlobo. Malusov zakon ( jaz 0 – skozi analizator, jaz– skozi polarizator).

? Dualizem delcev in valov. De Brogliejeva hipoteza.

V zgodovini sta bili postavljeni dve teoriji o svetlobi: korpuskularna - svetleča telesa oddajajo korpuskularne delce (dokaz - sevanje črnega telesa, fotoelektrični učinek) in valovna - svetleče telo povzroča elastična nihanja v okolju, ki se širijo kot zvočni valovi v zraku (dokaz - pojavi interference, difrakcije, polarizacije svetlobe). Brogliejeva hipoteza - lastnosti valovanja delcev niso lastne le fotonom, ampak tudi delcem, ki imajo maso mirovanja - elektronom, protonom, nevtronom, atomom, molekulam. ? Foto učinek. Einsteinova enačba.

Fotoelektrični učinek je pojav interakcije svetlobe s snovjo, zaradi česar se energija fotonov prenese na elektrone snovi. Enačba: (energija fotona se porabi za delovno funkcijo elektrona in prenos kinetične energije elektronu)

Vse vibracije predstavljajo gibanje s spremenljivim pospeškom. Odklon, hitrost in pospešek so v tem primeru funkcije časa. Za vsa nihanja je značilna periodičnost, tj. gibanje se po pretečenem času ponovi T, ki se imenuje trajanje ali obdobje nihanja. Nihanja nastanejo, ko se sistemu, ki lahko niha, posreduje energija.
Treba je razlikovati:

Nedušena nihanja

Nedušena nihanja se pojavljajo s konstantno amplitudo Y m. Predpostavlja se, da se v tem primeru dovedena energija ohrani. Približno takšni pogoji nastanejo pri majhnih izgubah energije in kratkem času opazovanja. Da bi dosegli resnično nedušena nihanja, je potrebno redno dopolnjevati izgubljeno energijo.

Dušena nihanja

Dušena nihanja postopoma zmanjšujejo svojo amplitudo Y m. Brez dopolnjevanja energije morebitne vibracije zamrejo.

Pomembne lastnosti vibracij

Harmonična nihanja nastanejo po zakonu:

x = A cos(ω t + φ 0),

kje x– odmik delca iz ravnotežnega položaja, A– amplituda nihanj, ω – krožna frekvenca, φ 0 – začetna faza, t- čas.

Obdobje nihanja T = .

Hitrost nihajočega delca:

υ = = – Aω sin(ω t + φ 0),

pospeševanje a = = –Aω 2 cos (ω t + φ 0).

Kinetična energija delca, ki se niha: E k = =
greh 2 (ω t+ φ 0).

Potencialna energija:

E n=
cos 2 (ω t + φ 0).

Obdobja nihanja nihala

– pomlad T =
,

kje m– masa tovora, k– koeficient togosti vzmeti,

– matematični T = ,

kje l– dolžina vzmetenja, g– pospeševanje prostega pada,

– fizično T =
,

kje jaz– vztrajnostni moment nihala glede na os, ki gre skozi točko obešanja, m– masa nihala, l– razdalja od točke vzmetenja do središča mase.

Zmanjšano dolžino fizikalnega nihala dobimo iz pogoja: l np = ,

Oznake so enake kot pri fizičnem nihalu.

Če seštejemo dve harmonični nihanji iste frekvence in ene smeri, dobimo harmonično nihanje iste frekvence z amplitudo:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(φ 2 – φ 1)

in začetna faza: φ = arctan
.

kje A 1 , A 2 – amplitude, φ 1, φ 2 – začetne faze zloženih nihanj.

Pot dobljenega gibanja pri dodajanju medsebojno pravokotnih nihanj iste frekvence:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = sin 2 (φ 2 – φ 1).

Dušena nihanja nastanejo po zakonu:

x = A 0 e - β t cos(ω t + φ 0),

kjer je β koeficient dušenja, pomen preostalih parametrov je enak kot pri harmoničnih nihanjih, A 0 – začetna amplituda. V trenutku v času t amplituda vibracij:

A = A 0 e - β t .

Logaritemski dekrement dušenja se imenuje:

λ = log
= β T,

kje T– nihajna doba: T = .

Faktor kakovosti oscilacijskega sistema se imenuje:

Enačba ravninskega potujočega vala ima obliko:

l = l 0 cos ω( t ± ),

kje pri– premik nihajoče količine iz ravnotežnega položaja, pri 0 – amplituda, ω – kotna frekvenca, t- čas, X– koordinata, po kateri se valovanje širi, υ – hitrost širjenja valov.

Znak "+" ustreza valu, ki se širi proti osi X, znak "–" ustreza valu, ki se širi vzdolž osi X.

Valovna dolžina se imenuje njena prostorska perioda:

λ = υ T,

kje υ – hitrost širjenja valov, T– periodo širjenja nihanj.

Valovno enačbo lahko zapišemo:

l = l 0 cos 2π (+).

Stoječe valovanje opisuje enačba:

l = (2l 0cos ) cos ω t.

Amplituda stojnega vala je v oklepajih. Točke z največjo amplitudo imenujemo antinodi,

x n = n ,

točke z ničelno amplitudo - vozlišča,

x y = ( n + ) .

Primeri reševanja problemov

Problem 20

Amplituda harmoničnih nihanj je 50 mm, perioda 4 s in začetna faza . a) Zapišite enačbo tega nihanja; b) poiščite odmik nihajne točke od ravnotežne lege pri t=0 in pri t= 1,5 s; c) narišite graf tega gibanja.

rešitev

Enačba nihanja je zapisana kot x = a cos( t+  0).

Glede na pogoj je znana doba nihanja. Preko nje lahko izrazimo krožno frekvenco  = . Preostali parametri so znani:

A) x= 0,05 cos( t + ).

b) Odmik x pri t= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

pri t= 1,5 s

x 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos  = – 0,05 m.

V ) graf funkcije x=0,05cos ( t + ) izgleda takole:

Določimo položaj več točk. Znano X 1 (0) in X 2 (1,5), kot tudi obdobje nihanja. Torej, skozi  t= vrednost 4 s X ponovi in ​​po  t = 2 s spremeni predznak. Med maksimumom in minimumom na sredini je 0.

Problem 21

Konica izvaja harmonično nihanje. Obdobje nihanja je 2 s, amplituda 50 mm, začetna faza je nič. Poiščite hitrost točke v trenutku, ko je njen odmik od ravnotežnega položaja 25 mm.

rešitev

1 način. Zapišemo enačbo nihanja točke:

x= 0,05 cos t, ker  = =.

Iskanje hitrosti v trenutku t:

υ = = – 0,05 cos t.

Najdemo trenutek v času, ko je premik 0,025 m:

0,025 = 0,05 cos t 1 ,

torej cos  t 1 = ,  t 1 = . To vrednost nadomestimo v izraz za hitrost:

υ = – 0,05  sin = – 0,05  = 0,136 m/s.

Metoda 2. Skupna energija nihajnega gibanja:

E =
,

kje A– amplituda,  – krožna frekvenca, m – masa delcev.

V vsakem trenutku je sestavljena iz potencialne in kinetične energije točke

E k = , E n = , Ampak k = m 2, kar pomeni E n =
.

Zapišimo zakon o ohranitvi energije:

= +
,

od tukaj dobimo: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

Problem 22

Amplituda harmoničnih nihanj materialne točke A= 2 cm, skupna energija E= 3∙10 -7 J. Pri kolikšnem odmiku od ravnotežnega položaja deluje sila na nihajno točko F = 2,25∙10 -5 N?

rešitev

Celotna energija točke, ki izvaja harmonična nihanja, je enaka: E =
. (13)

Modul prožnostne sile izražamo z odmikom točk od ravnotežnega položaja x kot sledi:

F = k x (14)

Formula (13) vključuje maso m in krožno frekvenco  ter v (14) – koeficient togosti k. Toda krožna frekvenca je povezana z m in k:

 2 = ,

od tukaj k = m 2 in F = m 2 x. Ob izražanju m 2 iz relacije (13) dobimo: m 2 = , F = x.

Od kod dobimo izraz za premik x: x = .

Zamenjava številskih vrednosti daje:

x =
= 1,5∙10 -2 m = 1,5 cm.

Problem 23

Točka sodeluje pri dveh nihanjih z enakima periodama in začetnima fazama. Amplitude nihanja A 1 = 3 cm in A 2 = 4 cm Poiščite amplitudo nastalega nihanja, če: 1) se nihanja pojavljajo v eno smer; 2) nihanja so med seboj pravokotna.

rešitev

Če se nihanja pojavijo v eni smeri, se amplituda nastalega nihanja določi kot:

kje A 1 in A 2 – amplitude dodanih nihanj,  1 in  2 – začetni fazi. Po pogoju so začetne faze enake, kar pomeni  2 –  1 = 0 in cos 0 = 1.

Zato:

A =
=
= A 1 +A 2 = 7 cm.

Če so nihanja medsebojno pravokotna, bo enačba nastalega gibanja:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

Ker je po pogoju  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, bo enačba zapisana kot:
=0,

oz
=0,

oz
.

Posledično razmerje med x in pri lahko prikažemo na grafu. Graf kaže, da bo rezultat nihanje točke na premici MN. Amplituda tega nihanja je določena kot: =
A

= 5 cm.

Problem 24 T=4 s, logaritemski dekrement dušenja  = 1,6, začetna faza je nič. Premik točke pri t = je enako 4,5 cm 1) Zapišite enačbo tega nihanja; 2) Zgradite graf tega gibanja za dve periodi.

rešitev

Enačba dušenih nihanj z ničelno začetno fazo ima obliko:

x = A 0 e -  t cos2 .

Ni dovolj začetnih vrednosti amplitude za nadomestitev številskih vrednosti A 0 in koeficient slabljenja .

Koeficient slabljenja je mogoče določiti iz razmerja za logaritemski dekrement slabljenja:

 = T.

Tako je  = = = 0,4 s -1 .

Začetno amplitudo lahko določimo z zamenjavo drugega pogoja:

4,5 cm = A 0
cos 2 = A 0
cos = A 0
.

Od tu najdemo:

A 0 = 4,5∙

(cm) = 7,75 cm.

Končna enačba gibanja je:

x = 0,0775
stroški.

Problem 25

Kolikšen je logaritemski dekrement dušenja matematičnega nihala, če je za t = 1 min amplituda nihanj zmanjšana za polovico? Dolžina nihala l = 1 m.

rešitev

Logaritemski dekrement dušenja je mogoče najti iz razmerja: =  T,

kjer je  koeficient slabljenja, T– obdobje nihanja. Naravna krožna frekvenca matematičnega nihala:

 0 =
= 3,13 s -1 .

Koeficient dušenja nihanja lahko določimo iz pogoja: A 0 = A 0 e -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1.

Ker <<  0 , то в формуле  =
lahko zanemarimo v primerjavi z  0 in nihajno obdobje lahko določimo s formulo: T = = 2c.

Zamenjamo  in T v izraz za logaritemski dekrement dušenja in dobimo:

 = T= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232.

Problem 26

Enačba nedušenih nihanj je podana v obliki x= 4 sin600  t cm.

Poiščite odmik oddaljene točke od ravnotežnega položaja l= 75 cm od vira vibracij, skozi t= 0,01 s po začetku nihanja. Hitrost širjenja nihanja υ = 300 m/s.

rešitev

Zapišimo enačbo valovanja, ki se širi iz danega vira: x= 0,04 sin 600 ( t– ).

Najdemo fazo vala v danem času na danem mestu:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5,

sin 4,5 = sin = 1.

Zato premik točke x= 0,04 m, tj. na daljavo l =75 cm od vira v trenutku t= 0,01 s največji premik točke.

Reference

Volkenshtein V.S.. Zbirka nalog za splošni tečaj fizike. – Sankt Peterburg: SpetsLit, 2001.

Saveljev I.V.. Zbirka vprašanj in nalog iz splošne fizike. – M.: Nauka, 1998.

Harmonična nihanja so nihanja, ki se izvajajo po zakonih sinusa in kosinusa. Naslednja slika prikazuje graf sprememb koordinat točke skozi čas glede na kosinusni zakon.

sliko

Amplituda nihanja

Amplituda harmoničnega nihanja je največja vrednost odmika telesa iz njegovega ravnotežnega položaja. Amplituda lahko zavzame različne vrednosti. Odvisno bo od tega, za koliko premaknemo telo v začetnem trenutku iz ravnotežnega položaja.

Amplitudo določajo začetni pogoji, to je energija, ki je bila dana telesu v začetnem trenutku. Ker lahko sinus in kosinus sprejmeta vrednosti v območju od -1 do 1, mora enačba vsebovati faktor Xm, ki izraža amplitudo nihanj. Enačba gibanja za harmonične vibracije:

x = Xm*cos(ω0*t).

Obdobje nihanja

Perioda nihanja je čas, ki je potreben za popolno nihanje. Perioda nihanja je označena s črko T. Merske enote periode ustrezajo časovnim enotam. Se pravi, v SI so to sekunde.

Frekvenca nihanja je število nihajev, izvedenih v časovni enoti. Frekvenca nihanja je označena s črko ν. Nihajno frekvenco lahko izrazimo z nihajno periodo.

ν = 1/T.

Frekvenčne enote so v SI 1/s. Ta merska enota se imenuje Hertz. Število nihanj v času 2*pi sekund bo enako:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Frekvenca nihanja

To količino imenujemo ciklična frekvenca nihanj. V neki literaturi se pojavlja ime krožna frekvenca. Lastna frekvenca nihajnega sistema je frekvenca prostih nihanj.

Frekvenca lastnih nihanj se izračuna po formuli:

Frekvenca lastnih nihanj je odvisna od lastnosti materiala in mase bremena. Večja kot je togost vzmeti, večja je frekvenca lastnih vibracij. Večja kot je masa bremena, manjša je frekvenca lastnih nihanj.

Ta dva zaključka sta očitna. Trša kot je vzmet, večji pospešek bo dala telesu, ko bo sistem izginil iz ravnovesja. Večja kot je masa telesa, počasneje se bo spreminjala hitrost tega telesa.

Perioda prostega nihanja:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Omeniti velja, da pri majhnih kotih odklona obdobje nihanja telesa na vzmeti in obdobje nihanja nihala ne bo odvisno od amplitude nihanj.

Zapišimo enačbi za periodo in frekvenco prostih nihanj matematičnega nihala.

potem bo obdobje enako

T = 2*pi*√(l/g).

Ta formula bo veljavna samo za majhne odklonske kote. Iz formule vidimo, da se nihajna doba povečuje z večanjem dolžine niti nihala. Daljša kot je dolžina, počasneje bo telo vibriralo.

Obdobje nihanja sploh ni odvisno od mase bremena. Je pa odvisno od pospeška prostega pada. Ko se g zmanjša, se bo nihajna doba povečala. Ta lastnost se pogosto uporablja v praksi. Na primer za merjenje natančne vrednosti prostega pospeška.