Integracija racionalnih ulomkov z metodo nedoločenih koeficientov. Integriranje racionalnih ulomkov

»Matematik tako kot umetnik ali pesnik ustvarja vzorce. In če so njegovi vzorci stabilnejši, je to samo zato, ker so sestavljeni iz idej ... Vzorci matematika morajo biti tako kot vzorci umetnika ali pesnika lepi; Ideje, tako kot barve ali besede, morajo ustrezati druga drugi. Lepota je prvi pogoj: na svetu ni mesta za grdo matematiko».

G.H.Hardy

V prvem poglavju je bilo ugotovljeno, da obstajajo protiodvodi dokaj preprostih funkcij, ki jih ni več mogoče izraziti z elementarnimi funkcijami. V zvezi s tem pridobijo tisti razredi funkcij, za katere lahko z gotovostjo rečemo, da so njihovi antiderivati ​​elementarne funkcije, velik praktični pomen. Ta razred funkcij vključuje racionalne funkcije, ki predstavlja razmerje dveh algebraičnih polinomov. Številne težave vodijo do integracije racionalnih ulomkov. Zato je zelo pomembno, da lahko takšne funkcije integriramo.

2.1.1. Ulomke racionalne funkcije

Racionalni ulomek(oz frakcijska racionalna funkcija) je relacija dveh algebraičnih polinomov:

kjer in sta polinoma.

Naj vas spomnimo, da polinom (polinom, celotno racionalno funkcijo) nth stopnjo imenujemo funkcija oblike

kje – realna števila. na primer

– polinom prve stopnje;

– polinom četrte stopnje itd.

Racionalni ulomek (2.1.1) imenujemo pravilno, če je stopnja nižja od stopnje , tj. n<m, sicer se ulomek imenuje narobe.

Vsak nepravilni ulomek lahko predstavimo kot vsoto polinoma (celo število) in pravega ulomka (ulomek). Ločevanje celega in ulomka nepravilnega ulomka lahko izvedemo po pravilu za deljenje polinomov z »votilom«.

Primer 2.1.1. Določite cele in ulomke naslednjih nepravilnih racionalnih ulomkov:

A) , b) .

rešitev . a) Z algoritmom deljenja »kota« dobimo

Tako dobimo

.

b) Tudi tukaj uporabimo algoritem deljenja »kota«:

Kot rezultat dobimo

.

Naj povzamemo. V splošnem primeru lahko nedoločen integral racionalnega ulomka predstavimo kot vsoto integralov polinoma in pravega racionalnega ulomka. Iskanje protiodvodov polinomov ni težko. Zato bomo v nadaljevanju obravnavali predvsem prave racionalne ulomke.

2.1.2. Najenostavnejši racionalni ulomki in njihova integracija

Med pravimi racionalnimi ulomki obstajajo štiri vrste, ki jih uvrščamo v najpreprostejši (elementarni) racionalni ulomki:

3) ,

4) ,

kje je celo število, , tj. kvadratni trinom nima pravih korenin.

Integracija preprostih ulomkov tipa 1 in tipa 2 ne predstavlja večjih težav:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Oglejmo si zdaj integracijo enostavnih ulomkov 3. vrste, vendar ne bomo obravnavali ulomkov 4. vrste.

Začnimo z integrali oblike

.

Ta integral se običajno izračuna z izolacijo popolnega kvadrata imenovalca. Rezultat je integral tabele naslednje oblike

oz .

Primer 2.1.2. Poišči integrale:

A) , b) .

rešitev . a) Izberite celoten kvadrat iz kvadratnega trinoma:

Od tu najdemo

b) Z izolacijo celotnega kvadrata iz kvadratnega trinoma dobimo:

torej

.

Najti integral

lahko izolirate odvod imenovalca v števcu in razširite integral v vsoto dveh integralov: prvega z zamenjavo pride do videza

,

in drugi - tistemu, ki je obravnavan zgoraj.

Primer 2.1.3. Poišči integrale:

.

rešitev . Upoštevajte to . Izločimo izpeljanko imenovalca v števcu:

Prvi integral se izračuna s substitucijo :

Pri drugem integralu izberemo popolni kvadrat v imenovalcu

Končno dobimo

2.1.3. Pravilno racionalno širjenje ulomkov
za vsoto enostavnih ulomkov

Vsak pravi racionalni ulomek lahko na edinstven način predstavimo kot vsoto preprostih ulomkov. Da bi to naredili, je treba imenovalec faktorizirati. Iz višje algebre je znano, da vsak polinom z realnimi koeficienti

2., 5.
,

3.
, 6.
.

V integralih 1-3 as u sprejeti . Potem, po n- z večkratno uporabo formule (19) pridemo do enega od tabelnih integralov

,
,
.

V integralih 4-6 pri diferenciranju transcendentni faktor poenostavimo
,
oz
, ki ga je treba jemati kot u.

Izračunajte naslednje integrale.

Primer 7.

Primer 8.

Zmanjšanje integralov nase

Če je integrand
ima obliko:

,
,
in tako naprej,

potem po dvakratni integraciji po delih dobimo izraz, ki vsebuje prvotni integral :

,

kje
- neka konstanta.

Rešitev nastale enačbe za , dobimo formulo za izračun prvotnega integrala:

.

Ta primer uporabe metode integracije po delih se imenuje " prinaša integral k sebi».

Primer 9. Izračunaj integral
.

Na desni strani je originalni integral . Če ga premaknemo na levo stran, dobimo:

.

Primer 10. Izračunaj integral
.

4.5. Integracija najenostavnejših pravih racionalnih ulomkov

Opredelitev.Najenostavnejši pravi ulomki jaz , II in III vrste Naslednji ulomki se imenujejo:

jaz. ;

II.
; (
- pozitivno celo število);

III.
;
.

(korenine imenovalca so kompleksne, to je:

jaz.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Razmislimo o integralih enostavnih ulomkov.
Števec ulomka transformiramo tako, da izoliramo člen v števcu

, enako odvodu imenovalca.

Oglejmo si prvega od dveh dobljenih integralov in ga spremenimo:

V drugem integralu popolnemu kvadratu dodamo imenovalec:

=
+
. (22)

Končno je integral ulomka tretje vrste enak:

Tako je integral najpreprostejših ulomkov tipa I izražen z logaritmi, tipa II - z racionalnimi funkcijami, tipa III - z logaritmi in arktangensi.

4.6.Integracija ulomkov-racionalnih funkcij

Eden od razredov funkcij, ki imajo integral izražen z elementarnimi funkcijami, je razred algebrskih racionalnih funkcij, to je funkcij, ki izhajajo iz končnega števila algebrskih operacij na argumentu.
Vsaka racionalna funkcija
lahko predstavimo kot razmerje dveh polinomov
:

. (23)

in

Predpostavili bomo, da polinomi nimajo skupnih korenin. pravilno Ulomek oblike (23) se imenuje m< n, če je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca, tj. narobe.

. drugače -

, (24)

kje
Če je ulomek nepravi, potem z deljenjem števca z imenovalcem (po pravilu za deljenje polinomov) ulomek predstavimo kot vsoto polinoma in pravega ulomka: - polinom,
- pravi ulomek in stopnja polinoma n-1).

- ne višje od stopnje (

Primer.

Ker je integracija polinoma reducirana na vsoto tabeliranih integralov potenčne funkcije, je glavna težava pri integraciji racionalnih ulomkov v integraciji pravih racionalnih ulomkov. V algebri je bilo dokazano, da vsak pravi ulomek razgradi v vsoto zgoraj naštetega praživali
.

ulomki, katerih obliko določajo koreni imenovalca Razmislimo o treh posebnih primerih. Tu in naprej bomo predpostavili, da je koeficient
na najvišji stopnji imenovalca enako ena=1, to je .

zmanjšan polinom Primer 1.
Koreni imenovalca, torej koreni
enačbe

=0, so veljavni in različni. Nato predstavimo imenovalec kot produkt linearnih faktorjev:

, (26)

kje
in pravi ulomek se razgradi na najpreprostejše ulomke I-gotipa:

– nekatera konstantna števila, ki jih najdemo z metodo nedoločenih koeficientov.

Za to potrebujete:

1. Desno stran razširitve (26) pripeljemo na skupni imenovalec.
.

3. Reši dobljeni sistem in poišči nedoločene koeficiente
.

Potem bo integral frakcijsko-racionalne funkcije (26) enak vsoti integralov najpreprostejših ulomkov I-tipa, izračunanih po formuli (20).

- ne višje od stopnje ( Izračunaj integral
.

rešitev. Faktorizirajmo imenovalec z uporabo Vietovega izreka:

Nato se funkcija integranda razgradi na vsoto enostavnih ulomkov:

.

X:

Najdemo sistem treh enačb
X na levi in ​​desni strani:

.

Naj navedemo preprostejši način iskanja negotovih koeficientov, imenovan metoda delnih vrednosti.

Ob predpostavki enakosti (27)
dobimo
, kje
. Verjeti
dobimo
. Končno, verjeti
dobimo
.

.

Primer 2. Koren imenovalca
so veljavni, vendar je med njimi več (enakih) korenov. Nato imenovalec predstavimo kot zmnožek linearnih faktorjev, vključenih v zmnožek, do te mere, da je množina ustreznega korena:

kje
.

Pravi ulomek vsota ulomkov vrste I in II bo razčlenjena. Naj npr. - koren imenovalca množice k, in vsi ostali ( n- k) korenine so različne.

Nato bo razširitev izgledala takole:

Podobno, če obstajajo drugi več korenov. Za ne-kratne korene razširitev (28) vključuje najpreprostejše ulomke prve vrste.

Primer. Izračunaj integral
.

rešitev. Predstavljajmo si ulomek kot vsoto najpreprostejših ulomkov prve in druge vrste z nedoločenimi koeficienti:

.

Desno stran spravimo na skupni imenovalec in izenačimo polinome v števcih leve in desne strani:

Na desni strani predstavljamo podobne z enakimi stopnjami X:

Najdemo sistem štirih enačb
lahko predstavimo kot razmerje dveh polinomov . Da bi to naredili, izenačimo koeficiente pri enakih potencah X na levi in ​​desni strani

.

Primer 3. Med koreni imenovalca
obstajajo kompleksne enojne korenine. To pomeni, da razširitev imenovalca vključuje faktorje druge stopnje
, ki jih ni mogoče razstaviti na prave linearne faktorje in se ne ponavljajo.

Potem bo pri razgradnji ulomka vsak tak faktor ustrezal najpreprostejšemu ulomku tipa III. Linearni faktorji ustrezajo najpreprostejšim ulomkom vrst I in II.

Primer. Izračunaj integral
.

rešitev.
.

.

.

Integracija racionalnih funkcij Ulomek - racionalna funkcija Najenostavnejši racionalni ulomki Razstavljanje racionalnega ulomka na enostavne ulomke Integracija enostavnih ulomkov Splošno pravilo za integracijo racionalnih ulomkov

polinom stopnje n. Ulomek - racionalna funkcija Ulomek - racionalna funkcija je funkcija, ki je enaka razmerju dveh polinomov: Racionalni ulomek se imenuje pravi, če je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca, to je m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Ulomek – racionalna funkcija Zmanjšaj nepravilni ulomek v pravilno obliko: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Najenostavnejši racionalni ulomki Pravilni racionalni ulomki oblike: Imenujejo se najenostavnejši racionalni ulomki vrst. sekira A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Razčlenitev racionalnega ulomka na enostavne ulomke Izrek: Vsak pravi racionalni ulomek, katerega imenovalec je faktoriziran: lahko poleg tega na edinstven način predstavimo v obliki vsote enostavnih ulomkov: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Razgradnja racionalnega ulomka na enostavne ulomke Razložimo formulacijo izreka na naslednjih primerih: Za iskanje negotovih koeficientov A, B, C, D... uporabljamo dve metodi: metodo primerjanja koeficientov in metodo primerjanja koeficientov. delnih vrednosti spremenljivke. Oglejmo si prvo metodo na primeru. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x)

Razstavljanje racionalnega ulomka na enostavne ulomke Ulomek predstavimo kot vsoto enostavnih ulomkov: Najpreprostejše ulomke spravimo na skupni imenovalec Izenačimo števce dobljenega in prvotnega ulomka Izenačimo koeficiente pri enakih potencah x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integracija najpreprostejših ulomkov Poiščimo integrale najpreprostejših racionalnih ulomkov: Oglejmo si integracijo ulomkov tipa 3 na primeru. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integracija enostavnih ulomkovdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Integracija enostavnih ulomkov Integral te vrste z uporabo substitucije: se zmanjša na vsoto dveh integralov: Prvi integral se izračuna tako, da se pod diferencialni predznak uvede t. Drugi integral se izračuna z uporabo rekurenčne formule: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk pri dt N pri dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integracija enostavnih ulomkov a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Splošno pravilo za integracijo racionalnih ulomkov Če je ulomek nepravilen, ga predstavite kot vsoto polinoma in pravega ulomka. Ko faktoriziramo imenovalec pravilnega racionalnega ulomka, ga predstavimo kot vsoto preprostih ulomkov z nedoločenimi koeficienti z metodo primerjave koeficientov ali z metodo delnih vrednosti spremenljivke. Integrirajte polinom in dobljeno vsoto enostavnih ulomkov.

Primer Zapišimo ulomek v pravilno obliko. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x

Primer Faktorizirajmo imenovalec pravega ulomka. Predstavimo ulomek kot vsoto enostavnih ulomkov. Poiščimo nedoločene koeficiente z metodo delnih vrednosti spremenljivke xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Primer dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Gradivo, predstavljeno v tej temi, temelji na informacijah, predstavljenih v temi "Racionalni ulomki. Razgradnja racionalnih ulomkov na osnovne (preproste) ulomke". Toplo priporočam, da vsaj preletite to temo, preden nadaljujete z branjem tega gradiva. Poleg tega bomo potrebovali tabelo nedoločenih integralov.

Naj vas spomnim na par izrazov. O njih so razpravljali v ustrezni temi, zato se bom tukaj omejil na kratko formulacijo.

Razmerje dveh polinomov $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ imenujemo racionalna funkcija ali racionalni ulomek. Racionalni ulomek se imenuje pravilno, če $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется narobe.

Elementarni (preprosti) racionalni ulomki so racionalni ulomki štirih vrst:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Opomba (zaželena za popolnejše razumevanje besedila): pokaži\skrij

Zakaj je potreben pogoj $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Na primer, za izraz $x^2+5x+10$ dobimo: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Ker je $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Mimogrede, za to preverjanje sploh ni potrebno, da je koeficient $x^2$ enak 1. Na primer, za $5x^2+7x-3=0$ dobimo: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 $. Ker je $D > 0$, je izraz $5x^2+7x-3$ faktorizirajoč.

Najdemo lahko primere racionalnih ulomkov (pravilnih in nepravilnih), pa tudi primere razgradnje racionalnega ulomka na elementarne. Tu nas bodo zanimala le vprašanja njihove integracije. Začnimo z integracijo elementarnih ulomkov. Torej je vsako od štirih zgornjih vrst elementarnih ulomkov enostavno integrirati z uporabo spodnjih formul. Naj vas spomnim, da se pri integraciji ulomkov vrst (2) in (4) predpostavlja $n=2,3,4,\ldots$. Formuli (3) in (4) zahtevata izpolnitev pogoja $p^2-4q< 0$.

\begin(enačba) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(enačba) \begin(enačba) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(enačba) \begin(enačba) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(enačba)

Za $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ se izvede zamenjava $t=x+\frac(p)(2)$, po kateri je dobljeni interval razdeljen na dvoje. Prvi bo izračunan z vnosom pod diferencialno oznako, drugi pa bo imel obliko $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ta integral je vzet z uporabo povratne relacije

\begin(enačba) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\konec(enačba)

Izračun takega integrala je obravnavan v primeru št. 7 (glej tretji del).

Shema za izračun integralov racionalnih funkcij (racionalnih ulomkov):

1. Če je integrand elementaren, potem uporabimo formule (1)-(4).
2. Če integrand ni elementaren, ga predstavite kot vsoto elementarnih ulomkov in nato integrirajte z uporabo formul (1)-(4).

Zgornji algoritem za integracijo racionalnih ulomkov ima nesporno prednost - je univerzalen. Tisti. z uporabo tega algoritma lahko integrirate katerikoli racionalni ulomek. Zato so skoraj vse spremembe spremenljivk v nedoločenem integralu (Euler, Chebyshev, univerzalna trigonometrična substitucija) narejene tako, da po tej spremembi dobimo racionalni ulomek pod intervalom. In nato uporabi algoritem za to. Analizirali bomo neposredno uporabo tega algoritma z uporabo primerov, potem ko bomo naredili majhno opombo.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Načeloma je ta integral enostavno dobiti brez mehanske uporabe formule. Če konstanto $7$ izvzamemo iz predznaka integrala in upoštevamo, da je $dx=d(x+9)$, dobimo:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Za podrobnejše informacije priporočam ogled teme. Podrobno pojasnjuje, kako se taki integrali rešujejo. Mimogrede, formula je dokazana z enakimi transformacijami, kot so bile uporabljene v tem odstavku pri "ročnem reševanju".

2) Ponovno obstajata dva načina: uporabite že pripravljeno formulo ali pa brez nje. Če uporabite formulo, morate upoštevati, da bo treba koeficient pred $x$ (številko 4) odstraniti. Če želite to narediti, preprosto vzemimo te štiri iz oklepajev:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\levo(4\levo(x+\frac(19)(4)\desno)\desno)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\levo(x+\frac(19)(4)\desno)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\levo(x+\frac(19)(4)\desno)^8). $$

Zdaj je čas, da uporabite formulo:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\desno)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\levo(x+\frac(19)(4) \desno)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\levo(x+\frac(19)(4) \desno)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \levo(x+\frac(19)(4) \desno )^7)+C. $$

Lahko storite brez uporabe formule. In tudi brez vzetja konstante $4$ iz oklepaja. Če upoštevamo, da je $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, dobimo:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Podrobna pojasnila za iskanje takšnih integralov so podana v temi “Integracija s substitucijo (substitucija pod diferencialnim predznakom)”.

3) Integrirati moramo ulomek $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Ta ulomek ima strukturo $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, kjer je $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Da bi se prepričali, da gre res za elementarni ulomek tretje vrste, morate preveriti, ali je izpolnjen pogoj $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Rešimo isti primer, vendar brez uporabe že pripravljene formule. Poskusimo izolirati izpeljanko imenovalca v števcu. Kaj to pomeni? Vemo, da je $(x^2+10x+34)"=2x+10$. To je izraz $2x+10$, ki ga moramo izolirati v števcu. Zaenkrat števec vsebuje samo $4x+7$, vendar to ne bo trajalo dolgo, uporabimo naslednjo transformacijo za števec:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Zdaj se zahtevani izraz $2x+10$ pojavi v števcu. In naš integral lahko prepišemo na naslednji način:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Razdelimo integrand na dvoje. No, in v skladu s tem je tudi sam integral "razcepljen":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \desno)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Najprej se pogovorimo o prvem integralu, tj. približno $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Ker $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, potem števec integranda vsebuje diferencial imenovalca. Na kratko, namesto izraza $( 2x+10)dx$ zapišemo $d(x^2+10x+34)$.

Zdaj pa povejmo nekaj besed o drugem integralu. Izberimo celoten kvadrat v imenovalcu: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Poleg tega upoštevamo $dx=d(x+5)$. Sedaj lahko vsoto integralov, ki smo jo dobili prej, prepišemo v nekoliko drugačni obliki:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Če v prvem integralu naredimo substitucijo $u=x^2+10x+34$, bo imel obliko $\int\frac(du)(u)$ in ga lahko dobimo s preprosto uporabo druge formule iz . Kar zadeva drugi integral, je zanj izvedljiva sprememba $u=x+5$, po kateri bo imel obliko $\int\frac(du)(u^2+9)$. To je najčistejša enajsta formula iz tabele nedoločenih integralov. Torej, če se vrnemo k vsoti integralov, imamo:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Dobili smo enak odgovor kot pri uporabi formule, kar, strogo gledano, ni presenetljivo. Na splošno je formula dokazana z enakimi metodami, kot smo jih uporabili za iskanje tega integrala. Verjamem, da bo pozoren bralec tukaj morda imel eno vprašanje, zato ga bom formuliral:

Vprašanje št. 1

Če na integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ uporabimo drugo formulo iz tabele nedoločenih integralov, dobimo naslednje:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Zakaj v rešitvi ni bilo modula?

Odgovor na vprašanje #1

Vprašanje je povsem naravno. Modul je manjkal samo zato, ker je izraz $x^2+10x+34$ za katerikoli $x\in R$ večji od nič. To je zelo enostavno prikazati na več načinov. Na primer, ker $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ in $(x+5)^2 ≥ 0$, potem je $(x+5)^2+9 > 0$ . Lahko razmišljate drugače, brez uporabe izbire celotnega kvadrata. Ker je $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ za kateri koli $x\in R$ (če je ta logična veriga presenetljiva, vam svetujem, da si ogledate grafično metodo za reševanje kvadratnih neenakosti). V vsakem primeru, ker je $x^2+10x+34 > 0$, potem $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, tj. Namesto modula lahko uporabite običajne oklepaje.

Vse točke primera št. 1 so rešene, preostane le še zapis odgovora.

Odgovori:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Primer št. 2

Poiščite integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Na prvi pogled je integrandski ulomek $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ zelo podoben elementarnemu ulomku tretje vrste, tj. z $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Zdi se, da je edina razlika koeficient $3$ pred $x^2$, vendar ne traja dolgo, da se koeficient odstrani (izloči iz oklepajev). Vendar je ta podobnost očitna. Za ulomek $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ je obvezen pogoj $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Naš koeficient pred $x^2$ ni enak ena, zato preverite pogoj $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, zato lahko izraz $3x^2-5x-2$ faktoriziramo. To pomeni, da ulomek $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ni elementarni ulomek tretje vrste in uporabite $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) na integralno formulo 5x-2)dx$ ni mogoče.

No, če dani racionalni ulomek ni elementarni ulomek, ga je treba predstaviti kot vsoto elementarnih ulomkov in nato integrirati. Skratka, izkoristite pot. Podrobno je napisano, kako razstaviti racionalni ulomek na elementarne. Začnimo z faktorjem imenovalca:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(poravnano) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(poravnano)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\desno)\desno)\cdot (x-2)= 3\cdot\levo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2). $$

Subinterkalni ulomek predstavljamo v tej obliki:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\levo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\levo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2)). $$

Sedaj pa razčlenimo ulomek $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ na elementarne:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\levo(x+\frac(1)(3)\desno))(\levo(x+ \frac(1)(3)\desno)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\levo(x+\frac(1)( 3)\desno). $$

Za iskanje koeficientov $A$ in $B$ obstajata dva standardna načina: metoda nedoločenih koeficientov in metoda substitucije delnih vrednosti. Uporabimo metodo substitucije delne vrednosti, nadomestimo $x=2$ in nato $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\levo(x+\frac(1)(3)\desno).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\levo(2+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \desno)+4=A\levo(-\frac(1)(3)-2\desno)+B\levo (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Ker so bili koeficienti najdeni, ostane le še zapisati končano razširitev:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\levo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Načeloma lahko pustite ta vnos, vendar mi je všeč natančnejša možnost:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\levo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Če se vrnemo k prvotnemu integralu, vanj nadomestimo nastalo razširitev. Nato integral razdelimo na dva in za vsakega uporabimo formulo. Konstante raje takoj postavim zunaj znaka integrala:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\desno)dx=\\ =\int\levo(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\desno)dx+\int\levo(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\desno)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\desno|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Odgovori: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\levo|x+\frac(1)(3)\desno| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Primer št. 3

Poiščite integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Integrirati moramo ulomek $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. V števcu je polinom druge stopnje, v imenovalcu pa polinom tretje stopnje. Ker je stopnja polinoma v števcu manjša od stopnje polinoma v imenovalcu, tj. 2 $< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Vse kar moramo storiti je, da dani integral razdelimo na tri in za vsakega uporabimo formulo. Konstante raje takoj postavim zunaj znaka integrala:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\levo(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Odgovori: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Nadaljevanje analize primerov te teme se nahaja v drugem delu.

Racionalna funkcija je ulomek oblike , katerega števec in imenovalec sta polinoma ali produkta polinoma.

Primer 1. 2. korak

.

Nedoločene koeficiente pomnožimo s polinomi, ki niso v tem posameznem ulomku, so pa v drugih nastalih ulomkih:

Odpremo oklepaje in izenačimo števec prvotnega integranda z nastalim izrazom:

V obeh straneh enakosti iščemo člene z enakimi potencami x in iz njih sestavimo sistem enačb:

.

Prekličemo vse x-e in dobimo enakovreden sistem enačb:

.

Tako je končna razširitev integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 2. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Zdaj začnemo iskati negotove koeficiente. Da bi to naredili, izenačimo števec prvotnega ulomka v funkcijskem izrazu s števcem izraza, dobljenega po zmanjševanju vsote ulomkov na skupni imenovalec:

Zdaj morate sestaviti in rešiti sistem enačb. Da bi to naredili, izenačimo koeficiente spremenljivke z ustrezno stopnjo v števcu prvotnega izraza funkcije in podobne koeficiente v izrazu, pridobljenem v prejšnjem koraku:

Rešimo nastali sistem:

Torej, od tukaj

.

Primer 3. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

Začnemo iskati negotove koeficiente. Da bi to naredili, izenačimo števec prvotnega ulomka v funkcijskem izrazu s števcem izraza, dobljenega po zmanjševanju vsote ulomkov na skupni imenovalec:

Kot v prejšnjih primerih sestavimo sistem enačb:

Zmanjšamo x in dobimo enakovredni sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 4. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Iz prejšnjih primerov že vemo, kako enačiti števec prvotnega ulomka z izrazom v števcu, ki ga dobimo, ko ulomek razstavimo na vsoto enostavnih ulomkov in to vsoto spravimo na skupni imenovalec. Zato samo za namene nadzora predstavljamo nastali sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

Primer 5. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

To vsoto neodvisno reduciramo na skupni imenovalec, pri čemer števec tega izraza enačimo s števcem prvotnega ulomka. Rezultat bi moral biti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

.

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 6. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

S to količino izvajamo enaka dejanja kot v prejšnjih primerih. Rezultat bi moral biti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

.

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 7. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Po določenih dejanjih z nastalo količino je treba dobiti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 8. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Naredimo nekaj sprememb v dejanjih, ki so bila že avtomatizirana, da dobimo sistem enačb. Obstaja umetna tehnika, ki v nekaterih primerih pomaga preprečiti nepotrebne izračune. Če vsoto ulomkov spravimo na skupni imenovalec, dobimo in izenačimo števec tega izraza s števcem prvotnega ulomka, dobimo.