Modeli stacionarnih časovnih vrst. Yakovleva A.V. Ekonometrija Linearni modeli stacionarnih časovnih vrst. Značilnosti stacionarnih časovnih vrst in testi stacionarnosti

Opomba: Časovne vrste razumemo kot ekonomske količine, ki so odvisne od časa. V tem primeru se domneva, da je čas diskreten; v nasprotnem primeru govorimo o naključnih procesih in ne o časovnih serijah.

Modeli stacionarnih in nestacionarnih časovnih vrst, njihova identifikacija

Oglejmo si časovno vrsto. Naj časovna vrsta najprej zavzame številčne vrednosti. To je lahko na primer cena štruce kruha v bližnji trgovini ali menjalni tečaj med dolarji in rublji v najbližji menjalnici. Običajno sta v obnašanju časovne serije prepoznana dva glavna trenda – trend in periodična nihanja.

V tem primeru se trend razume kot odvisnost od časa linearne, kvadratne ali druge vrste, ki se razkrije z eno ali drugo metodo glajenja (na primer eksponentno glajenje) ali z izračunom, zlasti z uporabo metoda najmanjših kvadratov. Z drugimi besedami, trend je glavna tendenca časovne serije, očiščena naključnosti.

Časovna vrsta običajno niha okoli trenda, pri čemer so odstopanja od trenda pogosto pravilna. To je pogosto povezano z naravno ali določeno periodičnostjo, kot je sezonska ali tedenska, mesečna ali četrtletna (na primer v skladu z razporedi plačil plač in davkov). Včasih je prisotnost periodičnosti, predvsem pa njeni vzroki, nejasna in naloga ekonometrika je ugotoviti, ali periodičnost res obstaja.

Osnovne metode za ocenjevanje značilnosti časovnih vrst se običajno podrobno obravnavajo v tečajih " Splošna teorija statistike" (glej na primer učbenike), zato jih tukaj ni treba podrobno analizirati. (Vendar o nekaterih sodobne metode ocena dolžine periode in same periodične komponente se bomo pogovorili spodaj.)

Značilnosti časovnih vrst. Za podrobnejšo študijo časovnih vrst se uporabljajo verjetnostni statistični modeli. V tem primeru se časovna vrsta obravnava kot naključni proces (z diskretnim časom); glavne značilnosti so matematično pričakovanje, tj.

Razpršenost, tj.

in avtokorelacijsko funkcijočasovne vrste

tiste. funkcija dveh spremenljivk, ki je enaka korelacijski koeficient med dvema vrednostma časovne serije in .

V teoretičnih in aplikativnih raziskavah se obravnava širok nabor modelov časovnih vrst. Najprej izberimo stacionarni modeli. Imajo skupne distribucijske funkcije za poljubno število časovnih točk in s tem vse zgornje značilnosti časovne vrste se sčasoma ne spreminjajo. Zlasti sta matematično pričakovanje in varianca konstantne vrednosti, je avtokorelacijska funkcija odvisna samo od razlike. Časovne vrste, ki niso stacionarne, imenujemo nestacionarni.

Modeli linearne regresije s homoskedastičnimi in heteroskedastičnimi, neodvisnimi in avtokoreliranimi ostanki. Kot je razvidno iz zgoraj navedenega, je glavna stvar "očistiti" časovno vrsto od naključnih odstopanj, tj. ocena matematičnega pričakovanja. Za razliko od najpreprostejših modelov regresijska analiza o katerih razpravljamo v, se tukaj seveda pojavljajo bolj zapleteni modeli. Varianca je lahko na primer odvisna od časa. Takšni modeli se imenujejo heteroskedastičen, tiste, pri katerih ni odvisnosti od časa, pa so homoskedastične. (Natančneje, ti izrazi se lahko nanašajo ne le na časovno spremenljivko, temveč tudi na druge spremenljivke.)

Komentiraj. Kot je navedeno v "Multivariatni statistični analizi", najpreprostejši model metoda najmanjših kvadratov omogoča zelo široke posplošitve, predvsem na področju sistemov simultanih ekonometričnih enačb za časovne vrste. Za razumevanje ustrezne teorije in algoritmov je potrebno strokovno znanje matrične algebre. Zato napotujemo tiste, ki jih zanima literatura o sistemih ekonometričnih enačb in neposredno o časovnih vrstah, v katerih je veliko zanimanja za spektralno teorijo, t.j. izolacijo signala od šuma in njegovo razgradnjo na harmonike. Naj še enkrat poudarimo, da se za vsakim poglavjem te knjige skriva obsežno področje znanstvenih in aplikativnih raziskav, ki se jim splača posvetiti veliko truda. Vendar smo zaradi prostorske omejenosti knjige prisiljeni narediti povzetek predstavitve.

Sistemi ekonometričnih enačb

Primer avtoregresijskega modela. Kot začetni primer si oglejmo ekonometrični model časovne vrste, ki opisuje rast indeksa cen življenjskih potrebščin (inflacijski indeks). Naj bo rast cen na mesec (za več podrobnosti o tem vprašanju glejte "Ekonometrična analiza inflacije"). Potem je po mnenju nekaterih ekonomistov naravno domnevati, da

(6.1)

kjer je zvišanje cene v prejšnjem mesecu (in je določen koeficient dušenja, ki nakazuje, da se bo rast cene ustavila, če ni zunanjih vplivov), - konstanta (ustreza linearni spremembi vrednosti skozi čas), - a izraz, ki ustreza vplivu denarne emisije (tj. povečanja količine denarja v gospodarstvu države, ki ga izvaja centralna banka) v višini in sorazmerju z izdajo s koeficientom, pri čemer se ta vpliv ne pojavi takoj, ampak po 4 mesecih; Končno je to neizogibna napaka.

Model (1) kljub svoji preprostosti dokazuje marsikaj značilne lastnosti veliko bolj zapleteni ekonometrični modeli. Najprej opozorimo, da so nekatere spremenljivke znotraj modela definirane (izračunane) kot . Imenujejo se endogeni (notranji). Drugi so dani od zunaj (ta eksogeni spremenljivke). Včasih, kot v teoriji nadzora, med eksogene spremenljivke, označite uspelo spremenljivke so tiste, s pomočjo katerih lahko upravitelj pripelje sistem v želeno stanje.

Drugič, v relaciji (1) se pojavijo spremenljivke novih tipov - z zamiki, tj. argumenti v spremenljivkah se ne nanašajo na trenutni trenutek v času, temveč na neke pretekle trenutke.

Tretjič, izdelava ekonometričnega modela tipa (1) nikakor ni rutinska operacija. Na primer, natanko 4-mesečna zamuda v roku, povezanem z izdajo denarja, je posledica dokaj sofisticirane predhodne statistične obdelave. Nadalje, vprašanje odvisnosti ali neodvisnosti količin zahteva študijo. Kot je navedeno zgoraj, je od rešitve tega vprašanja odvisna posebna izvedba postopka. metoda najmanjših kvadratov.

Po drugi strani pa so v modelu (1) le 3 neznani parametri in formulacija metoda najmanjših kvadratov enostavno je napisati:

Problem določljivosti. Predstavljajmo si zdaj model tapa (6.1) s veliko število endogeni in eksogene spremenljivke, z zamiki in zapleteno notranjo strukturo. Na splošno od nikoder ne sledi, da obstaja vsaj ena rešitev za tak sistem. Zato se ne pojavi ena, ampak dve težavi. Ali obstaja vsaj ena rešitev (problem prepoznavnosti)? Če da, kako lahko najdemo najboljšo možno rešitev? (To je problem statističnega ocenjevanja parametrov.)

Tako prva kot druga naloga sta precej težki. Za rešitev obeh problemov je bilo razvitih veliko metod, običajno precej zapletenih, le nekatere imajo znanstveno podlago. Predvsem pogosto uporabljajo statistične ocene, ki niso konsistentne (strogo gledano jih niti ne moremo imenovati ocene).

Naj na kratko opišemo nekaj pogostih tehnik pri delu s sistemi linearnih ekonometričnih enačb.

Sistem linearnih simultanih ekonometričnih enačb. Čisto formalno lahko vse spremenljivke izrazimo preko spremenljivk, ki so odvisne samo od trenutni trenutekčas. Na primer, v primeru enačbe (6.1) je dovolj nastaviti

Potem je primer enačbe videti takole

(6.2)

Omenimo še možnost uporabe regresijskih modelov z spremenljiva struktura z uvedbo navideznih spremenljivk. Te spremenljivke v nekaterih časovnih vrednostih (recimo začetnih) prevzamejo opazne vrednosti, v drugih pa izginejo (postanejo dejansko enake 0). Posledično formalno (matematično) isti model opisuje popolnoma različne odvisnosti.

Posredne, dvostopenjske in tristopenjske metode najmanjših kvadratov. Kot smo že omenili, je bilo razvitih veliko metod za hevristično analizo sistemov ekonometričnih enačb. Zasnovani so za reševanje določenih problemov, ki se pojavijo pri iskanju numeričnih rešitev sistemov enačb.

Eden od problemov je povezan s prisotnostjo a priori omejitev ocenjenih parametrov. Na primer, dohodek gospodinjstva se lahko porabi za potrošnjo ali varčevanje. To pomeni, da je vsota deležev teh dveh vrst stroškov a priori enaka 1. In v sistemu ekonometričnih enačb lahko ti deleži sodelujejo neodvisno. Pojavi se ideja, da bi jih ocenili metoda najmanjših kvadratov, ne da bi bili pozorni na a priori omejitev, in nato prilagodite. Ta pristop se imenuje posreden metoda najmanjših kvadratov.

Dvostopenjski metoda najmanjših kvadratov je sestavljen iz ocenjevanja parametrov posamezne enačbe sistema, namesto da bi upoštevali sistem kot celoto. Hkrati tristopenjski metoda najmanjših kvadratov se uporablja za oceno parametrov sistema simultanih enačb kot celote. Najprej se za vsako enačbo uporabi metoda v dveh korakih, da se ocenijo koeficienti in napake vsake enačbe, nato pa se izdela ocena za kovariančno matriko napak, nato pa se uporabi posplošena metoda za oceno koeficientov celotnega sistema metoda najmanjših kvadratov.

Menedžer in ekonomist ne bi smel postati specialist za sestavljanje in reševanje sistemov ekonometričnih enačb, tudi s pomočjo določenih programski sistemi, vendar se mora zavedati možnosti tega področja ekonometrije, da lahko kompetentno oblikuje nalogo za strokovnjake za ekonometrijo v primeru proizvodne potrebe.

Od ocene trenda (glavne tendence) preidimo na drugo glavno nalogo ekonometrije časovnih vrst - oceno obdobja (cikla).

Pomembne pri analizi in napovedovanju na podlagi časovnih vrst so stacionarne časovne vrste, katerih verjetnostne lastnosti se s časom ne spreminjajo. Časovna vrsta y ( = (1,2,..., p) se imenuje strogo stacionarna, če je skupna porazdelitev verjetnosti n opazovanja y ( ,y 2 , ???,y n enako kot pri opazovanjih na 1+m, na 2+m, ???,U p+T(za vse ", / njih). Lastnosti strogo stacionarnih nizov niso odvisne od časa. Torej je za stacionarni naključni proces značilna časovna nespremenljivost njegovih glavnih verjetnostnih značilnosti, kot sta matematično pričakovanje in disperzija.

Stacionarne serije razumemo kot naključne procese, homogene v času, katerih značilnosti se s časom ne spreminjajo. Značilnosti teh procesov določajo značilnosti procesov in so predmet raziskovanja. Če je te značilnosti (matematično pričakovanje, disperzijo itd.) mogoče najti z določeno stopnjo natančnosti, postane naloga napovedovanja takšnih stacionarnih procesov izjemno preprosta. Hkrati imajo lahko stacionarni procesi največ drugačen značaj dinamika - sprememba enega dela nima izrazitih trendov skozi čas, dinamika drugega dela ima jasno izražen trend v času, ki je lahko tudi zelo kompleksne nelinearne narave. Tako lahko stacionarno skupino vrst dinamike časovnih vrst razdelimo v dve podskupini: 1) preprosto stacionarno; 2) kompleksne stacionarne. Za prvo skupino faktorjev, preprostega stacionarnega tipa, je izpolnjen pogoj časovne nespremenljivosti njihovega matematičnega pričakovanja in drugih značilnosti naključnih procesov. Če se matematično pričakovanje in druge značilnosti verjetnostnega procesa sčasoma spremenijo, potem so takšne serije kompleksne stacionarne.

Modeli stacionarnih in nestacionarnih časovnih vrst

Preprosti stacionarni procesi v zvezi s socialno-ekonomskimi objekti se analizirajo in napovedujejo z uporabo najenostavnejših metod matematična statistika (točkovne in intervalne napovedi dinamika časovnih vrst). Najpogosteje lahko trdimo, da obstaja zakon normalne porazdelitve, zato je treba glavna prizadevanja usmeriti v dokazovanje tega položaja z ustreznimi statističnimi hipotezami in metodami za njihovo testiranje, nato pa - v izračun značilnosti procesa. Če bi bilo mogoče potrditi hipotezo o normalni naravi porazdelitve serije, ki se proučuje, potem najboljša ocena njeno matematično pričakovanje je aritmetična sredina, najboljša ocena disperzije pa je vzorčna disperzija. Poleg tega je tu ustrezen osnovni princip metode vzorčenja - več opazovanj, več boljše ocene modeli.

Kompleksni stacionarni procesi kažejo na prisotnost številnih dejavnikov, ki vplivajo na predmet, katerih kazalniki se sčasoma spreminjajo. Zato je naloga napovedovalca ugotoviti glavne od teh dejavnikov in zgraditi model, ki opisuje vpliv glavnih dejavnikov na objekt napovedi. Če je teh dejavnikov veliko in je iz nekega razloga nemogoče izločiti glavne, menijo, da je čas tak posplošujoč dejavnik in najdejo model razmerja med kazalnikom napovedi in časom. V teh primerih raziskovalec praviloma ne pozna večine osnovnih značilnosti naključnega dinamičnega stacionarnega procesa. Te značilnosti mora najti na podlagi podatkov o opazovanju procesa. Tu se je raziskovalec prisiljen zateči k nekaterim apriornim predpostavkam - domnevati obstoj enega ali drugega zakona porazdelitve verjetnosti, lastnosti procesa in njegovih odnosov, narave dinamike itd. V tem primeru je mogoče najbolj učinkovito uporabiti tisto vejo ekonomske znanosti, ki se imenuje ekonometrija.

Ker statistične lastnosti kompleksnih stacionarnih nizov niso

spremeniti skozi čas, potem je mogoče te lastnosti kopičiti in prepoznati z izračunom nekaterih danih funkcij. Funkcija, ki je bila prvič uporabljena v ta namen, je avtokorelacijsko funkcijo(AKF). Stopnja tesnosti povezave med zaporedji opazovanj časovne vrste p y 2, -,y iu 1+t, y 2+x, ’ Gor+x običajno določeno z uporabo vzorčni korelacijski koeficient g( T). Njegova formula je podana spodaj:

/7-T (/7-T L ^

(l-t)2>, 2 - 5>,

Xp-"shАЪ.

• (6.5)

kjer je m število obdobij, za katere se izračuna avtokorelacijski koeficient (zamik).

Ta koeficient ocenjuje korelacijo med ravnmi iste serije, zato se včasih imenuje avtokorelacijski koeficient. Formula za izračun Avtokorelacijski koeficient 1. reda(pri m = 1) lahko predstavimo kot sledi:

• (6.6)

• 1=2 1=2

Avtokorelacijski koeficient 2. reda določeno s formulo

• (6.8)
• - 2

• 1l 5>n
• (6.9)

Ko se zamik poveča, se število parov vrednosti, iz katerih se izračuna avtokorelacijski koeficient, zmanjša. Za zagotovitev statistične zanesljivosti avtokorelacijskih koeficientov je primerno uporabiti pravilo - največji zamik ne sme biti več str/6. funkcija G( t) se imenuje vzorčna avtokorelacijska funkcija, in njen urnik je korelogram je moj. Oblika vzorčne avtokorelacijske funkcije je tesno povezana z

; y, = " 3

struktura serije.

• 1. Avtokorelacijska funkcija g(t) za "beli šum" pri m > O prav tako tvori stacionarno časovno vrsto s srednjo vrednostjo nič.
• 2. Za stacionarno serijo se ACF hitro zmanjša z naraščanjem m. Ob prisotnosti jasnega trenda postane avtokorelacijska funkcija značilen videz zelo počasi padajoča krivulja.
• 3. V primeru izrazite sezonskosti graf ACF vsebuje tudi "izstopnike" za zamike, ki so večkratniki obdobja sezonskosti, vendar so lahko ti "izstopniki" zastrti zaradi prisotnosti trenda ali velike disperzije naključne komponente.

Če se izkaže, da je avtokorelacijski koeficient prvega reda najvišji, proučevana serija vsebuje samo trend. Če se izkaže, da je najvišji avtokorelacijski koeficient reda m, potem serija vsebuje ciklična nihanja s periodičnostjo t trenutkov v času. Če nobeden od avtokorelacijskih koeficientov ni pomemben, je mogoče podati eno od dveh predpostavk glede strukture te serije: ali serija ne vsebuje trenda in cikličnih nihanj ali pa serija vsebuje izrazit nelinearni trend, ki zahteva dodatno analizo za identifikacijo . Zato je priporočljivo uporabiti avtokorelacijski koeficient in avtokorelacijsko funkcijo za identifikacijo trendne komponente in ciklične (sezonske) komponente v časovni vrsti. Tako je pri preučevanju kompleksnih stacionarnih časovnih vrst glavna naloga ugotoviti in odpraviti avtokorelacijo.

Nestacionarni procesi V nasprotju s stacionarnimi se razlikujejo po tem, da skozi čas spreminjajo vse svoje lastnosti. Poleg tega je lahko ta sprememba tako pomembna, da bo dinamika enega kazalnika odražala razvoj popolnoma različnih procesov. Vsa razmerja in soodvisnosti objekta napovedi se skozi čas spreminjajo. Poleg tega se struktura in smer interakcije med elementi, ki sestavljajo objekt napovedi, spreminja s časom. Odvisno od tega, koliko se prirastki spreminjajo skozi čas VEN), tudi nestacionarne procese lahko razdelimo v dve podskupini: 1) evolucijski procesi; 2) kaotični procesi.

Če prirastki VEN) postopoma naraščajo s časom kot posledica kvantitativnih in kvalitativnih sprememb, ki se pojavljajo v sistemu, katerih odraz je nestacionarna serija, potem lahko te procese imenujemo evolucijski. V tem primeru se razmerje D K(7)/T(? + 7), ki označuje povečanje negotovosti, s časom povečuje. T dinamika - od nič do neskončnosti. V primeru, ko prirastki VEN) nimajo dovolj izrazitega trenda skozi čas in so njihove spremembe kaotične (npr. ob prvem opazovanju VEN) je lahko precej velika v primerjavi s samim indikatorjem U(T)), potem lahko takšne procese pripišemo kaotično. Kaotična narava dinamike se pojavi v primerih, ko bodisi sam proces ni inercialen in se dinamika njegovega razvoja zlahka spremeni pod vplivom zunanjih ali notranjih dejavnikov, ali ko na inercialni proces vplivajo zunanji dejavniki s takšno močjo, da pod njihovim vplivom vpliv "zlomijo" in notranja struktura proces, njegova razmerja in njegova dinamika. Z drugimi besedami, značilna je evolucijska dinamika proces prilagajanja predmet zunanjih in notranjih vplivov, kaotična dinamika pa je pomanjkanje sposobnosti prilagajanja objekta.

Kompleksna narava nestacionarne dinamike določa tudi kompleksnost aparature za modeliranje in napovedovanje te dinamike. Do nedavnega strokovnjaki za socialno-ekonomske napovedi niso bili pozorni na napovedovanje evolucijskih komponent gospodarskega položaja - le v zadnja leta učbeniki o napovedovanju so začeli vključevati ustrezne razdelke. V praksi evolucijski procesi preprosto niso bili identificirani kot posebna skupina, za njihovo analizo in napovedovanje pa so bile uporabljene klasične ekonometrične tehnike, ne da bi razmišljali o pravilnosti takšne uporabe. Prav uporaba napovedovalnega aparata, ki je metodološko nezdružljiv z lastnostmi napovedovalnega predmeta, vodi do resnih napak pri izbiri orodij in znatne disperzije napovedi v praksi napovedovanja socialno-ekonomske dinamike. Za napovedovanje časovnih vrst socioekonomskih indikatorjev evolucijskega tipa je metodološko upravičena uporaba prilagodljive metode napovedovanja. Vprašanja napovedovanja kaotičnih nizov socialno-ekonomske dinamike se trenutno rešujejo z teorija kaosa in teorije katastrofe.

Nato bomo obravnavali metode za napovedovanje kompleksnih stacionarnih in evolucijskih nestacionarnih dinamičnih procesov, ki jih pogosto opazimo v praksi družbeno-ekonomskih raziskav. Za serije omenjenih vrst sta angleška statistika D. Box in W. Jenkins sredi 90. let 20. stoletja. razvit je bil algoritem napovedovanja. Hierarhija Box-Jenkinsovih algoritmov vključuje več algoritmov, najbolj znan in uporabljen med njimi je algoritem AYA1MA. Vgrajen je v skoraj vsak specializiran paket za napovedovanje. V klasični različici LYA1MA niso uporabljene neodvisne spremenljivke. Modeli se zanašajo le na informacije, ki jih vsebuje zgodovina napovedane serije, kar omejuje zmožnosti algoritma. Trenutno se v znanstveni literaturi pogosto omenjajo različice modelov AYA1MA, ki omogoča upoštevanje neodvisnih spremenljivk.

Modeli AYA1MA zanašajo predvsem na avtokorelacijsko strukturo podatkov. V metodologiji AYA1MA ni jasnega modela za napovedovanje te časovne vrste. Samo določeno splošni razred modeli, ki opisujejo časovno vrsto in omogočajo, da nekako izrazimo trenutno vrednost spremenljivke skozi njene prejšnje vrednosti. Nato algoritem AYA1MA, Z nastavitvijo parametrov modelov sam izbere najustreznejši napovedni model. Obstaja cela hierarhija Box-Jenkinsovih modelov. Logično ga je mogoče opredeliti na naslednji način:

AYA(r) + MA(d) -> AYAMA(r, d) AYAMA(r, d)(R, 0 ->

-? AYA1MA(r, d, g)(R, 0 jaz) ... (6.10)

kje AYA(r) - avtoregresivni model reda r MA(d) - model drsečega povprečja d; AYAMA(r, d) - kombinirani model avtoregresije in drsečega povprečja; AYAMA (r, d) (P, O)- model eksponentnega glajenja; AYA1MA(r, d, g) (P, 0 jaz)- modeliranje nestacionarnih evolucijski proces z linearnim trendom.

Prvi trije modeli približujejo dinamiko kompleksnih stacionarnih časovnih vrst, naslednja dva - dinamiko evolucijskih nestacionarnih časovnih vrst. Model velja za sprejemljivega, če so ostanki (večinoma majhni) porazdeljeni naključno in ne vsebujejo uporabne informacije. Če dani model ni zadovoljiv, se postopek ponovi z uporabo novega in izboljšanega modela. Ta iterativni postopek se ponavlja, dokler ne najdemo zadovoljivega modela. Od te točke se dani model lahko uporablja za namene napovedovanja.

V modelu ASMA raven časovne vrste pri je opredeljena kot utežena vsota svojih prejšnjih vrednosti in preostalih vrednosti e g - sedanji in prejšnji. Združuje avtoregresivni model reda r in model drsečega povprečja c. Trend je vključen v LSMA z uporabo serijskega operatorja končne razlike y g Za filtriranje linearnega trenda se uporabljajo razlike 1. reda, za filtriranje paraboličnega trenda se uporabljajo razlike 2. reda itd. Razlika th mora biti v mirovanju. Vrsta modela ASHM, njegova ustreznost dejanskemu procesu in njegove napovedne lastnosti so odvisne od vrstnega reda avtoregresije r in vrstni red drsečega povprečja

Ključna točka modeliranja je postopek identifikacije – utemeljitev vrste modela. V standardni metodi ASMA Identifikacija se spušča v vizualno analizo avtokorelogramov in temelji na načelu ekonomičnosti, po katerem (p + Naročilo ASMA (str, (1 , (Rya, A?, 05). torej identifikacija časovnih vrst je konstrukcija ustreznega modela za številne ostanke, v katerem ostanki predstavljajo "beli šum" in so vsi regresorji pomembni.

Poglejmo nekaj modelov ASMA več podrobnosti. Avtoregresivni model naročilo r izgleda kot

U, = Po + P1 U,-1 + Р 2 Т/- 2 + + Р R U, - R+ e, (* = jaz 2, ..., p), (6.11)

kjer Р 0, р., ..., р - nekatere konstante; G (- raven "belega šuma", ki jo lahko izpustite.

Če proces, ki ga proučujemo pri v trenutku G določajo njegove vrednosti samo v prejšnjem obdobju 7-1, potem dobimo avtoregresivni model prvega reda

uh,=P 0 +P1L-1 + e, (7 = 1,2,..., «), (6.12)

IN modeli drsečega povprečja podana je simulirana vrednost linearna funkcija zaradi motenj (ostankov) na prejšnjih točkah v času. Model drsečega povprečja reda d ima obliko

Y,= e 1 -U 1 e,-1-U 2 e,- 2 - - -U,e,-, (7 = 1,2,..., «), (6.13)

kjer so y r y., ..., y nekatere konstante; e - napake.

Pogosto se uporablja kombinirani model avtoregresije in drsečega povprečja, ki ima obliko

U, = Po + R.L-, + RzYA-2+- + Rru"-r +?1 - U&-1 – U 2^-2 -???- U&-I (6.14)

Možnosti r in

• 1) en parameter (p),če se avtokorelacijska funkcija (ACF) eksponentno zmanjša;
• 2) dva parametra avtoregresije (p),če ima ACF obliko sinusoide ali se eksponentno zmanjšuje;
• 3) en parameter drsečega povprečja (
• 4) dva parametra drsečega povprečja (e), če ima ACF močno izrazite vrednosti na zamikih 1 in 2 in ni korelacije na drugih zamikih.

Prilagodljivo napovedovanje

Pri preučevanju nestacionarnih evolucijskih časovnih vrst se uporablja prilagodljivo napovedovanje. Prilagodljive metode napovedovanja je niz modelov diskontiranja podatkov, ki lahko prilagodijo svojo strukturo in parametre spreminjajočim se razmeram. Pri ocenjevanju parametrov prilagodljivih modelov se pripisujejo opazovanja (nivoji serije). različne teže odvisno od tega, kako močan je njihov vpliv na trenutno raven. To vam omogoča, da upoštevate spremembe v trendu, pa tudi morebitna nihanja, ki kažejo vzorec. Prilagodljive metode napovedovanja predstavljajo izbiro in prilagoditev napovednih modelov na podlagi novo prejetih informacij. Najpogostejši med njimi sta metoda eksponentnega glajenja in metoda Helwigovih harmoničnih uteži.

Metoda eksponentnega glajenja. Njegova posebnost je, da se v postopku izravnave vsakega opazovanja uporabljajo samo vrednosti prejšnjih ravni dinamične serije, vzete z določeno težo. Teža vsakega opazovanja se zmanjšuje, ko se odmika od trenutka, za katerega je določena izravnana vrednost. Zglajena vrednost nivoja serije 5 v času / je določena s formulo

5, = ay, + (1-a)5,_ 1, (6.15)

kjer je 5 vrednost eksponentnega povprečja v času /; 5 / _ 1 - vrednost eksponentnega povprečja v tem trenutku (/- 1); ? - vrednost ekonomskega procesa v določenem trenutku /; a je teža i-te vrednosti dinamične serije (ali parameter glajenja, katerega vrednosti se spreminjajo od nič do ena).

Dosledna uporaba formule (6.15) omogoča izračun eksponentnega povprečja skozi vrednosti vseh ravni dane dinamične serije. Poleg tega se na podlagi formule (6.15) določijo eksponentna povprečja 1. reda, tj. povprečja, pridobljena neposredno z glajenjem začetnih podatkov dinamične serije. V primerih, ko trend po glajenju originalne serije ni jasno definiran, se postopek glajenja ponovi, t.j. izračunajte eksponentna povprečja drugega, tretjega reda itd. z uporabo izrazov (6.16–6.18):

^ 2] = oc?, [,] +(1-a)?, [ 3;
^] = a5, !2] + (1-a)^];
5 1, 1 * 1 = a^* -1] + (1 - a)5^,

kjer je 5^ eksponentno povprečje WHO naročite na točko jaz (k = 1,

2, 3,..., n).

Za linearni model pri = a 0 + a in začetni pogoji so naslednji:

? - a - a2 (1 ~ a) A^O(y) “O“r (y) "Oh"

Eksponentna sredstva prvega in drugega reda za ta model:

5,1" = oh,+ (1 ?- a)5™5.1" = a5|" + (1 - a)5Y

Napoved se izvaja po formuli y *= i 0 + i,/. Poleg tega parametri a 0 in A ( oz. enaka

• (6.19)
• (6.20)

Napaka napovedi je določena s formulo

)/(G-a)[* -4(1 -a) + 5(1 - a) 2 + 2a(4-3a)

/ + 2 a h

kje yu- koren srednje kvadratne napake odstopanja od linearnega trenda.

Metoda harmoničnih uteži. To metodo je razvil poljski statistik Z. Helwig. Je blizu preprosti eksponentni metodi glajenja in uporablja isti princip. Temelji na uteži drsečega indikatorja, vendar uporablja idejo drsečega trenda namesto drsečega povprečja. Ekstrapolacija pro-

ki mu sledi drseči trend, so posamezne točke na lomljeni črti utežene z uporabo harmoničnih uteži, kar omogoča, da se novejšim opazovanjem pripiše več teže. Metoda harmoničnih uteži temelji na naslednjih premisah:

• časovno obdobje, v katerem se preučuje ekonomski proces, mora biti dovolj dolgo, da je mogoče določiti njegove vzorce;
• začetni niz dinamike ne sme imeti nenadnih sprememb

• družbenoekonomski pojav mora imeti inercijo, tj. da pride do bistvene spremembe značilnosti procesa, mora preteči precej časa;
• odstopanja od gibljivega trenda so naključna;
• avtokorelacijska funkcija, izračunana na podlagi zaporednih razlik, bi se morala z naraščanjem / zmanjševati, tj. vpliv kasnejših informacij bi moral biti močnejši na napovedano vrednost kot na začetne informacije.

Za pridobitev natančne napovedi z metodo harmoničnih uteži je treba izpolniti vse zgornje predpogoje za začetno dinamično serijo. Za uporabo te metode je prvotna serija razdeljena na faze Za.Število faz mora biti manjše od števila članov serije n, tj. k Običajno je faza enaka trem do petim nivojem. Za vsako fazo se izračuna linearni trend, tj.

Y t = a,+ V 0" = 1, 2 ,str - Za + 1).

Še več, za /, enako ena, G = 1, 2,..., Za; za / enako dve, Г = 2, 3,..., Za+ 1; za / enako p - k+ 1, r = i - k + ,p - k +2,..., str. Za oceno parametrov A. ( in b š Uporablja se metoda najmanjših kvadratov. S pomočjo prejetih (p - k + 1) enačbe določajo vrednosti gibljivega trenda. V ta namen so te vrednosti poudarjene y (tsu za katere je G = /, so označeni u.^. Naj bodo Pu Nato se ugotovi povprečje u t po formuli

Nato je treba preveriti hipotezo, da odstopanja od gibljivega trenda predstavljajo stacionaren proces. V ta namen se izračuna avtokorelacijska funkcija. Če se vrednosti avtokorelacijske funkcije zmanjšujejo iz obdobja v obdobje, je peti predpogoj te metode izpolnjen. Nato se povečanja izračunajo po formuli

Povprečni prirastek se izračuna po formuli

kjer so C" +| harmonični koeficienti, ki izpolnjujejo pogoje C" +1 > 0 (/ = 1,2, n- 1) in ^С," (= 1.

Izraz (6.25) omogoča, da se poznejšim informacijam pripiše večja teža, saj so prirastki obratno sorazmerni s časom, ki loči prvotno informacijo od poznejše informacije za trenutek Г = str.Če ima začetni podatek težo t 2 = /[n - 1), potem

teža informacije, ki se nanaša na naslednji trenutek v času, je enaka

t,=t 2 - 1--- = --jaz---. (6,26)

3 2 p-2 p- 1 /7-2

IN splošni pogled serija harmoničnih uteži je definirana kot

= T,l--

• (/ = 2, 3, , n 1),
• (6.27)

^ t, +1 =/7 -1. (6,29)

Za pridobitev harmoničnih koeficientov C, ki izpolnjujejo zgornja dva pogoja, harmonične uteži t 1+1 je treba deliti z (p - 1), tj.

uh,= U/ + Yu (6,31)

pod začetnim stanjem U* = Ud,y Ta metoda napovedovanje se uporablja, kadar obstaja zaupanje, da je prihodnji trend opisan z gladko krivuljo, tj. v seriji ni sezonskih ali cikličnih nihanj. Zato je treba pred napovedovanjem razvoja preučevanega predmeta sklepati o stacionarnosti ali nestacionarnosti časovne vrste. Ta položaj je mogoče preveriti s testom Dickey-Fuller. Osnovni proces generiranja, uporabljen v testu, je avtoregresivni proces prvega reda:

y (= t 0 + t ( / + g-y (_ (+ e/? (6,32)

kje t 0, t ( ig so konstantni koeficienti, ki jih je mogoče najti z uporabo najmanjših kvadratov; ? - naključna napaka, ki se morda ne upošteva.

Če je pogoj 0 g 1 izpolnjen, je serija stacionarna. pri g 0 in r> 1, potem preučevana časovna vrsta ni stacionarna.

Cilje statistične analize časovnih vrst je mogoče formulirati na naslednji način:

glede na obstoječo trajektorijo x(1), x(2), …x(N) analizirane časovne vrste x(t) se zahteva:

1) določite, katere od nenaključnih funkcij (ki ustrezajo trendu, sezonskim in cikličnim komponentam) so prisotne v razširitvi, tj. določite vrednosti kazalnikov  i v razširitvi

2) izdelati "dobre" ocene za tiste nenaključne funkcije, ki so prisotne v razširitvi;

3) izberite model, ki ustrezno opisuje obnašanje »naključnih ostankov u(t), in statistično ocenite parametre tega modela.

Uspešna rešitev naštetih problemov je osnova za doseganje končnih aplikativnih ciljev raziskave in predvsem za reševanje problema kratkoročnega in srednjeročnega napovedovanja vrednosti časovnih vrst.

Avtokovariančne in avtokorelacijske funkcije

Za identifikacijo časovnih vrst je priročno uporabiti posebne funkcije: avtokovarianco in avtokorelacijo.

Avtokovariančna funkcija

Na podlagi predpostavke o strogi stacionarnosti časovne vrste x(t) bo kovarianca med vrednostma x(t) in x(t  ) odvisna le od vrednosti »časovnega premika«  (in ne bo odvisno od t). Ta kovarianca se imenuje avtokovarianca (ker meri kovarianco za različne vrednosti istega časovnega niza x(t) in je določena z razmerjem:

Pri analizi vrednosti () v odvisnosti od vrednosti  je običajno govoriti o avtokovariančni funkciji (). Vrednosti funkcije avtokovariance je mogoče statistično oceniti iz razpoložljivih opazovanj časovne vrste z uporabo formule

, kjer je =1,2, … N-1. Očitno

(0)=  2 =M;

()=cov(x(t+), x(t)) = cov(x(t), x(t+)) = cov(x(t), x(t-));

()= cov(x(t), x(t-))= (-).

Avtokorelacijska funkcija

Ena od glavnih razlik med zaporedjem opazovanj, ki tvori časovno vrsto, in naključnim vzorcem je, da so člani časovne vrste na splošno statistično soodvisni. Stopnjo tesnosti statistične povezave med dvema naključnima spremenljivkama lahko merimo s parnim korelacijskim koeficientom. Torej bo stopnja statistične povezave med dvema opazovanjima časovne serije, »ločeno« (v času) z  enotami, določena z vrednostjo korelacijskega koeficienta

Korelacijski koeficient r() meri korelacijo, ki obstaja med člani iste časovne serije, zato se običajno imenuje avtokorelacijski koeficient. Pri analizi sprememb vrednosti r() v odvisnosti od vrednosti  je običajno govoriti o avtokorelacijski funkciji r(). Graf avtokorelacijske funkcije se imenuje korelogram. Avtokorelacijska funkcija je za razliko od avtokovariančne funkcije brezrazsežna. Njegove vrednosti so lahko od –1 do +1. Očitno je, da je r() =r(-) in (0) =1.

Iskanje modela, ki ustrezno opisuje obnašanje naključnih ostankov u(t) analizirane časovne vrste x(t), poteka praviloma v okviru nekega posebnega razreda naključnih časovnih zaporedij - razreda stacionarnih časovne vrste. Na intuitivni ravni stacionarnost časovnih vrst in ga povezujemo z zahtevo, ki jo ima konstantno povprečno vrednost in niha okoli tega povprečja s konstantno varianco. V nekaterih primerih lahko časovna zaporedja tega razreda reproducirajo tudi obnašanje analizirane časovne vrste x(t).

Serija x(t) se imenuje strogo stacionarno(ali stacionarno v v ožjem smislu), če je skupna verjetnostna porazdelitev m opazovanj x(t 1), x(t 2), ..., x(t m) enaka kot za m opazovanj x(t 1 +), x(t 2 + ), …x(t m +), za kateri koli m, t 1, t 2, …, t m ​​​​in .

Z drugimi besedami, lastnosti strogo stacionarne časovne vrste se ne spremenijo, ko se spremeni izvor časa. Zlasti za m = 1 iz predpostavke o strogi stacionarnosti časovne vrste x(t) sledi, da zakon porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke x(t) ni odvisen od t, zato so vsi njegovi glavni numerični značilnosti niso odvisne od t, vključno z: povprečno vrednostjo М(x(t)) =  in varianco D(x(t))= М(x(t) –) 2 =  2.

Očitno vrednost μ določa konstantno raven, okoli katere so razpršene vrednosti analizirane časovne serije x(t), konstantna vrednost  2 pa označuje obseg tega razpršenosti. Ker je zakon porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke x(t) enak za vse t, je samega in njegove glavne numerične značilnosti mogoče oceniti iz opazovanj x(1), x(2), …x(N). Zlasti:

-ocena povprečne vrednosti,

- ocena razpršenosti.

Pod metode glajenjačasovna vrsta se razume identifikacija nenaključne komponente. Predpostavimo, da je splošna oblika neslučajne komponente F(t) za niz x(t)=F(t,)+ u(t) znana. To je lahko polinom, Fourierjeva vrsta itd. Nato se pojavi problem ocenjevanja parametrov . Pri tej formulaciji problema se uporabljajo analitične metode.

Če je vrsta nenaključne komponente neznana F(t), se uporabijo algoritemske metode. Te metode vključujejo metodo drsečega povprečja, ki je podlaga za bolj zapletene postopke glajenja.

Značilnosti časovnih vrst. Za podrobnejšo študijo časovnih vrst se uporabljajo verjetnostni statistični modeli. V tem primeru se časovna vrsta X(t) obravnava kot naključni proces (z diskretnim časom); glavne značilnosti so matematično pričakovanje X(t), tj.

varianca X(t), tj.

in avtokorelacijsko funkcijo časovne vrste X(t)

tiste. funkcija dveh spremenljivk, ki je enaka korelacijskemu koeficientu med dvema vrednostma časovne vrste X(t) in X(s).

V teoretičnih in aplikativnih raziskavah se obravnava širok nabor modelov časovnih vrst. Najprej izberemo stacionarne modele. Vsebujejo skupne porazdelitvene funkcije za poljubno število časovnih točk k, zato se vse zgornje značilnosti časovne vrste s časom ne spreminjajo. Zlasti matematično pričakovanje in disperzija sta konstantni količini, avtokorelacijska funkcija je odvisna le od razlike t-s. Časovne vrste, ki niso stacionarne, se imenujejo nestacionarne.

Časovno vrsto razumemo kot časovno urejeno zaporedje vrednosti enega ali končnega niza naključne spremenljivke. V prvem primeru govorimo o univariantni časovni vrsti, v drugem pa o večdimenzionalni časovni vrsti. Tu bodo upoštevane samo univariantne časovne vrste. Enodimenzionalna časovna vrsta se imenuje stacionarna, če so njene verjetnostne značilnosti konstantne. Časovna vrsta se imenuje nestacionarna, če vsaj ena od verjetnostnih značilnosti ni konstantna. Zaporedje naključnih spremenljivk y 1, y 2, . . . ali y -1, y 0, y 1, . . se imenuje naključni proces z diskretnim časovnim parametrom.

Ker je pomembno časovno zaporedje pojavljanja naslednje vrednosti časovne vrste in ne konkretna vrednost časa pojavljanja, se v časovni vrsti kot argument uporablja referenčna številka vrednosti časovne vrste. Na primer:

x(1), x(2), ... ,x(k), ...

kjer je x(k) vrednost časovne vrste v k-tem opazovanju; k - številka opazovanja.

V večini praktičnih aplikacij se upoštevajo stacionarne in nestacionarne časovne vrste z normalnim zakonom porazdelitve vrednosti serije. To pomeni, da:

stacionarni niz: x(k) є (µ, y 2) , µ = const, y 2 = const;

nestacionarna vrsta: x(k) є (µ, y 2) , µ = var, y 2 = const.

Spodaj je implementacija stacionarne časovne vrste:

Predvidljivost časovnih vrst.

Za napovedovanje časovne vrste je potrebno zgraditi njen model. Predvidljivost serije je mogoča le, če obstaja verjetnostna (analitična) povezava med naslednjimi vrednostmi serije in prejšnjimi. Predvidljivost stacionarne časovne vrste se določi z uporabo avtokorelacijske funkcije (ACF):

с(m) = M[(x(k) - µ)*(x(k + m) - µ)]/у 2

kjer: с(m) - vrednost avtokorelacijske funkcije pri premiku m časovne vrste x(k)

Ocene serije ACF imajo obliko:

Očitno je c(0) = 1, saj je to korelacija časovne vrste s samo seboj.

Napovedujemo stacionarno časovno vrsto, če obstaja m>0 z (m) ? 0.

Stacionarna časovna vrsta je nepredvidljiva, če je za kateri koli m>0 c(m) = 0. Takšna vrsta se imenuje "beli šum".

Ker je ACF vrednosti korelacijskih koeficientov, je funkcija nenaključnih vrednosti.

ACF je ocenjen na podlagi izvajanja časovne vrste. Če implementacija vsebuje n vrednosti, potem je ocena avtokorelacijske funkcije:

kjer je: r(m) - ocena ACF; x je povprečna vrednost izvedbe časovne vrste; S 2 - ocena variance izvedbe časovne vrste.

Pri preverjanju predvidljivosti časovne vrste naj bo dolžina izvedbe vsaj 20 - 30 opazovanj.

Opozoriti je treba, da napovedovanje časovnih vrst z obravnavano metodo zahteva izpolnjevanje dveh pogojev:

• 1. Naključna spremenljivka e(k) "belega šuma", kot komponenta modelov, mora upoštevati normalno pravo porazdelitev z ničelnim matematičnim pričakovanjem in končno varianco е 2.
• 2. Disperzija "belega šuma" e 2 mora biti konstantna vrednost.

Formula za izračun napovedi je:

x(k) = 27,2661 - 0,900766*

kjer je x(k) napoved modela za k-to vrednost časovne vrste.

Identifikacija stacionarnega modela časovne vrste

Identifikacija modela. Za predvidevanje prihodnje uspešnosti na podlagi razpoložljivih časovnih vrst je treba identificirati model, ki na najboljši možen način opisuje postopek generiranja vzorčne časovne vrste. Za identifikacijo takega modela lahko uporabite izračunano avtokorelacijsko funkcijo. Od številnih modelov za opisovanje dinamike časovnih vrst se najpogosteje uporabljajo trije: model belega šuma, avtoregresivni model prvega reda in avtoregresivni model drugega reda. Če je ocenjena avtokorelacijska funkcija zbirka nepomembnih avtokorelacije, je to jasen znak, da je spremenljivost dane n-te časovne serije najbolje označena kot "beli šum" ali naključna nihanja.

Osnovna ideja, ki je podlaga za identifikacijo modela časovnih vrst, ostaja enaka tako za preproste kot za kompleksne modele: ujemanje strukture opazovanih podatkov z znano strukturo, povezano z določenim razredom modelov. Ko je model predhodno identificiran, se ocenijo njegovi parametri.

Diagnostični test. Ker je identifikacija modela časovne vrste nekoliko subjektiven postopek, je včasih priporočljivo oceniti ustreznost identificiranega modela s testiranjem pomembnosti avtokorelacijske funkcije ostankov modela. To je primerno, ker ostanki modela časovne vrste niso avtokorelirani.

Vendar nam avtokorelacijska funkcija stacionarne časovne vrste ne omogoča nedvoumne identifikacije modela serije. To je mogoče z uporabo drugega dodatna funkcija- zasebna avtokorelacijska funkcija (PACF). Vrednosti CACF so vrednosti m-tega koeficienta v predstavitvi časovne serije z avtoregresijskim postopkom reda m. Naj obstaja stacionarna časovna vrsta x(k). Upoštevajte naslednje predstavitve časovnih vrst skozi avtoregresivni proces:

x(k) - m = a 11 *

x(k) - m = a 12 * + a 22 *

x(k) - m = a 13 * + a 23 * + a 33 *

... ... ... ... ... ... ... ... ...

x(k) - m = a 1 * + a 2 * + a 33 * + ... + a mm *

Vrednosti PACF za premike 1, 2, 3, ..., m so vrednosti koeficientov: a 11, a 22, a 33, ..., a mm. Graf PACF je lahko videti takole:

Po oceni PACF je treba za vsak m preveriti hipotezo, da je ustrezni delni avtokorelacijski koeficient enak nič. V programih za statistično obdelavo podatkov se za vsakega od koeficientov izračunajo kritične vrednosti, ki imajo obliko kontrolnih meja na grafu ocene PACF.

Pri identifikaciji modela se običajno uporabljajo naslednja pravila:

• 1. Če so h prvih vrednosti ACF drugačne od nič in ACF v absolutni vrednosti asimptotično teži k nič, potem poteka proces ARSS(0,h) - drsečega povprečja reda h.
• 2. Če so h prvih vrednosti ACF drugačne od nič in ACF v absolutni vrednosti asimptotično teži k nič, potem poteka proces ARSS(h,0) - avtoregresija reda h.
• 3. Če se vrednosti ACF in PACF asimptotično nagibata k ničli v modulu, potem poteka mešani proces ARSS(p,q).

Množica naključnih spremenljivk X(t), kjer se imenuje (realna števila). stohastični proces. Diskretni stohastični proces je definiran kot zaporedje naključnih spremenljivk X(t), Kje t = t 1 , t 2 , ..., t T ali krajše X 1, X 2,..., X T..., ali samo Xt.

Pričakovanje E(Xt) se lahko spreminja skozi čas in je funkcija povprečja skozi čas

.

Prav tako odstopanje (Xt) je funkcija, ki je odvisna tudi od časa:

Na splošno je v vsakem trenutku določena disperzija. To ni isto kot spremenljivost empiričnih podatkov, ko se proces razvija skozi čas.

Avtokovariacija

na splošno je odvisno od vsakega t 1 in t 2 .

Končna realizacija x 1, x 2,..., x t diskretnega stohastičnega procesa... X 1, X 2,... X t... se imenuje časovna vrsta.

Razmislimo o razliki med stohastični proces in ga ustvari časovne vrste.

Postopki so označeni z velikimi tiskanimi črkami označujejo časovne vrste male črke. Izjema so reziduali v modelih stohastičnih procesov, ki nimajo neodvisnosti praktični pomen. Označeni so tudi z malimi črkami, npr a, in in ε. Za pravilno izpeljavo lastnosti časovnih vrst iz lastnosti stohastičnih procesov je potrebno strogo razlikovanje. Kasneje, pri modeliranju realnih časovnih vrst, lahko ta pogoj omilimo ali izpustimo.

Stohastični proces Xt klical stacionarno v močnem smislu,če je skupna verjetnostna porazdelitev vseh spremenljivk popolnoma enaka kot pri spremenljivkah .

Pod stacionarni proces v šibkem smislu razumemo kot stohastični proces, pri katerem imata povprečje in varianca ne glede na obravnavano časovno obdobje konstantno vrednost, avtokovarianca pa je odvisna samo od dolžine zamika med obravnavanima spremenljivkama.

Povprečje……………. .

Varianca…………. .

Avtokovariacija…… ,

kje (zamik).

Avtokovarianca kot funkcija dolžine zamika τ

imenujemo avtokovariančna funkcija. Pri τ = 0 je njegova vrednost enaka disperziji.

Po normalizaciji dobimo avtokorelacijsko funkcijo stacionarnega stohastičnega procesa:

Časovna vrsta x 1, x 2,..., x T, t.j. specifično izvedbo stacionarnega stohastičnega procesa Xt imenovan tudi stacionarni.

V praksi analitično delo Stacionarnost časovne vrste pomeni odsotnost:

Sistematične spremembe variance;

Strogo periodična nihanja;

Sistematično spreminjanje soodvisnosti med elementi časovne vrste.

Ekonomske časovne vrste predstavljajo opazovane podatke ekonomski kazalci, na primer bruto domačega proizvoda, v več letih, takšne serije pa so praviloma nestacionarne.

Grafični prikaz stacionarne serije

Ergodičnost

Glavna težava pri ocenjevanju porazdelitvenih parametrov stohastičnega procesa je, da je na splošno velikost vzorca n = 1, saj je običajno ena sama izvedba procesa. Zaradi tega je skoraj nemogoče narediti smiselno oceno. Stohastični proces, ki se preučuje, kot tak ni znan. Njegovo stacionarnost ali nestacionarnost lahko ugotovimo le z analizo ustreznih časovnih vrst. Po drugi strani pa številne metode analize časovnih vrst predpostavljajo njihovo stacionarnost. To vodi do neke vrste začaran krog, ko je nepremičnina, za katero se izvaja raziskava, vključena v izhodiščne predpostavke.

Ta problem je mogoče rešiti s konceptom ergodičnost : to je vedenje velikega razreda stacionarnih procesov, ko aritmetična sredina sčasoma konvergira k matematičnemu pričakovanju μ. Ergodičnost omogoča ovrednotenje stohastičnega procesa le z njegovo izvedbo - časovno vrsto.

Obstajajo različni pristopi k prepoznavanju stacionarnosti časovnih vrst:

· grafični prikaz časovne vrste in vizualno preverjanje prisotnosti kakršnega koli trenda, tj. spreminjajoče se povprečje, naraščajoča ali padajoča disperzija, stabilne periodičnosti;

· raziskovanje prisotnosti avtokorelacije v realnih podatkih;

· testi za prisotnost determinističnega trenda, na primer t - test za koeficiente ocen metode najmanjših kvadratov;

· testi za prisotnost stohastičnega trenda, kot so testi enotskega korena.

Posebni primeri

Postopek se imenuje normalno, če je skupna razdelitev X t1 , X t2 ,..., X t n- to je n-dimenzionalno normalna porazdelitev. V tem primeru stacionarnost v šibkem pomenu implicira stacionarnost v močnem pomenu.

"Beli šum" je povsem naključen proces, tj. serija neodvisnih, enako porazdeljenih naključnih spremenljivk a t (id). Glavne lastnosti "belega šuma" so naslednje:

To očitno pomeni stacionarnost. Beli šum igra pomembno vlogo pri modeliranju ostankov ali šokov stohastičnega procesa, ki ustvarja podatke (časovne vrste).

Če želite preveriti, ali je časovna vrsta x t "beli šum", lahko preizkusite njeno vzorčno avtokorelacijo z uporabo Box-Pierce Q statistike:

Pod ničelno hipotezo, da je X t "beli šum", ima Q-statistika -distribucijo z r stopnje svobode.