Da lahko skozi poljubne tri točke prostora narišemo eno ravnino, je potrebno, da te točke ne ležijo na isti premici.

Upoštevajte točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v splošnem kartezičnem koordinatnem sistemu.

Da bi poljubna točka M(x, y, z) ležala v isti ravnini s točkami M 1, M 2, M 3, je potrebno, da sta vektorja komplanarna.

(
) = 0

torej

Enačba ravnine, ki poteka skozi tri točke:

Enačba ravnine z dvema točkama in vektorjem, kolinearnim ravnini.

Naj sta podani točki M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) in vektor
.

Ustvarimo enačbo za ravnino, ki poteka skozi dani točki M 1 in M ​​2 ter poljubno točko M (x, y, z), ki je vzporedna z vektorjem .

Vektorji
in vektor
mora biti komplanarna, tj.

(
) = 0

Enačba ravnine:

Enačba ravnine z uporabo ene točke in dveh vektorjev,

kolinearno na ravnino.

Naj sta dana dva vektorja
in
, kolinearne ravnine. Nato za poljubno točko M(x, y, z), ki pripada ravnini, vektorji
mora biti komplanarna.

Enačba ravnine:

Enačba ravnine s točko in normalnim vektorjem .

Izrek. Če je v prostoru podana točka M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), potem enačba ravnine, ki poteka skozi točko M 0 pravokotno na normalni vektor (A, B, C) ima obliko:

A(x – x 0 ) + B(l – l 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dokaz. Za poljubno točko M(x, y, z), ki pripada ravnini, sestavimo vektor. Ker vektor je normalni vektor, potem je pravokoten na ravnino in zato pravokoten na vektor
. Nato skalarni produkt

= 0

Tako dobimo enačbo ravnine

Izrek je dokazan.

Enačba ravnine v segmentih.

Če v splošni enačbi Ax + By + Cz + D = 0 delimo obe strani z (-D)

,

zamenjava
, dobimo enačbo ravnine v segmentih:

Števila a, b, c so presečišča ravnine z osmi x, y, z.

Enačba ravnine v vektorski obliki.

kje

- radij vektorja trenutne točke M(x, y, z),

Enotski vektor, ki ima smer navpičnice, spuščene na ravnino iz izhodišča.

,  in  so koti, ki jih tvori ta vektor z osemi x, y, z.

p je dolžina te navpičnice.

V koordinatah je ta enačba videti takole:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Razdalja od točke do ravnine.

Razdalja od poljubne točke M 0 (x 0, y 0, z 0) do ravnine Ax+By+Cz+D=0 je:

Primer. Poiščite enačbo ravnine, pri čemer veste, da je točka P(4; -3; 12) osnova navpičnice, spuščene iz izhodišča na to ravnino.

Torej A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, uporabimo formulo:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Primer. Poiščite enačbo ravnine, ki poteka skozi dve točki P(2; 0; -1) in

Q(1; -1; 3) pravokotno na ravnino 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normalni vektor na ravnino 3x + 2y – z + 5 = 0
vzporedno z želeno ravnino.

Dobimo:

Primer. Poiščite enačbo ravnine, ki poteka skozi točke A(2, -1, 4) in

B(3, 2, -1) pravokotno na ravnino X + pri + 2z – 3 = 0.

Zahtevana enačba ravnine ima obliko: A x+B l+C z+ D = 0, normalni vektor na to ravnino (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) pripada ravnini. Ravnina, ki nam je dana, pravokotna na želeno, ima normalni vektor (1, 1, 2). Ker točki A in B pripadata obema ravninama, ravnini pa sta medsebojno pravokotni, torej

Torej normalni vektor (11, -7, -2). Ker točka A pripada želeni ravnini, potem morajo njene koordinate zadoščati enačbi te ravnine, tj. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Skupaj dobimo enačbo ravnine: 11 x - 7l – 2z – 21 = 0.

Primer. Poiščite enačbo ravnine, pri čemer veste, da je točka P(4, -3, 12) osnova navpičnice, spuščene iz izhodišča na to ravnino.

Iskanje koordinat normalnega vektorja
= (4, -3, 12). Zahtevana enačba ravnine ima obliko: 4 x – 3l + 12z+ D = 0. Da bi našli koeficient D, nadomestimo koordinate točke P v enačbo:

16 + 9 + 144 + D = 0

Skupaj dobimo zahtevano enačbo: 4 x – 3l + 12z – 169 = 0

Primer. Podane so koordinate oglišč piramide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Poišči dolžino roba A 1 A 2.

Poiščite kot med robovoma A 1 A 2 in A 1 A 4.

Poiščite kot med robom A 1 A 4 in ploskvijo A 1 A 2 A 3.

Najprej poiščemo normalni vektor na ploskev A 1 A 2 A 3 kako vektorski izdelek vektorji
in
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Poiščimo kot med normalnim vektorjem in vektorjem
.

-4 – 4 = -8.

Želeni kot  med vektorjem in ravnino bo enak  = 90 0 - .

Poiščite površino obraza A 1 A 2 A 3.

Poiščite prostornino piramide.

Poiščite enačbo ravnine A 1 A 2 A 3.

Uporabimo formulo za enačbo ravnine, ki poteka skozi tri točke.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Pri uporabi računalniške različice » Tečaj višje matematike” lahko zaženete program, ki bo rešil zgornji primer za poljubne koordinate oglišč piramide.

Za zagon programa dvakrat kliknite na ikono:

V okno programa, ki se odpre, vnesite koordinate oglišč piramide in pritisnite Enter. Na ta način je mogoče pridobiti vse odločitvene točke eno za drugo.

Opomba: Za zagon programa mora biti v vašem računalniku nameščen program Maple ( Waterloo Maple Inc.) katere koli različice, začenši z MapleV Release 4.

Ta članek daje idejo o tem, kako napisati enačbo ravnine, ki poteka skozi to točko tridimenzionalni prostor, pravokoten na dano premico. Analizirajmo dani algoritem na primeru reševanja tipičnih problemov.

Iskanje enačbe ravnine, ki poteka skozi dano točko v prostoru pravokotno na dano premico

Naj bo podan tridimenzionalni prostor in v njem pravokotni koordinatni sistem O x y z. Podana je tudi točka M 1 (x 1, y 1, z 1), premica a in ravnina α, ki poteka skozi točko M 1 pravokotno na premico a. Zapisati je treba enačbo ravnine α.

Preden se lotimo reševanja tega problema, se spomnimo geometrijskega izreka iz učnega načrta za 10.–11. razred, ki pravi:

Definicija 1

Skozi dano točko V tridimenzionalnem prostoru obstaja ena sama ravnina, pravokotna na dano premico.

Zdaj pa poglejmo, kako najti enačbo te ene same ravnine, ki poteka skozi začetno točko in je pravokotna na dano premico.

Splošno enačbo ravnine je mogoče zapisati, če so znane koordinate točke, ki pripada tej ravnini, in koordinate normalnega vektorja ravnine.

Pogoji naloge nam podajajo koordinate x 1, y 1, z 1 točke M 1, skozi katero poteka ravnina α. Če določimo koordinate vektorja normale ravnine α, potem bomo lahko zapisali zahtevano enačbo.

Normalni vektor ravnine α, ker je različen od nič in leži na premici a, pravokotno na ravninoα bo poljuben smerni vektor premice a. Tako se problem iskanja koordinat normalnega vektorja ravnine α spremeni v problem določanja koordinat usmerjevalnega vektorja premice a.

Določanje koordinat smernega vektorja premice a se lahko izvede na različne načine: odvisno je od možnosti podajanja premice a v začetnih pogojih. Na primer, če je premica a v izjavi problema podana s kanoničnimi enačbami oblike

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

oz parametrične enačbe vrsta:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

potem bo imel smerni vektor premice koordinate a x, a y in a z. V primeru, ko je premica a predstavljena z dvema točkama M 2 (x 2, y 2, z 2) in M ​​3 (x 3, y 3, z 3), potem bodo koordinate smernega vektorja določene kot ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Definicija 2

Algoritem za iskanje enačbe ravnine, ki poteka skozi dano točko pravokotno na dano premico:

Določimo koordinate smernega vektorja premice a: a → = (a x, a y, a z) ;

Koordinate normalnega vektorja ravnine α definiramo kot koordinate usmerjevalnega vektorja premice a:

n → = (A , B , C) , kjer je A = a x, B = a y, C = a z;

Zapišemo enačbo ravnine, ki poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1, z 1) in ima normalni vektor n → = (A, B, C) v obliki A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. To bo zahtevana enačba ravnine, ki poteka skozi dano točko v prostoru in je pravokotna na dano premico.

Končna splošna enačba ravnine je: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 omogoča, da dobimo enačbo ravnine v segmentih ali normalno enačbo ravnine.

Rešimo več primerov z uporabo zgoraj pridobljenega algoritma.

Primer 1

Podana je točka M 1 (3, - 4, 5), skozi katero poteka ravnina, ki je pravokotna na koordinatno premico O z.

rešitev

smerni vektor koordinatne premice O z bo koordinatni vektor k ⇀ = (0, 0, 1). Zato ima normalni vektor ravnine koordinate (0, 0, 1). Zapišimo enačbo ravnine, ki poteka skozi dano točko M 1 (3, - 4, 5), katere normalni vektor ima koordinate (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

odgovor: z – 5 = 0 .

Razmislimo o drugem načinu za rešitev te težave:

Primer 2

Ravnina, ki je pravokotna na premico O z, bo podana z nepopolno splošno enačbo ravnine v obliki C z + D = 0, C ≠ 0. Določimo vrednosti C in D: tiste, pri katerih ravnina prehaja skozi določeno točko. Zamenjajmo koordinate te točke v enačbo C z + D = 0, dobimo: C · 5 + D = 0. Tisti. števila sta C in D povezana z razmerjem - D C = 5. Če vzamemo C = 1, dobimo D = - 5.

Zamenjajmo te vrednosti v enačbo C z + D = 0 in dobimo zahtevano enačbo ravnine, ki je pravokotna na ravno črto O z in poteka skozi točko M 1 (3, - 4, 5).

Videti bo takole: z – 5 = 0.

odgovor: z – 5 = 0 .

Primer 3

Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi izhodišče in je pravokotna na premico x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

rešitev

Na podlagi pogojev problema lahko trdimo, da lahko smerni vektor dane premice vzamemo kot normalni vektor n → dane ravnine. Torej: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Zapišimo enačbo ravnine, ki poteka skozi točko O (0, 0, 0) in ima normalni vektor n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Dobili smo zahtevano enačbo ravnine, ki poteka skozi koordinatno izhodišče pravokotno na dano premico.

odgovor:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Primer 4

Podan je pravokotni koordinatni sistem O x y z tridimenzionalni prostor, vsebuje dve točki A (2, - 1, - 2) in B (3, - 2, 4). Ravnina α poteka skozi točko A pravokotno na premico A B. Treba je sestaviti enačbo za ravnino α v segmentih.

rešitev

Ravnina α je pravokotna na premico A B, potem bo vektor A B → normalni vektor ravnine α. Koordinate tega vektorja so definirane kot razlika med ustreznimi koordinatami točk B (3, - 2, 4) in A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Splošna enačba letalo bo zapisano v naslednji obliki:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Zdaj pa sestavimo zahtevano enačbo ravnine v segmentih:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

odgovor:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Upoštevati je treba tudi, da obstajajo težave, pri katerih je treba napisati enačbo ravnine, ki poteka skozi dano točko in je pravokotna na dve dani ravnini. Na splošno je rešitev tega problema sestaviti enačbo za ravnino, ki poteka skozi dano točko pravokotno na dano premico, ker dve sekajoči se ravnini določata ravno črto.

Primer 5

Podan je pravokotni koordinatni sistem O x y z, v njem je točka M 1 (2, 0, - 5). Podani sta tudi enačbi dveh ravnin 3 x + 2 y + 1 = 0 in x + 2 z – 1 = 0, ki se sekata vzdolž premice a. Treba je sestaviti enačbo za ravnino, ki poteka skozi točko M 1 pravokotno na premico a.

rešitev

Določimo koordinate usmerjevalnega vektorja premice a. Pravokoten je tako na normalni vektor n 1 → (3, 2, 0) ravnine n → (1, 0, 2) kot na normalni vektor 3 x + 2 y + 1 = 0 x + 2 z - 1 = 0 ravnina.

Nato kot usmerjevalni vektor α → premica a vzamemo vektorski produkt vektorjev n 1 → in n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Tako bo vektor n → = (4, - 6, - 2) normalni vektor ravnine, pravokotne na premico a. Zapišimo zahtevano enačbo ravnine:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

odgovor: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Da dobimo splošno enačbo ravnine, analizirajmo ravnino, ki poteka skozi dano točko.

Naj bodo v vesolju tri koordinatne osi, ki so nam že znane - Ox, Oj in Oz. Držite list papirja tako, da ostane raven. Letalo bo sam list in njegovo nadaljevanje v vseh smereh.

Naj p poljubna ravnina v prostoru. Vsak vektor, pravokoten nanj, se imenuje normalni vektor na to letalo. Seveda govorimo o neničelnem vektorju.

Če je katera koli točka na ravnini znana p in nek normalni vektor nanjo, potem je s tema dvema pogojema ravnina v prostoru popolnoma definirana(skozi dano točko lahko narišete eno samo ravnino, pravokotno na dani vektor). Splošna enačba ravnine bo:

Torej, pogoji, ki definirajo enačbo ravnine, so. Da dobiš sebe enačba ravnine, ki ima zgornjo obliko, vzemite na letalo p poljubno točka M s spremenljivimi koordinatami x, l, z. Ta točka pripada ravnini le, če vektor pravokotno na vektor(slika 1). Za to je glede na pogoj pravokotnosti vektorjev nujno in zadostno, da je skalarni produkt teh vektorjev enak nič, tj.

Vektor je določen s pogojem. Koordinate vektorja poiščemo s formulo :

.

Zdaj pa uporabimo formulo skalarnega produkta vektorjev , izrazimo skalarni produkt v koordinatni obliki:

Od točke M(x; y; z) izbrana poljubno na ravnini, potem zadnjo enačbo zadovoljijo koordinate katere koli točke, ki leži na ravnini p. Za točko n, ki ne leži na dani ravnini, tj. enakost (1) je kršena.

Primer 1. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točko in je pravokotna na vektor.

rešitev. Uporabimo formulo (1) in jo poglejmo znova:

V tej formuli so številke A , B in C vektorske koordinate in števila x0 , l0 in z0 - koordinate točke.

Izračuni so zelo preprosti: te številke nadomestimo s formulo in dobimo

Zmnožimo vse, kar je treba pomnožiti, in dodamo samo številke (ki nimajo črk). rezultat:

.

Izkazalo se je, da je zahtevana enačba ravnine v tem primeru izražena s splošno enačbo prve stopnje glede na spremenljive koordinate x, y, z poljubna točka ravnine.

Torej, enačba oblike

klical splošna enačba ravnine .

Primer 2. V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu sestavite ravnino, podano z enačbo .

rešitev. Za konstrukcijo ravnine je potrebno in zadostno poznati katere koli tri njene točke, ki ne ležijo na isti ravnini, na primer točke presečišča ravnine s koordinatnimi osemi.

Kako najti te točke? Da bi našli točko presečišča z osjo Oz, morate X in Y nadomestiti z ničlami ​​v enačbi, podani v izjavi o problemu: x = l= 0. Zato dobimo z= 6. Tako dana ravnina seka os Oz na točki A(0; 0; 6) .

Na enak način najdemo presečišče ravnine z osjo Oj. pri x = z= 0 dobimo l= −3, torej točka B(0; −3; 0) .

In končno najdemo presečišče naše ravnine z osjo Ox. pri l = z= 0 dobimo x= 2, torej točka C(2; 0; 0) . Na podlagi treh točk, pridobljenih v naši rešitvi A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) in C(2; 0; 0) sestavi dano ravnino.

Zdaj razmislimo posebni primeri splošne enačbe ravnine. To so primeri, ko določeni koeficienti enačbe (2) postanejo nič.

1. Kdaj D= 0 enačba določa ravnino, ki poteka skozi izhodišče, saj koordinate točke 0 (0; 0; 0) zadovoljujejo to enačbo.

2. Kdaj A= 0 enačba določa ravnino, vzporedno z osjo Ox, saj je normalni vektor te ravnine pravokoten na os Ox(njena projekcija na os Ox enako nič). Podobno, ko B= 0 letalo vzporedno z osjo Oj, in kdaj C= 0 letalo vzporedno z osjo Oz.

3. Kdaj A=D= Enačba 0 določa ravnino, ki poteka skozi os Ox, saj je vzporedna z osjo Ox (A=D= 0). Podobno gre letalo skozi os Oj, in ravnino skozi os Oz.

4. Kdaj A=B= 0 enačba določa vzporedno ravnino koordinatna ravnina xOy, saj je vzporedna z osema Ox (A= 0) in Oj (B= 0). Podobno je ravnina vzporedna z ravnino yOz, in letalo je letalo xOz.

5. Kdaj A=B=D= 0 enačba (oz z = 0) določa koordinatno ravnino xOy, saj je vzporedna z ravnino xOy (A=B= 0) in poteka skozi izvor ( D= 0). Podobno enačba y= 0 v prostoru določa koordinatno ravnino xOz, in enačbo x = 0 - koordinatna ravnina yOz.

Primer 3. Sestavite enačbo ravnine p, ki poteka skozi os Oj in pika.

rešitev. Torej gre letalo skozi os Oj. Zato v njeni enačbi l= 0 in ta enačba ima obliko . Za določitev koeficientov A in C izkoristimo dejstvo, da točka pripada ravnini p .

Zato so med njegovimi koordinatami tiste, ki jih je mogoče nadomestiti v enačbo ravnine, ki smo jo že izpeljali (). Poglejmo še enkrat koordinate točke:

M0 (2; −4; 3) .

Med njimi x = 2 , z= 3. Nadomestite jih v enačbo splošni pogled in dobimo enačbo za naš poseben primer:

2A + 3C = 0 .

Pusti 2 A na levi strani enačbe premaknite 3 C V desna stran in dobimo

A = −1,5C .

Zamenjava najdene vrednosti A v enačbo, dobimo

ali .

To je enačba, ki se zahteva v primeru stanja.

Sami rešite nalogo enačbe ravnine in si nato oglejte rešitev

Primer 4. Določite ravnino (ali ravnine, če jih je več) glede na koordinatne osi ali koordinatne ravnine, če je ravnina(-e) podana z enačbo.

Rešitve tipičnih težav, ki se pojavljajo v testi- v priročniku "Težave z ravninami: vzporednost, pravokotnost, presečišče treh ravnin v eni točki."

Enačba ravnine, ki poteka skozi tri točke

Kot že rečeno, so nujen in zadosten pogoj za konstrukcijo ravnine poleg ene točke in normalnega vektorja tudi tri točke, ki ne ležijo na isti premici.

Naj so podane tri različne točke , in , ki ne ležijo na isti premici. Ker navedene tri točke ne ležijo na isti premici, vektorji niso kolinearni in zato vsaka točka v ravnini leži v isti ravnini s točkami in če in samo če sta vektorja , in komplanarno, tj. takrat in samo takrat mešani produkt teh vektorjev enako nič.

Uporaba izraza mešani izdelek v koordinatah dobimo enačbo ravnine

(3)

Po razkritju determinante ta enačba postane enačba oblike (2), tj. splošna enačba ravnine.

Primer 5. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi tri dane točke, ki ne ležijo na isti premici:

in določi poseben primer splošne enačbe premice, če obstaja.

rešitev. Po formuli (3) imamo:

Enačba normalne ravnine. Razdalja od točke do ravnine

Normalna enačba ravnine je njena enačba, zapisana v obliki

Enačba ravnine. Kako napisati enačbo ravnine?
Medsebojna razporeditev ravnin. Naloge

Prostorska geometrija ni veliko bolj zapletena kot "ravna" geometrija in naši poleti v vesolje se začnejo s tem člankom. Če želite obvladati temo, morate dobro razumeti vektorji, poleg tega je priporočljivo poznati geometrijo letala - veliko bo podobnosti, veliko analogij, zato bodo informacije veliko bolje prebavljene. V nizu mojih lekcij se 2D svet odpre s člankom Enačba premice na ravnini. Toda zdaj je Batman zapustil ploski TV zaslon in se izstreli s kozmodroma Baikonur.

Začnimo z risbami in simboli. Shematsko lahko ravnino narišemo v obliki paralelograma, ki ustvarja vtis prostora:

Letalo je neskončno, vendar imamo možnost upodobiti le delček tega. V praksi se poleg paralelograma nariše tudi oval ali celo oblak. meni je vseeno tehnični razlogi bolj priročno je prikazati letalo na točno ta način in v točno tem položaju. Prava letala, ki jih bomo obravnavali v praktični primeri, lahko postavite na kakršen koli način - miselno vzemite risbo v roke in jo zavrtite v prostoru, tako da ravnini daste kakršen koli naklon, kateri koli kot.

Poimenovanja: letala so običajno označena z malimi grškimi črkami, očitno zato, da jih ne bi zamenjali z premica na ravnini ali z ravna črta v prostoru. Navajen sem uporabljati pismo. Na risbi je črka "sigma" in sploh ne luknja. Čeprav je luknjasto letalo zagotovo precej smešno.

V nekaterih primerih je primerno uporabiti iste simbole za označevanje ravnin. grške črke z indeksi, na primer, .

Očitno je, da ravnino enolično določajo tri različne točke, ki ne ležijo na isti premici. Zato so tričrkovne oznake ravnin zelo priljubljene - na primer po točkah, ki jim pripadajo itd. Črke so pogosto v oklepajih: , da ne bi zamenjali ravnine z drugim geometrijskim likom.

Za izkušene bralce bom dal meni za hitri dostop:

• Kako ustvariti enačbo ravnine z uporabo točke in dveh vektorjev?
• Kako ustvariti enačbo ravnine z uporabo točke in normalnega vektorja?

in ne bomo dolgo čakali:

Splošna enačba ravnine

Splošna enačba ravnine ima obliko , kjer koeficienti niso hkrati enaki nič.

Številni teoretični izračuni in praktični problemi veljajo tako za običajno ortonormirano bazo kot za afino bazo prostora (če je olje olje, se vrnite k lekciji Linearna (ne)odvisnost vektorjev. Osnova vektorjev). Zaradi poenostavitve bomo predpostavili, da se vsi dogodki zgodijo v ortonormirani bazi in kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu.

Zdaj pa malo vadimo prostorska domišljija. Nič hudega, če je vaš slab, zdaj ga bomo malo razvili. Tudi igranje na živce zahteva trening.

V najbolj splošnem primeru, ko števila niso enaka nič, ravnina seka vse tri koordinatne osi. Na primer takole:

Še enkrat ponavljam, da se ravnina nadaljuje v nedogled v vse smeri in imamo možnost upodobiti le njen del.

Razmislimo o najpreprostejših enačbah ravnin:

Kako razumeti to enačbo? Pomislite: »z« je VEDNO, za vse vrednosti »x« in »y«, enak nič. To je enačba "domače" koordinatne ravnine. Pravzaprav je formalno enačbo mogoče prepisati na naslednji način: , od koder lahko jasno vidite, da nam ni vseeno, kakšne vrednosti imata "x" in "y", pomembno je, da je "z" enak nič.

Enako:
– enačba koordinatne ravnine;
– enačba koordinatne ravnine.

Malo zakomplicirajmo problem, razmislimo o ravnini (tu in naprej v odstavku predpostavimo, da numerični koeficienti niso enaki nič). Zapišimo enačbo v obliki: . Kako to razumeti? "X" je VEDNO, za vse vrednosti "y" in "z", enako določenemu številu. Ta ravnina je vzporedna s koordinatno ravnino. Na primer, ravnina je vzporedna z ravnino in poteka skozi točko.

Enako:
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno ravnino;
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno ravnino.

Dodajmo člane: . Enačbo lahko prepišemo na naslednji način: , to pomeni, da je »zet« lahko karkoli. Kaj to pomeni? “X” in “Y” sta povezana z relacijo, ki nariše določeno premico v ravnini (izvedeli boste enačba premice v ravnini?). Ker je "z" lahko katera koli, se ta ravna črta "replicira" na kateri koli višini. Tako enačba določa ravnino, vzporedno s koordinatno osjo

Enako:
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno osjo;
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno osjo.

Če so prosti členi enaki nič, bodo ravnine neposredno prehajale skozi ustrezne osi. Na primer, klasična "neposredna sorazmernost": . Narišite ravno črto v ravnini in jo mentalno pomnožite navzgor in navzdol (ker je "Z" karkoli). Zaključek: letalo, podana z enačbo, poteka skozi koordinatno os.

Zaključimo pregled: enačba ravnine poteka skozi izvor. No, tukaj je povsem očitno, da točka izpolnjuje to enačbo.

In končno, primer, prikazan na risbi: - letalo je prijatelj z vsemi koordinatne osi, medtem ko vedno »odreže« trikotnik, ki se lahko nahaja v katerem koli od osmih oktantov.

Linearne neenakosti v prostoru

Če želite razumeti informacije, jih morate dobro preučiti linearne neenakosti v ravnini, saj bo marsikaj podobno. Odstavek bo kratkega preglednega značaja z več primeri, saj je gradivo v praksi precej redko.

Če enačba določa ravnino, potem neenakosti
vprašaj polprostori. Če neenačba ni stroga (zadnji dve na seznamu), potem rešitev neenačbe poleg polprostora vključuje tudi samo ravnino.

Primer 5

Poiščite enotski normalni vektor ravnine .

rešitev: Enotski vektor je vektor, katerega dolžina je ena. Označimo dani vektor skozi. Popolnoma jasno je, da so vektorji kolinearni:

Najprej odstranimo normalni vektor iz enačbe ravnine: .

Kako najti enotski vektor? Če želite najti enotski vektor, potrebujete vsak vektorsko koordinato delimo z vektorsko dolžino.

Prepišimo normalni vektor v obliki in poiščimo njegovo dolžino:

Glede na zgoraj navedeno:

Odgovori:

Preverjanje: kaj je bilo potrebno preveriti.

Bralci, ki so natančno preučili zadnji odstavek lekcije, so to verjetno opazili koordinate enotskega vektorja so točno smerni kosinusi vektorja:

Oddahnimo si od trenutne težave: ko vam je dan poljuben vektor, ki ni nič, glede na pogoj pa je treba najti njegove smerne kosinuse (glej zadnje naloge lekcije Točkovni produkt vektorjev), potem dejansko najdete enotski vektor, kolinearen temu. Pravzaprav dve nalogi v eni steklenici.

Potreba po iskanju enotskega normalnega vektorja se pojavi pri nekaterih problemih matematične analize.

Ugotovili smo, kako najti normalni vektor, zdaj pa odgovorimo na nasprotno vprašanje:

Kako ustvariti enačbo ravnine z uporabo točke in normalnega vektorja?

Ta toga konstrukcija normalnega vektorja in točke je dobro znana igralcem pikada. Iztegnite roko naprej in v mislih izberite poljubno točko v prostoru, na primer majhno mačko v kredenci. Očitno lahko skozi to točko narišete eno samo ravnino, pravokotno na vašo roko.

Enačba ravnine, ki poteka skozi točko pravokotno na vektor, je izražena s formulo: