Osnovne trigonometrične formule in identitete sin, cos, tg, ctg. Trigonometrične formule Kaj je formula cos2x?
Osnovne trigonometrične formule so formule, ki vzpostavljajo povezave med osnovnimi trigonometričnimi funkcijami. Sinus, kosinus, tangens in kotangens so med seboj povezani s številnimi razmerji. Spodaj so glavne trigonometrične formule, zaradi priročnosti pa jih bomo združili po namenu. Z uporabo teh formul lahko rešite skoraj vsak problem iz standardnega tečaja trigonometrije. Naj takoj opozorimo, da so spodaj le same formule in ne njihov zaključek, o katerem bomo razpravljali v ločenih člankih.
Osnovne identitete trigonometrije
Trigonometrične identitete zagotavljajo razmerje med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota, kar omogoča, da se ena funkcija izrazi z drugo.
Trigonometrične identitete
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α
Te identitete izhajajo neposredno iz definicij enotskega kroga, sinusa (sin), kosinusa (cos), tangensa (tg) in kotangensa (ctg).
Redukcijske formule
Redukcijske formule vam omogočajo prehod z dela s poljubnimi in poljubno velikimi koti na delo s koti v razponu od 0 do 90 stopinj.
Redukcijske formule
sin α + 2 π z = sin α, cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α, c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Redukcijske formule so posledica periodičnosti trigonometrične funkcije.
Trigonometrične adicijske formule
Aditivne formule v trigonometriji vam omogočajo, da izrazite trigonometrično funkcijo vsote ali razlike kotov v smislu trigonometričnih funkcij teh kotov.
Trigonometrične adicijske formule
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
Na podlagi adicijskih formul so izpeljane trigonometrične formule za več kotov.
Formule za več kotov: dvojni, trojni itd.
Formule dvojnega in trojnega kotasin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α s t g 2 α = s t g 2 α - 1 2 · s t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1
Formule polovičnega kota
Formule polkotnika v trigonometriji so posledica formul dvojnega kota in izražajo razmerje med osnovnima funkcijama polkotnika in kosinusa celega kota.
Formule polovičnega kota
sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
Formule za zmanjšanje stopnje
Formule za zmanjšanje stopnjesin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Pri izračunih je pogosto neprijetno delati z okornimi pooblastili. Formule za zmanjšanje stopnje vam omogočajo zmanjšanje stopnje trigonometrične funkcije s poljubno velike na prvo. Tukaj je njihov splošni pogled:
Splošni pogled na formule za zmanjšanje stopnje
za celo n
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)
za liho n
sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)
Vsota in razlika trigonometričnih funkcij
Razliko in vsoto trigonometričnih funkcij lahko predstavimo kot produkt. Faktoriziranje razlik sinusov in kosinusov je zelo priročno za uporabo pri reševanju trigonometričnih enačb in poenostavljanju izrazov.
Vsota in razlika trigonometričnih funkcij
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2
Produkt trigonometričnih funkcij
Če formule za vsoto in razliko funkcij omogočajo prehod na njihov produkt, potem formule za produkt trigonometričnih funkcij izvedejo obratni prehod - od produkta do vsote. Upoštevane so formule za zmnožek sinusov, kosinusov in sinus s kosinusom.
Formule za produkt trigonometričnih funkcij
sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))
Univerzalna trigonometrična zamenjava
Vse osnovne trigonometrične funkcije - sinus, kosinus, tangens in kotangens - je mogoče izraziti s tangensom polovičnega kota.
Univerzalna trigonometrična zamenjava
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Osnovne formule trigonometrije. Lekcija št. 1
Število formul, ki se uporabljajo v trigonometriji, je precej veliko (s "formulami" ne mislimo na definicije (npr. tgx=sinx/cosx), temveč na enake enakosti, kot je sin2x=2sinxcosx). Da bi olajšali krmarjenje po tej množici formul in ne utrujali študentov z nesmiselnim nabijanjem, je treba izpostaviti najpomembnejše med njimi. Malo jih je - samo trije. Vse ostale sledijo iz teh treh formul. To je osnovna trigonometrična identiteta in formule za sinus in kosinus vsote in razlike:
Sin 2 x+cos 2 x=1 (1)
Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)
Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)
Iz teh treh formul sledijo popolnoma vse lastnosti sinusa in kosinusa (periodičnost, vrednost periode, vrednost sinusa 30 0 = π/6=1/2 itd.) S tega vidika je v šolski kurikulum Uporablja se veliko formalno nepotrebnih, odvečnih informacij. Torej, formule "1-3" so vladarji trigonometričnega kraljestva. Preidimo na sledilne formule:
1) Sinusi in kosinusi več kotov
Če zamenjamo vrednost x=y v (2) in (3), dobimo:
Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1
Izpeljali smo, da je sin0=0; cos0=1, brez uporabe geometrijske interpretacije sinusa in kosinusa. Podobno lahko z dvakratno uporabo formul "2-3" izpeljemo izraze za sin3x; cos3x; sin4x; cos4x itd.
Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x
Naloga za učence: izpeljati podobne izraze za cos3x; sin4x; cos4x
2) Formule za zmanjšanje stopnje
Rešite inverzni problem tako, da potence sinusa in kosinusa izrazite s kosinusi in sinusi več kotov.
Na primer: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, torej: cos 2 x=1/2+cos2x/2
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, torej: sin 2 x=1/2-cos2x/2
Te formule se uporabljajo zelo pogosto. Da bi jih bolje razumeli, vam svetujem, da narišete grafe njihove leve in desne strani. Grafa kvadratov kosinusa in sinusa se »ovijeta« okoli grafa ravne črte »y=1/2« (to je povprečna vrednost cos 2 x in sin 2 x v številnih obdobjih). V tem primeru se frekvenca nihanja v primerjavi s prvotno podvoji (perioda funkcij cos 2 x sin 2 x je enaka 2π /2=π), amplituda nihanja pa se prepolovi (koeficient 1/2 pred cos2x) .
Problem: Izrazi sin 3 x; cos 3 x; greh 4 x ; cos 4 x skozi kosinuse in sinuse več kotov.
3) Redukcijske formule
Uporabljajo periodičnost trigonometričnih funkcij, kar omogoča, da se njihove vrednosti izračunajo v kateri koli četrtini trigonometričnega kroga iz vrednosti v prvi četrtini. Redukcijske formule so zelo posebni primeri "glavnih" formul (2-3). Na primer: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx.
Torej Cos(x+ π/2) = sinx
Naloga: izpeljati redukcijske formule za sin(x+ π/2); cos(x+ 3 π/2)
4) Formule, ki pretvarjajo vsoto ali razliko kosinusa in sinusa v produkt in obratno.
Zapišimo formulo za sinus vsote in razlike dveh kotov:
Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)
Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)
Tem enačbam seštejmo levo in desno stran:
Sin(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx
Podobni pogoji prekličejo, torej:
Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)
a) pri branju (*) od desne proti levi dobimo:
Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)
Zmnožek sinusov dveh kotov je enak polovici vsote sinusov vsote in razlike teh kotov.
b) pri branju (*) od leve proti desni je priročno označiti:
x-y = c. Od tu bomo našli X in pri skozi r in z, seštevanje in odštevanje leve in desne strani teh dveh enakosti:
x = (p+c)/2, y = (p-c)/2, zamenjava v (*) namesto (x+y) in (x-y) izpeljanih novih spremenljivk r in z, si predstavljajmo vsoto sinusov skozi produkt:
sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)
Neposredna posledica osnovne formule za sinus vsote in kotne razlike se torej izkažeta za dve novi relaciji (4) in (5).
c) namesto seštevanja leve in desne strani enačb (1) in (2) ju bomo odšteli eno od druge:
sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)
Branje te identitete od desne proti levi vodi do formule, podobne (4), ki se izkaže za nezanimivo, ker produkte sinusa in kosinusa že znamo razstaviti na vsoto sinusov (glej (4)). Branje (6) od leve proti desni daje formulo, ki strne razliko sinusov v produkt:
sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)
Tako smo iz ene temeljne identitete sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx dobili tri nove (4), (5), (7).
Podobno delo, opravljeno z drugo temeljno identiteto cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny, že vodi do štirih novih:
Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos (x-y)); cosp + cosc = 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);
Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)
Naloga: vsoto sinusa in kosinusa pretvorite v produkt:
Sinx +udoben = ? Rešitev: če poskušate ne izpeljati formule, ampak takoj pogledate odgovor v neki tabeli trigonometričnih formul, potem morda ne boste našli pripravljenega rezultata. Učenci bi morali razumeti, da si ni treba zapomniti in v tabelo vnašati druge formule za sinx+cosy = ..., saj je vsak kosinus mogoče predstaviti kot sinus in, nasprotno, z uporabo redukcijskih formul, na primer: sinx = cos ( π/2 – x), udobno = sin (π/2 – y). Zato: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.
Sorodni članki
-
Fraze iz jokerja Fraze iz temnega viteza
"The Dark Knight" je znanstvenofantastični triler, posnet leta 2008. Kakovosten in dinamičen film je dopolnila odlična igralska zasedba. V filmu igrajo Heath Ledger, Christian Bale, Maggie Gyllenhaal, Aaron Eckhart, Michael Caine, Morgan Freeman in...
-
Biologija - veda o življenju
Posebnosti biološkega risanja za srednješolce Biološko risanje je eno izmed splošno sprejetih orodij za preučevanje bioloških objektov in struktur. Obstaja veliko dobrih vadnic, ki obravnavajo to težavo....
-
Aminokisline, potrebne za človeka Kako si zapomniti vse aminokisline
1. Aminokisline škrlatni valček. Mušice (iz loga) Koper slovesa, Trava finala.
-
Clay Grey, tesnoba, slovesnost, tišina.
Lastniki iz prve roke vedo, koliko stane oskrba zasebnega doma z elektriko in toploto. V tem članku želim deliti najnovejše novice o razvoju nove vrste generatorja toplote. Verjetnost energetske revolucije, ko ...
-
Dan inženirskih čet Stavitsky Jurij Mihajlovič Načelnik inženirskih čet biografija
I. KOROTČENKO: Dober dan! Z veseljem pozdravljam vse, ki zdaj poslušate oddajo "Generalštab" na Ruski novičarski službi, v studiu Igorja Korotčenka. Predstavljam našega gosta - poleg mene je vodja inženirskih čet oboroženih sil ...
-
Življenjepis junaka ZSSR Jurija Babanskega
Babanski Jurij Vasiljevič - Heroj Sovjetske zveze, generalpodpolkovnik, poveljnik čete 2. mejne postojanke "Nižne-Mikhailovskaya" 57. mejnega odreda Reda delovnega rdečega praporja Iman Ussuri po imenu V.R....