Območje enakokrakega trikotnika s stranico a. Kako najti površino trikotnika (formule)

Glede na vrsto trikotnika obstaja več možnosti za iskanje njegovega območja. Na primer, za izračun površine pravokotnega trikotnika uporabite formulo S= a * b / 2, kjer sta a in b njegova kraka. Če želite poznati območje enakokraki trikotnik, potem je treba produkt njegove osnove in višine razdeliti na dva. To pomeni, da je S= b*h / 2, kjer je b osnova trikotnika, h pa njegova višina.

Nato boste morda morali izračunati površino enakokrakega pravokotnega trikotnika. Tukaj na pomoč pride naslednja formula: S = a* a / 2, kjer morata imeti noge "a" in "a" nujno enake vrednosti.

Prav tako moramo pogosto izračunati površino enakostranični trikotnik. Najdemo ga po formuli: S= a * h/ 2, kjer je a stranica trikotnika, h pa njegova višina. Ali po tej formuli: S= √3/ 4 *a^2, kjer je a stranica.

Kako najti območje pravokotnega trikotnika

Ali morate najti območje pravokotnega trikotnika, vendar izjava o problemu ne označuje dimenzij dveh njegovih nog hkrati? Potem te formule (S= a * b / 2) ne moremo uporabiti neposredno.

Razmislimo o več možnih rešitvah:

• Če ne poznate dolžine ene noge, vendar so podane mere hipotenuze in druge noge, se obrnemo na velikega Pitagora in z uporabo njegovega izreka (a^2+b^2=c^2), izračunamo dolžino neznane noge, nato pa z njo izračunamo površino trikotnika.
• Če sta podana dolžina enega kraka in stopinjski naklon nasprotnega kota: dolžino drugega kraka najdemo po formuli - a=b*ctg(C).
• Podano: dolžina enega kraka in stopinjski naklon kota, ki meji nanj: za iskanje dolžine drugega kraka uporabimo formulo - a=b*tg(C).
• In nazadnje, glede na: kot in dolžino hipotenuze: izračunamo dolžino obeh njenih katet z naslednjima formulama - b=c*sin(C) in a=c*cos(C).

Kako najti območje enakokrakega trikotnika

Območje enakokrakega trikotnika je mogoče zelo enostavno in hitro najti s formulo S = b * h / 2, če pa eden od indikatorjev manjka, postane naloga veliko bolj zapletena. Navsezadnje je treba izvesti dodatna dejanja.

Možne možnosti naloge:

• Podano: dolžina ene od stranic in dolžina osnove. S pomočjo Pitagorovega izreka najdemo višino, to je dolžino drugega kraka. Pod pogojem, da je dolžina osnove, deljena z dvema, noga, prvotno znana stran pa je hipotenuza.
• Podano: osnovo in kot med stranico in osnovo. Višino izračunamo po formuli h=c*ctg(B)/2 (ne pozabimo deliti strani "c" z dva).
• Podano: višina in kot, ki ju tvorita osnova in stranica: uporabimo formulo c=h*tg(B)*2 za iskanje višine in rezultat pomnožimo z dva. Nato izračunamo površino.
• Znano: dolžina stranice in kot med njo in višino. Rešitev: s formulama - c=a*sin(C)*2 in h=a*cos(C) poiščemo osnovo in višino, nakar izračunamo ploščino.

Kako najti območje enakokrakega pravokotnega trikotnika

Če so znani vsi podatki, potem s standardno formulo S= a* a / 2 izračunamo površino enakokrakega pravokotnega trikotnika, če pa nekateri kazalniki v problemu niso navedeni, se izvedejo dodatna dejanja.

Na primer: ne poznamo dolžin obeh stranic (spomnimo se, da sta v enakokrakem pravokotnem trikotniku enaki), podana pa je dolžina hipotenuze. Uporabimo Pitagorov izrek, da poiščemo isti stranici "a" in "a". Pitagorova formula: a^2+b^2=c^2. V primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika se spremeni v to: 2a^2 = c^2. Izkazalo se je, da morate za iskanje kraka "a" dolžino hipotenuze razdeliti s korenom iz 2. Rezultat rešitve bo dolžina obeh krakov enakokrakega pravokotnega trikotnika. Nato poiščemo območje.

Kako najti območje enakostraničnega trikotnika

Z uporabo formule S= √3/ 4*a^2 lahko preprosto izračunate ploščino enakostraničnega trikotnika. Če je polmer kroga, ki je opisan trikotniku, znan, je ploščino mogoče najti s formulo: S= 3√3/ 4*R^2, kjer je R polmer kroga.

Matematika je neverjetna znanost. Vendar taka misel pride šele, ko jo razumeš. Da bi to dosegli, morate rešiti naloge in primere, risati diagrame in slike, dokazati izreke.

Pot do razumevanja geometrije je skozi reševanje problemov. Odličen primer bi bile naloge, v katerih morate najti območje enakokrakega trikotnika.

Kaj je enakokraki trikotnik in kako se razlikuje od drugih?

Da se ne boste ustrašili izrazov "višina", "površina", "osnova", "enakokraki trikotnik" in drugi, boste morali začeti s teoretičnimi osnovami.

Najprej o trikotniku. to ravna figura, ki je sestavljen iz treh točk - oglišč, povezanih s segmenti. Če sta dva med seboj enaka, postane trikotnik enakokrak. Te stranice so bile imenovane stranske, preostala pa je postala osnova.

Obstaja poseben primer enakokrakega trikotnika - enakostranični, ko je tretja stranica enaka dvema stranskima.

Lastnosti oblike

Izkažejo se za zveste pomočnike pri reševanju problemov, ki zahtevajo iskanje območja enakokrakega trikotnika. Zato jih je treba poznati in si zapomniti.

• Prvi od njih: koti enakokrakega trikotnika, katerega ena stran je osnova, so vedno enaki drug drugemu.
• Pomembna je tudi lastnost nadzidave. Višina, mediana in simetrala, narisane na neparno stran, sovpadajo.
• Isti segmenti, narisani iz vogalov na dnu trikotnika, so v parih enaki. To tudi pogosto olajša iskanje rešitve.
• Dva enaka kota v njem imata vedno vrednost manjšo od 90º.
• In nazadnje: včrtana in opisana krožnica sta zgrajeni tako, da njuni središči ležita na višini do osnovice trikotnika, torej mediane in simetrale.

Kako v nalogi prepoznamo enakokraki trikotnik?

Če se pri reševanju naloge pojavi vprašanje, kako najti območje enakokrakega trikotnika, potem morate najprej razumeti, da spada v to skupino. In nekateri znaki bodo pri tem pomagali.

• Dva kota ali dve strani trikotnika sta enaka.
• Simetrala je tudi mediana.
• Izkaže se, da je višina trikotnika mediana ali simetrala.
• Dve višini, mediani ali simetrali figure sta enaki.

Oznake količin, sprejetih v obravnavanih formulah

Za poenostavitev iskanja območja enakokrakega trikotnika z uporabo formul je bila uvedena zamenjava njegovih elementov s črkami.

Pozor! Pomembno je, da ne zamenjujete "a" z "A" in "b" z "B". To so različne količine.

Formule, ki jih lahko uporabimo pri različnih nalogah

Dolžine stranic so znane in morate najti območje enakokrakega trikotnika.

V tem primeru morate kvadrirati obe vrednosti. Število, dobljeno s spremembo stranice, pomnožite s 4 in od tega odštejte sekundo. Izvlecite kvadratni koren nastale razlike. Dolžino osnove delite s 4. Dve števili pomnožite. Če ta dejanja napišete s črkami, dobite naslednjo formulo:

Naj bo zabeleženo pod št.

Poiščite površino enakokrakega trikotnika z uporabo vrednosti stranic. Formula, ki se nekaterim morda zdi preprostejša od prve.

Prvi korak je najti polovico baze. Nato poiščite vsoto in razliko tega števila s stranico. Dva najnovejše vrednosti pomnožite in izvlecite kvadratni koren. Zadnji korak je, da vse pomnožimo s polovico osnove. Dobesedna enakost bo videti takole:

To je formula št. 2.

Način za iskanje površine enakokrakega trikotnika, če sta znani osnova in višina do njega.

Ena najkrajših formul. V njem morate pomnožiti obe dani količini in ju deliti z 2. Tako bo zapisano:

Številka te formule je 3.

V nalogi sta znani stranici trikotnika in vrednost kota, ki leži med osnovo in stranico.

Tukaj, da bi ugotovili, kakšna bo površina enakokrakega trikotnika, bo formula sestavljena iz več dejavnikov. Prva je vrednost sinusa kota. drugič enako zmnožku strani na podlago. Tretji je ulomek ½. Splošni matematični zapis:

Serijska številka formule je 4.

Podana je naloga: stranska stranica enakokrakega trikotnika in kot med njegovima stranskima stranicama.

Tako kot v prejšnjem primeru se območje najde s tremi faktorji. Prva je enaka vrednosti sinusa kota, določenega v pogoju. Drugi je kvadrat stranice. In zadnja je prav tako enaka polovici ena. Posledično bo formula napisana takole:

Njena številka je 5.

Formula, ki vam omogoča, da najdete površino enakokrakega trikotnika, če sta znana njegova osnova in kot nasproti nje.

Najprej morate izračunati tangens polovice znani kot. Dobljeno število pomnožite s 4. Kvadratirajte dolžino stranice, ki jo nato delite s prejšnjo vrednostjo. Tako dobimo naslednjo formulo:

Zadnja številka formule je 6.

Vzorčne težave

Prva naloga: vemo, da je osnova enakokrakega trikotnika 10 cm, njegova višina pa 5 cm. Določiti moramo njegovo ploščino.

Za rešitev je logično izbrati formulo številka 3. Vse v njej je znano. Vpiši številke in štej. Izkazalo se je, da je površina 10 * 5 / 2. To je 25 cm 2.

Druga naloga: Enakokraki trikotnik ima stranico, ki je enaka 5 in 8 cm.

Prvi način. Po formuli št.1. Pri kvadriranju osnove je rezultat 64, štirikratni kvadrat stranice pa 100. Če odštejemo prvo od druge, je rezultat 36. Iz tega se popolnoma izvleče koren, ki je enak 6. Osnova deljeno z 4 je enako 2. Končna vrednost je določena kot produkt 2 in 6, to je 12. To je odgovor: zahtevana površina je 12 cm 2.

Drugi način. Po formuli št. 2. Polovica osnove je enaka 4. Vsota stranice in najdenega števila da 9, njuna razlika je 1. Po množenju je rezultat 9. Ekstrakcija kvadratni koren daje 3. In zadnje dejanje, pomnožitev 3 s 4, kar daje istih 12 cm 2.

Z reševanjem geometrijskih problemov in določanjem, kako najti območje enakokrakega trikotnika, lahko pridobite neprecenljive izkušnje. Več različnih variant nalog je opravljenih, lažje je najti odgovor v novi situaciji. Zato redno in samoizvedba vseh nalog je pot do uspešnega učenja snovi.

Ne pojavlja se le pri šolarjih ali študentih, ampak tudi v resničnem, praktičnem življenju. Na primer, med gradnjo postane potrebno dokončati fasado, ki se nahaja pod streho. Kako izračunati potrebno količino materiala?

Obrtniki, ki delajo s tkanino ali usnjem, se pogosto srečujejo s podobnimi težavami. Navsezadnje ima veliko delov, ki jih mora mojster izrezati, natančno obliko enakokrakega trikotnika.

Torej, obstaja več načinov za pomoč pri iskanju območja enakokrakega trikotnika. Prvi je izračun glede na osnovo in višino.

Za rešitev moramo zaradi jasnosti sestaviti trikotnik MNP z osnovo MN in višino PO. Zdaj pa dokončajmo nekaj na risbi: narišimo črto iz točke P, vzporedno z osnovo, in od točke M - črta, vzporedna z višino. Pokličimo presečišče Q. Če želite izvedeti, kako najti območje enakokrakega trikotnika, morate upoštevati nastali štirikotnik MOPQ, v katerem je stranska stran trikotnika MP, ki nam je dana, že njegova diagonala.

Najprej dokažimo, da je to pravokotnik. Ker smo ga zgradili sami, vemo, da sta stranici MO in OQ vzporedni. Obe stranici QM in OP sta tudi vzporedni. Kot POM je pravi, torej je tudi kot OPQ pravi. Zato je dobljeni štirikotnik pravokotnik. Najti njegovo ploščino ni težko, enako je produktu PO in OM. OM je polovica osnove tega trikotnika MPN. Iz tega sledi, da je površina pravokotnika, ki smo ga zgradili, enaka polovici produkta višine pravokotnega trikotnika in njegove osnove.

Druga stopnja naloge, ki je pred nami, kako določiti površino trikotnika, je dokazati dejstvo, da pravokotnik, ki smo ga dobili po površini, ustreza danemu enakokrakemu trikotniku, to je, da je površina trikotnika trikotnik je tudi enak polovičnemu zmnožku osnove in višine.

Najprej primerjajmo trikotnik PON in PMQ. Oba sta pravokotna, saj pri enem pravi kot tvori višina, pri drugem pa pravi kot pravokotnika. Hipotenuze v njih so stranice enakokrakega trikotnika, zato so tudi enake. Stranici PO in QM sta enaki tudi kot vzporedni stranici pravokotnika. To pomeni, da sta obe površini trikotnika PON in trikotnika PMQ enaki drug drugemu.

Ploščina pravokotnika QPOM je enaka vsoti ploščin trikotnikov PQM in MOP. Z zamenjavo vgrajenega trikotnika QPM s trikotnikom PON dobimo skupaj trikotnik, ki nam je bil dan za izpeljavo izreka. Zdaj vemo, kako najti ploščino enakokrakega trikotnika glede na njegovo osnovo in višino - izračunajte njihov polprodukt.

Lahko pa ugotovite, kako najti območje enakokrakega trikotnika z njegovo osnovo in stranico. Tu sta tudi dve možnosti: Heronov in Pitagorov izrek. Razmislimo o rešitvi z uporabo Pitagorovega izreka. Za primer vzemimo isti PMN z višino PO.

V pravokotnem trikotniku je POM MP hipotenuza. Njegov kvadrat je enak vsoti kvadratov PO in OM. In ker je OM polovica osnove, ki jo poznamo, lahko zlahka najdemo OM in kvadriramo število. Če dobljeno število odštejemo od kvadrata hipotenuze, ugotovimo, čemu je enak kvadrat drugega kraka, ki je v enakokrakem trikotniku višina. Ko iz razlike ugotovimo in ugotovimo višino pravokotnega trikotnika, lahko odgovorimo na zastavljeno nalogo.

Samo višino morate pomnožiti z osnovo in rezultat razdeliti na polovico. Zakaj je treba to storiti, smo pojasnili v prvi različici dokaza.

Zgodi se, da morate narediti izračune na strani in kotu. Nato po formuli s sinusi in kosinusi najdemo višino in osnovo ter ju ponovno pomnožimo in rezultat razdelimo na polovico.

Črkovne oznake stranic in kotov na zgornji sliki ustrezajo oznakam, navedenim v formulah. Tako jih boste lažje uskladili z elementi enakokrakega trikotnika. Iz pogojev naloge ugotovi, kateri elementi so znani, poišči njihove oznake na risbi in izberi ustrezno formulo.

Formula za območje enakokrakega trikotnika

Naslednje so formule za iskanje površine enakokrakega trikotnika: skozi stranice, stranico in kot med njima, skozi stranico, osnovo in temenski kot, skozi osnovo in osnovni kot itd. Samo poiščite najprimernejšega na sliki na levi. Za najbolj radovedne je v besedilu na desni razloženo, zakaj je formula pravilna in kako natančno jo je mogoče uporabiti za iskanje območja.

1. mogoče najti poznavanje njene plati in osnove. Ta izraz je bil pridobljen s poenostavitvijo bolj splošnega, univerzalna formula. Če za osnovo vzamemo Heronovo formulo in nato upoštevamo, da sta obe stranici trikotnika med seboj enaki, potem se izraz poenostavi na formulo, prikazano na sliki.
   Primer uporabe takšne formule je podan v spodnjem primeru reševanja naloge.
2. Druga formula vam omogoča, da najdete njegovo območje skozi stranice in kot med njima je polovica kvadrata stranice, pomnožene s sinusom kota med stranicama
   Če v mislih znižamo višino na stranico enakokrakega trikotnika, opazimo, da bo njegova dolžina enaka a * sin β. Ker nam je dolžina stranske stranice znana, je zdaj znana višina, spuščena nanjo, bo polovica njihovega produkta enaka ploščini danega enakokrakega trikotnika (Pojasnilo: popolno delo daje površino pravokotnika, kar je očitno. Višina deli ta pravokotnik na dva majhna pravokotnika, pri čemer sta stranici trikotnika njuni diagonali, ki ju delita točno na pol. Tako bo površina enakokrakega trikotnika enaka polovici produkta stranske stranice in višine). Glej tudi formulo 5
3. Tretja formula prikazuje iskanje območja skozi stranski, osnovni in vršni kot.
   Strogo gledano, če poznate enega od kotov enakokrakega trikotnika, lahko najdete druge, zato je uporaba te ali prejšnje formule stvar okusa (mimogrede, zato se lahko spomnite samo enega od njih).
   Tretja formula ima še eno zanimiva lastnost- delo greh α nam bo dal dolžino višine, spuščeno na osnovo. Kot rezultat dobimo preprosto in očitno formulo 5.
4. Območje enakokrakega trikotnika mogoče najti tudi skozi stran podnožja in vogal pri dnu(kota pri dnu sta enaka) kot kvadrat baze, deljen s štirimi tangentami polovice kota, ki ga sestavljajo njene stranice. Če natančno pogledate, postane očitno, da polovica osnove (b/2), pomnožena s tan (β/2), daje višino trikotnika. Ker je višina v enakokrakem trikotniku hkrati simetrala in mediana, potem je tg(β/2) razmerje med polovico osnove (b/2) in višino - tg(β/2) = (b/2)/h. Od koder je h = b / (2 tan(β/2)). Posledično bo formula spet skrčena na enostavnejšo formulo 5, kar je povsem očitno.
5. seveda območje enakokrakega trikotnika lahko najdemo tako, da spustimo višino od vrha do baze, kar ima za posledico dva pravokotna trikotnika. Nadalje - vse je očitno. Polovica zmnožka višine in osnove in obstaja zahtevano območje. Za primer uporabe te formule glejte spodnji problem (2. način rešitve)
6. To formulo dobite, če poskušate najti območje enakokrakega trikotnika z uporabo Pitagorovega izreka. Da bi to naredili, izrazimo višino iz prejšnje formule, ki je hkrati krak pravokotnega trikotnika, ki ga tvorijo stranica, polovica njegove osnove in višina, skozi Pitagorov izrek. Stranska stran je hipotenuza, zato od kvadrata stranske strani (a) odštejemo kvadrat druge noge. Ker je enak polovici osnove (b/2), bo njegov kvadrat enak b 2 /4. Če izvlečemo koren iz tega izraza, bomo dobili višino. Kot je razvidno iz formule 6. Če števec in imenovalec pomnožimo z dve in nato dvojko števca vpišemo pod znak korena, dobimo drugo različico iste formule, ki je zapisana skozi znak enačaja.
   Mimogrede, najpametnejši lahko vidijo, da če odprete oklepaje v formuli 1, se bo spremenila v formulo 6. Ali obratno, razlika kvadratov dveh števil, faktorizirana, nam bo dala prvotnega, prvega.

Poimenovanja, ki so bile uporabljene v formulah na sliki:

a- dolžina ene od dveh enakih stranic trikotnika

b- osnovna dolžina

α - velikost enega od dveh enakih kotov na dnu

β - velikost kota med enake stranice trikotnik in njegovo nasprotno osnovo

h- dolžina višine, spuščena z vrha enakokrakega trikotnika na osnovo

Pomembno. Bodite pozorni na oznake spremenljivk! Naj vas ne zmede α in β, in tudi a in b!

Opomba. To je del lekcije z geometrijskimi problemi (področje odseka enakokrakega trikotnika). Tukaj so težave, ki jih je težko rešiti. Če morate rešiti geometrijski problem, ki ga ni tukaj, pišite o tem na forumu. Za označevanje dejanja pridobivanja kvadratnega korena v rešitvah problema se uporablja simbol √ ali sqrt(), pri čemer je radikalni izraz naveden v oklepaju.

Naloga

Stranica enakokrakega trikotnika je 13 cm, osnova pa 10 cm. Poiščite območje enakokraki trikotnik.

rešitev.

1. metoda. Uporabimo Heronovo formulo. Ker je trikotnik enakokrak, bo imel preprostejšo obliko (glejte formulo 1 na zgornjem seznamu formul):

kjer je a dolžina stranic, b pa dolžina osnove.
Če zamenjamo vrednosti dolžin strani trikotnika iz izjave o problemu, dobimo:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5)(13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 cm 2

2. metoda. Uporabimo Pitagorov izrek
Predpostavimo, da se ne spomnimo formule, uporabljene v prvi rešitvi. Zato spustimo višino BK iz oglišča B na osnovo AC.
Ker višina enakokrakega trikotnika deli njegovo osnovo na pol, bo dolžina polovice osnovice enaka
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 cm.

Višina s polovico osnove in stranico enakokrakega trikotnika tvori pravokotni trikotnik ABK. V tem trikotniku poznamo hipotenuzo AB in krak AK. Izrazimo dolžino drugega kraka s Pitagorovim izrekom.