Odvod produkta kompleksne funkcije. Odvod zmnožka dveh funkcij. Geometrijski in fizikalni pomen odvoda

Z urejanje gradiva na temo »izpeljanka«. Osnovna šolska raven.
Teoretične informacije za študente, učitelje in mentorje matematike. Za pomoč pri izvedbi pouka.

definicija: odvod funkcije v točki je meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom spremenljivke, tj.

Tabela odvodov osnovnih matematičnih funkcij:

Pravila za izračun izvedenih finančnih instrumentov

Izpeljanka vsote poljubna dva izraza je enaka vsoti odvodov teh izrazov (odvod vsote je enak vsoti odvodov)

Izpeljanka razlike katera koli dva izraza je enaka razliki odvodov teh členov (odvod razlike je enak razliki odvodov).

Izpeljanka izdelka dva faktorja je enak zmnožku odvoda prvega faktorja in drugega plus produkt prvega faktorja in odvoda drugega (vsota odvodov faktorjev, vzetih po vrsti).
Komentar učitelja matematike: ko jaz v kratkih frazah Učenca spomnim na pravilo za izračun odvoda produkta, pravim takole: odvod prvega faktorja z drugim plus izmenjaj udarce!

Izpeljanka količnika dveh izrazov je enak količniku razlike med odpeljankama faktorjev, vzetih po vrsti, in kvadratom imenovalca.

Odvod zmnožka števila in funkcije. Če želite najti izpeljanko produkta števila in dobesednega izraza (funkcije), morate to število pomnožiti z izpeljanko tega dobesednega izraza.

Izpeljanka kompleksna funkcija:

Če želite izračunati odvod kompleksne funkcije, morate najti odvod zunanje funkcije in ga pomnožiti z odvodom notranje funkcije.

Vaši komentarji in povratne informacije o strani z izpeljankami:
Aleksander S.
Res sem potreboval mizo. Eden najbolj na internetu. Najlepša hvala tudi za pojasnila in pravila. Vsaj še en primer bi jim prav prišel. Najlepša hvala še enkrat.

Kolpakov A.N., inštruktor matematike: v redu, v bližnji prihodnosti bom poskušal strani dodati primere.

Virtualni matematični priročnik.
Kolpakov Aleksander Nikolajevič, učitelj matematike.

Če sledite definiciji, potem je odvod funkcije v točki meja razmerja prirastka funkcije Δ l na prirastek argumenta Δ x:

Zdi se, da je vse jasno. Toda poskusite uporabiti to formulo za izračun, recimo, odvoda funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x greh x. Če naredite vse po definiciji, potem boste po nekaj straneh izračunov preprosto zaspali. Zato obstajajo enostavnejši in učinkovitejši načini.

Za začetek omenimo, da lahko iz celotne raznolikosti funkcij ločimo tako imenovane elementarne funkcije. To je relativno preprosti izrazi, katerih izpeljanke so že dolgo izračunane in navedene v tabeli. Takšne funkcije si je precej enostavno zapomniti - skupaj z njihovimi izpeljankami.

Izvodi elementarnih funkcij

Osnovne funkcije so vse tiste, ki so navedene spodaj. Izpeljanke teh funkcij moramo poznati na pamet. Poleg tega si jih sploh ni težko zapomniti - zato so osnovni.

Torej, derivati elementarne funkcije:

Ime	funkcija	Izpeljanka
Konstanta	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, nič!)
Potenca z racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = greh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− greh x(minus sinus)
Tangenta	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/greh 2 x
Naravni logaritem	f(x) = dnevnik x	1/x
Poljubni logaritem	f(x) = dnevnik a x	1/(x ln a)
Eksponentna funkcija	f(x) = e x	e x(nič se ni spremenilo)

Če elementarno funkcijo pomnožimo s poljubno konstanto, potem zlahka izračunamo tudi odvod nove funkcije:

(C · f)’ = C · f ’.

Na splošno lahko konstante vzamemo iz predznaka odvoda. Na primer:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očitno je, da lahko elementarne funkcije dodajamo druga drugi, množimo, delimo - in še veliko več. Tako se bodo pojavile nove funkcije, ki ne bodo več posebej elementarne, ampak tudi diferencialne glede na določena pravila. Ta pravila so obravnavana spodaj.

Odvod vsote in razlike

Naj bodo funkcije podane f(x) In g(x), katerih izpeljanke so nam znane. Na primer, lahko vzamete osnovne funkcije, ki smo jih obravnavali zgoraj. Nato lahko najdete odvod vsote in razlike teh funkcij:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Torej je odvod vsote (razlike) dveh funkcij enak vsoti (razliki) odvodov. Lahko je več terminov. Na primer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo gledano, v algebri ni pojma "odštevanje". Obstaja koncept "negativnega elementa". Zato razlika f − g lahko prepišemo kot vsoto f+ (−1) g, nato pa ostane samo ena formula - odvod vsote.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

funkcija f(x) je vsota dveh osnovnih funkcij, torej:

f ’(x) = (x 2 + greh x)’ = (x 2)’ + (greh x)’ = 2x+ cos x;

Podobno sklepamo za funkcijo g(x). Samo že obstajajo trije izrazi (z vidika algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Izpeljanka izdelka

Matematika je logična veda, zato mnogi verjamejo, da če je odvod vsote enak vsoti odvodov, potem odvod produkta stavka">enako zmnožku izpeljank. Ampak jebi se! Izpeljanka zmnožka se izračuna po popolnoma drugi formuli. In sicer:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je preprosta, a se nanjo pogosto pozablja. Pa ne samo šolarji, tudi študenti. Rezultat so nepravilno rešeni problemi.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

funkcija f(x) je produkt dveh osnovnih funkcij, zato je vse preprosto:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-greh x) = x 2 (3 cos x − x greh x)

funkcija g(x) prvi množitelj je nekoliko bolj zapleten, vendar se splošna shema ne spremeni. Očitno prvi faktor funkcije g(x) je polinom in njegov odvod je odvod vsote. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x greh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Upoštevajte, da je v zadnjem koraku izpeljanka faktorizirana. Formalno tega ni treba storiti, vendar večina izpeljank ni izračunana sama od sebe, temveč za pregled funkcije. To pomeni, da bo nadalje odvod izenačen z nič, določeni bodo njegovi predznaki itd. Za tak primer je bolje imeti izraz faktoriziran.

Če obstajata dve funkciji f(x) In g(x), in g(x) ≠ 0 na množici, ki nas zanima, lahko definiramo nova funkcija h(x) = f(x)/g(x). Za takšno funkcijo lahko najdete tudi izpeljanko:

Ni slabo, kajne? Od kod minus? zakaj g 2? In tako! To je eden izmed najbolj kompleksne formule- Brez steklenice tega ne morete ugotoviti. Zato ga je bolje preučiti konkretni primeri.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij:

Števec in imenovalec vsakega ulomka vsebujeta elementarne funkcije, zato potrebujemo le formulo za odvod količnika:

V skladu s tradicijo faktorizirajmo števec - to bo zelo poenostavilo odgovor:

Kompleksna funkcija ni nujno pol kilometra dolga formula. Na primer, dovolj je, da prevzamete funkcijo f(x) = greh x in zamenjajte spremenljivko x, recimo, na x 2 + ln x. Se bo izšlo f(x) = greh ( x 2 + ln x) - to je kompleksna funkcija. Ima tudi izpeljanko, vendar je ne bo mogoče najti z zgoraj obravnavanimi pravili.

Kaj naj storim? V takih primerih pomaga zamenjava spremenljivke in formule za odvod kompleksne funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', če x se nadomesti z t(x).

Praviloma je situacija z razumevanjem te formule še bolj žalostna kot z izpeljanko količnika. Zato ga je tudi bolje razložiti na konkretnih primerih s podrobnim opisom vsakega koraka.

Naloga. Poiščite izpeljanke funkcij: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = greh ( x 2 + ln x)

Upoštevajte, da če je v funkciji f(x) namesto izraza 2 x+ 3 bo enostavno x, potem dobimo elementarno funkcijo f(x) = e x. Zato naredimo zamenjavo: naj 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Odvod kompleksne funkcije iščemo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

In zdaj - pozor! Izvedemo obratno zamenjavo: t = 2x+ 3. Dobimo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Zdaj pa poglejmo funkcijo g(x). Očitno ga je treba zamenjati x 2 + ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (greh t)’ · t' = cos t · t ’

Povratna zamenjava: t = x 2 + ln x. Nato:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

To je to! Kot je razvidno iz zadnjega izraza, se je celoten problem zmanjšal na izračun vsote derivata.

odgovor:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) ker ( x 2 + ln x).

Zelo pogosto v svojih učnih urah namesto izraza "izpeljanka" uporabljam besedo "prime". Na primer, udarec vsote je enak vsoti udarcev. Je to bolj jasno? No, to je dobro.

Tako se izračun derivata zmanjša na to, da se znebimo teh istih udarcev v skladu z zgoraj obravnavanimi pravili. Kot zadnji primer se vrnimo k odpeljani moči z racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi ve, da v vlogi n lahko tudi delno število. Na primer, koren je x 0,5. Kaj pa, če je pod korenino kaj elegantnega? Spet bo rezultat zapletena funkcija - takšne konstrukcije radi dajejo testi in izpiti.

Naloga. Poiščite odvod funkcije:

Najprej zapišimo koren kot potenco z racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Zdaj naredimo zamenjavo: naj x 2 + 8x − 7 = t. Izpeljanko najdemo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Naredimo obratno zamenjavo: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Za konec pa nazaj h koreninam:

Zelo enostavno zapomniti.

No, ne gremo daleč, poglejmo takoj inverzna funkcija. Katera funkcija je obratna eksponentna funkcija? Logaritem:

V našem primeru je osnova številka:

Takšen logaritem (to je logaritem z osnovo) imenujemo »naravni«, zanj pa uporabljamo poseben zapis: namesto tega pišemo.

Čemu je enako? seveda

Izpeljanka naravnega logaritma je tudi zelo preprosta:

Primeri:

1. Poiščite odvod funkcije.
2. Kaj je odvod funkcije?

odgovori: Eksponentni in naravni logaritem sta edinstveno enostavni funkciji z vidika izpeljave. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo osnovo bodo imele drugačen odvod, ki ga bomo analizirali kasneje pojdimo skozi pravila diferenciacija.

Pravila razlikovanja

Pravila česa? Spet nov termin, spet?!...

Diferenciacija je postopek iskanja izpeljanke.

To je vse. Kako drugače lahko poimenujete ta proces z eno besedo? Ni izpeljanka... Matematiki imenujejo diferencial enak prirastek funkcije pri. Ta izraz izhaja iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.

Pri izpeljavi vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove prirastke:

Skupaj je 5 pravil.

Konstanta je vzeta iz predznaka izpeljanke.

Če - neko konstantno število (konstanta), potem.

Očitno to pravilo deluje tudi za razliko: .

Dokažimo. Naj bo ali preprosteje.

Primeri.

Poiščite odvode funkcij:

1. na točki;
2. na točki;
3. na točki;
4. na točki.

rešitve:

1. (izpeljanka je v vseh točkah enaka, saj to linearna funkcija, se spomniš?);

Izpeljanka izdelka

Tukaj je vse podobno: predstavimo novo funkcijo in poiščimo njen prirastek:

Izpeljanka:

Primeri:

1. Poiščite odvode funkcij in;
2. Poiščite odvod funkcije v točki.

rešitve:

Odvod eksponentne funkcije

Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite poiskati odvod poljubne eksponentne funkcije in ne samo eksponentov (ste že pozabili, kaj je to?).

Torej, kje je kakšna številka.

Odvod funkcije že poznamo, zato poskusimo reducirati našo funkcijo na novo osnovo:

Za to bomo uporabili preprosto pravilo: . Nato:

No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.

Je uspelo?

Evo, preverite sami:

Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bila, ostaja enaka, pojavil se je le faktor, ki je le številka, ne pa spremenljivka.

Primeri:
Poiščite odvode funkcij:

odgovori:

To je le številka, ki je ni mogoče izračunati brez kalkulatorja, torej je ni več mogoče zapisati v preprosti obliki. Zato ga v odgovoru pustimo v tej obliki.

Upoštevajte, da je tukaj količnik dveh funkcij, zato uporabimo ustrezno pravilo diferenciacije:

V tem primeru produkt dveh funkcij:

Odvod logaritemske funkcije

Tukaj je podobno: odvod naravnega logaritma že poznate:

Torej, če želite najti poljuben logaritem z drugačno osnovo, na primer:

Ta logaritem moramo zmanjšati na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:

Samo zdaj bomo namesto tega zapisali:

Imenovalec je preprosto konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanko dobimo zelo preprosto:

Odvodi eksponentnih in logaritemske funkcije se skoraj nikoli ne pojavijo na enotnem državnem izpitu, vendar ne bi škodilo, če bi jih poznali.

Odvod kompleksne funkcije.

Kaj je "kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ni arktangens. Te funkcije so lahko težko razumljive (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse bo v redu), vendar z matematičnega vidika beseda "kompleksno" ne pomeni "težko".

Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in delata nekaj dejanj z nekaterimi predmeti. Prvi na primer zavije čokoladno tablico v ovoj, drugi pa jo zaveže s pentljo. Rezultat je sestavljen predmet: čokoladna ploščica, ovita in privezana s trakom. Če želite jesti čokolado, morate storiti obratna dejanja v obratnem vrstnem redu.

Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej bomo našli kosinus števila in nato kvadrirali dobljeno število. Torej, dobimo številko (čokolada), jaz poiščem njen kosinus (ovitek), nato pa ti kvadriraš, kar sem jaz dobil (zavežeš s trakom). Kaj se je zgodilo? funkcija. To je primer kompleksne funkcije: ko za iskanje njene vrednosti izvedemo prvo dejanje neposredno s spremenljivko in nato drugo dejanje s tistim, kar je rezultat prvega.

Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .

Za naš primer,.

Enake korake lahko preprosto izvedemo v obratnem vrstnem redu: najprej ga kvadriraš, jaz pa nato poiščem kosinus dobljenega števila: . Zlahka je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: ko se spremeni vrstni red dejanj, se spremeni funkcija.

Drugi primer: (isto). .

Poklicano bo dejanje, ki ga izvedemo nazadnje "zunanjo" funkcijo, in prvo izvedeno dejanje - temu primerno "notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).

Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:

odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji

1. Katero dejanje bomo najprej izvedli? Najprej izračunajmo sinus, šele nato ga kubiramo. To pomeni, da gre za notranjo funkcijo, vendar zunanjo.
   In prvotna funkcija je njihova sestava: .
2. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
3. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
4. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
5. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .

Spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.

No, zdaj bomo izluščili našo čokoladico in poiskali izpeljanko. Postopek je vedno obraten: najprej iščemo odvod zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z odvodom notranje funkcije. Glede na originalni primer je videti takole:

Še en primer:

Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Zdi se preprosto, kajne?

Preverimo s primeri:

rešitve:

1) Notranji: ;

Zunanji: ;

2) Notranji: ;

(Samo ne poskušajte ga zdaj odrezati! Nič ne pride izpod kosinusa, se spomnite?)

3) Notranji: ;

Zunanji: ;

Takoj je jasno, da gre za trinivojsko kompleksno funkcijo: navsezadnje je to že sama po sebi kompleksna funkcija in iz nje izluščimo tudi koren, torej izvedemo tretje dejanje (damo čokolado v ovoj in s trakom v aktovki). Vendar ni razloga za strah: to funkcijo bomo še vedno "odpakirali" v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.

To pomeni, da najprej diferenciramo koren, nato kosinus in šele nato izraz v oklepaju. In potem vse pomnožimo.

V takih primerih je priročno oštevilčiti dejanja. Se pravi, predstavljajmo si, kaj vemo. V kakšnem vrstnem redu bomo izvajali dejanja za izračun vrednosti tega izraza? Poglejmo primer:

Kasneje ko se izvede dejanje, bolj "zunanja" bo ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj je enako kot prej:

Tu je gnezdenje običajno 4-nivojsko. Določimo potek ukrepanja.

1. Radikalno izražanje. .

2. Koren. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Vse skupaj:

IZPELJAVKA. NA KRATKO O GLAVNEM

Odvod funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je vzeta iz izpeljanke:

Izpeljanka vsote:

Izpeljanka izdelka:

Izpeljanka količnika:

Odvod kompleksne funkcije:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

1. Definiramo “notranjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
2. Definiramo “zunanjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
3. Rezultate prve in druge točke pomnožimo.

Kaj je izvedena funkcija - to je glavna stvar matematični koncept, je v analizi na isti ravni z integrali. Ta funkcija na določeni točki daje značilnost hitrosti spremembe funkcije na dani točki.
Koncepti, kot sta diferenciacija in integracija, je prvi dešifriran kot dejanje iskanja derivata, drugi, nasprotno, obnovi funkcijo, ki se začne z danim derivatom.
Izvedeni izračuni igrajo pomembno vlogo pri diferencialnih izračunih.
Za jasen primer ponazorimo odvod na koordinatni ravnini.

v funkciji y=f(x) fiksiramo točki M, v katerih je (x0; f(X0)) in N f (x0+?x) na vsako absciso prirastek v obliki?x. Inkrement je proces, ko se spremeni abscisa, nato se spremeni tudi ordinata. Označeno kot?y.
Poiščimo tangens kota v trikotniku MPN z uporabo točk M in N za to.

tg? = NP/MP = ?у/?x.

As?x gre na 0. Sečišče MN se približuje tangenti MT in kotu? bo?. Torej, tg? največja vrednost za tg?.

tg? = lim od?x-0 tg ? = lim od?x-0 ?y/?x

Tabela izvedenih finančnih instrumentov

Če izgovorite besedilo vsakega izpeljane formule. Tabelo si bo lažje zapomniti.
1) Odvod konstantne vrednosti je 0.
2) X s praštevilom je enako ena.
3) Če obstaja konstanten faktor, ga preprosto vzamemo kot odvod.
4) Če želite najti izpeljano potenco, morate eksponent dane potence pomnožiti s potenco z isto osnovo, katere eksponent je za 1 manjši.
5) Iskanje korena je enako ena deljeno z 2 teh korenin.
6) Odvod ena deljeno z X je enak ena deljeno z X na kvadrat z znakom minus.
7) P sinus je enak kosinusu
8) P kosinus je enak sinusu z znakom minus.
9) P tangens je enak ena deljeno s kosinusom na kvadrat.
10) P kotangens je enak ena z znakom minus, deljeno s sinusom na kvadrat.

Tudi pri razlikovanju obstajajo pravila, ki se jih tudi lažje naučimo, če jih izgovorimo na glas.

1) Zelo preprosto, n členov je enako njihovi vsoti.
2) Odvod pri množenju je enak množenju prve vrednosti z drugo, pri čemer se prišteje množenje druge vrednosti s prvo.
3) Odvod pri deljenju je enak pomnožku prve vrednosti z drugo, pri čemer se odšteje pomnožek druge vrednosti s prvo. Ulomek, deljen z drugo vrednostjo na kvadrat.
4) Formulacija je poseben primer tretje formule.

Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija.

Kot rezultat reševanja problemov iskanja odvodov najenostavnejših (in ne zelo preprostih) funkcij z opredelitvijo odvoda kot meje razmerja prirastka in prirastka argumenta se je pojavila tabela odvodov in natančno določena pravila diferenciacije. . Prva, ki sta delala na področju iskanja derivatov, sta bila Isaac Newton (1643-1727) in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Zato vam v našem času za iskanje odvoda katere koli funkcije ni treba izračunati zgoraj omenjene meje razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ampak morate uporabiti samo tabelo izpeljanke in pravila razlikovanja. Za iskanje izpeljanke je primeren naslednji algoritem.

Da bi našli izpeljanko, potrebujete izraz pod praznakom preproste funkcije razčleniti na komponente in določite, katera dejanja (zmnožek, vsota, količnik) te funkcije so povezane. Nato najdemo odvode elementarnih funkcij v tabeli odvodov, formule za odvode produkta, vsote in količnika pa v pravilih diferenciacije. Tabela odvodov in pravila razlikovanja so podani po prvih dveh primerih.

Primer 1. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Iz pravil diferenciacije ugotovimo, da je odvod vsote funkcij vsota odvodov funkcij, tj.

Iz tabele odvodov ugotovimo, da je odvod “X” enak ena, odvod sinusa pa kosinus. Te vrednosti nadomestimo v vsoto derivatov in poiščemo derivat, ki ga zahteva pogoj problema:

Primer 2. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Diferenciramo kot izpeljanko vsote, pri kateri ima drugi člen konstanten faktor;

Če se vseeno porajajo vprašanja o tem, od kod kaj izvira, jih običajno razčistimo po seznanitvi s tabelo izpeljank in najpreprostejšimi pravili razlikovanja. Prav zdaj se premikamo k njim.

Tabela odvodov enostavnih funkcij

1. Izpeljava konstante (števila). Poljubno število (1, 2, 5, 200 ...), ki je v funkcijskem izrazu. Vedno enako nič. To si je zelo pomembno zapomniti, saj je potrebno zelo pogosto
2. Izpeljanka neodvisne spremenljivke. Najpogosteje "X". Vedno enako ena. To je tudi pomembno, da si zapomnite za dolgo časa
3. Izpeljanka stopnje. Ko rešujete naloge, morate nekvadratne korene pretvoriti v potence.
4. Odvod spremenljivke na potenco -1
5. Izpeljanka kvadratni koren
6. Odvod sinusa
7. Odvod kosinusa
8. Odvod tangente
9. Odvod kotangensa
10. Odvod arkusina
11. Izpeljanka arkosinusa
12. Odvod arktangensa
13. Odvod ark kotangensa
14. Odvod naravnega logaritma
15. Odvod logaritemske funkcije
16. Izpeljanka eksponenta
17. Odvod eksponentne funkcije

Pravila razlikovanja

1. Izpeljava vsote ali razlike
2. Izpeljanka izdelka
2a. Izpeljanka izraza, pomnožena s konstantnim faktorjem
3. Izpeljava količnika
4. Odvod kompleksne funkcije

1. praviloČe funkcije

so na neki točki diferencibilne, potem so funkcije diferencibilne na isti točki

in

tiste. odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij.

Posledica. Če se dve diferenciabilni funkciji razlikujeta za konstanten člen, sta njuna odvoda enaka, tj.

2. pravilo.Če funkcije

so na neki točki diferencibilni, potem je njihov produkt diferencibilen na isti točki

in

tiste. Odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij in odvoda druge.

Posledica 1. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda:

Posledica 2. Odvod zmnožka več diferenciabilnih funkcij je enak vsoti zmnožkov odvoda vsakega faktorja in vseh ostalih.

Na primer za tri množitelje:

3. praviloČe funkcije

na neki točki mogoče razlikovati in , potem je na tej točki njihov kvocient tudi diferenciabilenu/v in

tiste. odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalca, imenovalec pa je kvadrat prejšnji števnik.

Kje iskati stvari na drugih straneh

Pri iskanju odvoda zmnožka in količnika v realnih problemih je vedno treba uporabiti več diferenciacijskih pravil hkrati, torej več primerov za te derivate - v članku"Odvod produkta in kvocienta funkcij".

Komentiraj. Ne zamenjujte konstante (torej števila) kot člena v vsoti in kot konstantnega faktorja! Pri členu je njegova izpeljanka enaka nič, pri konstantnem faktorju pa je vzeta iz predznaka izpeljank. to tipična napaka, ki se pojavi na začetni fazi učijo izpeljanke, a ker rešijo več eno- in dvodelnih primerov, povprečen učenec te napake ne dela več.

In če imate pri diferenciranju produkta ali količnika izraz u"v, v katerem u- število, na primer 2 ali 5, to je konstanta, potem bo derivat tega števila enak nič, zato bo celoten izraz enak nič (ta primer je obravnavan v primeru 10).

Druga pogosta napaka je mehansko reševanje odvoda kompleksne funkcije kot odvoda preproste funkcije. zato odvod kompleksne funkcije je posvečen poseben članek. A najprej se bomo naučili poiskati izpeljanke enostavnih funkcij.

Na poti ne morete brez preoblikovanja izrazov. Če želite to narediti, boste morda morali odpreti priročnik v novih oknih. Dejanja z močmi in koreninami in Operacije z ulomki .

Če iščete rešitve za odvode ulomkov s potencami in koreni, ko je funkcija videti kot , nato sledite lekciji "Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni."

Če imate nalogo, kot je , potem boste vzeli lekcijo “Odvodi preprostih trigonometričnih funkcij”.

Primeri po korakih - kako najti izpeljanko

Primer 3. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Določimo dele funkcijskega izraza: celoten izraz predstavlja zmnožek, njegovi faktorji pa so vsote, v drugem izmed členov pa je konstanten faktor. Uporabimo pravilo diferenciacije zmnožkov: odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij z odvodom druge:

Nato uporabimo pravilo diferenciacije vsote: odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij. V našem primeru ima v vsaki vsoti drugi člen predznak minus. V vsaki vsoti vidimo tako neodvisno spremenljivko, katere odvod je enak ena, kot konstanto (število), katere odvod je enak nič. Torej se "X" spremeni v ena, minus 5 pa v nič. V drugem izrazu je "x" pomnožen z 2, tako da dva pomnožimo z isto enoto kot izpeljanka "x". Dobimo naslednje vrednosti derivatov:

Najdene odvode nadomestimo v vsoto produktov in dobimo odvod celotne funkcije, ki jo zahteva pogoj problema:

Rešitev problema z izpeljavo lahko preverite na.

Primer 4. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Poiskati moramo odvod količnika. Uporabimo formulo za razlikovanje količnika: odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalec, imenovalec pa je kvadrat prejšnjega števca. Dobimo:

Odvod faktorjev v števcu smo našli že v primeru 2. Ne pozabimo tudi, da je zmnožek, ki je drugi faktor v števcu v trenutnem primeru, vzet s predznakom minus:

Če iščete rešitve za naloge, v katerih morate najti odvod funkcije, kjer je zvezen kup korenov in potenc, kot je npr. , potem dobrodošli v razredu "Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni" .

Če želite izvedeti več o odvodih sinusov, kosinusov, tangentov in drugih trigonometrične funkcije, to je, ko je funkcija videti , potem lekcija za vas "Izvodi preprostih trigonometričnih funkcij" .

Primer 5. Poiščite odvod funkcije

rešitev. V tej funkciji vidimo produkt, katerega eden izmed faktorjev je kvadratni koren neodvisne spremenljivke, katere odvod smo spoznali v tabeli odvodov. Z uporabo pravila za razlikovanje produkta in tabelarne vrednosti odvoda kvadratnega korena dobimo:

Rešitev izpeljanke lahko preverite na spletni kalkulator izvedenih finančnih instrumentov .

Primer 6. Poiščite odvod funkcije

rešitev. V tej funkciji vidimo količnik, katerega dividenda je kvadratni koren neodvisne spremenljivke. S pomočjo pravila diferenciacije količnikov, ki smo ga ponovili in uporabili v primeru 4, in tabelarne vrednosti odvoda kvadratnega korena dobimo:

Če se želite znebiti ulomka v števcu, pomnožite števec in imenovalec z.