Reševanje racionalnih izrazov. Osnove racionalnih izrazov in njihovih transformacij. Definicija in primeri racionalnih ulomkov

Pretvarjanje racionalnih izrazov

V tej lekciji bomo delali z racionalnimi izrazi. Vklopljeno konkretni primeri Razmislimo o metodah za reševanje problemov, ki vključujejo transformacije racionalnih izrazov in dokazovanje z njimi povezanih identitet.

Racionalno izražanje - algebrski izraz, sestavljen iz števil, abecednih spremenljivk, aritmetičnih operacij, dviga na naravno potenco in znakov zaporedja teh dejanj (oklepaji). Skupaj s frazo "racionalni izraz" v algebri se včasih uporabljata izraza "celo število" ali "ulomek".

Na primer izrazi

so tako racionalni kot celoviti.

Izrazi

so tako racionalni kot delni, ker imenovalec vsebuje izraz s spremenljivko.

Ne smemo pozabiti, da ulomek izgubi pomen, če gre imenovalec na nič.

Glavni cilj lekcije bo pridobivanje izkušenj pri reševanju problemov poenostavljanja racionalnih izrazov.

Poenostavitev racionalnih izrazov je uporaba identitetnih transformacij, da bi poenostavili pisanje izraza (ga naredili krajšega in bolj priročnega za nadaljnje delo).

Za pretvorbo racionalnih izrazov potrebujemo pravila za seštevanje (odštevanje), množenje, deljenje in potenciranje algebrskih ulomkov; vsa ta dejanja se izvajajo po enakih pravilih kot dejanja z navadnimi ulomki:

In tudi skrajšane formule množenja:

Pri reševanju primerov preoblikovanja racionalnih izrazov je treba upoštevati naslednji vrstni red dejanj: najprej se izvedejo dejanja v oklepaju, nato zmnožek/deljenje (ali potenciranje) in nato dejanja seštevanja/odštevanja.

Poglejmo torej primer 1:

treba je izraz poenostaviti

Najprej izvedemo dejanja v oklepajih.

Predstavljamo algebrski ulomki na skupni imenovalec in seštevajte (odštevajte) ulomke z enakimi imenovalci po zgoraj zapisanih pravilih.

Z uporabo skrajšane formule (in sicer kvadrata razlike) ima dobljeni izraz obliko:

Drugič, po pravilih za množenje algebrskih ulomkov ločeno pomnožimo števce in imenovalce:

Nato zmanjšamo nastali izraz:

Kot rezultat izvedenih transformacij dobimo preprost izraz

Oglejmo si bolj zapleten primer 2 transformacije racionalnih izrazov: potrebno je dokazati identiteto:

Dokazati identiteto pomeni ugotoviti, da sta za vse dopustne vrednosti spremenljivk leva in desna stran enaki.

Dokaz:

Za dokaz te istovetnosti je potrebno transformirati izraz na levi strani. Če želite to narediti, morate slediti vrstnemu redu zgoraj opisanih dejanj: najprej se izvedejo dejanja v oklepajih, nato množenje in nato seštevanje.

Torej, dejanje 1:

izvajati seštevanje/odštevanje izraza v oklepaju.

Da bi to naredili, faktorizirajte izraze v imenovalcih ulomkov in te ulomke postavite na skupni imenovalec.

Torej v imenovalec prvega ulomka damo iz oklepaja 3, v imenovalec drugega damo znak minus in ga s skrajšano formulo množenja razčlenimo na dva faktorja, v imenovalec tretjega ulomka pa damo x iz oklepaja.

Skupni imenovalec teh treh ulomkov je izraz

2. dejanje:

pomnoži ulomek

Če želite to narediti, morate najprej faktorizirati števec prvega ulomka in ta ulomek dvigniti na potenco 2.

In pri množenju ulomkov izvedite ustrezno zmanjšanje.

3. dejanje:

Seštejemo prvi ulomek prvotnega izraza in dobljeni ulomek

Če želite to narediti, najprej faktorizirajte števec in imenovalec prvega ulomka in zmanjšajte:

Zdaj ostane le še, da seštejemo dobljene algebraične ulomke z različnimi imenovalci:

Tako smo kot rezultat 3 dejanj in poenostavitve leve strani identitete dobili izraz z njene desne strani in s tem dokazali to istovetnost. Vendar se spomnimo, da je identiteta veljavna samo za dopustne vrednosti spremenljivke x. V tem primeru so to vse vrednosti x, razen tistih, zaradi katerih so imenovalci ulomkov nič. To pomeni, da so vse vrednosti x sprejemljive, razen tistih, za katere je izpolnjena vsaj ena od enakosti:

Naslednje vrednosti bodo neveljavne:

Tako smo si na konkretnih primerih ogledali reševanje problemov, ki vključujejo transformacije racionalnih izrazov in dokazovanje z njimi povezanih identitet.

Seznam uporabljene literature:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za obč izobraževalne ustanove/ A.G. Mordkovič. – 9. izd., predelana. – M.: Mnemosyne, 2007. – 215 str.: ilustr.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. razred. Ob 14. uri 2. del. Problemska knjiga za izobraževalne ustanove/ A.G. Mordkovič, T.N. Mišustina, E.E. Tulchinskaya.. – 8. izd., – M.: Mnemosyne, 2006 – 239 str.
3. Algebra. 8. razred. Testi za študente izobraževalnih ustanov v L.A. Aleksandrov, ur. A.G. Mordkovich 2. izd., izbrisano. - M .: Mnemosyne 2009. - 40 str.
4. Algebra. 8. razred. Samostojno delo za študente izobraževalnih ustanov: k učbeniku A.G. Mordkovič, L.A. Aleksandrov, ur. A.G. Mordkovič. 9. izd., izbrisano. - M .: Mnemosyne 2013. - 112 str.

Aritmetična operacija, ki se izvede zadnja pri izračunu vrednosti izraza, je »glavna« operacija.

Se pravi, če zamenjate nekaj (poljubnih) številk namesto črk in poskušate izračunati vrednost izraza, potem, če je zadnje dejanje množenje, potem imamo produkt (izraz je faktoriziran).

Če je zadnje dejanje seštevanje ali odštevanje, to pomeni, da izraz ni faktoriziran (in ga zato ni mogoče zmanjšati).

Za potrditev tega sami rešite nekaj primerov:

Primeri:

rešitve:

1. Upam, da niste takoj pohiteli rezati in? Še vedno ni bilo dovolj, da bi tako "zmanjšali" enote:

Prvi korak bi morala biti faktorizacija:

4. Seštevanje in odštevanje ulomkov. Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec.

Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov je znana operacija: iščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in seštevamo/odštevamo števce.

Spomnimo se:

odgovori:

1. Imenovalca in sta relativno praštevilna, to pomeni, da nimata skupni dejavniki. Zato je LCM teh števil enak njihovemu produktu. To bo skupni imenovalec:

2. Tukaj je skupni imenovalec:

3. Prva stvar tukaj mešane frakcije jih spremenimo v nepravilne in nato sledimo običajnemu vzorcu:

Povsem druga stvar je, če ulomki vsebujejo črke, na primer:

Začnimo z nečim preprostim:

a) Imenovalci ne vsebujejo črk

Tukaj je vse enako kot pri navadnem številčni ulomki: poiščite skupni imenovalec, pomnožite vsak ulomek z manjkajočim faktorjem in seštejte/odštejte števce:

Zdaj lahko v števcu navedete podobne, če obstajajo, in jih faktorizirate:

Poskusite sami:

odgovori:

b) Imenovalci vsebujejo črke

Spomnimo se načela iskanja skupnega imenovalca brez črk:

· najprej določimo skupne faktorje;

· nato enega za drugim izpišemo vse skupne faktorje;

· in jih pomnožite z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Da določimo skupne faktorje imenovalcev, jih najprej faktoriziramo v prafaktorje:

Poudarimo skupne dejavnike:

Zdaj pa izpišimo skupne faktorje enega za drugim in jim dodamo vse neobičajne (nepodčrtane):

To je skupni imenovalec.

Vrnimo se k črkam. Imenovalci so podani na povsem enak način:

· razčlenimo imenovalce;

· ugotavljanje skupnih (enakih) faktorjev;

· enkrat izpiši vse skupne faktorje;

· pomnožite jih z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Torej po vrsti:

1) faktoriziraj imenovalce:

2) določite skupne (enake) dejavnike:

3) enkrat izpiši vse skupne faktorje in jih pomnoži z vsemi drugimi (nepodčrtanimi) faktorji:

Tukaj je torej skupni imenovalec. Prvi ulomek je treba pomnožiti z, drugi - z:

Mimogrede, obstaja en trik:

Na primer: .

V imenovalcih vidimo iste dejavnike, le da so vsi z različnimi kazalniki. Skupni imenovalec bo:

do stopnje

do stopnje

do stopnje

do stopnje.

Zapletimo nalogo:

Kako doseči, da imajo ulomki enak imenovalec?

Spomnimo se osnovne lastnosti ulomka:

Nikjer ne piše, da je mogoče isto število odšteti (ali prišteti) od števca in imenovalca ulomka. Ker ni res!

Prepričajte se sami: vzemite na primer kateri koli ulomek in števcu in imenovalcu prištejte neko število, na primer . kaj si se naučil

Torej, še eno neomajno pravilo:

Ko ulomke reducirate na skupni imenovalec, uporabite samo operacijo množenja!

Toda s čim morate pomnožiti, da dobite?

Torej pomnožite s. In pomnožite z:

Izraze, ki jih ni mogoče faktorizirati, bomo imenovali "elementarni faktorji".

Na primer, - to je osnovni dejavnik. - Enako. Ampak ne: lahko se faktorizira.

Kaj pa izraz? Je osnovno?

Ne, ker se lahko faktorizira:

(o faktorizaciji ste že prebrali v temi “”).

Torej so osnovni faktorji, na katere razčleniš izraz s črkami, analog preprostih faktorjev, na katere razčleniš števila. In z njimi bomo ravnali na enak način.

Vidimo, da imata oba imenovalca množitelja. Šlo bo na skupni imenovalec do stopnje (se spomnite, zakaj?).

Faktor je elementaren in nimata skupnega faktorja, kar pomeni, da bo treba prvi ulomek preprosto pomnožiti z njim:

Še en primer:

rešitev:

Preden panično pomnožite te imenovalce, morate razmisliti, kako jih faktorizirati? Oba predstavljata:

odlično! Nato:

Še en primer:

rešitev:

Kot običajno razložimo imenovalce na faktorje. V prvi imenovalec preprosto damo iz oklepaja; v drugem - razlika kvadratov:

Zdi se, da skupnih dejavnikov ni. A če dobro pogledaš, sta si podobna ... In res je:

Torej zapišimo:

Se pravi, izkazalo se je tako: znotraj oklepaja smo zamenjali izraze, hkrati pa se je znak pred ulomkom spremenil v nasprotno. Upoštevajte, to boste morali pogosto početi.

Zdaj pa ga spravimo na skupni imenovalec:

razumeš Preverimo zdaj.

Naloge za samostojno reševanje:

odgovori:

Tu se moramo spomniti še ene stvari - razlike med kockami:

Upoštevajte, da imenovalec drugega ulomka ne vsebuje formule "kvadrat vsote"! Kvadrat vsote bi izgledal takole: .

A je tako imenovani nepopolni kvadrat vsote: drugi člen v njem je produkt prvega in zadnjega in ne njun dvojni produkt. Delni kvadrat vsote je eden od dejavnikov pri razširitvi razlike kock:

Kaj storiti, če so že trije ulomki?

Ja, isto! Najprej se prepričajmo o tem največja količina faktorji v imenovalcih so bili enaki:

Upoštevajte: če spremenite znake znotraj enega oklepaja, se znak pred ulomkom spremeni v nasprotnega. Ko zamenjamo predznake v drugem oklepaju, se predznak pred ulomkom spet spremeni v nasprotnega. Zaradi tega se (znak pred ulomkom) ni spremenil.

Celoten prvi imenovalec izpišemo na skupni imenovalec, nato pa mu prištejemo še nezapisane faktorje iz drugega, nato iz tretjega (in tako naprej, če je ulomkov več). Se pravi, izkaže se takole:

Hmm ... Jasno je, kaj storiti z ulomki. Kaj pa oba?

Preprosto je: veste, kako seštevati ulomke, kajne? Torej, dva moramo narediti kot ulomek! Spomnimo se: ulomek je operacija deljenja (števec delimo z imenovalcem, če ste pozabili). In ni nič lažjega kot deliti število s. V tem primeru se sama številka ne bo spremenila, ampak se bo spremenila v ulomek:

Ravno to, kar potrebujete!

5. Množenje in deljenje ulomkov.

No, najtežjega dela je zdaj konec. In pred nami je najpreprostejše, a hkrati najpomembnejše:

Postopek

Kakšen je postopek za izračun številskega izraza? Z izračunom si zapomnite pomen tega izraza:

Ste šteli?

Moralo bi delovati.

Torej, naj vas spomnim.

Prvi korak je izračun stopnje.

Drugi je množenje in deljenje. Če je več množenj in deljenj hkrati, jih lahko izvajamo v poljubnem vrstnem redu.

In na koncu izvedemo seštevanje in odštevanje. Spet v poljubnem vrstnem redu.

Toda: izraz v oklepaju je ovrednoten izven reda!

Če med seboj pomnožimo ali delimo več oklepajev, najprej izračunamo izraz v vsakem od oklepajev, nato pa jih pomnožimo ali delimo.

Kaj pa, če je znotraj oklepajev več oklepajev? No, pomislimo: v oklepaju je zapisan neki izraz. Kaj morate najprej narediti pri računanju izraza? Tako je, izračunajte oklepaje. Pa smo ugotovili: najprej izračunamo notranje oklepaje, potem pa vse ostalo.

Torej, postopek za zgornji izraz je naslednji (trenutno dejanje je označeno z rdečo, to je dejanje, ki ga trenutno izvajam):

V redu, vse je preprosto.

Ampak to ni isto kot izraz s črkami?

Ne, isto je! Samo namesto aritmetičnih operacij morate opraviti algebraične, to je dejanja, opisana v prejšnjem razdelku: prinašanje podobnih, seštevanje ulomkov, zmanjševanje ulomkov itd. Edina razlika bo dejanje faktoriziranja polinomov (to pogosto uporabljamo pri delu z ulomki). Najpogosteje morate za faktoriziranje uporabiti I ali preprosto dati skupni faktor iz oklepaja.

Običajno je naš cilj predstaviti izraz kot produkt ali količnik.

Na primer:

Poenostavimo izraz.

1) Najprej poenostavimo izraz v oklepajih. Tam imamo razliko ulomkov in naš cilj je, da jo predstavimo kot produkt ali količnik. Torej, ulomke spravimo na skupni imenovalec in dodamo:

Tega izraza je nemogoče še bolj poenostaviti; vsi dejavniki so elementarni (se še spomnite, kaj to pomeni?).

2) Dobimo:

Množenje ulomkov: kaj je lahko preprostejšega.

3) Zdaj lahko skrajšate:

No, to je vse. Nič zapletenega, kajne?

Še en primer:

Poenostavite izraz.

Najprej poskusite rešiti sami in šele nato poglejte rešitev.

rešitev:

Najprej določimo vrstni red dejanj.

Najprej seštejmo ulomke v oklepajih, da namesto dveh ulomkov dobimo enega.

Nato bomo delili ulomke. No, seštejmo rezultat z zadnjim ulomkom.

Korake bom shematično oštevilčil:

Zdaj vam bom pokazal postopek in trenutno dejanje obarval rdeče:

1. Če obstajajo podobni, jih je treba takoj prinesti. Kjerkoli že se pri nas pojavijo podobni, jih je priporočljivo nemudoma izpostaviti.

2. Enako velja za zmanjševanje ulomkov: takoj ko se pojavi priložnost za zmanjševanje, jo je treba izkoristiti. Izjema so ulomki, ki jih seštevate ali odštevate: če imajo zdaj enake imenovalce, potem zmanjševanje pustite za pozneje.

Tukaj je nekaj nalog, ki jih lahko rešite sami:

In kar je bilo obljubljeno na samem začetku:

odgovori:

Rešitve (na kratko):

Če ste se spopadli z vsaj prvimi tremi primeri, menite, da ste temo obvladali.

Zdaj pa na učenje!

PRETVORBA IZRAZOV. POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije poenostavljanja:

• Prinašanje podobnih: če želite dodati (zmanjšati) podobne izraze, morate sešteti njihove koeficiente in dodeliti črkovni del.
• Faktorizacija: dajanje skupnega faktorja iz oklepaja, njegova uporaba itd.
• Zmanjšanje ulomka: Števec in imenovalec ulomka lahko pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, kar ne spremeni vrednosti ulomka.
  1) števec in imenovalec faktorizirati
  2) če imata števec in imenovalec skupne faktorje, ju lahko prečrtamo.

  POMEMBNO: zmanjšati je mogoče le množitelje!

• Seštevanje in odštevanje ulomkov:
  ;
• Množenje in deljenje ulomkov:
  ;

Vsak ulomek (klavzula 48) lahko zapišemo v obliki , kjer sta P in Q racionalna izraza, Q pa nujno vsebuje spremenljivke. Takšen ulomek imenujemo racionalni ulomek.

Primeri racionalni ulomki:

Glavna lastnost ulomka je izražena z identiteto, ki je pravična pod tukajšnjimi pogoji - celoten racionalen izraz. To pomeni, da lahko števec in imenovalec racionalnega ulomka pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, monom ali polinom.

Lastnost ulomka lahko na primer uporabimo za spreminjanje predznakov članov ulomka. Če števec in imenovalec ulomka pomnožimo z -1, dobimo Tako se vrednost ulomka ne bo spremenila, če sočasno spremenimo predznak števca in imenovalca. Če spremenite predznak samo števca ali samo imenovalca, bo ulomek spremenil predznak:

na primer

60. Zmanjševanje racionalnih ulomkov.

Zmanjšati ulomek pomeni deliti števec in imenovalec ulomka s skupnim faktorjem. Možnost takšne redukcije je posledica osnovne lastnosti ulomka.

Če želite skrajšati racionalni ulomek, morate faktorizirati števec in imenovalec. Če se izkaže, da imata števec in imenovalec skupne faktorje, lahko ulomek zmanjšamo. Če ni skupnih faktorjev, je pretvorba ulomka z zmanjševanjem nemogoča.

Primer. Zmanjšaj delček

rešitev. Imamo

Zmanjšanje ulomka se izvede pod pogojem .

61. Zmanjšanje racionalnih ulomkov na skupni imenovalec.

Skupni imenovalec več racionalnih ulomkov je celoten racionalni izraz, ki je deljen z imenovalcem vsakega ulomka (glej odstavek 54).

Na primer, skupni imenovalec ulomkov je polinom, saj je deljiv z obema in s ter polinomom in polinomom in polinomom itd. Običajno vzamejo tak skupni imenovalec, da je vsak drug skupni imenovalec deljiv z Echosen. Ta najpreprostejši imenovalec včasih imenujemo najmanjši skupni imenovalec.

V zgoraj obravnavanem primeru je skupni imenovalec Imamo

Zmanjšanje teh ulomkov na skupni imenovalec dosežemo tako, da števec in imenovalec prvega ulomka pomnožimo z 2. Števec in imenovalec drugega ulomka pa pomnožimo s Polinomi se imenujejo dodatni faktorji za prvi oziroma drugi ulomek. Dodatni faktor za dani ulomek je enak količniku deljenja skupnega imenovalca z imenovalcem danega ulomka.

Če želite zmanjšati več racionalnih ulomkov na skupni imenovalec, potrebujete:

1) faktoriziraj imenovalec vsakega ulomka;

2) ustvarite skupni imenovalec tako, da kot faktorje vključite vse faktorje, pridobljene v koraku 1) razširitev; če je določen faktor prisoten v več razširitvah, potem se vzame z eksponentom, ki je enak največjemu od razpoložljivih;

3) poiščite dodatne faktorje za vsakega od ulomkov (za to se skupni imenovalec deli z imenovalcem ulomka);

4) z množenjem števca in imenovalca vsakega ulomka z dodatnim faktorjem spravite ulomek na skupni imenovalec.

Primer. Zmanjšaj ulomek na skupni imenovalec

rešitev. Razložimo imenovalce na faktorje:

V skupni imenovalec morajo biti naslednji faktorji: in najmanjši skupni večkratnik števil 12, 18, 24, tj. To pomeni, da ima skupni imenovalec obliko

Dodatni faktorji: za prvi ulomek za drugi za tretji torej dobimo:

62. Seštevanje in odštevanje racionalnih ulomkov.

Vsota dveh (in na splošno katerega koli končnega števila) racionalnih ulomkov z enakimi imenovalci je identično enaka ulomku z enakim imenovalcem in s števcem, ki je enak vsoti števcev ulomkov, ki se seštevajo:

Podobno je tudi pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci:

Primer 1: Poenostavite izraz

rešitev.

Če želite sešteti ali odšteti racionalne ulomke z različnimi imenovalci, morate ulomke najprej zmanjšati na skupni imenovalec in nato izvesti operacije na dobljenih ulomkih z istimi imenovalci.

Primer 2: Poenostavite izraz

rešitev. Imamo

63. Množenje in deljenje racionalnih ulomkov.

Produkt dveh (in na splošno katerega koli končnega števila) racionalnih ulomkov je identično enak ulomku, katerega števec enako zmnožkuštevci in imenovalec - produkt imenovalcev pomnoženih ulomkov:

Kvocient deljenja dveh racionalnih ulomkov je identično enak ulomku, katerega števec je enak zmnožku števca prvega ulomka in imenovalca drugega ulomka, imenovalec pa je zmnožek imenovalca prvega ulomka in števec drugega ulomka:

Formulirana pravila množenja in deljenja veljajo tudi za primer množenja ali deljenja s polinomom: dovolj je, da ta polinom zapišemo v obliki ulomka z imenovalcem 1.

Glede na možnost zmanjšanja racionalnega ulomka, dobljenega kot rezultat množenja ali deljenja racionalnih ulomkov, si običajno prizadevajo faktorizirati števce in imenovalce prvotnih ulomkov, preden izvedejo te operacije.

Primer 1: Izvedite množenje

rešitev. Imamo

Z uporabo pravila za množenje ulomkov dobimo:

Primer 2: Izvedite deljenje

rešitev. Imamo

Z uporabo pravila deljenja dobimo:

64. Dvig racionalnega ulomka na celo potenco.

Če želite povzdigniti racionalni ulomek na naravno potenco, morate ločeno povzdigniti števec in imenovalec ulomka na to potenco; prvi izraz je števec, drugi izraz pa imenovalec rezultata:

Primer 1: Pretvorba v delček moči 3.

Rešitev Rešitev.

Pri povišanju ulomka na negativno celo potenco se uporabi identiteta, ki velja za vse vrednosti spremenljivk, za katere .

Primer 2: Pretvarjanje izraza v ulomek

65. Preoblikovanje racionalnih izrazov.

Preoblikovanje katerega koli racionalnega izraza se zmanjša na seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje racionalnih ulomkov, pa tudi na povišanje ulomka na naravno potenco. Vsak racionalen izraz je mogoče pretvoriti v ulomek, katerega števec in imenovalec sta cela racionalna izraza; To je praviloma cilj identičnih transformacij racionalnih izrazov.

Primer. Poenostavite izraz

66. Najenostavnejše transformacije aritmetičnih korenov (radikalov).

Pri pretvarjanju aritmetičnih koriatov se uporabljajo njihove lastnosti (glej odstavek 35).

Oglejmo si nekaj primerov uporabe lastnosti aritmetični koreni za najenostavnejše transformacije radikalov. V tem primeru bomo upoštevali, da vse spremenljivke zavzemajo le nenegativne vrednosti.

Primer 1. Ekstrahirajte koren izdelka

rešitev. Z uporabo lastnosti 1° dobimo:

Primer 2. Odstranite množitelj izpod znaka korena

rešitev.

To transformacijo imenujemo odstranitev faktorja izpod znaka korena. Namen transformacije je poenostaviti radikalni izraz.

Primer 3: Poenostavite.

rešitev. Z lastnostjo 3° imamo navadno poenostaviti radikalni izraz, za katerega vzamejo faktorje iz predznaka korija. Imamo

Primer 4: Poenostavite

rešitev. Transformirajmo izraz tako, da vnesemo faktor pod predznak korena: Po lastnosti 4° imamo

Primer 5: Poenostavite

rešitev. Z lastnostjo 5° imamo pravico, da eksponent korena in eksponent radikalnega izraza razdelimo na isto stvar. naravno število. Če v obravnavanem primeru navedene kazalnike delimo s 3, dobimo.

Primer 6. Poenostavite izraze:

Rešitev, a) Z lastnostjo 1° ugotovimo, da je za množenje korenov iste stopnje dovolj, da pomnožimo radikalne izraze in iz dobljenega rezultata izluščimo koren iste stopnje. pomeni,

b) Najprej moramo radikale reducirati na en indikator. Glede na lastnost 5° lahko pomnožimo eksponent korena in eksponent radikalnega izraza z istim naravnim številom. Zato, Naprej, zdaj imamo v dobljenem rezultatu, če eksponente korena in stopnjo radikalnega izraza delimo s 3, dobimo.

Racionalni izrazi in ulomki so temelj celotnega tečaja algebre. Tisti, ki se naučijo delati s takšnimi izrazi, jih poenostaviti in faktorizirati, bodo v bistvu sposobni rešiti vsak problem, saj je preoblikovanje izrazov sestavni del vsake resne enačbe, neenakosti ali celo besednega problema.

V tej video vadnici si bomo ogledali, kako pravilno uporabiti formule za skrajšano množenje za poenostavitev racionalnih izrazov in ulomkov. Naučimo se videti te formule, kjer na prvi pogled ni ničesar. Hkrati bomo ponovili tako preprosto tehniko, kot je faktoriziranje kvadratnega trinoma skozi diskriminant.

Kot ste verjetno že uganili iz formul za mano, bomo danes preučevali formule za skrajšano množenje ali, natančneje, ne same formule, temveč njihovo uporabo za poenostavitev in zmanjšanje kompleksnih racionalnih izrazov. Toda preden nadaljujemo z reševanjem primerov, si poglejmo te formule podrobneje ali si jih zapomnimo:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\levo(a-b \desno)\levo(a+b \desno)$ — razlika kvadratov;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ je kvadrat vsote;
3. $((\levo(a-b \desno))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — razlika na kvadrat;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\levo(a+b \desno)\levo(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ je vsota kock;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\levo(a-b \desno)\levo(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ je razlika kock.

Rad bi še opozoril, da naš šolski sistem izobraževanje je strukturirano tako, da je s študijem te teme, t.j. racionalni izrazi, pa tudi koreni, moduli, vsi učenci imajo isti problem, ki ga bom zdaj pojasnil.

Dejstvo je, da na samem začetku učenja formul za skrajšano množenje in s tem dejanj za zmanjševanje ulomkov (to je nekje v 8. razredu) učitelji rečejo nekaj takega: "Če vam nekaj ni jasno, potem ne ne skrbi, pomagali ti bomo.« K tej temi se bomo še večkrat vrnili, zagotovo v srednji šoli. To bomo preučili pozneje." No, potem pa na prehodu med 9. in 10. razredom isti učitelji razlagajo istim učencem, ki še vedno ne znajo reševati racionalnih ulomkov, nekako takole: »Kje si bil prejšnji dve leti? To so učili pri algebri v 8. razredu! Kaj bi tu lahko bilo nejasnega? Tako očitno je!"

Vendar navadnim študentom takšne razlage ne olajšajo dela: še vedno imajo zmešnjavo v glavi, zato bomo zdaj analizirali dva preprosti primeri, na podlagi katerega bomo videli, kako te izraze izolirati v realnih problemih, kar nas bo pripeljalo do skrajšanih formul množenja in kako to nato uporabiti za transformacijo kompleksnih racionalnih izrazov.

Zmanjševanje preprostih racionalnih ulomkov

Naloga št. 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Prva stvar, ki se je moramo naučiti, je izbira natančnih kvadratov in več v izvirnih izrazih visoke stopnje, na podlagi katerih lahko nato uporabimo formule. Poglejmo:

Prepišimo naš izraz ob upoštevanju teh dejstev:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \desno))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\levo(3((y)^(2))-4x \desno)\levo(3 ((y)^(2))+4x \desno))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Odgovor: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Problem št. 2

Gremo k drugi nalogi:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Tu ni kaj poenostavljati, ker je v števcu konstanta, vendar sem ta problem predlagal prav zato, da se naučite faktorizirati polinome, ki vsebujejo dve spremenljivki. Če bi namesto tega imeli spodnji polinom, kako bi ga razširili?

\[((x)^(2))+5x-6=\levo(x-... \desno)\levo(x-... \desno)\]

Rešimo enačbo in poiščimo $x$, ki ga lahko postavimo namesto pik:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Trinom lahko prepišemo na naslednji način:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\levo(x-1 \desno)\levo(x+6 \desno)\]

Naučili smo se delati s kvadratnim trinomom - zato smo morali posneti to video lekcijo. Kaj pa, če je poleg $x$ in konstante še $y$? Upoštevajmo jih kot še en element koeficientov, tj. Prepišimo naš izraz na naslednji način:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Zapišimo razširitev naše kvadratne konstrukcije:

\[\levo(x-y \desno)\levo(x+6y \desno)\]

Torej, če se vrnemo k izvirnemu izrazu in ga prepišemo ob upoštevanju sprememb, dobimo naslednje:

\[\frac(8)(\levo(x-y \desno)\levo(x+6y \desno))\]

Kaj nam tak zapis daje? Nič, ker se ne da pomanjšati, z ničemer se ne pomnoži ali deli. Vendar takoj, ko se izkaže, da je ta frakcija sestavni del kompleksnejše izražanje, bo takšna razširitev prišla prav. Zato takoj, ko vidite kvadratni trinom (ni pomembno, ali je obremenjen z dodatnimi parametri ali ne), ga vedno poskusite faktorizirati.

Nianse rešitve

Zapomnite si osnovna pravila za pretvorbo racionalnih izrazov:

• Vse imenovalce in števce je treba faktorizirati s skrajšanimi formulami za množenje ali z diskriminantom.
• Delati morate po naslednjem algoritmu: ko pogledamo in poskušamo izolirati formulo za skrajšano množenje, potem najprej poskušamo vse pretvoriti v najvišjo možno stopnjo. Po tem vzamemo skupno diplomo iz oklepaja.
• Zelo pogosto boste naleteli na izraze s parametrom: druge spremenljivke bodo prikazane kot koeficienti. Najdemo jih s kvadratno ekspanzijsko formulo.

Torej, ko vidite racionalne ulomke, je prva stvar, ki jo morate storiti, razložiti števec in imenovalec v linearne izraze z uporabo skrajšanega množenja ali diskriminantnih formul.

Poglejmo nekaj teh racionalnih izrazov in jih poskusimo faktorizirati.

Reševanje zahtevnejših primerov

Naloga št. 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Vsak izraz prepišemo in poskušamo razstaviti:

Prepišimo naše celotno racionalno izražanje ob upoštevanju teh dejstev:

\[\frac(((\left(2x \desno))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \desno))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\levo(3y \desno))^(2))-((\levo(2x \desno))^(2)))(((\levo(2x \desno))^(3))+ ((\levo(3y \desno))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \desno))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \desno))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\levo(3y-2x \desno)\levo(3y+2x \desno))(\levo(2x+3y \desno)\levo(((\levo(2x \desno))^(2))- 2x\cdot 3y+((\levo(3y \desno))^(2)) \desno))=-1\]

Odgovor: $-1$.

Problem št. 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Poglejmo vse ulomke.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\levo(x-2 \desno))^(2))\]

Prepišemo celotno strukturo ob upoštevanju sprememb:

\[\frac(3\levo(1-2x \desno))(2\levo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))\cdot \frac( 2x+1)(((\levo(x-2 \desno))^(2)))\cdot \frac(\levo(2-x \desno)\levo(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \desno))(\levo(2x-1 \desno)\levo(2x+1 \desno))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \desno))(2\cdot \left(x-2 \desno)\cdot \left(-1 \desno))=\frac(3)(2 \levo(x-2 \desno))\]

Odgovor: $\frac(3)(2\levo(x-2 \desno))$.

Nianse rešitve

Torej, kaj smo se pravkar naučili:

• Vsakega kvadratnega trinoma ni mogoče faktorizirati; še posebej to velja za nepopolne kvadrate vsote ali razlike, ki jih zelo pogosto najdemo kot dele kock vsote ali razlike.
• Konstante, tj. navadna števila, ki nimajo spremenljivk, lahko delujejo tudi kot aktivni elementi v procesu razširitve. Prvič, lahko jih vzamemo iz oklepajev, in drugič, same konstante lahko predstavimo v obliki potenc.
• Zelo pogosto se po faktoriziranju vseh elementov pojavijo nasprotne konstrukcije. Te ulomke je treba zelo previdno zmanjševati, saj se pri prečrtanju zgoraj ali spodaj pojavi dodaten faktor $-1$ - to je ravno posledica dejstva, da sta nasprotna.

Reševanje kompleksnih problemov

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Razmislimo o vsakem izrazu posebej.

Prvi ulomek:

\[((\levo(3a \desno))^(3))-((\levo(4b \desno))^(3))=\levo(3a-4b \desno)\levo(((\levo (3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\levo(4b \desno))^(2)) \desno)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\levo(b-2 \desno)\levo(b+2 \desno)\]

Celoten števec drugega ulomka lahko prepišemo takole:

\[((\levo(3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\levo(4b \desno))^(2))\]

Zdaj pa poglejmo imenovalec:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\levo(b+2 \desno) ))^(2))\]

Prepišemo celoten racionalni izraz ob upoštevanju zgornjih dejstev:

\[\frac(\levo(3a-4b \desno)\levo(((\levo(3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\levo(4b \desno))^(2 )) \desno))(\levo(b-2 \desno)\levo(b+2 \desno))\cdot \frac(((\levo(b+2 \desno))^(2)))( ((\levo(3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\levo(4b \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(\levo(3a-4b \desno)\levo(b+2 \desno))(\levo(b-2 \desno))\]

Odgovor: $\frac(\levo(3a-4b \desno)\levo(b+2 \desno))(\levo(b-2 \desno))$.

Nianse rešitve

Kot smo še enkrat videli, se nepopolnih kvadratov vsote ali nepopolnih kvadratov razlike, ki jih pogosto najdemo v realnih racionalnih izrazih, vendarle ne bojte, saj se po transformaciji vsakega elementa skoraj vedno izničijo. Poleg tega se v nobenem primeru ne smete bati velikih konstrukcij v končnem odgovoru - povsem možno je, da to ni vaša napaka (še posebej, če je vse faktorizirano), ampak je avtor namenil tak odgovor.

Na koncu bi rad razpravljal še o enem zapleten primer, ki se ne nanaša več direktno na racionalne ulomke, vsebuje pa vse, kar vas čaka na realnih kolokvijih in izpitih, in sicer: razlaganje na faktorje, reduciranje na skupni imenovalec, reduciranje podobnih členov. Točno to bomo storili zdaj.

Reševanje kompleksnega problema poenostavljanja in preoblikovanja racionalnih izrazov

\[\levo(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \desno)\cdot \levo(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \desno)\]

Najprej poglejmo in odprimo prvi oklepaj: v njem vidimo tri ločene ulomke z različnimi imenovalci, zato moramo najprej vse tri ulomke spraviti na skupni imenovalec, in da to storimo, mora vsak od njih faktorizirati:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\levo(x-2 \desno)\levo(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \desno)\]

Prepišimo našo celotno konstrukcijo na naslednji način:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\levo(x -2 \desno)\levo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\levo(x-2 \desno)+((x)^(3))+8-\levo(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \desno))(\levo(x-2 \desno)\levo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\levo(x-2) \desno)\levo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ levo(x-2 \desno)\levo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))=\]

\[=\frac(((\levo(x-2 \desno))^(2)))(\levo(x-2 \desno)\levo(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \desno))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

To je rezultat izračunov iz prvega oklepaja.

Ukvarjajmo se z drugim oklepajem:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\levo(x-2 \desno)\levo(x+2 \ desno)\]

Prepišimo drugi oklepaj ob upoštevanju sprememb:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \desno)\left(x+2 \desno))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\levo(x+2 \desno))(\levo(x-2 \desno)\levo(x+2 \desno))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\levo(x-2 \desno)\levo(x+2 \desno))\]

Zdaj pa zapišimo celotno originalno konstrukcijo:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\levo(x-2) \desno)\levo(x+2 \desno))=\frac(1)(x+2)\]

Odgovor: $\frac(1)(x+2)$.

Nianse rešitve

Kot lahko vidite, se je odgovor izkazal za povsem razumnega. Vendar upoštevajte: zelo pogosto med tako obsežnimi izračuni, ko se edina spremenljivka pojavi le v imenovalcu, učenci pozabijo, da je to imenovalec in bi moral biti na dnu ulomka, in ta izraz zapišejo v števec - to je huda napaka.

Poleg tega bi vas rad posebej opozoril na to, kako so takšne naloge formalizirane. Pri vseh zapletenih izračunih se vsi koraki izvajajo enega za drugim: najprej posebej preštejemo prvi oklepaj, nato posebej drugega in šele na koncu združimo vse dele in izračunamo rezultat. Na ta način se zavarujemo pred neumnimi napakami, skrbno beležimo vse izračune in hkrati ne izgubljamo dodatnega časa, kot se morda zdi na prvi pogled.

Končana dela

DIPLOMSKA DELA

Veliko je že minilo in zdaj si diplomant, če boš seveda diplomsko nalogo napisal pravočasno. Toda življenje je taka stvar, da vam šele zdaj postane jasno, da boste, ko boste prenehali biti študent, izgubili vse študentske radosti, od katerih mnogih niste nikoli poskusili, vse odlagali in odlagali na pozneje. In zdaj, namesto da bi nadoknadil, delaš na diplomski nalogi? Obstaja odlična rešitev: prenesite diplomsko nalogo, ki jo potrebujete, z našega spletnega mesta - in takoj boste imeli veliko prostega časa!
Diplome so bile uspešno zagovarjane na vodilnih univerzah Republike Kazahstan.
Stroški dela od 20.000 tenge

TEČAJNA DELA

Tečajna naloga je prvo resno praktično delo. Priprava na razvoj se začne s pisanjem tečaja. diplomske projekte. Če se študent nauči pravilno predstaviti vsebino teme v predmetnem projektu in jo kompetentno oblikovati, potem v prihodnosti ne bo imel težav niti pri pisanju poročil niti pri sestavljanju teze, niti z izvajanjem drugih praktične naloge. Da bi študentom pomagali pri pisanju tovrstnega študentskega dela in razjasnili vprašanja, ki se porajajo med pripravo, je bil pravzaprav ustvarjen ta informativni del.
Stroški dela od 2.500 tenge

MAGISTRSKE DISERTACIJE

Trenutno v višjem izobraževalne ustanove V Kazahstanu in državah CIS je stopnja visokošolske izobrazbe zelo pogosta poklicno izobraževanje, ki sledi diplomi – magisteriju. V magistrskem programu se študentje izobražujejo z namenom pridobitve magisterija, ki je v večini držav sveta priznan bolj kot diploma, priznavajo pa ga tudi tuji delodajalci. Rezultat magistrskega študija je zagovor magistrsko delo.
Zagotovili vam bomo aktualno analitično in tekstualno gradivo, cena vključuje 2 znanstveni članki in abstraktno.
Stroški dela od 35.000 tenge

POROČILA IZ PRAKSE

Po opravljeni kateri koli vrsti študentske prakse (izobraževalne, industrijske, preddiplomske) je potrebno poročilo. Ta dokument bo potrditev praktično deloštudent in podlaga za oblikovanje ocene za prakso. Običajno morate za pripravo poročila o pripravništvu zbrati in analizirati podatke o podjetju, upoštevati strukturo in delovno rutino organizacije, v kateri poteka pripravništvo, sestaviti koledarski načrt in opisati svoje praktične dejavnosti.
Pomagali vam bomo napisati poročilo o vaši praksi ob upoštevanju posebnosti dejavnosti določenega podjetja.