Weierstrassov izrek o limiti monotonega zaporedja. Weierstrassov izrek o limiti monotonega zaporedja Izrek o obstoju limite monotono omejenega zaporedja

Opredelitev: če vsi n є n, skladen x n є N, potem to pravijo

obliki številčno podzaporedje.

- člani zaporedja

- splošno član zaporedja

Uvedena definicija implicira, da mora biti vsako številsko zaporedje neskončno, vendar ne pomeni, da morajo biti vsi člani različna števila.

Upošteva se številčno zaporedje dano, če je določen zakon, po katerem je mogoče najti katerega koli člana zaporedja.

Člani ali elementi zaporedja (1) oštevilčena z vsemi naravnimi števili v naraščajočem vrstnem redu. Za n+1 > n-1 člen sledi (pred) členom, ne glede na to, ali je samo število večje, manjše ali celo enako številu.

Definicija: spremenljivka x, ki prevzame neko zaporedje (1) pomenov, bomo - po Merayju (Ch. Meray) - poklicali možnost.

V šolskem tečaju matematike lahko najdete spremenljivke točno te vrste, kot so opcije.

Na primer, zaporedje, kot je

(aritmetika) ali vrsta

(geometrijska progresija)

Spremenljivi izraz enega ali drugega napredovanja je možnost.

V zvezi z določanjem dolžine kroga običajno obravnavamo obseg pravilnega mnogokotnika, včrtanega v krog, ki ga dobimo iz šesterokotnika z zaporednim podvajanjem števila stranic. Tako ima ta možnost naslednje zaporedje vrednosti:

Omenimo še decimalni približek (po slabosti) k z naraščajočo natančnostjo. Zavzame zaporedje vrednosti:

in predstavlja tudi možnost.

Spremenljivko x, ki teče skozi zaporedje (1), pogosto označujemo z in jo identificiramo s spremenljivko (»skupnim«) članom tega zaporedja.

Včasih je možnost x n podana z neposredno navedbo izraza za x n ; tako imamo v primeru aritmetične ali geometrijske progresije x n =a+(n-1) d oziroma x n =aq n-1. Z uporabo tega izraza lahko takoj izračunate katero koli vrednost različice na podlagi njene dane številke, ne da bi izračunali prejšnje vrednosti.

Za obod pravilnega včrtanega mnogokotnika je tak splošen izraz mogoč le, če uvedemo število p; na splošno je obseg p m pravilnega včrtanega m-kotnika podan s formulo

Definicija 1: Za številsko zaporedje (x n) pravimo, da je omejeno zgoraj (spodaj), če takšno število obstaja M (T), da za kateri koli element tega zaporedja obstaja neenakost in imenujemo število M (m). vrh (nižje) rob.

Definicija 2: Številsko zaporedje (x n) imenujemo omejeno, če je omejeno zgoraj in spodaj, tj. obstajajo M, m, takšni, da za katerikoli

Označimo A = max (|M|, |m|), potem je očitno, da bo številsko zaporedje omejeno, če za vsako enakost velja |x n |? In zadnja neenakost je pogoj za omejenost številskega zaporedja .

Definicija 3: kliče se številsko zaporedje neskončno velik zaporedju, če za katero koli A>0, lahko podate število N tako, da za vse n>N velja ||>A.

Definicija 4: kliče se številsko zaporedje (b n). neskončno majhna zaporedje, če lahko za katero koli dano e > 0 določite število N(e), tako da za kateri koli n > N(e) velja neenakost | b n |< е.

Definicija 5: kliče se številsko zaporedje (x n). konvergenten, če obstaja število a tako, da je zaporedje (x n - a) infinitezimalno zaporedje. Hkrati pa - omejitev original številčno zaporedja.

Iz te definicije sledi, da so vsa infinitezimalna zaporedja konvergentna in je limita teh zaporedij = 0.

Ker je koncept konvergentnega zaporedja povezan s pojmom infinitezimalnega zaporedja, lahko definicijo konvergentnega zaporedja podamo v drugi obliki:

Definicija 6: kliče se številsko zaporedje (x n). konvergenten na število a, če za vsako poljubno majhno obstaja tako, da za vse n > N velja neenakost

a je meja zaporedja

Ker je enakovredna, kar pomeni, da pripada intervalu x n є (a - e; a+ e) ali, kar je isto, pripada e - okolici točke a. Potem lahko damo še eno definicijo konvergentnega številskega zaporedja.

Definicija 7: kliče se številsko zaporedje (x n). konvergenten, če obstaja točka a taka, da so v kateri koli dovolj majhni e-soseski te točke kateri koli elementi tega zaporedja, začenši z nekim številom N.

Opomba: če je po definicijah (5) in (6) a limit zaporedja (x n), potem je x n - a element infinitezimalnega zaporedja, tj. x n - a = b n, kjer je b n element infinitezimalnega zaporedja. Posledično je x n = a + b n, in potem imamo pravico trditi, da če številčno zaporedje (x n) konvergira, ga lahko vedno predstavimo kot vsoto njegove meje in elementa neskončno majhnega zaporedja.

Velja tudi obratna trditev: če lahko katerikoli element zaporedja (x n) predstavimo kot vsoto konstantnega števila in elementa neskončno majhnega zaporedja, potem je ta konstanta omejitev dano zaporedja.

Definicija 8. Zaporedje ne poveča (ne zmanjša), če za.

Definicija 9. Zaporedje poveča (pada), če za.

Definicija 10. Strogo naraščajoče ali strogo padajoče zaporedje se imenuje monotono zaporedje.

Podan je dokaz Weierstrassovega izreka o limiti monotonega zaporedja. Upoštevana sta primera omejenega in neomejenega zaporedja. Obravnavan je primer, v katerem je treba z uporabo Weierstrassovega izreka dokazati konvergenco zaporedja in najti njegovo mejo.

Vsebina

Glej tudi: Meje monotonih funkcij

Vsako monotono omejeno zaporedje (xn) ima končno mejo, ki je enaka natančni zgornji meji, sup(xn) za nepadajočo in natančno spodnjo mejo, inf(xn) za nenaraščajoče zaporedje.
Vsako monotono neomejeno zaporedje ima neskončno mejo, ki je enaka plus neskončnosti za nepadajoče zaporedje in minus neskončnosti za nenaraščujoče zaporedje.

Dokaz

1) nepadajoče omejeno zaporedje.

(1.1) .

Ker je zaporedje omejeno, ima končno zgornjo mejo
.
To pomeni, da:

• za vse n,
  (1.2) ;
• za vsako pozitivno število obstaja število, odvisno od ε, tako da
  (1.3) .

.
Tudi tukaj smo uporabili (1.3). V kombinaciji z (1.2) dobimo:
ob .
Od takrat
,
oz
ob .
Prvi del izreka je dokazan.

2) Naj bo zdaj zaporedje nenaraščajoče omejeno zaporedje:
(2.1) za vse n.

Ker je zaporedje omejeno, ima končno spodnjo mejo
.
To pomeni naslednje:

• za vse n veljajo naslednje neenakosti:
  (2.2) ;
• za vsako pozitivno število obstaja število, odvisno od ε, za katerega
  (2.3) .

.
Tudi tukaj smo uporabili (2.3). Ob upoštevanju (2.2) ugotovimo:
ob .
Od takrat
,
oz
ob .
To pomeni, da je število meja zaporedja.
Drugi del izreka je dokazan.

Zdaj razmislite o neomejenih zaporedjih.
3) Naj bo zaporedje neomejeno nepadajoče zaporedje.

Ker je zaporedje nepadajoče, za vse n veljajo naslednje neenakosti:
(3.1) .

Ker je zaporedje nepadajoče in neomejeno, je neomejeno na desni strani. Potem za vsako število M obstaja število, odvisno od M, za katerega
(3.2) .

Ker je zaporedje nepadajoče, potem, ko imamo:
.
Tudi tukaj smo uporabili (3.2).

.
To pomeni, da je meja zaporedja plus neskončnost:
.
Tretji del izreka je dokazan.

4) Nazadnje razmislite o primeru, ko neomejeno nenaraščajoče zaporedje.

Podobno kot prejšnji, saj je zaporedje nenaraščajoče torej
(4.1) za vse n.

Ker je zaporedje nenaraščajoče in neomejeno, je neomejeno na levi strani. Potem za vsako število M obstaja število, odvisno od M, za katerega
(4.2) .

Ker je zaporedje nenaraščujoče, potem ko imamo:
.

Torej za vsako število M obstaja naravno število, odvisno od M, tako da za vsa števila veljajo naslednje neenakosti:
.
To pomeni, da je meja zaporedja enaka minus neskončnosti:
.
Izrek je dokazan.

Primer rešitve problema

Vsi primeri Z uporabo Weierstrassovega izreka dokažite konvergenco zaporedja:
, , . . . , , . . .
Nato poiščite njegovo mejo.

Predstavimo zaporedje v obliki ponavljajočih se formul:
,
.

Dokažimo, da je dano zaporedje zgoraj omejeno z vrednostjo
(P1) .
Dokaz je izveden z metodo matematične indukcije.
.
Naj .
.
Potem

Neenakost (A1) je dokazana.
;
Dokažimo, da zaporedje monotono narašča. .
(P2)
.
Ker je , potem sta imenovalec ulomka in prvi faktor v števcu pozitivna. Zaradi omejitve členov zaporedja z neenačbo (A1) je tudi drugi faktor pozitiven. zato

Se pravi, zaporedje se strogo povečuje.

Ker je zaporedje naraščajoče in zgoraj omejeno, je omejeno zaporedje. Zato ima po Weierstrassovem izreku mejo.
.
Poiščimo to mejo. Označimo ga z:
.
Uporabimo dejstvo, da
.
Uporabimo to za (A2) z uporabo aritmetičnih lastnosti limitov konvergentnih zaporedij:

Pogoj je izpolnjen s korenino.