Zapiši kakšno posledico enačbe. Pojem posledice enačbe. Tuje korenine. Ekvivalentne enačbe, definicija, primeri

Nekatere transformacije nam omogočajo premik od enačbe, ki jo rešujemo, k enakovrednim, pa tudi k sledičnim enačbam, kar poenostavi rešitev izvirne enačbe. V tem gradivu vam bomo povedali, kaj so te enačbe, oblikovali osnovne definicije, jih ponazorili z jasnimi primeri in natančno razložili, kako se koreni izvirne enačbe izračunajo iz korenin sledične enačbe ali enakovredne enačbe.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncept ekvivalentnih enačb

Definicija 1

Enakovredno take enačbe imenujemo tiste, ki imajo enake korenine, ali tiste, v katerih ni korenin.

Definicije te vrste pogosto najdemo v različnih učbenikih. Naj navedemo nekaj primerov.

Definicija 2

Enačba f(x) = g(x) velja za enakovredno enačbi r(x) = s(x), če imata enake korenine ali pa obe nimata korenin.

Definicija 3

Enačbe z istimi koreninami veljajo za enakovredne. Veljata tudi za dve enačbi, ki enako nimata korenin.

Definicija 4

Če ima enačba f (x) = g (x) enak nabor korenov kot enačba p (x) = h (x), se štejejo za enakovredne.

Ko govorimo o sovpadajoči množici korenin, mislimo, da če je določeno število koren ene enačbe, potem bo primerno kot rešitev druge enačbe. Nobena od enakovrednih enačb ne more imeti korena, ki ni primeren za drugo.

Naj navedemo več primerov takih enačb.

Primer 1

Na primer, 4 x = 8, 2 x = 4 in x = 2 bodo enakovredni, saj ima vsak od njih samo en koren - dva. Tudi x · 0 = 0 in 2 + x = x + 2 bosta enakovredna, saj so njuni koreni lahko poljubna števila, kar pomeni, da njune množice rešitev sovpadajo. Enakovredni bosta tudi enačbi x = x + 5 in x 4 = − 1, ki nimata nobene rešitve.

Zaradi jasnosti razmislite o več primerih neekvivalentnih enačb.

Primer 2

To bi bilo na primer x = 2 in x 2 = 4, ker sta njuni korenini različni. Enako velja za enačbi x x = 1 in x 2 + 5 x 2 + 5, saj je v drugi lahko rešitev poljubno število, v drugi pa koren ne more biti 0.

Zgoraj podane definicije so primerne tudi za enačbe z več spremenljivkami, vendar je v primeru, ko govorimo o dveh, treh ali več korenih, primernejši izraz »reševanje enačbe«. Torej, če povzamemo: ekvivalentne enačbe so tiste enačbe, ki imajo enake rešitve ali pa jih sploh nimajo.

Vzemimo primere enačb, ki vsebujejo več spremenljivk in so med seboj enakovredne. Tako x 2 + y 2 + z 2 = 0 in 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 vključujeta vsak po tri spremenljivke in imata samo eno rešitev, enako 0, v vseh treh primerih. In par enačb x + y = 5 in x · y = 1 ne bosta enakovredna drug drugemu, saj sta na primer vrednosti 5 in 3 primerni za prvo, vendar ne bosta rešitev za drugič: ko jih nadomestimo v prvo enačbo, bomo dobili pravilno enakost, v drugi pa nepravilno.

Pojem sledičnih enačb

Naj navedemo nekaj primerov definicij sledičnih enačb, vzetih iz učbenikov.

Definicija 5

Posledica enačbe f (x) = g (x) bo enačba p (x) = h (x), pod pogojem, da je vsak koren prve enačbe hkrati tudi koren druge.

Opredelitev 6

Če ima prva enačba enake korene kot druga, potem bo druga posledica enačbe prve.

Vzemimo nekaj primerov takih enačb.

Primer 3

Torej bo x · 2 = 32 posledica x − 3 = 0, ker ima prvi samo en koren, enak tri, in bo tudi koren druge enačbe, torej v kontekstu te definicije , bo ena enačba posledica druge. Drug primer: enačba (x − 2) · (x − 3) · (x − 4) = 0 bo posledica x - 2 · x - 3 · x - 4 2 x - 4, ker ima druga enačba dva korenine, enake 2 in 3, ki bodo hkrati korenine prvega.

Iz zgornje definicije lahko sklepamo, da bo posledica vsake enačbe, ki nima korenin, tudi vsaka enačba. Tukaj je nekaj drugih posledic vseh pravil, oblikovanih v tem članku:

Opredelitev 7

1. Če je ena enačba enakovredna drugi, bo vsaka od njiju posledica druge.
2. Če je vsaka od dveh enačb posledica druge, potem bosta ti enačbi enakovredni druga drugi.
3. Enačbe bodo med seboj enakovredne le, če je vsaka posledica druge.

Kako najti korenine enačbe iz korenin sledične enačbe ali enakovredne enačbe

Glede na to, kar smo zapisali v definicijah, v primeru, ko poznamo korene ene enačbe, poznamo tudi korene enakovrednih, saj bodo sovpadale.

Če poznamo vse korene sledične enačbe, potem lahko določimo korene druge enačbe, katere posledica je. Če želite to narediti, morate le odstraniti tuje korenine. O tem, kako se to naredi, smo napisali ločen članek. Svetujemo vam, da ga preberete.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Šolsko predavanje

»Ekvivalentne enačbe. Enačba posledice»

Metodološki komentarji. Pojmi ekvivalentnih enačb, posledice enačb, izreki o ekvivalentnosti enačb so pomembna vprašanja, povezana s teorijo reševanja enačb.

Do 10. razreda so učenci pridobili nekaj izkušenj pri reševanju enačb. V 7.-8. razredu se rešujejo linearne in kvadratne enačbe, tu ni neenakih transformacij. Nadalje se v 8. in 9. razredu rešujejo racionalne in najpreprostejše iracionalne enačbe, izkaže se, da se lahko v povezavi z odstranitvijo imenovalca in kvadriranjem obeh strani enačbe pojavijo tuji koreni. Zato je treba uvesti nove pojme: ekvivalentnost enačb, ekvivalentne in neekvivalentne transformacije enačb, tuje korenine in preverjanje korenin. Na podlagi izkušenj, ki so jih učenci nabrali pri reševanju zgoraj naštetih razredov enačb, je možno določiti novo relacijo ekvivalence enačb in skupaj z učenci »odkriti« izreke o ekvivalenčnosti enačb.

Lekcija, katere povzetek je predstavljen spodaj, je pred obravnavo tem, povezanih z reševanjem iracionalnih, eksponentnih, logaritemskih in trigonometričnih enačb. Teoretično gradivo v tej lekciji služi kot osnova za reševanje vseh razredov enačb. V tej lekciji je treba definirati koncept ekvivalentnih enačb, sledičnih enačb in upoštevati izreke o transformacijah, ki vodijo do teh vrst enačb. Obravnavano gradivo, kot je navedeno zgoraj, je nekakšna sistematizacija znanja študentov o transformacijah enačb, zanj je značilna določena kompleksnost, zato je najbolj sprejemljiva vrsta lekcije šolsko predavanje. Posebnost te lekcije je, da se izobraževalna naloga (cilji), zastavljena v njej, rešuje v številnih nadaljnjih učnih urah (prepoznavanje transformacij nad enačbami, ki vodijo do pridobivanja tujih korenin in izgube korenin).

Vsaka stopnja lekcije zavzema pomembno mesto v njeni strukturi.

Vklopljeno stopnja posodobitve učenci se spomnijo osnovnih teoretičnih principov, povezanih z enačbo: kaj je enačba, koren enačbe, kaj pomeni rešiti enačbo, območje sprejemljivih vrednosti (ADV) enačbe. Poiščite ODZ določenih enačb, ki bodo služile kot osnova za "odkrivanje" izrekov v lekciji.

Tarča stopnja motivacije– ustvariti problemsko situacijo, ki je sestavljena iz iskanja pravilne rešitve predlagane enačbe.

rešitev vzgojna naloga (operacijsko-kognitivna stopnja) v predstavljeni lekciji je »odkrivanje« izrekov o enakovrednosti enačb in njihov dokaz. Pri podajanju gradiva je glavna pozornost namenjena definiciji ekvivalentnih enačb, posledica enačb in »iskanje« izrekov o ekvivalentnosti enačb.

Zapiski, ki jih učitelj naredi med poukom, so predstavljeni neposredno v zapiskih. Oblikovanje zapiskov učencev v zvezkih je podano na koncu zapiskov pri učnih urah.

Povzetek lekcije

Predmet. Ekvivalentne enačbe. Enačba-posledica.

(Algebra in začetki analize: Učbenik za razrede 10-11 splošnoizobraževalnih ustanov / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov in drugi - M .: Prosveshchenie, 2003).

Cilji lekcije. Pri skupnih dejavnostih z učenci ugotavljajo ekvivalenčno relacijo na množici enačb, »odkrivajo« izreke o ekvivalenčnosti enačb.

Kot rezultat, študent

ve

Določitev ekvivalentnih enačb,

Definicije enačbe posledice,

Izjave glavnih izrekov;

lahko

Med predlaganimi enačbami izberite ekvivalentne enačbe in posledice enačb,

Uporabi definicije ekvivalentnih enačb in enačb posledic v standardnih situacijah;

razume

Katere transformacije vodijo do ekvivalentnih enačb ali do sledičnih enačb?

Da obstajajo transformacije, zaradi katerih lahko enačba pridobi tuje korenine,

Da lahko zaradi nekaterih preobrazb pride do izgube korenin.

Vrsta lekcije.Šolsko predavanje (2 uri).

Struktura lekcije.

I. Motivacijski in orientacijski del:

Posodabljanje znanja

Motivacija, postavitev izobraževalne naloge.

II. Operativno-kognitivni del:

Reševanje učnega in raziskovalnega problema (cilj lekcije).

III. Odsevno-ocenjevalni del:

Če povzamem lekcijo,

Razdajanje domačih nalog.

Napredek lekcije

jaz. Motivacijski in orientacijski del.

Danes se bomo pri pouku pogovarjali o enačbah, vendar teme za zdaj ne bomo zapisali. Spomnimo se osnovnih pojmov, povezanih z enačbo. Najprej, kaj je enačba?

(Enačba je analitična predstavitev problema iskanja vrednosti argumentov, za katere so vrednosti ene funkcije enake vrednostim druge funkcije).

Kateri drugi koncepti so povezani z enačbo?

(Koren enačbe in kaj pomeni rešiti enačbo. Koren enačbe je število, ki, če ga zamenjamo v enačbo, da pravilno numerično enakost. Rešite enačbo – poiščite vse njene korenine ali ugotovite, da obstajajo nič).

Kako se imenuje enačba ODZ?

(Množica vseh števil, za katere sta funkciji na levi in ​​desni strani enačbe hkrati smiselni).

Poiščite ODZ naslednjih enačb.

6)
.

Rešitev enačbe je zapisana na tabli

Kakšen je postopek reševanja enačbe?

(Izvajanje transformacij, ki to enačbo privedejo do enačbe enostavnejše oblike, tj. enačbe, katere korenov ni težko najti).

Res je, tj. obstaja zaporedje poenostavitev od enačbe do enačbe
itd. Za
. Poglejmo, kaj se zgodi s koreninami enačbe na vsaki stopnji transformacije. V predstavljeni rešitvi dobimo dva korena enačbe
. Preverite, ali so številke in številke in
korenine izvirne enačbe.

(Številke , in so korenine izvirne enačbe, in - niso).

To pomeni, da so bile te korenine med postopkom rešitve izgubljene. Na splošno so izvedene transformacije privedle do izgube dveh korenin
in pridobitev tujega korena.

Kako se lahko znebite tujih korenin?

(Naredite pregled).

Ali je izguba korenin sprejemljiva? Zakaj?

(Ne, ker reševanje enačbe pomeni iskanje vseh njenih korenin).

Kako se izogniti izgubi korenin?

(Verjetno pri reševanju enačbe ne izvajajte transformacij, ki vodijo do izgube korenin).

Kaj je torej pomembno vedeti pri izvajanju transformacij enačb, da bi postopek reševanja enačbe dal pravilne rezultate?

(Verjetno vedeti, katere transformacije nad enačbami ohranijo korenine, katere vodijo v izgubo korenin ali pridobitev tujih korenin. Vedeti, katere transformacije jih lahko nadomestijo, da ne pride do izgube ali pridobitve korenin).

To bomo storili v tej lekciji. Kako bi oblikovali namen prihajajoče dejavnosti v današnji lekciji?

(Identificirajte transformacije nad enačbami, ki ohranjajo korenine, vodijo do izgube korenin ali pridobitve tujih korenin. Vedeti, katere transformacije jih lahko nadomestijo, da ne pride do izgube ali pridobitve korenin).

II . Operativno-kognitivni del.

Poglejmo še enkrat enačbo, napisano na tabli. Izsledimo, na kateri stopnji in zaradi kakšnih preobrazb sta bili izgubljeni dve korenini in pojavil se je tujec. (Učitelj na desni strani vsake enačbe vpiše številke).

Poimenujte enačbe, ki imajo iste množice (več) korenin.

(Enačbe , , ,
in ,).

Take enačbe imenujemo enakovreden. Poskusite oblikovati definicijo ekvivalentnih enačb.

(Enačbe, ki imajo enako množico korenov, imenujemo ekvivalentne).

Zapišimo definicijo.

Definicija 1. Enačbe
in
imenujemo enakovredne, če množice njihovih korenin sovpadajo.

Upoštevati je treba, da so enakovredne tudi enačbe brez konjev.

Za označevanje enakovrednih enačb lahko uporabite simbol "". Postopek reševanja enačbe z uporabo novega koncepta se lahko odraža na naslednji način:

Tako prehod iz te enačbe v enakovredno ne vpliva na množico korenov nastale enačbe.

Katere osnovne transformacije smo izvedli pri reševanju linearnih enačb?

(Odpiranje oklepajev; prenos členov iz enega dela enačbe v drugega, sprememba predznaka v nasprotnega; dodajanje izraza, ki vsebuje neznanko na obeh straneh enačbe).

Ali so se njihove korenine hkrati spremenile?

Na podlagi ene od teh transformacij, in sicer: prenašanja členov iz enega dela enačbe v drugega, pri tem pa spreminjanje predznaka v nasprotno, so v 7. razredu oblikovali lastnost enačb. Oblikujte ga z uporabo novega koncepta.

(Če katerikoli člen enačbe prenesemo iz enega dela enačbe v drugega z nasprotnim predznakom, dobimo tej enakovredno enačbo).

Katero drugo lastnost enačbe poznate?

(Obe strani enačbe je mogoče pomnožiti z istim številom, ki ni nič.)

Uporaba te lastnosti tudi nadomesti izvirno enačbo z enakovredno. Ponovno se obrnemo na enačbo, napisano na tabli. Primerjajte množico korenin enačb in ?

(Koren enačbe je koren enačbe).

To pomeni, da med prehodom iz ene enačbe v drugo, čeprav se je množica korenin razširila, ni prišlo do izgube korenin. V tem primeru se imenuje enačba posledica enačbe. Poskusite oblikovati definicijo enačbe, ki je posledica te enačbe.

(Če pri prehodu iz ene enačbe v drugo ne pride do izgube korenin, se druga enačba imenuje posledica prve enačbe).

Definicija 2. Enačbo imenujemo posledica enačbe, če je vsak koren enačbe koren enačbe.

- Zaradi katere transformacije ste iz enačbe dobili enačbo?

(Kvadriranje obeh strani enačbe).

To pomeni, da lahko ta preobrazba privede do pojava tujih korenin, tj. izvirna enačba se pretvori v sledično enačbo. Ali so v predstavljeni verigi transformacij enačb še kakšne druge posledice enačb?

(Ja, npr. enačba je posledica enačbe, enačba pa posledica enačbe).

Kaj so te enačbe?

(Enakovredno).

Poskusite s konceptom sledične enačbe oblikovati ekvivalentno definicijo ekvivalentnih enačb.

(Enačbe imenujemo enakovredne, če je vsaka posledica druge).

Ali so v predlagani rešitvi enačbe še kakšne druge posledice enačb?

(Da, enačba je posledica enačbe).

Kaj se zgodi s koreninami pri prehodu iz na?

(Dva korena sta izgubljena).

Zaradi kakšne preobrazbe se je to zgodilo?

(Napaka pri uporabi identitete
)..

Naloga 1. Ali sta enačbi vsake skupine (a, b) enakovredni? Poimenujte transformacijo, zaradi katere se prva enačba skupine nadomesti z drugo.

A)
b)

V predstavitvi bomo še naprej obravnavali ekvivalentne enačbe, izreke in se podrobneje posvetili stopnjam reševanja takih enačb.

Za začetek se spomnimo pogoja, pod katerim je ena od enačb posledica druge (1. diapozitiv). Avtor še enkrat navaja nekatere izreke o ekvivalentnih enačbah, o katerih smo govorili prej: o množenju delov enačbe z isto vrednostjo h (x); dvigovanje delov enačbe na enako sodo potenco; pridobitev ekvivalentne enačbe iz enačbe log a f(x) = log a g (x).

5. diapozitiv predstavitve poudarja glavne korake, s katerimi je priročno reševati ekvivalentne enačbe:

Poiščite rešitve ekvivalentne enačbe;

Analizirajte rešitve;

Preverite.

Oglejmo si primer 1. Treba je najti posledico enačbe x - 3 = 2. Poiščimo koren enačbe x = 5. Zapiši ekvivalentno enačbo (x - 3)(x - 6) = 2(x - 6), z uporabo metode množenja delov enačbe z (x - 6). Če izraz poenostavimo na obliko x 2 - 11x +30 = 0, najdemo korenine x 1 = 5, x 2 = 6. Ker Vsak koren enačbe x - 3 = 2 je tudi rešitev enačbe x 2 - 11x +30 = 0, potem je x 2 - 11x +30 = 0 posledica enačbe.

Primer 2. Poiščite še eno posledico enačbe x - 3 = 2. Za pridobitev ekvivalentne enačbe uporabimo metodo dvigovanja na sodo potenco. Če dobljeni izraz poenostavimo, zapišemo x 2 - 6x +5 = 0. Poiščite korenine enačbe x 1 = 5, x 2 = 1. Ker x = 5 (koren enačbe x - 3 = 2) je tudi rešitev enačbe x 2 - 6x +5 = 0, potem je enačba x 2 - 6x +5 = 0 tudi posledica enačbe.

Primer 3. Treba je najti posledico enačbe log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1.

V enačbi zamenjamo 1 = log 3 3. Nato z uporabo trditve iz izreka 6 zapišemo ekvivalentno enačbo (x + 1)(x +3) = 3. Če poenostavimo izraz, dobimo x 2 + 4x = 0, kjer so koreni x 1 = 0, x 2 = - 4. Torej je enačba x 2 + 4x = 0 posledica dane enačbe log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 .

Torej lahko sklepamo: če razširimo definicijsko področje enačbe, dobimo sledično enačbo. Naj izpostavimo standardna dejanja pri iskanju sledične enačbe:

Znebite se imenovalcev, ki vsebujejo spremenljivko;

Dvigovanje delov enačbe na enako sodo potenco;

Osvoboditev od logaritemskih znakov.

Pomembno pa si je zapomniti: ko se med reševanjem domena definicije enačbe razširi, je treba preveriti vse najdene korene, ali bodo padle v ODZ.

Primer 4. Rešite enačbo, predstavljeno na diapozitivu 12. Najprej poiščemo korene ekvivalentne enačbe x 1 = 5, x 2 = - 2 (prva stopnja). Nujno je treba preveriti korenine (druga stopnja). Preverjanje korenin (tretja stopnja): x 1 = 5 ne spada v območje dovoljenih vrednosti dane enačbe, zato ima enačba samo eno rešitev x = - 2.

V primeru 5 najdeni koren ekvivalentne enačbe ni vključen v ODZ dane enačbe. V primeru 6 je vrednost enega od dveh najdenih korenov nedefinirana, zato ta koren ni rešitev prvotne enačbe.

Šolsko predavanje

»Ekvivalentne enačbe. Enačba posledice»

Metodološki komentarji. Pojmi ekvivalentnih enačb, posledice enačb, izreki o ekvivalentnosti enačb so pomembna vprašanja, povezana s teorijo reševanja enačb.

Do 10. razreda so učenci pridobili nekaj izkušenj pri reševanju enačb. V 7.-8. razredu se rešujejo linearne in kvadratne enačbe, tu ni neenakih transformacij. Nadalje se v 8. in 9. razredu rešujejo racionalne in najpreprostejše iracionalne enačbe, izkaže se, da se lahko v povezavi z odstranitvijo imenovalca in kvadriranjem obeh strani enačbe pojavijo tuji koreni. Zato je treba uvesti nove pojme: ekvivalentnost enačb, ekvivalentne in neekvivalentne transformacije enačb, tuje korenine in preverjanje korenin. Na podlagi izkušenj, ki so jih učenci nabrali pri reševanju zgoraj naštetih razredov enačb, je možno določiti novo relacijo ekvivalence enačb in skupaj z učenci »odkriti« izreke o ekvivalenčnosti enačb.

Lekcija, katere povzetek je predstavljen spodaj, je pred obravnavo tem, povezanih z reševanjem iracionalnih, eksponentnih, logaritemskih in trigonometričnih enačb. Teoretično gradivo v tej lekciji služi kot osnova za reševanje vseh razredov enačb. V tej lekciji je treba definirati koncept ekvivalentnih enačb, sledičnih enačb in upoštevati izreke o transformacijah, ki vodijo do teh vrst enačb. Obravnavano gradivo, kot je navedeno zgoraj, je nekakšna sistematizacija znanja študentov o transformacijah enačb, zanj je značilna določena kompleksnost, zato je najbolj sprejemljiva vrsta lekcije šolsko predavanje. Posebnost te lekcije je, da se izobraževalna naloga (cilji), zastavljena v njej, rešuje v številnih nadaljnjih učnih urah (prepoznavanje transformacij nad enačbami, ki vodijo do pridobivanja tujih korenin in izgube korenin).

Vsaka stopnja lekcije zavzema pomembno mesto v njeni strukturi.

Vklopljeno stopnja posodobitve učenci se spomnijo osnovnih teoretičnih principov, povezanih z enačbo: kaj je enačba, koren enačbe, kaj pomeni rešiti enačbo, območje sprejemljivih vrednosti (ADV) enačbe. Poiščite ODZ določenih enačb, ki bodo služile kot osnova za "odkrivanje" izrekov v lekciji.

Tarča stopnja motivacije– ustvariti problemsko situacijo, ki je sestavljena iz iskanja pravilne rešitve predlagane enačbe.

rešitev vzgojna naloga (operacijsko-kognitivna stopnja) v predstavljeni lekciji je »odkrivanje« izrekov o enakovrednosti enačb in njihov dokaz. Pri podajanju gradiva je glavna pozornost namenjena definiciji ekvivalentnih enačb, posledica enačb in »iskanje« izrekov o ekvivalentnosti enačb.

Zapiski, ki jih učitelj naredi med poukom, so predstavljeni neposredno v zapiskih. Oblikovanje zapiskov učencev v zvezkih je podano na koncu zapiskov pri učnih urah.

Povzetek lekcije

Predmet. Ekvivalentne enačbe. Enačba-posledica.

(Algebra in začetki analize: Učbenik za razrede 10-11 splošnoizobraževalnih ustanov / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov in drugi - M .: Prosveshchenie, 2003).

Cilji lekcije. Pri skupnih dejavnostih z učenci ugotavljajo ekvivalenčno relacijo na množici enačb, »odkrivajo« izreke o ekvivalenčnosti enačb.

Kot rezultat, študent

ve

Določitev ekvivalentnih enačb,

Definicije enačbe posledice,

Izjave glavnih izrekov;

lahko

Med predlaganimi enačbami izberite ekvivalentne enačbe in posledice enačb,

Uporabi definicije ekvivalentnih enačb in enačb posledic v standardnih situacijah;

razume

Katere transformacije vodijo do ekvivalentnih enačb ali do sledičnih enačb?

Da obstajajo transformacije, zaradi katerih lahko enačba pridobi tuje korenine,

Da lahko zaradi nekaterih preobrazb pride do izgube korenin.

Vrsta lekcije.Šolsko predavanje (2 uri).

Struktura lekcije.

I. Motivacijski in orientacijski del:

Posodabljanje znanja

Motivacija, postavitev izobraževalne naloge.

II. Operativno-kognitivni del:

Reševanje učnega in raziskovalnega problema (cilj lekcije).

III. Odsevno-ocenjevalni del:

Če povzamem lekcijo,

Razdajanje domačih nalog.

Napredek lekcije

jaz. Motivacijski in orientacijski del.

Danes se bomo pri pouku pogovarjali o enačbah, vendar teme za zdaj ne bomo zapisali. Spomnimo se osnovnih pojmov, povezanih z enačbo. Najprej, kaj je enačba?

(Enačba je analitična predstavitev problema iskanja vrednosti argumentov, za katere so vrednosti ene funkcije enake vrednostim druge funkcije).

Kateri drugi koncepti so povezani z enačbo?

(Koren enačbe in kaj pomeni rešiti enačbo. Koren enačbe je število, ki, če ga zamenjamo v enačbo, da pravilno numerično enakost. Rešite enačbo – poiščite vse njene korenine ali ugotovite, da obstajajo nič).

Kako se imenuje enačba ODZ?

(Množica vseh števil, za katere sta funkciji na levi in ​​desni strani enačbe hkrati smiselni).

Poiščite ODZ naslednjih enačb.

5)

6)
.

Rešitev enačbe je zapisana na tabli

Kakšen je postopek reševanja enačbe?

(Izvajanje transformacij, ki to enačbo privedejo do enačbe enostavnejše oblike, tj. enačbe, katere korenov ni težko najti).

Res je, tj. obstaja zaporedje poenostavitev od enačbe do enačbe
itd. Za
. Poglejmo, kaj se zgodi s koreninami enačbe na vsaki stopnji transformacije. V predstavljeni rešitvi dobimo dva korena enačbe
. Preverite, ali so številke one in številke
in
korenine izvirne enačbe.

(Številke , in sta korena prvotne enačbe in
- Ne).

To pomeni, da so bile te korenine med postopkom rešitve izgubljene. Na splošno so izvedene transformacije privedle do izgube dveh korenin
in pridobitev tujega korena.

Kako se lahko znebite tujih korenin?

(Naredite pregled).

Ali je izguba korenin sprejemljiva? Zakaj?

(Ne, ker reševanje enačbe pomeni iskanje vseh njenih korenin).

Kako se izogniti izgubi korenin?

(Verjetno pri reševanju enačbe ne izvajajte transformacij, ki vodijo do izgube korenin).

Kaj je torej pomembno vedeti pri izvajanju transformacij enačb, da bi postopek reševanja enačbe dal pravilne rezultate?

(Verjetno vedeti, katere transformacije nad enačbami ohranijo korenine, katere vodijo v izgubo korenin ali pridobitev tujih korenin. Vedeti, katere transformacije jih lahko nadomestijo, da ne pride do izgube ali pridobitve korenin).

To bomo storili v tej lekciji. Kako bi oblikovali namen prihajajoče dejavnosti v današnji lekciji?

(Identificirajte transformacije nad enačbami, ki ohranjajo korenine, vodijo do izgube korenin ali pridobitve tujih korenin. Vedeti, katere transformacije jih lahko nadomestijo, da ne pride do izgube ali pridobitve korenin).

II . Operativno-kognitivni del.

Poglejmo še enkrat enačbo, napisano na tabli. Izsledimo, na kateri stopnji in zaradi kakšnih preobrazb sta bili izgubljeni dve korenini in pojavil se je tujec. (Učitelj na desni strani vsake enačbe vpiše številke).

Poimenujte enačbe, ki imajo iste množice (več) korenin.

(Enačbe , , ,
in ,).

Take enačbe imenujemo enakovreden. Poskusite oblikovati definicijo ekvivalentnih enačb.

(Enačbe, ki imajo enako množico korenov, imenujemo ekvivalentne).

Zapišimo definicijo.

Definicija 1. Enačbe
in
imenujemo enakovredne, če množice njihovih korenin sovpadajo.

Upoštevati je treba, da so enakovredne tudi enačbe brez konjev.

Za označevanje enakovrednih enačb lahko uporabite simbol "
». Postopek reševanja enačbe z uporabo novega koncepta se lahko odraža na naslednji način:

Tako prehod iz te enačbe v enakovredno ne vpliva na množico korenov nastale enačbe.

Katere osnovne transformacije smo izvedli pri reševanju linearnih enačb?

(Odpiranje oklepajev; prenos členov iz enega dela enačbe v drugega, sprememba predznaka v nasprotnega; dodajanje izraza, ki vsebuje neznanko na obeh straneh enačbe).

Ali so se njihove korenine hkrati spremenile?

Na podlagi ene od teh transformacij, in sicer: prenašanja členov iz enega dela enačbe v drugega, pri tem pa spreminjanje predznaka v nasprotno, so v 7. razredu oblikovali lastnost enačb. Oblikujte ga z uporabo novega koncepta.

(Če katerikoli člen enačbe prenesemo iz enega dela enačbe v drugega z nasprotnim predznakom, dobimo tej enakovredno enačbo).

Katero drugo lastnost enačbe poznate?

(Obe strani enačbe je mogoče pomnožiti z istim številom, ki ni nič.)

Uporaba te lastnosti tudi nadomesti izvirno enačbo z enakovredno. Ponovno se obrnemo na enačbo, napisano na tabli. Primerjajte množico korenin enačb in ?

(Koren enačbe je koren enačbe).

To pomeni, da med prehodom iz ene enačbe v drugo, čeprav se je množica korenin razširila, ni prišlo do izgube korenin. V tem primeru se imenuje enačba posledica enačbe. Poskusite oblikovati definicijo enačbe, ki je posledica te enačbe.

(Če pri prehodu iz ene enačbe v drugo ne pride do izgube korenin, se druga enačba imenuje posledica prve enačbe).

Definicija 2. Enačbo imenujemo posledica enačbe, če je vsak koren enačbe koren enačbe.

- Zaradi katere transformacije ste iz enačbe dobili enačbo?

(Kvadriranje obeh strani enačbe).

To pomeni, da lahko ta preobrazba privede do pojava tujih korenin, tj. izvirna enačba se pretvori v sledično enačbo. Ali so v predstavljeni verigi transformacij enačb še kakšne druge posledice enačb?

(Ja, npr. enačba je posledica enačbe, enačba pa posledica enačbe).

Kaj so te enačbe?

(Enakovredno).

Poskusite s konceptom sledične enačbe oblikovati ekvivalentno definicijo ekvivalentnih enačb.

(Enačbe imenujemo enakovredne, če je vsaka posledica druge).

Ali so v predlagani rešitvi enačbe še kakšne druge posledice enačb?

(Da, enačba je posledica enačbe).

Kaj se zgodi s koreninami pri prehodu iz na?

(Dva korena sta izgubljena).

Zaradi kakšne preobrazbe se je to zgodilo?

(Napaka pri uporabi identitete
).

Z uporabo novega koncepta sledične enačbe in uporabo simbola "
" bo postopek reševanja enačbe izgledal takole:

.

Tako nam dobljena shema pokaže, da če se izvedejo enakovredni prehodi , , potem se nizi korenin nastalih enačb ne spremenijo. Vendar ni vedno mogoče uporabiti samo enakovrednih transformacij. Če so prehodi neenaki, sta možna dva primera: in . V prvem primeru je enačba posledica enačbe, množica korenin nastale enačbe vključuje množico korenin te enačbe, tu se pridobijo tuje korenine, ki jih lahko odrežemo s preverjanjem. V drugem primeru je bila pridobljena enačba, za katero je ta enačba posledica: , kar pomeni, da se bodo koreni izgubili; takih prehodov ne bi smeli izvajati. Zato je pomembno zagotoviti, da je pri transformaciji enačbe vsaka naslednja enačba posledica prejšnje. Kaj morate vedeti, da bodo preobrazbe prav takšne? Poskusimo to namestiti. Zapišimo nalogo 1 (ponuja enačbe; njihov ODZ najdemo v fazi ažuriranja; zapišemo množico korenov vsake enačbe).

Naloga 1. Ali sta enačbi vsake skupine (a, b) enakovredni? Poimenujte transformacijo, zaradi katere se prva enačba skupine nadomesti z drugo.

A)
b)

Pojdimo k enačbam skupine a), ali so te enačbe enakovredne?

(Da, in so enakovredni).

(Uporabili smo identiteto).

To pomeni, da je bil izraz v enem delu enačbe nadomeščen z identično enakim izrazom. Ali se je ODZ enačbe s to transformacijo spremenil?

Oglejmo si skupino enačb b). Ali so te enačbe enakovredne?

(Ne, enačba je posledica enačbe).

Zaradi kakšne preobrazbe ste izšli?

(Levo stran enačbe smo zamenjali z identično enakim izrazom.)

Kaj se je zgodilo z enačbo ODZ?

(ODZ se je razširil).

Kot rezultat razširitve ODZ smo dobili sledično enačbo in zunanji koren
za enačbo. To pomeni, da lahko razširitev enačbe ODZ povzroči pojav tujih korenin. Za oba primera a) in b) oblikujte trditev na splošno. (Učenci oblikujejo, učitelj popravlja).

(Vstavimo neko enačbo
, izraz
zamenjati z enakim izrazom
. Če taka transformacija ne spremeni enačbe ODZ, potem preidemo na ekvivalentno enačbo
. Če je ODZ razširjen, potem je enačba posledica enačbe ).

Ta izjava je izrek o transformacijah, ki vodijo do enakovrednih enačb ali sledičnih enačb.

1. izrek.,
a) DZne spremeni	b) ODZ se širi

Sprejmimo ta izrek brez dokaza. Naslednja naloga. Predstavljene so tri enačbe in njihove korenine.

Naloga 2. Ali so naslednje enačbe enakovredne? Poimenujte transformacijo, zaradi katere se prva enačba nadomesti z drugo enačbo in tretjo enačbo.

Katere od predlaganih enačb so enakovredne?

(Samo enačbe in ).

Katere transformacije so bile izvedene za prehod iz enačbe v enačbo, ?

(V prvem primeru smo dodali na obe strani enačbe
, v drugem primeru smo dodali
).

To pomeni, da smo v vsakem primeru dodali neko funkcijo
. Primerjaj področje definicije funkcije v enačbi z ODZ enačbe.

(Funkcija
definirana na enačbi ODZ).

Katero enačbo dobimo, če obema stranema enačbe dodamo funkcijo?

(Dobimo enačbo, ki je enakovredna ).

Kaj se je zgodilo z enačbo ODZ v primerjavi z enačbo ODZ?

(Zaradi funkcije se je zožil
).

Kaj ste dobili v tem primeru? Ali bo enačba enakovredna enačbi ali je posledica enačbe za enačbo?

(Ne, ne eno ne drugo).

Po preučitvi dveh primerov transformacije enačbe, ki sta predstavljena v nalogi 2, poskusite narediti zaključek.

(Če obema stranema enačbe dodamo funkcijo, definirano na ODZ te enačbe, dobimo enačbo, ki je enaka tej).

Dejansko je ta izjava izrek.

Izrek2. , - opredeljeno	na enačbah ODZ

Vendar smo pri reševanju enačb uporabili izjavo, ki je podobna izreku. Kako zveni?

(Isto število je mogoče dodati obema stranema enačbe.)

Ta lastnost je poseben primer izreka 2, ko
.

Naloga 3. Ali so naslednje enačbe enakovredne? Poimenujte transformacijo, zaradi katere se prva enačba nadomesti z drugo enačbo in tretjo enačbo.

Katere enačbe v 3. nalogi so enakovredne?

(Enačbe in).

Kot rezultat katere transformacije iz enačbe so bile pridobljene enačbe , ?

(Obe strani enačbe pomnoženi z
in dobil enačbo. Da bi dobili enačbo, smo obe strani enačbe pomnožili z
).

Kateremu pogoju mora izpolnjevati funkcija, da z množenjem obeh strani enačbe z dobimo enakovredno enačbo?

(Funkcija mora biti definirana na celotni enačbi ODZ).

Ali je bila ta transformacija že izvedena na enačbah?

(Uspelo jim je, obe strani enačbe sta bili pomnoženi s številom, ki ni nič).

To pomeni, da je treba pogoj za funkcijo dopolniti.

(Funkcija ne sme iti na nič za nobeno iz enačbe ODZ).

Torej, zapišimo v simbolični obliki izjavo, ki nam omogoča, da preidemo iz te enačbe v enakovredno. (Učitelj zapiše izrek 3 po nareku učencev.)

Izrek 3. - opredeljena skozi celoten ODZ za katerega od ODZ

Dokažimo izrek. Kaj pomeni, da sta dve enačbi enakovredni?

(Pokazati je treba, da so vsi koreni prve enačbe koreni druge enačbe in obratno, tj. druga enačba je posledica prve in prva enačba posledica druge).

Dokažimo, da je to posledica enačbe. Naj - koren enačbe, kaj to pomeni?

(Pri zamenjavi v dobimo pravilno številsko enakost
).

Na točki je funkcija definirana in ne izgine. Kaj to pomeni?

(Številka
. Zato lahko številsko enakost pomnožimo z
. Dobimo pravilno numerično enakost).

Kaj pomeni ta enakost?

( je koren enačbe. To je pokazalo, da je enačba posledica enačbe za enačbo).

Dokažimo, da je posledica enačbe. (Učenci delajo samostojno, nato po pogovoru učitelj napiše drugi del dokaza na tablo).

Naloga 4. Ali sta enačbi vsake skupine (a, b) enakovredni? Poimenujte transformacijo, zaradi katere se prva enačba skupine nadomesti z drugo.

A)
b)

Ali sta enačbi in enakovredni?

(Enakovredno).

Zaradi katere preobrazbe lahko dobimo?

(Kockajte obe strani enačbe).

Z desne in leve strani enačbe lahko vzamemo funkcijo
. Na kateri množici je definirana funkcija?
?

(Na skupnem delu nizov funkcijskih vrednosti
in
).

Opišite skupino enačb pod črko b)?

(Niso enakovredni, to je posledica tega, da je bila funkcija uporabljena v enačbi
in prešli na enačbo, je funkcija definirana na skupnem delu množic funkcijskih vrednosti
in
).

Kako se razlikujejo lastnosti funkcij v skupinah a) in b)?

(V prvem primeru je funkcija monotona, v drugem pa ni).

Oblikujmo naslednjo izjavo. (Učitelj zapiše izrek po nareku učencev.)

Izrek 4. - definiran na skupnem delu nizov funkcijskih vrednosti in
A) - monotono	b) - ni monotono

Pogovorimo se o tem, kako bo ta izrek "deloval" pri reševanju naslednjih enačb.

Primer. Reši enačbo

1)
; 2)
.

Katera funkcija velja za obe strani enačbe 1)?

(Kockirajmo obe strani enačbe, tj. uporabimo funkcijo ).

(Ta funkcija je definirana na skupnem delu niza vrednosti funkcij na levi in ​​desni strani enačbe; je monotona).

Kakšno enačbo dobimo s kockiranjem obeh strani prvotne enačbe?

(Enakovredno temu).

Katera funkcija velja za obe strani enačbe 2)?

(Dvignimo obe strani enačbe na četrto potenco, tj. uporabimo funkcijo
).

Naštejte lastnosti te funkcije, potrebne za uporabo izreka 4.

(Ta funkcija je definirana na skupnem delu nizov vrednosti funkcij na levi in ​​desni strani enačbe; ni monotona).

Kakšno enačbo glede na prvotno dobimo, če to enačbo dvignemo na četrto potenco?

(Enačba-posledica).

Ali bosta množici korenov prvotne enačbe in množici korenin nastale enačbe različni?

(Lahko se pojavijo tuje korenine. To pomeni, da je potrebno preverjanje).

Te enačbe rešite doma.

III . Reflektivno-ocenjevalni del.

Danes smo skupaj »odkrili« štiri izreke. Poglejte jih še enkrat in povejte, o katerih enačbah govorijo.

(O ekvivalentnih enačbah in sledilni enačbi).

Zapišimo temo lekcije. Vrnimo se k enačbi, ki smo si jo ogledali na začetku današnjega pogovora. Kateri od izrekov 1-4 je bil uporabljen pri prehodu iz ene enačbe v drugo? (Učenci skupaj z učiteljem pri posameznem koraku ugotovijo, kateri izrek je uspel; učitelj na diagramu označi številko izreka).

T.2 T.2 T.1 T.4 T.2 T.4

Kaj novega ste se danes naučili pri pouku?

(Pojmi ekvivalentnih enačb, posledice enačb, izreki o ekvivalentnosti enačb).

Kakšno nalogo smo si zastavili na začetku lekcije?

(Izberite transformacije, ki ne spremenijo množice korenov enačbe, transformacije, ki vodijo do pridobitve in izgube korenin).

Smo ga popolnoma rešili?

Nalogo smo delno rešili, nadaljevali jo bomo s preučevanjem v naslednjih učnih urah pri reševanju novih vrst enačb.

Z uporabo novega koncepta ekvivalentnih enačb preoblikujte prvi del naloge, "da identificirate transformacije, ki ne spremenijo nabora korenin enačbe."

(Kako ugotoviti, ali je prehod iz ene enačbe v drugo enakovredna transformacija).

Kaj bo pomagalo odgovoriti na to vprašanje?

(Izreki o ekvivalentnosti enačb).

So se danes izvajale transformacije, ki vodijo v pridobivanje tujih korenin?

(Uporabljeno je bilo kvadriranje obeh strani enačbe; uporaba formul, katerih leva in desna stran sta smiselni za različne pomene črk, vključenih v njih).

Obstajajo tudi drugi "posebni" razlogi, ki vodijo do pojava in izgube korenin enačbe, o nekaterih smo govorili. Obstajajo pa tudi takšni, ki so praviloma povezani z določenim razredom enačb in o tem bomo govorili kasneje.

Zapišimo domačo nalogo:

poznati definicije ekvivalentnih enačb, enačb posledic;

poznati formulacije izrekov 1-4;

po analogiji z dokazom izreka 3 izvedemo dokaz izreka 1 in 2;

4) št. 139(4,6), 141(2) – ugotovi, ali sta enačbi enakovredni; reševanje enačb; .

Zapisi v zvezku

Ekvivalentne enačbe. Enačba-posledica.

Definicija 1. Enačbe in se imenujejo enakovredne, če množice njihovih korenin sovpadajo.

Definicija 2. Enačbo imenujemo posledica enačbe, če je vsak koren enačbe koren enačbe. zamenjati z enakim izrazom.

Primer.Reši enačbo

Razvoj lekcije algebre v 11. specializiranem razredu

Pouk je poučeval učitelj matematike srednje šole MBOU št. 6 Tupitsyna O.V.

Tema in številka lekcije v temi:“Uporaba več transformacij, ki vodijo do enačbe-posledice”, lekcija št. 7, 8 v temi: “Enačba-posledica”

Študijski predmet:Algebra in začetki matematične analize – 11. razred (profilno usposabljanje po učbeniku S. M. Nikolskega)

Vrsta lekcije: “sistematizacija in posploševanje znanja in spretnosti”

Vrsta lekcije: delavnica

Vloga učitelja: usmeriti kognitivno dejavnost učencev, da razvijejo sposobnost samostojne uporabe znanja v kompleksu, da izberejo želeno metodo ali metode transformacije, ki vodijo do enačbe - posledica in uporaba metode pri reševanju enačbe v novih pogojih.

Potrebna tehnična oprema:multimedijska oprema, spletna kamera.

Uporablja se med lekcijo:

1. didaktični model poučevanja- ustvarjanje problematične situacije,
2. pedagoška sredstva– liste z navedbo učnih modulov, izbor nalog za reševanje enačb,
3. vrsto študentske dejavnosti– skupinski (skupine se oblikujejo pri pouku – »odkrivanje« novega znanja, pouk št. 1 in 2 od učencev z različno stopnjo usposobljenosti in učnih sposobnosti), skupno ali individualno reševanje problemov,
4. osebno usmerjene izobraževalne tehnologije: modularno učenje, problemsko učenje, iskalne in raziskovalne metode, kolektivni dialog, dejavnostna metoda, delo z učbenikom in različnimi viri,
5. zdravju varčne tehnologije- izvaja se vadba za sproščanje napetosti,
6. kompetence:

- izobraževalno in spoznavno na osnovni ravni- učenci poznajo pojem enačba - posledica, koren enačbe in metode preoblikovanja, ki vodijo do enačbe - posledice, znajo najti korene enačb in jih preverjati na produktivni ravni;

- na napredni ravni– učenci znajo reševati enačbe z znanimi transformacijskimi metodami, preverjati korene enačb z uporabo območja dopustnih vrednosti enačb; računajo logaritme z uporabo lastnosti na podlagi raziskav; informativni – učenci samostojno iščejo, izločajo in izbirajo informacije, potrebne za reševanje učnih problemov v virih različnih vrst.

Didaktični cilj:

ustvarjanje pogojev za:

Oblikovanje predstav o enačbah – posledice, korenine in metode transformacij;

Oblikovanje izkušnje tvorjenja smisla na podlagi logične posledice predhodno preučenih načinov preoblikovanja enačb: dvig enačbe na sodo potenco, potenciranje logaritemskih enačb, osvobajanje enačbe imenovalcev, prinašanje podobnih členov;

Utrjevanje spretnosti pri ugotavljanju izbire metode preoblikovanja, nadaljnje reševanje enačbe in izbiranje korenin enačbe;

Obvladovanje veščin postavljanja problema na podlagi znanih in naučenih informacij, oblikovanje zahtev za ugotovitev še neznanega;

Oblikovanje kognitivnih interesov, intelektualnih in ustvarjalnih sposobnosti učencev;

Razvoj logičnega razmišljanja, ustvarjalne dejavnosti učencev, oblikovalske sposobnosti, sposobnost izražanja svojih misli;

Oblikovanje občutka strpnosti in medsebojne pomoči pri delu v skupini;

Prebujanje zanimanja za samostojno reševanje enačb;

Naloge:

Organizirajte ponavljanje in sistematizacijo znanja o načinih preoblikovanja enačb;

- zagotoviti obvladovanje metod za reševanje enačb in preverjanje njihovih korenov;

- spodbujati razvoj analitičnega in kritičnega mišljenja študentov; primerjati in izbrati optimalne metode za reševanje enačb;

- ustvariti pogoje za razvoj raziskovalnih sposobnosti in spretnosti skupinskega dela;

Motivirajte študente, da uporabijo preučeno gradivo za pripravo na enotni državni izpit;

Analizirajte in ocenite svoje delo in delo svojih tovarišev pri opravljanju tega dela.

Načrtovani rezultati:

*osebno:

Spretnosti oblikovanja problema na podlagi znanih in naučenih informacij, oblikovanje zahtev za ugotovitev še neznanega;

Sposobnost izbire virov informacij, potrebnih za rešitev problema; razvoj kognitivnih interesov, intelektualnih in ustvarjalnih sposobnosti učencev;

Razvoj logičnega razmišljanja, ustvarjalne dejavnosti, sposobnosti izražanja lastnih misli, sposobnosti ustvarjanja argumentov;

Samoocenjevanje rezultatov uspešnosti;

Sposobnost timskega dela;

*metasubjekt:

Sposobnost poudarjanja glavne stvari, primerjave, posploševanja, risanja analogij, uporabe induktivnih metod sklepanja, postavljanja hipotez pri reševanju enačb,

Sposobnost interpretacije in uporabe pridobljenega znanja pri pripravi na enotni državni izpit;

*zadeva:

Poznavanje načinov preoblikovanja enačb,

Sposobnost vzpostavitve vzorca, povezanega z različnimi vrstami enačb, in njegove uporabe pri reševanju in izbiranju korenin,

Integracija ciljev lekcije:

1. (za učitelja) Oblikovanje pri učencih celostnega razumevanja metod preoblikovanja enačb in metod njihovega reševanja;
2. (za študente) Razvijanje sposobnosti opazovanja, primerjanja, posploševanja in analiziranja matematičnih situacij, povezanih z vrstami enačb, ki vsebujejo različne funkcije. Priprava na enotni državni izpit.

1. stopnja lekcije:

Posodabljanje znanja za dvig motivacije pri uporabi različnih metod preoblikovanja enačb (vhodna diagnostika)

Stopnja obnavljanja znanjaizvajajo v obliki testa s samotestiranjem. Na voljo so razvojne naloge, ki temeljijo na znanju, pridobljenem v prejšnjih lekcijah, ki od učencev zahtevajo aktivno miselno aktivnost in so potrebne za dokončanje naloge v tej lekciji.

Testno delo

1. Izberite enačbe, ki zahtevajo omejitev neznank na množico vseh realnih števil:

a) = X-2; b) 3 = X-2; c) =1;

d) ( = (; e) = ; f) +6 =5 ;

g) = ; h) = .

(2) Navedite obseg sprejemljivih vrednosti vsake enačbe, kjer obstajajo omejitve.

(3) Izberite primer enačbe, kjer lahko transformacija povzroči izgubo korena (uporabite gradivo iz prejšnjih lekcij na to temo).

Vsakdo samostojno preveri svoje odgovore glede na pripravljene, prikazane na ekranu. Analiziramo najzahtevnejše naloge, študenti pa so posebej pozorni na primere a, c, g, h, kjer obstajajo omejitve.

Ugotovljeno je, da je treba pri reševanju enačb določiti obseg vrednosti, ki jih dovoljuje enačba, ali preveriti korenine, da se izognemo tujim vrednostim. Ponavljajo se predhodno preučene metode transformacije enačb, ki vodijo do sledične enačbe. To pomeni, da so učenci s tem motivirani za iskanje pravilno izbrane metode reševanja enačbe, ki se jim predlaga pri nadaljnjem delu.

Faza II lekcije:

Praktična uporaba vašega znanja, spretnosti in sposobnosti pri reševanju enačb.

Skupine dobijo liste z modulom, sestavljenim na vprašanja te teme. Modul vključuje pet učnih elementov, od katerih je vsak namenjen izvajanju določenih nalog. Učenci z različnimi stopnjami usposobljenosti in učnimi zmožnostmi samostojno določajo obseg svojih aktivnosti pri pouku, a ker vsi delajo v skupinah, poteka neprekinjen proces prilagajanja znanja in spretnosti, ki zaostajajoče pripelje na obvezne stopnje, druge na višje in ustvarjalne ravni.

Sredi pouka je obvezna telesna vadba.

št. izobraževalne prvine	Izobraževalni element, ki označuje naloge	Vodnik za obvladovanje učne snovi
UE-1	Namen: Identificirati in utemeljiti osnovne metode reševanja enačb na podlagi lastnosti funkcij. Vaja: Določite metodo transformacije za rešitev naslednjih enačb: A) )= -8); b) = c) ( = ( d) ctg +x 2 -2x = ctg +24; d) = ; e) = sin x. 2) Naloga: Reši vsaj dve od danih enačb. Opišite, katere metode so bile uporabljene pri reševanju enačb.	Določba 7.3 str.212 P.7.4 str.214 Str. 7.5 str.217 P.7.2 str
UE-2	Cilj: Obvladati racionalne tehnike in metode reševanja Vaja: Navedite primere iz zgornjih ali samostojno izbranih (uporabite materiale iz prejšnjih lekcij) enačb, pri reševanju katerih lahko uporabite metode racionalnega reševanja, iz česa so sestavljene? (poudarek na tem, kako preveriti korenine enačbe)
UE-3	Cilj: Uporaba pridobljenega znanja pri reševanju enačb visoke zahtevnosti Vaja: = ( oz ( = (	P.7.5
UE-4	Določite stopnjo obvladovanja teme: nizka – rešitev največ 2 enačb; Srednje – reševanje največ 4 enačb; visoka – rešitev največ 5 enačb
UE-5	Nadzor izhoda: Naredite tabelo, v kateri predstavite vse metode preoblikovanja enačb, ki jih uporabljate, in za vsako metodo zapišite primere enačb, ki ste jih rešili, začenši s 1. lekcijo teme: “Enačbe - posledice”	Opombe v zvezkih

Faza III lekcije:

Končno diagnostično delo je razmislek študentov, ki bo pokazal pripravljenost ne le za pisanje testa, ampak tudi pripravljenost za enotni državni izpit za ta del.

Na koncu ure vsi učenci brez izjeme ocenijo sami sebe, sledi ocena učitelja. Če pride do nesoglasij med učiteljem in učencem, lahko učitelj učencu ponudi, da opravi dodatno nalogo, da jo lahko objektivno oceni. domača nalogaje namenjen ponavljanju snovi pred testom.