Slovarji. Enciklopedije. Zgodba. Literatura. ruski jezik » Zgodba » Dvodimenzionalno naključno. Diskretne dvodimenzionalne naključne spremenljivke. Porazdelitvena funkcija dvodimenzionalne naključne spremenljivke

Dvodimenzionalno naključno. Diskretne dvodimenzionalne naključne spremenljivke. Porazdelitvena funkcija dvodimenzionalne naključne spremenljivke

Poiščimo vsoto niza števil. Če ga ne najdete, potem sistem izračuna vsoto serije z določeno natančnostjo.

Konvergenca nizov

Ta kalkulator lahko ugotovi, ali niz konvergira, in tudi pokaže, kateri znaki konvergence delujejo in kateri ne.

Zna tudi določiti konvergenco potenčnih vrst.

Izdelan je tudi graf serije, kjer je vidna stopnja konvergence serije (oz. divergence).

Pravila za vnos izrazov in funkcij

Izrazi so lahko sestavljeni iz funkcij (oznake so podane po abecednem vrstnem redu): absolutno(x) Absolutna vrednost x
(modul x oz |x|) arccos(x) Funkcija - ark kosinus od x arccosh(x) Arkus kosinus hiperbolični iz x arcsin(x) Arkusin iz x arcsinh(x) Arkusin hiperbolični iz x arctan(x) Funkcija - arktangens od x arctgh(x) Arktangens hiperbolični iz x e eštevilo, ki je približno enako 2,7 exp(x) Funkcija - eksponent x(kot e^x) log(x) oz ln(x) Naravni logaritem od x
(dobiti log7(x), morate vnesti log(x)/log(7) (ali na primer for log10(x)=log(x)/log(10)) piŠtevilo je "pi", kar je približno enako 3,14 greh(x) Funkcija - sinus od x cos(x) Funkcija – kosinus x sinh(x) Funkcija - Sinus hiperbolični od x cosh(x) Funkcija - Kosinus hiperbolični iz x sqrt(x) funkcija - kvadratni koren od x sqr(x) oz x^2 Funkcija - kvadrat x tan (x) Funkcija - Tangenta od x tgh(x) Funkcija - Tangentna hiperbolika iz x cbrt(x) Funkcija - kubični koren iz x

V izrazih je mogoče uporabiti naslednje operacije: Realne številke vnesite kot 7.5 , ne 7,5 2*x- množenje 3/x- delitev x^3- potenciranje x+7- dodatek x - 6- odštevanje
Druge lastnosti: nadstropje (x) Funkcija - zaokroževanje x navzdol (primer floor(4.5)==4.0) strop (x) Funkcija - zaokroževanje x navzgor (primer zgornje meje (4,5)==5,0) znak(x) Funkcija - znak x erf(x) Funkcija napake (ali verjetnostni integral) Laplace (x) Laplaceova funkcija

Množica naključnih spremenljivk X 1 ,X 2 ,...,X str, definiran na oblikah verjetnostnega prostora (). p- dimenzionalna naključna spremenljivka ( X 1 ,X 2 ,...,X str). Če je ekonomski proces opisan z uporabo dveh naključnih spremenljivk X 1 in X 2, potem je določena dvodimenzionalna naključna spremenljivka ( X 1 ,X 2) ali ( X,Y).

Distribucijska funkcija sistemi dveh naključnih spremenljivk ( X,Y), obravnavana kot funkcija spremenljivk imenujemo verjetnost, da se dogodek zgodi :

Vrednosti porazdelitvene funkcije izpolnjujejo neenakost

Z geometrijska točka prikaz distribucijske funkcije F(x,l) določa verjetnost, da naključna točka ( X,Y) bo padel v neskončni kvadrant z vrhom v točki ( X,pri), saj je točka ( X,Y) bo pod in levo od označenega vrha (slika 9.1).

X,Y) v poltraku (slika 9.2) ali v poltraku (slika 9.3) je izražena s formulami:

oz. Verjetnost doseganja vrednosti X,Y) v pravokotnik (slika 9.4) najdete po formuli:

Sl.9.2 Sl.9.3 Sl.9.4

Diskretno imenujemo dvodimenzionalna količina, katere komponente so diskretne.

Zakon porazdelitve dvodimenzionalni diskretni naključna spremenljivka (X,Y) je množica vseh možnih vrednosti ( x i, y j), , diskretne naključne spremenljivke X in Y in njihove ustrezne verjetnosti , ki označuje verjetnost, da komponenta X bo prevzel vrednost x i in hkrati komponenta Y bo prevzel vrednost y j, in

Porazdelitveni zakon dvodimenzionalne diskretne naključne spremenljivke ( X,Y) so podani v obliki tabele. 9.1.

Tabela 9.1

Ω X Ω Y x 1 x 2 … x i …
l 1 str(x 1 ,l 1) str(x 2 ,l 1) … p( x i,l 1) …
l 2 str(x 1 ,l 2) str(x 2 ,l 2) … p( x i,l 2) …
… … … … … …
y i str(x 1 ,y i) str(x 2 ,y i) … p( x i,y i) …
… … … … … …

Neprekinjeno imenujemo dvodimenzionalna naključna spremenljivka, katere komponente so zvezne. funkcija r(X,pri), enaka meji razmerja verjetnosti zadetka dvodimenzionalne naključne spremenljivke ( X,Y) v pravokotnik s stranicami in na območje tega pravokotnika, ko se obe strani pravokotnika nagibata k nič, se imenuje gostota porazdelitve verjetnosti:

Če poznate gostoto porazdelitve, lahko funkcijo porazdelitve najdete po formuli:

Na vseh točkah, kjer obstaja mešani odvod porazdelitvene funkcije drugega reda , gostota porazdelitve verjetnosti lahko najdete s formulo:

Verjetnost zadetka naključne točke ( X,pri) na območje D je določena z enakostjo:

Verjetnost, da naključna spremenljivka X dobil pomen X<х pod pogojem, da je naključna spremenljivka Y dobil fiksno vrednost Y=l, se izračuna po formuli:




prav tako

Formule za izračun pogojne gostote porazdelitve verjetnosti komponent X in Y :

Niz pogojnih verjetnosti str(x 1 |y i), str(x 2 |y i), …, str(x i |y i), … izpolnjevanje pogoja Y=y i, se imenuje pogojna porazdelitev komponente X pri Y=y iX,Y), kje

Podobno je pogojna porazdelitev komponente Y pri X=x i diskretna dvodimenzionalna naključna spremenljivka ( X,Y) je niz pogojnih verjetnosti, ki izpolnjujejo pogoj X=xi, Kje

Začetni trenutek naročilak+s dvodimenzionalna naključna spremenljivka ( X,Y in, tj. .

če X in Y – diskretne naključne spremenljivke, torej

če X in Y – zvezne naključne spremenljivke, torej

Osrednji trenutek naročilo k+s dvodimenzionalna naključna spremenljivka ( X,Y) se imenuje matematično pričakovanje produktov in , tiste.

Če so količine komponent diskretne, potem

Če so količine komponent zvezne, potem

kje r(X,l) – gostota porazdelitve dvodimenzionalne naključne spremenljivke ( X,Y).

Pogojno matematično pričakovanjeY(X)pri X=x(pri Y=y) se imenuje izraz oblike:

– za diskretno naključno spremenljivko Y(X);

– za zvezno naključno spremenljivko Y(X).

Matematična pričakovanja komponent X in Y dvodimenzionalne naključne spremenljivke se izračunajo po formulah:



Trenutek korelacije neodvisne naključne spremenljivke X in Y vključena v dvodimenzionalno naključno spremenljivko ( X,Y), se imenuje matematično pričakovanje produktov odstopanj teh količin:

Korelacijski moment dveh neodvisnih slučajnih spremenljivk XX,Y), je enako nič.

Korelacijski koeficient naključne spremenljivke X in Y vključena v dvodimenzionalno naključno spremenljivko ( X,Y), se imenuje razmerje med korelacijskim momentom in produktom standardnih odstopanj teh količin:



Korelacijski koeficient označuje stopnjo (bližino) linearne korelacije med X in Y.Naključne spremenljivke, za katere , se imenujejo nekorelirane.

Korelacijski koeficient ima naslednje lastnosti:

1. Korelacijski koeficient ni odvisen od merskih enot naključnih spremenljivk.

2. Absolutna vrednost korelacijskega koeficienta ne presega ena:

3. Če potem med komponentami X in Y naključna spremenljivka ( X, Y) obstaja linearna funkcionalna povezava:

4. Če potem komponente X in Y dvodimenzionalne naključne spremenljivke niso korelirane.

5. Če potem komponente X in Y dvodimenzionalne naključne spremenljivke so odvisne.

Enačbe M(X|Y=y)=φ( pri)In M(Y|X=x)=ψ( x) imenujemo regresijske enačbe, premice, ki jih določajo, pa regresijske premice.

Naloge

9.1. Dvodimenzionalna diskretna naključna spremenljivka (X, Y) ki ga določa distribucijski zakon:

Tabela 9.2

Ω x Ω y
0,2 0,15 0,08 0,05
0,1 0,05 0,05 0,1
0,05 0,07 0,08 0,02

Ugotovite: a) zakone porazdelitve komponent X in Y;

b) pogojni zakon porazdelitve vrednosti Y pri X =1;

c) distribucijska funkcija.

Ugotovite, ali so količine neodvisne X in Y. Izračunaj verjetnost in osnovne numerične značilnosti M(X),M(Y),D(X),D(Y),R(X,Y), .

rešitev. a) Naključne spremenljivke X in Y sta definirana na nizu, sestavljenem iz elementarnih rezultatov, ki ima obliko:

dogodek ( X= 1) ustreza naboru rezultatov, katerih prva komponenta je enaka 1: (1;0), (1;1), (1;2). Ti izidi so nezdružljivi. Verjetnost, da X bo prevzel vrednost x i, po Kolmogorovem aksiomu 3, je enako:

Prav tako

Zato je mejna porazdelitev komponente X, lahko podate v obliki tabele. 9.3.

Tabela 9.3

b) Množica pogojnih verjetnosti r(1;0), r(1;1), r(1;2) izpolnjevanje pogoja X=1, se imenuje pogojna porazdelitev komponente Y pri X=1. Verjetnost vrednostnih vrednosti Y pri X=1 najdemo po formuli:

Ker , potem z zamenjavo vrednosti ustreznih verjetnosti dobimo

Torej, pogojna porazdelitev komponente Y pri X=1 ima obliko:

Tabela 9.5

y j
0,48 0,30 0,22

Ker pogojni in brezpogojni zakon porazdelitve ne sovpadata (glej tabeli 9.4 in 9.5), so vrednosti X in Y odvisen. To ugotovitev potrjuje dejstvo, da enakost

za kateri koli par možnih vrednosti X in Y.

na primer

c) Porazdelitvena funkcija F(x,l) dvodimenzionalna naključna spremenljivka (X,Y) ima obliko:

kjer se sešteje po vseh točkah (), za katere so neenakosti hkrati izpolnjene x i in y j . Nato za dani zakon distribucije dobimo:

Primerneje je, da rezultat predstavimo v obliki tabele 9.6.

Tabela 9.6

X l
0,20 0,35 0,43 0,48
0,30 0,5 0,63 0,78
0,35 0,62 0,83

Uporabimo formule za začetne trenutke in rezultate tabel 9.3 in 9.4 ter izračunajmo matematična pričakovanja komponent X in Y:

Variance izračunamo z uporabo drugega začetnega trenutka in rezultatov tabele. 9.3 in 9.4:

Za izračun kovariance TO(X,Y) uporabljamo podobno formulo skozi začetni trenutek:

Korelacijski koeficient se določi po formuli:

Zahtevana verjetnost je definirana kot verjetnost padca v območje na ravnini, ki jo definira ustrezna neenakost:

9.2. Ladja oddaja sporočilo »SOS«, ki ga lahko sprejmeta dve radijski postaji. Ta signal lahko sprejema ena radijska postaja neodvisno od druge. Verjetnost, da signal sprejme prva radijska postaja, je 0,95; verjetnost, da signal sprejme druga radijska postaja, je 0,85. Poiščite porazdelitveni zakon dvodimenzionalne naključne spremenljivke, ki označuje sprejem signala dveh radijskih postaj. Napišite distribucijsko funkcijo.

rešitev: Naj X– dogodek, ki sestoji iz dejstva, da signal sprejme prva radijska postaja. Y– dogodek je, da signal sprejme druga radijska postaja.

Več pomenov .

X=1 – signal, ki ga sprejme prva radijska postaja;

X=0 – prva radijska postaja ni sprejela signala.

Več pomenov .

Y=l – signal, ki ga sprejme druga radijska postaja,

Y=0 – druga radijska postaja ne sprejema signala.

Verjetnost, da signala ne sprejmeta niti prva niti druga radijska postaja, je:

Verjetnost sprejema signala s prvo radijsko postajo:

Verjetnost, da signal sprejme druga radijska postaja:

Verjetnost, da signal sprejmeta tako prva kot druga radijska postaja, je enaka: .

Potem je porazdelitveni zakon dvodimenzionalne naključne spremenljivke enak:

l x
0,007 0,142
0,042 0,807

X,l) pomen F(X,l) je enaka vsoti verjetnosti teh možnih vrednosti naključne spremenljivke ( X,Y), ki spadajo znotraj določenega pravokotnika.

Potem bo distribucijska funkcija videti takole:

9.3. Dve podjetji proizvajata enake izdelke. Vsak se neodvisno od drugega lahko odloči za posodobitev proizvodnje. Verjetnost, da se je prvo podjetje tako odločilo, je 0,6. Verjetnost, da bo drugo podjetje sprejelo tako odločitev, je 0,65. Zapišite zakon porazdelitve dvodimenzionalne naključne spremenljivke, ki označuje odločitev o posodobitvi proizvodnje dveh podjetij. Napišite distribucijsko funkcijo.

odgovor: Distribucijski zakon:

0,14 0,21
0,26 0,39

Za vsako fiksno vrednost točke s koordinatami ( x,l) vrednost je enaka vsoti verjetnosti tistih možnih vrednosti, ki spadajo v podani pravokotnik .

9.4. Batne obročke za avtomobilske motorje izdelujemo na avtomatski stružnici. Izmeri se debelina obroča (naključna vrednost X) in premer luknje (naključna vrednost Y). Znano je, da je približno 5% vseh batnih obročkov okvarjenih. Poleg tega je 3% napak posledica nestandardnih premerov lukenj, 1% - nestandardne debeline in 1% - zavrnjenih iz obeh razlogov. Najdi: skupno porazdelitev dvodimenzionalne naključne spremenljivke ( X,Y); enodimenzionalne porazdelitve komponent X in Y;matematična pričakovanja komponent X in Y; korelacijski moment in korelacijski koeficient med komponentami X in Y dvodimenzionalna naključna spremenljivka ( X,Y).

odgovor: Distribucijski zakon:

0,01 0,03
0,01 0,95

; ; ; ; ; .

9.5. Tovarniški izdelki so okvarjeni zaradi napak A je 4%, in zaradi okvar IN– 3,5 %. Standardna proizvodnja je 96 %. Ugotovite, kolikšen odstotek vseh izdelkov ima obe vrsti napak.

9.6. Naključna spremenljivka ( X,Y) porazdeljena s konstantno gostoto znotraj kvadrata R, katerih oglišča imajo koordinate (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Določite gostoto porazdelitve naključne spremenljivke ( X,Y) in pogojne gostote porazdelitve r(X\pri), str(pri\X).

rešitev. Gradimo na ravnini x 0l dani kvadrat (slika 9.5) in določite enačbe strani kvadrata ABCD z uporabo enačbe premice, ki poteka skozi dve dani točki: Zamenjava koordinat vozlišč A in IN dobimo zaporedno enačbo stranice AB: oz .

Podobno najdemo enačbo stranice sonce: ;strani CD: in strani D.A.: . : .D X , Y) je polobla s središčem v izhodišču polmera R.Poiščite gostoto porazdelitve verjetnosti.

odgovor:

9.10. Glede na diskretno dvodimenzionalno naključno spremenljivko:

0,25 0,10
0,15 0,05
0,32 0,13

Ugotovite: a) pogojni porazdelitveni zakon X, pod pogojem, da y= 10;

b) zakon pogojne razdelitve Y, pod pogojem, da x =10;

c) matematično pričakovanje, disperzija, korelacijski koeficient.

9.11. Zvezna dvodimenzionalna naključna spremenljivka ( X,Y)enakomerno porazdeljena znotraj pravokotnega trikotnika z oglišči O(0;0), A(0;8), IN(8,0).

Poiščite: a) gostoto porazdelitve verjetnosti;

Opredelitev 2.7. je par naključnih števil (X, Y), ali točka na koordinatni ravnini (slika 2.11).

riž. 2.11.

Dvodimenzionalna naključna spremenljivka je poseben primer večvariatne naključne spremenljivke ali naključnega vektorja.

Opredelitev 2.8. Naključni vektor - je to naključna funkcija?,(/) s končnim naborom možnih vrednosti argumentov t, katerih vrednost za katero koli vrednost t je naključna spremenljivka.

Dvodimenzionalno naključno spremenljivko imenujemo zvezna, če so njene koordinate zvezne, in diskretna, če so njene koordinate diskretne.

Določiti zakon porazdelitve dvodimenzionalnih naključnih spremenljivk pomeni vzpostaviti ujemanje med njegovimi možnimi vrednostmi in verjetnostjo teh vrednosti. Glede na metode določanja so naključne spremenljivke razdeljene na zvezne in diskretne, čeprav obstajajo splošni načini za določitev zakona porazdelitve katere koli naključne spremenljivke.

Diskretna dvodimenzionalna naključna spremenljivka

Diskretna dvodimenzionalna naključna spremenljivka je podana s pomočjo porazdelitvene tabele (tabela 2.1).

Tabela 2.1

Razdelilna tabela (skupna razdelitev) SV ( X, U)

Elementi tabele so določeni s formulo

Lastnosti elementov distribucijske tabele:

Porazdelitev po vsaki koordinati se imenuje enodimenzionalno oz obrobno:

r 1> = P(X =.g,) - mejna porazdelitev SV X;

p^2) = P(Y= y,)- mejna porazdelitev SV U.

Razmerje med skupno razdelitvijo CB X in Y, določena z nizom verjetnosti [p()], tj = 1,..., n,j = 1,..., T(distribucijska tabela) in mejna porazdelitev.


Podobno za SV U p- 2)= X r, g

Problem 2.14. podano:

Zvezna dvodimenzionalna naključna spremenljivka

/(X, y)dxdy- element verjetnosti za dvodimenzionalno naključno spremenljivko (X, Y) - verjetnost, da naključna spremenljivka (X, Y) pade v pravokotnik s stranicami cbc, dy pri dx, dy -* 0:

f(x, y) - gostota porazdelitve dvodimenzionalna naključna spremenljivka (X, Y). Naloga /(x, y) podajamo popolne informacije o porazdelitvi dvodimenzionalne naključne spremenljivke.

Mejne porazdelitve so določene na naslednji način: za X - z gostoto porazdelitve SV X/,(x); Avtor: Y- gostota porazdelitve SV U f>(y).

Določanje porazdelitvenega zakona dvodimenzionalne naključne spremenljivke s porazdelitveno funkcijo

Univerzalen način za določitev distribucijskega zakona za diskretno ali zvezno dvodimenzionalno naključno spremenljivko je distribucijska funkcija F(x, y).

Opredelitev 2.9. Porazdelitvena funkcija F(x, y)- verjetnost skupnega nastopa dogodkov (Xy), tj. F(x 0,y n) = = P(X y), vržena na koordinatno ravnino, padejo v neskončni kvadrant z vrhom v točki M(x 0, y i)(v osenčenem območju na sliki 2.12).

riž. 2.12. Ponazoritev porazdelitvene funkcije F( x, y)

Lastnosti funkcije F(x, y)

  • 1) 0 1;
  • 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F( oo, oo) = 1;
  • 3) F(x, y)- nepadanje za vsak argument;
  • 4) F(x, y) - neprekinjeno na levi in ​​spodaj;
  • 5) skladnost porazdelitev:

F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y, oo) - mejna porazdelitev nad Y F( oh, y) = F 2 (y). Povezava /(x, y) z F(x, y):

Razmerje med gostoto sklepov in robno gostoto. Dana f(x, y). Dobimo mejne gostote porazdelitve f(x),f 2 (y)".


Primer neodvisnih koordinat dvodimenzionalne naključne spremenljivke

Opredelitev 2.10. SV X in Yneodvisen(nz), če so dogodki, povezani z vsakim od teh SV, neodvisni. Iz definicije NZ SV izhaja:

  • 1 )Pij = p X) pf
  • 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).

Izkazalo se je, da za neodvisne SV X in Y dokončan in

3 )f(x,y) = J(x)f,(y).

Dokažimo to za neodvisne SV X in Y 2) 3). dokaz, a) Naj bo izpolnjeno 2, tj.

hkrati F(x,y) = f J f(u,v)dudv, torej sledi 3);

b) naj se zdaj izpolni 3) potem


tiste. res 2).

Razmislimo o nalogah.

Problem 2.15. Porazdelitev je podana v naslednji tabeli:

Konstruiramo mejne porazdelitve:

Dobimo P(X = 3, U = 4) = 0,17 * P(X = 3)P(U = 4) = 0,1485 => => SV X in Odvisni.

Distribucijska funkcija:


Problem 2.16. Porazdelitev je podana v naslednji tabeli:

Dobimo P tl = 0,2 0,3 = 0,06; R 12 = 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => SV X in Y nz.

Problem 2.17. Dana /(x, y) = 1. exp| -0,5(d" + 2xy + 5 g/ 2)]. Najdi Oh) in /Ay)-

rešitev

(preštejte sami).

dvodimenzionalna diskretna naključna porazdelitev

Pogosto je rezultat poskusa opisan z več naključnimi spremenljivkami: . Na primer, vreme v določenem kraju ob določenem času dneva je mogoče označiti z naslednjimi naključnimi spremenljivkami: X 1 - temperatura, X 2 - tlak, X 3 - vlažnost zraka, X 4 - hitrost vetra.

V tem primeru govorimo o večdimenzionalni naključni spremenljivki ali sistemu naključnih spremenljivk.

Razmislite o dvodimenzionalni naključni spremenljivki, katere možne vrednosti so pari števil. Geometrično lahko dvodimenzionalno naključno spremenljivko interpretiramo kot naključno točko na ravnini.

Če komponente X in Y so diskretne naključne spremenljivke, potem - diskretna dvodimenzionalna naključna spremenljivka in če X in Y sta zvezni, potem je zvezna dvodimenzionalna naključna spremenljivka.

Zakon porazdelitve verjetnosti dvodimenzionalne naključne spremenljivke je ujemanje med možnimi vrednostmi in njihovimi verjetnostmi.

Porazdelitveni zakon dvodimenzionalne diskretne naključne spremenljivke lahko podamo v obliki tabele z dvojnim vhodom (glej tabelo 6.1), kjer je verjetnost, da komponenta X dobil pomen x i, in komponento Y- pomen l j .

Tabela 6.1.1.

l 1

l 2

l j

l m

x 1

str 11

str 12

str 1j

str 1m

x 2

str 21

str 22

str 2j

str 2m

x i

str i1

str i2

str ij

str im

x n

str n1

str n2

str nj

str nm

Ker dogodki sestavljajo celotno skupino po parih nekompatibilnih dogodkov, je vsota verjetnosti enaka 1, tj.

Iz tabele 6.1 lahko najdete zakone porazdelitve enodimenzionalnih komponent X in Y.

Primer 6.1.1 . Poiščite zakone porazdelitve komponent X in Y,če je porazdelitev dvodimenzionalne slučajne spremenljivke podana v obliki tabele 6.1.2.

Tabela 6.1.2.

Če na primer določimo vrednost enega od argumentov, potem je posledična porazdelitev vrednosti X imenujemo pogojna porazdelitev. Podobno je definirana pogojna porazdelitev Y.

Primer 6.1.2 . Glede na porazdelitev dvodimenzionalne naključne spremenljivke, podane v tabeli. 6.1.2, poiščite: a) pogojni porazdelitveni zakon komponente X glede na to; b) zakon pogojne razdelitve Y pod pogojem, da.

rešitev. Pogojne verjetnosti komponent X in Y izračunano z uporabo formul

Zakon o pogojni distribuciji X pod pogojem, da ima obliko

Nadzor: .

Porazdelitveni zakon dvodimenzionalne naključne spremenljivke je mogoče določiti v obliki distribucijske funkcije, ki za vsak par števil določa verjetnost, da X bo imel vrednost manjšo od X, in hkrati Y bo imel vrednost manjšo od l:

Geometrično funkcija pomeni verjetnost, da naključna točka pade v neskončen kvadrat z vrhom v točki (slika 6.1.1).

Opozorimo na lastnosti.

  • 1. Območje vrednosti funkcije je , tj. .
  • 2. Funkcija - nepadajoča funkcija za vsak argument.
  • 3. Obstajajo omejevalna razmerja:

Ko porazdelitvena funkcija sistema postane enaka porazdelitveni funkciji komponente X, tj. .

Prav tako,.

Če to veste, lahko ugotovite verjetnost, da naključna točka pade znotraj pravokotnika ABCD.

namreč

Primer 6.1.3. Dvodimenzionalno diskretno naključno spremenljivko določa porazdelitvena tabela

Poiščite distribucijsko funkcijo.

rešitev. Vrednost v primeru diskretnih komponent X in Y se najde s seštevanjem vseh verjetnosti z indeksi i in j, za katerega, . Potem, če in, potem (dogodka in sta nemogoča). Podobno dobimo:

če in, potem;

če in, potem;

če in, potem;

če in, potem;

če in, potem;

če in, potem;

če in, potem;

če in, potem;

če in, potem.

Dobljene rezultate predstavimo v obliki tabele (6.1.3) vrednosti:

Za dvodimenzionalno neprekinjeno naključna spremenljivka je uveden koncept gostote verjetnosti

Geometrična gostota verjetnosti je porazdelitvena površina v prostoru

Dvodimenzionalna gostota verjetnosti ima naslednje lastnosti:

3. Porazdelitveno funkcijo lahko izrazimo s formulo

4. Verjetnost, da zvezna naključna spremenljivka pade v regijo, je enaka

5. V skladu z lastnostjo (4) funkcije veljajo naslednje formule:

Primer 6.1.4. Podana je porazdelitvena funkcija dvodimenzionalne naključne spremenljivke

Urejen par (X, Y) naključnih spremenljivk X in Y imenujemo dvodimenzionalna naključna spremenljivka ali naključni vektor v dvodimenzionalnem prostoru. Dvodimenzionalna naključna spremenljivka (X,Y) se imenuje tudi sistem naključnih spremenljivk X in Y. Množica vseh možnih vrednosti diskretne naključne spremenljivke z njihovimi verjetnostmi se imenuje porazdelitveni zakon te naključne spremenljivke. Diskretna dvodimenzionalna naključna spremenljivka (X, Y) velja za dano, če je znan njen porazdelitveni zakon:

P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m

Namen storitve. Z uporabo storitve lahko v skladu z danim distribucijskim zakonom najdete:

  • serija porazdelitve X in Y, matematično pričakovanje M[X], M[Y], varianca D[X], D[Y];
  • kovarianca cov(x,y), korelacijski koeficient r x,y, serija pogojne porazdelitve X, pogojno pričakovanje M;
Poleg tega je podan odgovor na vprašanje "Ali sta naključni spremenljivki X in Y odvisni?"

Navodila. Določite dimenzijo matrike porazdelitve verjetnosti (število vrstic in stolpcev) in njeno vrsto. Nastala rešitev se shrani v datoteko Word.

Primer št. 1. Dvodimenzionalna diskretna naključna spremenljivka ima porazdelitveno tabelo:

Y/X 1 2 3 4
10 0 0,11 0,12 0,03
20 0 0,13 0,09 0,02
30 0,02 0,11 0,08 0,01
40 0,03 0,11 0,05 q
Poiščite vrednost q in korelacijski koeficient te naključne spremenljivke.

rešitev. Vrednost q najdemo iz pogoja Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. Od kod prihaja q = 0,09?

Z uporabo formule ∑P(x i,y j) = str i(j=1..n), najdemo porazdelitveno vrsto X.

Pričakovanje M[Y].
M[y] = 1*0,05 + 2*0,46 + 3*0,34 + 4*0,15 = 2,59
Varianca D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Standardni odklonσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0,64) = 0,801

Kovarianca cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 ·20·0,02 + 1·30·0,02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 ·0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Korelacijski koeficient r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736

Primer 2. Podatki iz statistične obdelave informacij o dveh indikatorjih X in Y se odražajo v korelacijski tabeli. Zahtevano:

  1. napisati niz porazdelitve za X in Y ter zanju izračunati vzorčne srednje vrednosti in vzorčne standardne odklone;
  2. napisati pogojno porazdelitveno vrsto Y/x in izračunati pogojna povprečja Y/x;
  3. grafično prikažejo odvisnost pogojnih povprečij Y/x od X vrednosti;
  4. izračunajte vzorčni korelacijski koeficient Y na X;
  5. napišite vzorec regresijske enačbe;
  6. geometrično upodabljajo podatke korelacijske tabele in sestavljajo regresijsko premico.
rešitev. Urejen par (X,Y) naključnih spremenljivk X in Y imenujemo dvodimenzionalna naključna spremenljivka ali naključni vektor v dvodimenzionalnem prostoru. Dvodimenzionalno naključno spremenljivko (X,Y) imenujemo tudi sistem naključnih spremenljivk X in Y.
Množica vseh možnih vrednosti diskretne naključne spremenljivke z njihovimi verjetnostmi se imenuje porazdelitveni zakon te naključne spremenljivke.
Diskretna dvodimenzionalna naključna spremenljivka (X,Y) velja za dano, če je znan njen porazdelitveni zakon:
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2..,m
X/Y20 30 40 50 60
11 2 0 0 0 0
16 4 6 0 0 0
21 0 3 6 2 0
26 0 0 45 8 4
31 0 0 4 6 7
36 0 0 0 0 3
Dogodki (X=x i, Y=y j) tvorijo popolno skupino dogodkov, zato je vsota vseh verjetnosti p ij ( i=1,2...,n, j=1,2..,m), navedeno v tabeli, je enako 1.
1. Odvisnost naključnih spremenljivk X in Y.
Poiščite porazdelitveni seriji X in Y.
Z uporabo formule ∑P(x i,y j) = str i(j=1..n), najdemo porazdelitveno vrsto X. Pričakovanje M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42,3
Varianca D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Standardni odklon σ(y).

Ker je P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, sta naključni spremenljivki X in Y odvisen.
2. Pogojni porazdelitveni zakon X.
Pogojni porazdelitveni zakon X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Pogojno matematično pričakovanje M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Pogojna varianca D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Pogojni porazdelitveni zakon X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Pogojno matematično pričakovanje M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Pogojna varianca D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Pogojni porazdelitveni zakon X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Pogojno matematično pričakovanje M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Pogojna varianca D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Pogojni porazdelitveni zakon X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Pogojno matematično pričakovanje M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Pogojna varianca D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Pogojni porazdelitveni zakon X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Pogojno matematično pričakovanje M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Pogojna varianca D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Pogojni porazdelitveni zakon Y.
Pogojni porazdelitveni zakon Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Pogojno matematično pričakovanje M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Pogojna varianca D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Pogojni porazdelitveni zakon Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Pogojno matematično pričakovanje M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Pogojna varianca D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Pogojni porazdelitveni zakon Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Pogojno matematično pričakovanje M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Pogojna varianca D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Pogojni porazdelitveni zakon Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Pogojno matematično pričakovanje M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Pogojna varianca D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Pogojni porazdelitveni zakon Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Pogojno matematično pričakovanje M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Pogojna varianca D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Pogojni porazdelitveni zakon Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Pogojno matematično pričakovanje M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Pogojna varianca D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Kovarianca.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Če so naključne spremenljivke neodvisne, potem je njihova kovarianca enaka nič. V našem primeru je cov(X,Y) ≠ 0.
Korelacijski koeficient.


Enačba linearne regresije od y do x je:

Enačba linearne regresije od x do y je:

Poiščimo potrebne numerične značilnosti.
Vzorčna povprečja:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25,3
odstopanja:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Od kod dobimo standardna odstopanja:
σ x = 9,99 in σ y = 4,9
in kovarianca:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Določimo korelacijski koeficient:


Zapišimo enačbe regresijskih premic y(x):

in z izračunom dobimo:
y x = 0,38 x + 9,14
Zapišimo enačbe regresijskih premic x(y):

in z izračunom dobimo:
x y = 1,59 y + 2,15
Če narišemo točke, ki jih določa tabela in regresijske premice, vidimo, da obe premici potekata skozi točko s koordinatami (42.3; 25.3) in se točki nahajata blizu regresijskih premic.
Pomen korelacijskega koeficienta.

Z uporabo Studentove tabele s stopnjo pomembnosti α=0,05 in prostostnimi stopnjami k=100-m-1 = 98 najdemo t crit:
t kritič (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
kjer je m = 1 število pojasnjevalnih spremenljivk.
Če je opazovano t > t kritično, potem se dobljena vrednost korelacijskega koeficienta šteje za pomembno (ničelna hipoteza, da je korelacijski koeficient enak nič, je zavrnjena).
Ker t obs > t crit, zavračamo hipotezo, da je korelacijski koeficient enak 0. Z drugimi besedami, korelacijski koeficient je statistično pomemben.

telovadba. Število zadetkov parov vrednosti naključnih spremenljivk X in Y v ustreznih intervalih je podano v tabeli. Z uporabo teh podatkov poiščite vzorčni korelacijski koeficient in vzorčne enačbe ravnih regresijskih črt Y na X in X na Y.
rešitev

Primer. Porazdelitev verjetnosti dvodimenzionalne naključne spremenljivke (X, Y) je podana s tabelo. Poiščite zakone porazdelitve komponentnih količin X, Y in korelacijskega koeficienta p(X, Y).
Prenesite rešitev

telovadba. Dvodimenzionalno diskretno količino (X, Y) podaja porazdelitveni zakon. Poiščite zakone porazdelitve komponent X in Y, kovarianco in korelacijski koeficient.

Sorodni članki