Graf logaritemske funkcije z osnovo 1 3. Definicija logaritma in njegovih lastnosti: teorija in reševanje problemov. Enačbe in neenačbe

(iz grščine λόγος - "beseda", "relacija" in ἀριθμός - "število") številke b temelji na a(log α b) imenujemo takšno število c, In b= a c, to je zapisi log α b=c in b=ac so enakovredne. Logaritem je smiseln, če je a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Z drugimi besedami logaritemštevilke b temelji na A formuliran kot eksponent, na katerega je treba povečati število a da dobiš številko b(logaritem obstaja samo za pozitivna števila).

Iz te formulacije sledi, da je izračun x= log α b, je enakovredno reševanju enačbe a x =b.

Na primer:

log 2 8 = 3, ker je 8 = 2 3 .

Naj poudarimo, da navedena formulacija logaritma omogoča takojšnjo določitev vrednost logaritma, ko število pod znakom logaritma deluje kot določena potenca osnove. Dejansko formulacija logaritma omogoča utemeljitev, da če b=a c, nato logaritem števila b temelji na a enako z. Jasno je tudi, da je tema logaritmov tesno povezana s temo potence števila.

Izračunavanje logaritma se imenuje logaritem. Logaritem je matematična operacija logaritmiranja. Pri logaritmiranju se produkti faktorjev pretvorijo v vsote členov.

Potenciranje je matematična operacija inverzna logaritmu. Med potenciranjem se dana baza dvigne do stopnje izražanja, nad katero se izvaja potenciranje. V tem primeru se vsote členov pretvorijo v produkt faktorjev.

Precej pogosto se uporabljajo pravi logaritmi z osnovami 2 (binarni), Eulerjevim številom e ≈ 2,718 (naravni logaritem) in 10 (decimalni).

Na tej stopnji je priporočljivo razmisliti vzorci logaritmov dnevnik 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

In vnosi lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nimajo smisla, saj je v prvem od njih negativno število postavljeno pod znak logaritma, v drugem pa je negativno število v osnovi, v tretji pa je pod logaritmom negativno število in na osnovi enota.

Pogoji za določitev logaritma.

Ločeno je vredno razmisliti o pogojih a > 0, a ≠ 1, b > 0, pod katerimi dobimo definicija logaritma. Poglejmo, zakaj so bile sprejete te omejitve. Pri tem nam bo pomagala enakost oblike x = log α b, imenovano osnovna logaritemska identiteta, ki neposredno izhaja iz definicije logaritma, podane zgoraj.

Vzemimo pogoj a≠1. Ker je ena na poljubno potenco enako ena, potem velja enakost x=log α b lahko obstaja samo takrat, ko b=1, vendar bo log 1 1 poljubno realno število. Da bi odpravili to dvoumnost, vzamemo a≠1.

Dokažimo nujnost pogoja a>0. pri a=0 glede na formulacijo logaritma lahko obstaja le, če b=0. In temu primerno potem dnevnik 0 0 je lahko katero koli realno število, ki ni nič, saj je nič na katero koli potenco, ki ni nič, nič. To dvoumnost lahko odpravi pogoj a≠0. In kdaj a<0 morali bi zavrniti analizo racionalnih in iracionalnih vrednosti logaritma, saj je stopnja z racionalnim in iracionalnim eksponentom definirana samo za nenegativne baze. Zaradi tega je pogoj določen a>0.

In zadnji pogoj b>0 izhaja iz neenakosti a>0, ker je x=log α b, in vrednost stopnje s pozitivno osnovo a vedno pozitivno.

Značilnosti logaritmov.

Logaritmi zaznamuje izrazit funkcije, kar je privedlo do njihove široke uporabe za znatno olajšanje mukotrpnih izračunov. Ko se premaknemo »v svet logaritmov«, se množenje spremeni v veliko lažje seštevanje, deljenje v odštevanje, potenciranje in pridobivanje korena pa v množenje oziroma deljenje z eksponentom.

Oblikovanje logaritmov in tabela njihovih vrednosti (za trigonometrične funkcije) je leta 1614 prvič objavil škotski matematik John Napier. Logaritemske tabele, ki so jih povečali in podrobno opisali drugi znanstveniki, so se pogosto uporabljale v znanstvenih in inženirskih izračunih in so ostale pomembne vse do uporabe elektronskih kalkulatorjev in računalnikov.

Razpon sprejemljivih vrednosti (APV) logaritma

Zdaj pa se pogovorimo o omejitvah (ODZ - obseg dovoljenih vrednosti spremenljivk).

Spomnimo se, da je npr. kvadratni koren ni mogoče izluščiti iz negativnih števil; ali če imamo ulomek, potem imenovalec ne more biti enak nič. Logaritmi imajo podobne omejitve:

To pomeni, da morata biti argument in osnova večja od nič, vendar osnova še ne more biti enaka.

Zakaj je temu tako?

Začnimo s preprosto stvarjo: recimo to. Potem, na primer, število ne obstaja, saj ne glede na to, na katero moč dvignemo, se vedno izkaže. Še več, za nikogar ne obstaja. Toda hkrati je lahko enaka karkoli (iz istega razloga - enaka kateri koli stopinji). Zato predmet ni zanimiv in je bil preprosto vržen iz matematike.

V primeru imamo podoben problem: na poljubno pozitivno potenco je, vendar ga nikakor ne moremo povzdigniti na negativno potenco, saj bo to povzročilo deljenje z nič (naj vas spomnim).

Ko se soočimo s problemom povišanja na ulomek (ki je predstavljen kot koren: . Na primer, (to je), vendar ne obstaja.

Zato je lažje zavreči negativne razloge, kot pa se ukvarjati z njimi.

No, ker je naša osnova a lahko le pozitivna, potem ne glede na to, na katero potenco jo dvignemo, bomo vedno dobili strogo pozitivno število. Torej mora biti argument pozitiven. Na primer, ne obstaja, ker ga nikakor ne bo negativno število(in celo nič, torej tudi ne obstaja).

Pri nalogah z logaritmi je treba najprej zapisati ODZ. Naj vam dam primer:

Rešimo enačbo.

Spomnimo se definicije: logaritem je potenca, na katero je treba dvigniti osnovo, da dobimo argument. In glede na pogoj je ta stopnja enaka: .

Dobimo običajno kvadratna enačba: . Rešimo ga z uporabo Vietovega izreka: vsota korenin je enaka in produkt. Enostaven za prevzem, to so številke in.

Če pa v odgovor takoj vzamete in zapišete obe številki, lahko za nalogo dobite 0 točk. Zakaj? Pomislimo, kaj se zgodi, če te korene nadomestimo v začetno enačbo?

To očitno ni pravilno, saj osnova ne more biti negativna, to pomeni, da je koren "tretja oseba".

Da bi se izognili tako neprijetnim pastem, morate ODZ zapisati še preden začnete reševati enačbo:

Potem, ko smo prejeli korenine in, takoj zavržemo koren in napišemo pravilen odgovor.

Primer 1(poskusite rešiti sami) :

Poiščite koren enačbe. Če je korenin več, v odgovoru označite najmanjšo izmed njih.

rešitev:

Najprej napišimo ODZ:

Zdaj pa se spomnimo, kaj je logaritem: na kakšno potenco morate dvigniti osnovo, da dobite argument? Na drugo. To je:

Zdi se, da je manjši koren enak. Vendar to ni tako: po ODZ je root tretji, torej sploh ni root podana enačba. Tako ima enačba samo en koren: .

odgovor: .

Osnovna logaritemska identiteta

Spomnimo se definicije logaritma v splošni obliki:

Nadomestimo logaritem v drugo enakost:

Ta enakost se imenuje osnovna logaritemska identiteta. Čeprav je v bistvu to enakopravnost – le drugače zapisano definicija logaritma:

To je moč, do katere se morate dvigniti, da jo dosežete.

Na primer:

Reši naslednje primere:

Primer 2.

Poiščite pomen izraza.

rešitev:

Spomnimo se pravila iz razdelka:, to je, da se pri potenci potence pomnožijo eksponenti. Uporabimo ga:

Primer 3.

Dokaži to.

rešitev:

Lastnosti logaritmov

Naloge žal niso vedno tako preproste - pogosto morate izraz najprej poenostaviti, ga spraviti v običajno obliko in šele nato bo mogoče izračunati vrednost. To je najlažje narediti, če veš lastnosti logaritmov. Naučimo se torej osnovnih lastnosti logaritmov. Vsakega od njih bom dokazal, saj si vsako pravilo lažje zapomniš, če veš, od kod prihaja.

Vse te lastnosti si je treba zapomniti; brez njih večine problemov z logaritmi ni mogoče rešiti.

In zdaj o vseh lastnostih logaritmov podrobneje.

Lastnost 1:

Dokaz:

Naj bo potem.

Imamo: itd.

Lastnost 2: Vsota logaritmov

Vsota logaritmov z enakimi osnovami je enaka logaritmu produkta: .

Dokaz:

Naj bo potem. Naj bo potem.

primer: Poiščite pomen izraza: .

Rešitev: .

Formula, ki ste se jo pravkar naučili, pomaga poenostaviti vsoto logaritmov, ne razlike, zato teh logaritmov ni mogoče takoj združiti. Lahko pa storite nasprotno - "razdelite" prvi logaritem na dva: In tukaj je obljubljena poenostavitev:
.
Zakaj je to potrebno? No, na primer: čemu je enako?

Zdaj je to očitno.

zdaj poenostavite sami:

Naloge:

odgovori:

Lastnost 3: Razlika logaritmov:

Dokaz:

Vse je popolnoma enako kot v 2. točki:

Naj bo potem.

Naj bo potem. Imamo:

Primer iz prejšnjega odstavka postane zdaj še preprostejši:

Bolj zapleten primer: . Ali lahko ugotovite, kako to rešiti sami?

Tukaj je treba opozoriti, da nimamo ene same formule o logaritmih na kvadrat. To je nekaj podobnega izrazu - tega ni mogoče takoj poenostaviti.

Zato si oddahnimo od formul o logaritmih in pomislimo, kakšne formule najpogosteje uporabljamo v matematiki? Od 7. razreda!

Ta - . Morate se navaditi, da so povsod! Pojavijo se pri eksponentnih, trigonometričnih in iracionalnih problemih. Zato si jih je treba zapomniti.

Če natančno pogledate prva dva izraza, postane jasno, da je to razlika kvadratov:

Odgovor za preverjanje:

Poenostavite sami.

Primeri

odgovori.

Lastnost 4: Odvzem eksponenta iz argumenta logaritma:

Dokaz: In tukaj uporabljamo tudi definicijo logaritma: pustimo, torej. Imamo: itd.

To pravilo je mogoče razumeti takole:

To pomeni, da se stopnja argumenta premakne pred logaritem kot koeficient.

primer: Poiščite pomen izraza.

rešitev: .

Odločite se sami:

Primeri:

odgovori:

Lastnost 5: Jemanje eksponenta iz osnove logaritma:

Dokaz: Naj bo potem.

Imamo: itd.
Ne pozabite: od razlogov stopnja je izražena kot nasprotnoštevilo, za razliko od prejšnjega primera!

Lastnost 6: Odstranitev eksponenta iz osnove in argumenta logaritma:

Ali če sta stopnji enaki: .

Lastnost 7: Prehod na novo osnovo:

Dokaz: Naj bo potem.

Imamo: itd.

Lastnost 8: Zamenjaj osnovo in argument logaritma:

Dokaz: To je poseben primer formule 7: če zamenjamo, dobimo: itd.

Poglejmo si še nekaj primerov.

Primer 4.

Poiščite pomen izraza.

Uporabljamo lastnost logaritmov št. 2 - vsoto logaritmov s enaka osnova enako logaritmu produkta:

Primer 5.

Poiščite pomen izraza.

rešitev:

Uporabljamo lastnost logaritmov št. 3 in št. 4:

Primer 6.

Poiščite pomen izraza.

rešitev:

Uporabimo lastnost št. 7 - pojdimo na osnovo 2:

Primer 7.

Poiščite pomen izraza.

rešitev:

Kako vam je všeč članek?

Če berete te vrstice, ste prebrali celoten članek.

In to je kul!

Zdaj pa nam povejte, kako vam je všeč članek?

Ste se naučili reševati logaritme? Če ne, v čem je problem?

Pišite nam v komentarjih spodaj.

In ja, veliko sreče na izpitih.

Na enotnem državnem izpitu in enotnem državnem izpitu ter v življenju na splošno

\(a^(b)=c\) \(\Levodesna puščica\) \(\log_(a)(c)=b\)

Razložimo bolj preprosto. Na primer, \(\log_(2)(8)\) je enako potenci, na katero je treba dvigniti \(2\), da dobimo \(8\). Iz tega je jasno, da \(\log_(2)(8)=3\).

Primeri:		\(\log_(5)(25)=2\)		ker \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		ker \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		ker \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument in osnova logaritma

Vsak logaritem ima naslednjo "anatomijo":

Argument logaritma je običajno zapisan na njegovi ravni, osnova pa je zapisana v indeksu bližje znaku logaritma. In ta vnos se glasi takole: "logaritem od petindvajset na osnovo pet."

Kako izračunati logaritem?

Če želite izračunati logaritem, morate odgovoriti na vprašanje: na kakšno potenco je treba dvigniti osnovo, da dobimo argument?

Na primer, izračunajte logaritem: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(4\), da dobimo \(16\)? Očitno drugo. Zato:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(\sqrt(5)\), da dobimo \(1\)? Kakšna moč naredi katero koli številko ena? Nula, seveda!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(\sqrt(7)\), da dobimo \(\sqrt(7)\)? Prvič, vsako število na prvo potenco je enako samemu sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(3\), da dobimo \(\sqrt(3)\)? Iz tega vemo, da je to delna potenca, kar pomeni, da je kvadratni koren potenca \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primer : Izračunajte logaritem \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

rešitev :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Najti moramo vrednost logaritma, označimo jo z x. Zdaj pa uporabimo definicijo logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Levodesna puščica\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Kaj povezuje \(4\sqrt(2)\) in \(8\)? Dva, ker sta obe števili lahko predstavljeni z dvojkama: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Na levi uporabimo lastnosti stopnje: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) in \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Osnove so enake, prehajamo na enakost indikatorjev
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite obe strani enačbe z \(\frac(2)(5)\)
		Dobljeni koren je vrednost logaritma

Odgovori : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zakaj je bil izumljen logaritem?

Da bi to razumeli, rešimo enačbo: \(3^(x)=9\). Samo ujemite \(x\), da bo enačba delovala. Seveda \(x=2\).

Zdaj rešite enačbo: \(3^(x)=8\). Čemu je x enak? To je bistvo.

Najpametnejši bodo rekli: "X je malo manj kot dva." Kako točno napisati to številko? Za odgovor na to vprašanje je bil izumljen logaritem. Zahvaljujoč njemu lahko tukaj odgovor zapišemo kot \(x=\log_(3)(8)\).

Želim poudariti, da \(\log_(3)(8)\), kot vsak logaritem je samo število. Da, izgleda nenavadno, vendar je kratko. Ker če bi to želeli zapisati v obliki decimalno, bi bilo videti takole: \(1,892789260714.....\)

Primer : Rešite enačbo \(4^(5x-4)=10\)

rešitev :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) in \(10\) ni mogoče postaviti na isto osnovo. To pomeni, da brez logaritma ne morete. Uporabimo definicijo logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Levodesna puščica\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Obrnimo enačbo tako, da bo X na levi
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Pred nami. Premaknimo \(4\) v desno. In ne bojte se logaritma, obravnavajte ga kot običajno število.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Enačbo delite s 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		To je naša korenina. Da, videti je nenavadno, vendar ne izberejo odgovora.

Odgovori : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni in naravni logaritmi

Kot je navedeno v definiciji logaritma, je njegova osnova lahko katero koli pozitivno število razen ena \((a>0, a\neq1)\). In med vsemi možnimi osnovami sta dve, ki se pojavljata tako pogosto, da je bil za logaritme z njima izumljen poseben kratek zapis:

Naravni logaritem: logaritem, katerega osnova je Eulerjevo število \(e\) (enako približno \(2,7182818…\)), logaritem pa je zapisan kot \(\ln(a)\).

to je \(\ln(a)\) je enako \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritem: Logaritem z osnovo 10 je zapisan \(\lg(a)\).

to je \(\lg(a)\) je enako kot \(\log_(10)(a)\), kjer je \(a\) neko število.

Osnovna logaritemska identiteta

Logaritmi imajo številne lastnosti. Eden od njih se imenuje "Basic logaritemska identiteta« in izgleda takole:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ta lastnost izhaja neposredno iz definicije. Poglejmo, kako natančno je nastala ta formula.

Spomnimo se kratkega zapisa definicije logaritma:

če \(a^(b)=c\), potem \(\log_(a)(c)=b\)

To pomeni, \(b\) je enako kot \(\log_(a)(c)\). Potem lahko v formuli \(a^(b)=c\) namesto \(b\) zapišemo \(\log_(a)(c)\). Izkazalo se je \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavna logaritemska identiteta.

Najdete lahko druge lastnosti logaritmov. Z njihovo pomočjo lahko poenostavite in izračunate vrednosti izrazov z logaritmi, ki jih je težko neposredno izračunati.

Primer : Poiščite vrednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

rešitev :

Odgovori : \(25\)

Kako zapisati število kot logaritem?

Kot že omenjeno, je vsak logaritem samo število. Velja tudi obratno: vsako število lahko zapišemo kot logaritem. Na primer, vemo, da je \(\log_(2)(4)\) enako dve. Potem lahko namesto dveh napišete \(\log_(2)(4)\).

Toda \(\log_(3)(9)\) je enako tudi \(2\), kar pomeni, da lahko zapišemo tudi \(2=\log_(3)(9)\) . Podobno z \(\log_(5)(25)\) in z \(\log_(9)(81)\) itd. Se pravi, izkaže se

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Tako lahko, če potrebujemo, dva zapišemo kot logaritem s katero koli osnovo kjer koli (bodisi v enačbi, izrazu ali neenačbi) - osnovo na kvadrat preprosto zapišemo kot argument.

Enako je s trojko – lahko jo zapišemo kot \(\log_(2)(8)\), ali kot \(\log_(3)(27)\), ali kot \(\log_(4)( 64) \)... Tukaj zapišemo osnovo v kocki kot argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

In s štirimi:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

In z minus ena:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

In z eno tretjino:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Vsako število \(a\) je mogoče predstaviti kot logaritem z osnovo \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primer : Poiščite pomen izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

rešitev :

Odgovori : \(1\)

Z razvojem družbe in kompleksnostjo proizvodnje se je razvila tudi matematika. Gibanje od enostavnega k zapletenemu. Iz običajnega računovodstva z metodo seštevanja in odštevanja z njihovim večkratnim ponavljanjem smo prišli do pojma množenje in deljenje. Zmanjšanje ponavljajoče se operacije množenja je postalo koncept potenciranja. Prve tabele odvisnosti števil od osnove in stopnjevanja števila je že v 8. stoletju sestavil indijski matematik Varasena. Iz njih lahko računate čas pojavljanja logaritmov.

Zgodovinska skica

Oživitev Evrope v 16. stoletju je spodbudila tudi razvoj mehanike. T zahteval veliko količino računanja povezanih z množenjem in deljenjem večmestnih števil. Starodavne mize so odlično služile. Omogočili so zamenjavo zapletenih operacij s preprostejšimi – seštevanjem in odštevanjem. Velik korak naprej je bilo delo matematika Michaela Stiefela, objavljeno leta 1544, v katerem je uresničil idejo mnogih matematikov. To je omogočilo uporabo tabel ne le za stopnje v obrazcu praštevila, temveč tudi za poljubne racionalne.

Leta 1614 je Škot John Napier, ki je razvijal te ideje, prvi predstavil nov izraz "logaritem števila". Sestavljene so bile nove kompleksne tabele za izračun logaritmov sinusov in kosinusov ter tangentov. To je zelo zmanjšalo delo astronomov.

Začele so se pojavljati nove tabele, ki so jih znanstveniki vseskozi uspešno uporabljali tri stoletja. Precej časa je minilo, preden je nova operacija v algebri dobila končno obliko. Podana je bila definicija logaritma in preučene so bile njegove lastnosti.

Šele v 20. stoletju, s pojavom kalkulatorja in računalnika, je človeštvo opustilo starodavne tabele, ki so uspešno delovale vsa 13. stoletja.

Danes imenujemo logaritem b za osnovo a število x, ki je potenca a, da naredi b. To je zapisano kot formula: x = log a(b).

Na primer, log 3(9) bi bil enak 2. To je očitno, če sledite definiciji. Če 3 dvignemo na potenco 2, dobimo 9.

Tako formulirana definicija postavlja samo eno omejitev: števili a in b morata biti realni.

Vrste logaritmov

Klasična definicija se imenuje realni logaritem in je pravzaprav rešitev enačbe a x = b. Možnost a = 1 je mejna in ni zanimiva. Pozor: 1 na katero koli potenco je enako 1.

Realna vrednost logaritma definirano le, če sta osnova in argument večja od 0, osnova pa ne sme biti enaka 1.

Posebno mesto na področju matematike igrajte logaritme, ki bodo poimenovani glede na velikost njihove osnove:

Pravila in omejitve

Temeljna lastnost logaritmov je pravilo: logaritem produkta je enak logaritemski vsoti. log abp = log a(b) + log a(p).

Kot različica te izjave bo: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), funkcija kvocienta je enaka razliki funkcij.

Iz prejšnjih dveh pravil je enostavno videti, da: log a(b p) = p * log a(b).

Druge lastnosti vključujejo:

Komentiraj. Ne delajte običajne napake – logaritem vsote ni enak vsoti logaritmov.

Več stoletij je bila operacija iskanja logaritma precej zamudna naloga. Matematiki so uporabili dobro znano formulo logaritemske teorije polinomske ekspanzije:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kjer je n - naravno število večja od 1, ki določa natančnost izračuna.

Logaritme z drugimi bazami smo izračunali s pomočjo izreka o prehodu iz ene baze v drugo in lastnosti logaritma produkta.

Ker je ta metoda zelo delovno intenzivna in pri reševanju praktičnih problemov težko izvedljivo, smo uporabili vnaprej sestavljene tabele logaritmov, kar je bistveno pohitrilo vse delo.

V nekaterih primerih so bili uporabljeni posebej oblikovani logaritemski grafi, ki so dali manj natančnosti, vendar so bistveno pospešili iskanje želeno vrednost. Krivulja funkcije y = log a(x), zgrajena na več točkah, vam omogoča, da uporabite navadno ravnilo za iskanje vrednosti funkcije na kateri koli drugi točki. Inženirji dolgo časa V te namene je bil uporabljen tako imenovani milimetrski papir.

V 17. stoletju so se pojavili prvi pomožni analogni računski pogoji, ki 19. stoletje dobilo dovršen videz. Najuspešnejša naprava se je imenovala diapozitiv. Kljub preprostosti naprave je njen videz znatno pospešil proces vseh inženirskih izračunov, kar je težko preceniti. Trenutno malo ljudi pozna to napravo.

Pojav kalkulatorjev in računalnikov je onemogočil uporabo vseh drugih naprav.

Enačbe in neenačbe

Za reševanje različnih enačb in neenačb z uporabo logaritmov se uporabljajo naslednje formule:

• Prehod iz ene baze v drugo: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Kot posledica prejšnje možnosti: log a(b) = 1 / log b(a).

Za reševanje neenačb je koristno vedeti:

• Vrednost logaritma bo pozitivna le, če sta osnova in argument večja ali manjša od ena; če je vsaj en pogoj kršen, bo vrednost logaritma negativna.
• Če se funkcija logaritma uporabi za desno in levo stran neenakosti in je osnova logaritma večja od ena, se predznak neenakosti ohrani; sicer se spremeni.

Vzorčne težave

Razmislimo o več možnostih uporabe logaritmov in njihovih lastnosti. Primeri z reševanjem enačb:

Razmislite o možnosti postavitve logaritma na potenco:

• Naloga 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rešitev: v pogojih problema je vnos podoben naslednjemu (5^2)^log5(3) ali 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo drugače: 5^log 5(3*2) ali kvadrat števila kot argument funkcije lahko zapišemo kot kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Z uporabo lastnosti logaritmov je ta izraz enak 3^2. Odgovor: kot rezultat izračuna dobimo 9.

Praktična uporaba

Ker gre za čisto matematično orodje, se zdi daleč od tega resnično življenje da je logaritem nenadoma pridobil velika vrednost opisovati predmete resnični svet. Težko je najti znanost, kjer se ne uporablja. To v celoti velja ne samo za naravoslovna, temveč tudi za humanitarna področja znanja.

Logaritemske odvisnosti

Tukaj je nekaj primerov številskih odvisnosti:

Mehanika in fizika

Zgodovinsko gledano sta se mehanika in fizika vedno razvijali z uporabo matematične metode raziskovalno in hkrati služilo kot spodbuda za razvoj matematike, vključno z logaritmi. Teorija večine fizikalnih zakonov je napisana v jeziku matematike. Naj navedemo le dva primera opisovanja fizikalnih zakonov z logaritmom.

Problem izračuna tako zapletene količine, kot je hitrost rakete, je mogoče rešiti z uporabo formule Ciolkovskega, ki je postavila temelje za teorijo raziskovanja vesolja:

V = I * ln (M1/M2), kjer je

• V je končna hitrost letala.
• I – specifični impulz motorja.
• M 1 – začetna masa rakete.
• M 2 – končna masa.

Še en pomemben primer- to se uporablja v formuli drugega velikega znanstvenika Maxa Plancka, ki služi za oceno ravnotežnega stanja v termodinamiki.

S = k * ln (Ω), kjer je

• S – termodinamična lastnost.
• k – Boltzmannova konstanta.
• Ω je statistična utež različnih stanj.

kemija

Manj očitna je uporaba formul v kemiji, ki vsebujejo razmerje logaritmov. Naj navedemo samo dva primera:

• Nernstova enačba, pogoj redoks potenciala medija glede na aktivnost snovi in ​​konstanto ravnotežja.
• Izračun konstant, kot sta indeks avtolize in kislost raztopine, prav tako ni mogoč brez naše funkcije.

Psihologija in biologija

In sploh ni jasno, kaj ima psihologija s tem. Izkazalo se je, da je moč občutka dobro opisana s to funkcijo kot inverzno razmerje med vrednostjo intenzivnosti dražljaja in nižjo vrednostjo intenzivnosti.

Po zgornjih primerih ni več presenetljivo, da se tema logaritmov pogosto uporablja v biologiji. O bioloških oblikah, ki ustrezajo logaritemskim spiralam, bi lahko napisali cele knjige.

Druga področja

Zdi se, da je obstoj sveta nemogoč brez povezave s to funkcijo in vlada vsem zakonom. Še posebej, ko so naravni zakoni povezani z geometrijsko napredovanje. Vredno se je obrniti na spletno stran MatProfi in takih primerov je veliko na naslednjih področjih delovanja:

Seznam je lahko neskončen. Ko obvladate osnovna načela te funkcije, se lahko potopite v svet neskončne modrosti.

Kaj je logaritem?

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Kaj je logaritem? Kako rešiti logaritme? Ta vprašanja begajo mnoge diplomante. Tradicionalno velja, da je tema logaritmov zapletena, nerazumljiva in strašljiva. Še posebej enačbe z logaritmi.

To absolutno ni res. Vsekakor! ne verjameš? V redu. Zdaj v samo 10-20 minutah:

1. Razumeli boste kaj je logaritem.

2. Naučite se rešiti cel razred eksponentne enačbe. Tudi če o njih še niste slišali.

3. Naučite se računati preproste logaritme.

Še več, za to boste morali poznati samo tabelo množenja in kako povečati število na potenco ...

Zdi se mi, da dvomite ... No, v redu, označite čas! Gremo!

Najprej reši to enačbo v svoji glavi:

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.