Kako izpeljati formulo iz fizikalne formule. Kako izraziti eno spremenljivko z drugo? Kako izraziti spremenljivko iz formule? Zveza z matematiko

V vsakem fizikalnem problemu morate izraziti neznano iz formule, naslednji korak je zamenjava številskih vrednosti in pridobitev odgovora; v nekaterih primerih morate izraziti samo neznano količino. Obstaja veliko načinov za izpeljavo neznanke iz formule. Če pogledamo internet, bomo videli veliko priporočil o tej zadevi. To nakazuje, da znanstvena skupnost še ni razvila enotnega pristopa k reševanju tega problema, metode, ki se uporabljajo, pa so, kot kažejo šolske izkušnje, vse neučinkovite. Do 90 % študentov maturantski razredi ne znajo pravilno izraziti neznanega. Tisti, ki to znajo, izvajajo okorne preobrazbe. Zelo nenavadno, vendar imajo fiziki, matematiki in kemiki različne pristope pri razlagi metod za prenos parametrov skozi znak enačaja (ponujajo pravila trikotnika, križa ali proporcev itd.). drugačna kultura dela s formulami. Lahko si predstavljamo, kaj se zgodi večini učencev, ki se pri doslednem obiskovanju pouka teh predmetov srečujejo z različnimi interpretacijami rešitve določenega problema. Ta položaj je opisan s tipičnim spletnim dialogom:

Naučite se izražati količine iz formul. 10. razred, sram me je, da ne znam iz ene formule narediti drugega.

Brez skrbi – to je težava mnogih mojih sošolcev, čeprav sem v 9. razredu. Učitelji to najpogosteje pokažejo z metodo trikotnika, vendar se mi zdi, da je to neprijetno in se zlahka zmedeš. Pokazal vam bom najlažji način, ki ga uporabljam ...

Recimo, da je podana formula:

No, enostavnejša .... iz te formule morate najti čas. V to formulo vzamete in nadomestite samo različna števila, ki temeljijo na algebri. Recimo:

in verjetno jasno vidite, da za iskanje časa v algebraičnem izrazu 5 potrebujete 45/9, tj. preidimo k fiziki: t=s/v

Večina študentov razvije psihološko blokado. Učenci pogosto ugotavljajo, da pri branju učbenika težave povzročajo predvsem tisti delci besedila, ki vsebujejo veliko formul, ki » dolgi zaključkiŠe vedno ne razumem,« a hkrati se pojavi občutek manjvrednosti in nezaupanja v lastne moči.

Predlagam naslednjo rešitev tega problema - večina študentov še vedno zna rešiti primere in s tem urediti vrstni red dejanj. Uporabimo to njihovo spretnost.

1. V delu formule, ki vsebuje spremenljivko, ki jo je treba izraziti, je treba urediti vrstni red dejanj, pri monomih, ki ne vsebujejo želene vrednosti, pa tega ne bomo počeli.

2. Nato v obratnem zaporedju izračunov prenesite elemente formule v drug del formule (prek znaka enakosti) z nasprotnim dejanjem (»minus« - »plus«, »deli« - »pomnoži«, “kvadriranje” - “izvleček kvadratnega korena” ).

To pomeni, da bomo poiskali zadnje dejanje v izrazu in prenesli monom ali polinom, ki to dejanje izvaja, skozi znak enačaja na prvo, vendar z nasprotnim dejanjem. Tako zaporedno, ko najdemo zadnje dejanje v izrazu, prenesemo vse znane količine iz enega dela enačbe v drugega. Nazadnje prepišimo formulo tako, da bo neznana spremenljivka na levi.

Dobimo jasen algoritem dela, natančno vemo, koliko transformacij je treba izvesti. Za trening lahko uporabimo že znane formule ali pa si izmislimo svojo. Za začetek dela na obvladovanju tega algoritma je bila ustvarjena predstavitev.

Izkušnje s študenti kažejo, da je ta metoda dobro sprejeta. Odziv učiteljev na moj nastop na festivalu Učiteljice specializirana šola« govori tudi o pozitivnem zrnu tega dela.

S pomočjo zapisa prvega zakona termodinamike v diferencialni obliki (9.2) dobimo izraz za toplotno kapaciteto poljubnega procesa:

Predstavimo celotno razliko notranje energije v smislu parcialnih odvodov glede na parametre in :

Po tem prepišemo formulo (9.6) v obliki

Relacija (9.7) ima neodvisen pomen, saj določa toplotno kapaciteto v katerem koli termodinamičnem procesu in za kateri koli makroskopski sistem, če sta znani kalorična in toplotna enačba stanja.

Oglejmo si proces pri konstantnem tlaku in dobimo splošno razmerje med in .

Na podlagi dobljene formule zlahka najdemo razmerje med toplotnimi kapacitetami idealnega plina. To bomo storili. Vendar je odgovor že znan, aktivno smo ga uporabljali v 7.5.

Enačba Roberta Mayerja

Izrazimo parcialne odvode na desni strani enačbe (9.8) z uporabo termičnih in kaloričnih enačb, zapisanih za en mol idealnega plina. Notranja energija idealnega plina je torej odvisna samo od temperature in ni odvisna od prostornine plina

Iz toplotne enačbe je enostavno dobiti

Nato zamenjajmo (9.9) in (9.10) v (9.8).

Končno ga bomo zapisali

Upam, da ste izvedeli (9.11). Da, seveda, to je Mayerjeva enačba. Še enkrat spomnimo, da Mayerjeva enačba velja le za idealen plin.

9.3. Politropni procesi v idealnem plinu

Kot je navedeno zgoraj, se lahko prvi zakon termodinamike uporabi za izpeljavo enačb za procese, ki potekajo v plinu. Velik praktična uporaba najde razred procesov, imenovanih politropni. Politropno je proces, ki poteka pri konstantni toplotni kapaciteti .

Enačba procesa je podana s funkcionalnim razmerjem med dvema makroskopskima parametroma, ki opisujeta sistem. Na ustreznem koordinatna ravnina enačba procesa je nazorno predstavljena v obliki grafa – procesne krivulje. Krivulja, ki prikazuje politropni proces, se imenuje politrop. Enačbo politropnega procesa za katero koli snov lahko dobimo na podlagi prvega zakona termodinamike z uporabo njenih toplotnih in kaloričnih enačb stanja. Pokažimo, kako se to naredi na primeru izpeljave enačbe procesa za idealni plin.

Izpeljava enačbe politropskega procesa v idealnem plinu

Zahteva po stalni toplotni kapaciteti med procesom nam omogoča, da prvi zakon termodinamike zapišemo v obliki

Z uporabo Mayerjeve enačbe (9.11) in enačbe stanja idealnega plina dobimo naslednji izraz za

Če enačbo (9.12) delimo s T in vanjo nadomestimo (9.13), pridemo do izraza

Če delimo () z , najdemo

Z integracijo (9.15) dobimo

To je politropna enačba v spremenljivkah

Z izločitvijo () iz enačbe z uporabo enakosti dobimo politropno enačbo v spremenljivkah

Parameter se imenuje politropni eksponent, ki lahko glede na () sprejme največ različne pomene, pozitivna in negativna, cela števila in ulomki. Za formulo () se skriva veliko procesov. Vam znani izobarni, izohorni in izotermni procesi so posebni primeri politropnih.

Ta razred procesov vključuje tudi adiabatski ali adiabatski proces . Adiabat je proces, ki poteka brez izmenjave toplote (). Ta postopek je mogoče izvesti na dva načina. Prva metoda predvideva, da ima sistem toplotnoizolacijsko lupino, ki lahko spremeni svojo prostornino. Drugi je izvesti tako hiter proces, da sistem nima časa za izmenjavo količine toplote okolju. Proces širjenja zvoka v plinu lahko zaradi velike hitrosti štejemo za adiabatnega.

Iz definicije toplotne kapacitete izhaja, da pri adiabatnem procesu . Glede na

kjer je adiabatni eksponent.

V tem primeru ima politropna enačba obliko

Enačba adiabatskega procesa (9.20) se imenuje tudi Poissonova enačba, zato se parameter pogosto imenuje Poissonova konstanta. Konstanta je pomembna lastnost plinov. Iz izkušenj izhaja, da so njegove vrednosti za različne pline v območju 1,30 ÷ 1,67, zato na diagramu procesa adiabat "pada" bolj strmo kot izoterma.

Grafi politropskih procesov za različne vrednosti so predstavljeni na sl. 9.1.

Na sl. 9.1 procesni grafi so oštevilčeni v skladu s tabelo. 9.1.

Ta lekcija je uporaben dodatek k prejšnji temi "".

Sposobnost početja takšnih stvari ni samo koristna, ampak je potrebno. V vseh vejah matematike, od šole do višje. In tudi v fiziki. Zaradi tega so naloge te vrste nujno prisotne tako na enotnem državnem izpitu kot na enotnem državnem izpitu. Na vseh ravneh – tako osnovni kot specializirani.

Pravzaprav vse teoretični del podobne naloge je sestavljen iz ene same fraze. Univerzalno in preprosto kot hudič.

Presenečeni smo, a spomnimo se:

Vsaka enakost s črkami, vsaka formula je TUDI ENAČBA!

In kjer je enačba, je samodejno . Zato jih uporabimo v vrstnem redu, ki nam ustreza, in končali smo.) Ste prebrali prejšnjo lekcijo? ne? Vendar ... Potem je ta povezava za vas.

Oh, se zavedaš? odlično! Nato se prijavimo teoretično znanje v praksi.

Začnimo z nečim preprostim.

Kako izraziti eno spremenljivko z drugo?

Ta problem se nenehno pojavlja pri reševanju sistemi enačb. Na primer, obstaja enakost:

3 x - 2 l = 5

Tukaj dve spremenljivki- X in Y.

Recimo, da nas vprašajo ekspresnoxskozil.

Kaj pomeni ta naloga? Pomeni, da moramo dobiti neko enakost, kjer je na levi čisti X. V čudoviti izolaciji, brez sosedov in okolice. In na desni - kar se zgodi.

In kako do takšne enakosti? Zelo preprosto! Z uporabo istih dobrih starih transformacij identitete! Zato jih uporabljamo na priročen način nas red, korak za korakom do čistega X.

Analizirajmo levo stran enačbe:

3 x – 2 l = 5

Tukaj se postavljamo na pot trem pred X in - 2 l. Začnimo z - 2у, bo lažje.

Vržemo - 2у od leve proti desni. Menjava minusa v plus, seveda. Tisti. uporabiti prvi transformacija identitete:

3 x = 5 + 2 l

Pol bitke je narejene. Trije ostali pred X. Kako se ga znebiti? Oba dela razdelite na te iste tri! Tisti. angažirati drugo identična transformacija.

Tukaj delimo:

To je vse. mi izraženo x skozi y. Na levi je čisti X, na desni pa tisto, kar se je zgodilo kot posledica "čiščenja" X-a.

Bilo bi mogoče sprva oba dela razdelite na tri in nato prenesite. Toda to bi povzročilo pojav ulomkov med procesom transformacije, kar ni zelo priročno. In tako se je zlom pojavil šele čisto na koncu.

Naj vas spomnim, da vrstni red transformacij ni pomemben. kako nas To je priročno, zato to počnemo. Najpomembnejši ni vrstni red uporabe transformacij identitete, ampak njihove prav!

In to je mogoče iz iste enakosti

3 x – 2 l = 5

izraziti y v smislux?

Zakaj ne? Lahko! Vse je po starem, le da nas tokrat zanima čisti igralec na levi. Tako igro očistimo vsega nepotrebnega.

Najprej se znebimo izraza 3x. Premakni ga na desno stran:

–2 l = 5 – 3 x

Ostala je dvojka z minusom. Obe strani delite z (-2):

In to je vse.) Mi izraženolskozi x. Pojdimo k resnejšim nalogam.

Kako izraziti spremenljivko iz formule?

Brez problema! Popolnoma enako!Če razumemo, da katera koli formula - ista enačba.

Na primer, ta naloga:

Iz formule

ekspresna spremenljivka c.

Tudi formula je enačba! Naloga pomeni, da moramo s transformacijami iz predlagane formule dobiti nekaj nova formula. V kateri bo na levi strani čista z, na desni pa - kar bo, se bo izšlo ...

Vendar ... Kako dobimo to zelo z potegniti kaj ven?

Kako-kako ... Korak za korakom! Jasno je, da izbrati čisto z takoj nemogoče: sedi v delčku. In ulomek je pomnožen z r... Torej, najprej očistimo izraz s črko z, tj. celoten delček. Tukaj lahko obe strani formule razdelite na r.

Dobimo:

Naslednji korak je, da ga izvlečete z iz števca ulomka. kako Enostavno! Znebimo se ulomka. Če ni ulomka, ni števca.) Pomnožite obe strani formule z 2:

Vse, kar je ostalo, so osnovne stvari. Priskrbimo črko na desni z ponosna osamljenost. V ta namen spremenljivke a in b premik v levo:

To je vse, bi lahko rekli. Ostaja še prepisati enakost v običajni obliki, od leve proti desni, in odgovor je pripravljen:

To je bila lahka naloga. In zdaj naloga, ki temelji na prava možnost Enotni državni izpit:

Lokator batiskafa, ki enakomerno pada navpično navzdol, oddaja ultrazvočne impulze s frekvenco 749 MHz. Hitrost potopitve batiskafa se izračuna po formuli

kjer je c = 1500 m/s hitrost zvoka v vodi,

f 0 – frekvenca oddanih impulzov (v MHz),

f– frekvenca signala, odbitega od dna, ki ga je posnel sprejemnik (v MHz).

Določite frekvenco odbitega signala v MHz, če je hitrost potopitve podvodne naprave 2 m/s.

"Veliko knjig", ja ... Ampak pisma so besedila, splošno bistvo pa je še vedno enako. Prvi korak je izraziti prav to frekvenco odbitega signala (tj. črko f) iz formule, ki nam je bila predlagana. To bomo naredili. Poglejmo formulo:

Neposredno, seveda, pismo f Nikakor ga ne morete izvleči, spet je skrit v kadru. In tako v števcu kot v imenovalcu. Zato bi bil najbolj logičen korak znebiti se ulomka. In potem se bo videlo. Za to uporabljamo drugo transformacija - pomnožite obe strani z imenovalcem.

Dobimo:

In tukaj je še ena grablje. Prosimo, bodite pozorni na oklepaje v obeh delih! Pogosto se prav v teh oklepajih skrivajo napake pri takih nalogah. Natančneje, ne v samih oklepajih, ampak v njihovi odsotnosti.)

Oklepaj na levi nakazuje, da je črka v pomnoži za celoten imenovalec. In ne na posamezne dele...

Na desni, po množenju, ulomek izginila in ostal je edini števnik. Kar spet, vse v celoti pomnoženo s črko z. Kar je izraženo z oklepaji na desni strani.)

Zdaj pa lahko odprete oklepaje:

super Postopek je v teku.) Zdaj pismo f levo skupni faktor . Vzemimo iz oklepajev:

Nič ni ostalo. Oba dela razdelite z oklepaji (v- c) in - v torbi je!

V bistvu je vse pripravljeno. Spremenljivka f že izraženo. Lahko pa dodatno "češete" nastali izraz - odstranite f 0 čez oklepaj v števcu in zmanjšajte celoten ulomek za (-1), s čimer se znebite nepotrebnih minusov:

To je izraz. Zdaj pa lahko nadomestite številske podatke. Dobimo:

Odgovor: 751 MHz

To je vse. Upam, da je splošna ideja jasna.

Izvajamo elementarne transformacije identitete, da izoliramo spremenljivko, ki nas zanima. Glavna stvar tukaj ni zaporedje dejanj (lahko je katero koli), ampak njihova pravilnost.

Ti dve lekciji pokrivata samo dve osnovni identitetni transformaciji enačb. Delajo Vedno. Zato so osnovni. Poleg tega para obstaja še veliko drugih transformacij, ki bodo prav tako enake, vendar ne vedno, ampak samo pod določenimi pogoji.

Na primer, kvadriranje obeh strani enačbe (ali formule) (ali obratno, vzetje korena obeh strani) bo identična transformacija, če obe strani enačbe so očitno nenegativni.

Ali pa bo recimo logaritem obeh strani enačbe identična transformacija, če obe strani očitno pozitivno. In tako naprej …

O takih preobrazbah bomo razpravljali v ustreznih temah.

In tukaj in zdaj - primeri za usposabljanje o osnovnih osnovnih transformacijah.

Preprosta naloga:

Iz formule

izrazite spremenljivko a in poiščite njeno vrednost priS=300, V 0 =20, t=10.

Težja naloga:

Povprečna hitrost smučarja (v km/h) na razdalji dveh krogov se izračuna po formuli:

kjeV 1 inV 2 – povprečna hitrost (v km/h) v prvem oziroma drugem krogu. Kako je bilo povprečna hitrost smučar v drugem krogu, če je znano, da je smučar prvi krog tekel s hitrostjo 15 km/h, povprečna hitrost na celotni razdalji pa je bila 12 km/h?

Naloga temelji na resničnem različica OGE:

Centripetalni pospešek pri gibanju v krogu (v m/s 2) lahko izračunate po formulia=ω 2R, kjer je ω – kotna hitrost(v s -1) inR– polmer kroga. S to formulo poiščite polmerR(v metrih), če je kotna hitrost 8,5 s -1 in centripetalni pospešek 289 m/s 2.

Težava temelji na resnični možnosti profil Enotni državni izpit:

Na vir z EMF ε=155 V in notranjim uporomr=0,5 Ohma želijo povezati breme z uporomROhm. Napetost na tem bremenu, izražena v voltih, je podana s formulo:

Pri kateri obremenitveni upornosti bo napetost na njem 150 V? Odgovor izrazite v ohmih.

Odgovori (v razsulu): 4; 15; 2; 10.

In kje so številke, kilometri na uro, metri, ohmi - nekako sami ...)

Obstaja veliko načinov za izpeljavo neznanke iz formule, a kot kažejo izkušnje, so vsi neučinkoviti. Razlog: 1. Do 90% podiplomskih študentov ne zna pravilno izraziti neznanega. Tisti, ki to znajo, izvajajo okorne preobrazbe. 2. Fiziki, matematiki, kemiki – ljudje, ki govorijo različnih jezikih, razlago metod za prenos parametrov skozi znak enačaja (ponujajo pravila trikotnika, križa itd.) Članek obravnava preprost algoritem, ki omogoča eno sprejem, brez večkratnega prepisovanja izraza, izpelji želeno formulo. Miselno ga lahko primerjamo z osebo, ki se slači (na desni strani enakosti) v omari (na levi): ne moreš sleči srajce, ne da bi slekel plašč, ali: kar se najprej obleče, se sleče zadnje.

Algoritem:

1. Zapišite formulo in analizirajte neposredni vrstni red izvedenih dejanj, zaporedje izračunov: 1) potenciranje, 2) množenje - deljenje, 3) odštevanje - seštevanje.

2. Zapišite: (neznano) = (prepišite inverzno enakost)(oblačila v omari (levo od enakosti) so ostala na mestu).

3. Pravilo pretvorbe formule: določeno je zaporedje prenosa parametrov skozi znak enačaja obratno zaporedje izračuni. Poišči v izrazu zadnje dejanje in odložiti to skozi znak enačaja prvi. Korak za korakom, poiščite zadnje dejanje v izrazu, sem prenesite vse znane količine iz drugega dela enačbe (oblačila na osebo). V obratnem delu enačbe se izvajajo nasprotna dejanja (če se hlače slečejo - "minus", potem se dajo v omaro - "plus").

primer: hv = hc / λ m + mυ 2 /2

Ekspresna frekvencav :

Postopek: 1.v = prepišite desno stranhc / λ m + mυ 2 /2

2. Deli z h

rezultat: v = ( hc / λ m + mυ 2 /2) / h

Express υ m :

Postopek: 1. υ m = prepiši levo stran (hv ); 2. Tukaj se dosledno premikajte z nasprotnim predznakom: ( - hc /λ m ); (*2 ); (1/ m ); (√ ali diplomo 1/2 ).

Zakaj se najprej prenese ( - hc /λ m ) ? To je zadnje dejanje na desni strani izraza. Ker vse desna stran pomnoženo z (m /2 ), potem je celotna leva stran deljena s tem faktorjem: zato so postavljeni oklepaji. Prvo dejanje na desni strani, kvadriranje, se nazadnje prenese na levo stran.

To osnovno matematiko z vrstnim redom operacij pri izračunih pozna vsak učenec zelo dobro. zato Vseštudentom precej enostavno brez večkratnega prepisovanja izraza, takoj izpeljite formulo za izračun neznanke.

rezultat: υ = (( hv - hc /λ m ) *2/ m ) 0.5 ` (ali napiši kvadratni koren namesto diplome 0,5 )

Express λ m :

Postopek: 1. λ m = prepiši levo stran (hv ); 2.Odštej ( mυ 2 /2 ); 3. Deli z (hc ); 4. Dvignite na potenco ( -1 ) (Matematiki običajno spremenijo števec in imenovalec želenega izraza.)