Sestavljanje trikotnika s tremi elementi. Konstruiranje trikotnika s tremi elementi Konstruiranje trikotnika s tremi stranicami

Razred: 7

Cilji lekcije:

• učencem čim bolj posredovati snov, ki se preučuje;
• razvijajo mišljenje, spomin in sposobnost svobodne uporabe kompasa;
• poskušajte povečati aktivnost in samostojnost učencev pri opravljanju nalog.

Oprema:

• šolski kompas
• kotomer,
• vladar,
• karte za samostojno delo.

NAPREDEK POUKA

Tema lekcije: "Konstrukcijske težave."

Danes se bomo naučili sestavljati trikotnike s pomočjo treh danih elementov s pomočjo šestila in ravnila.

Če želite sestaviti trikotnik, morate najprej znati sestaviti odsek, ki je enak danemu, in kot, ki je enak danemu. Seveda lahko to storite z ravnilom z delitvami in kotomerom, vendar morate pri matematiki znati sestavljati tudi s šestilom in ravnilom brez delitev.

Vsaka gradbena naloga vključuje štiri glavne faze:

• analiza;
• gradbeništvo;
• dokaz;
• študija.

Analiza in raziskava problema sta tako potrebni kot sama gradnja. Treba je videti, v katerih primerih ima problem rešitev in v katerih je ni.

1. Konstrukcija segmenta, ki je enak danemu.

2. S šestilom in ravnilom sestavi kot, ki je enak danemu.

Zdaj pa preidimo na sestavljanje trikotnikov z uporabo treh elementov.

3. Sestavljanje trikotnika z dvema stranicama in kotom med njima.

Shema št. 3.

dano	Obvezno za gradnjo	Gradnja
1. Sestavi kot A, ki je enak danemu kotu. 2. Na eni strani kota označimo točko C, tako da bo odsek AC enak danemu odseku b. 3. Na drugi strani kota označimo točko B tako, da bo odsek AB enak danemu odseku c. 4. Poveži točki B in C z ravnilom. Trikotnik ACB je sestavljen iz dveh stranic in kota med njima.

Samostojno delo za diagram 3.

Možnost 1.

Konstruirajte trikotnik ВСН, če je ВС = 3 cm, СН = 4 cm, С = 35є.

Možnost 2.

Sestavi trikotnik SDE, za katerega je DS = 4 cm, DE = 5 cm, D = 110º.

Namig. Pred sestavo trikotnika je potrebno narediti prostoročno risbo trikotnika, ki prikazuje vse navedene elemente.

4. Sestavljanje trikotnika s stranico in njenimi sosednjimi koti.

dano	Obvezno za gradnjo	Gradnja
1. Poljubno nariši odsek AB, ki je enak danemu odseku c. 2. Sestavi kot A, ki je enak danemu. 3. Sestavi kot B, ki je enak danemu. Točka presečišča obeh stranic kotov A in B je oglišče trikotnika C. Z uporabo stranice in dveh danih kotov smo sestavili trikotnik ACB.

Samostojno delo za diagram 4.

Možnost 1

Sestavi trikotnik KMO, če je KO = 6 cm, K = 130º, O = 20º.

Možnost 2

Sestavi trikotnik HRV, če je C = 15º, D = 50º, SD = 3 cm.

5. Sestavljanje trikotnika s tremi stranicami.

dano Ko sestavite kateri koli trikotnik, samostojno dokažite, da je nastali trikotnik tisti, ki ga iščete, in, če je mogoče, izvedite raziskavo.

Slika 3 iz predstavitve “Trikotnik 2” za pouk geometrije na temo "Trikotnik"

Dimenzije: 720 x 540 slikovnih pik, format: jpg.

Če želite prenesti brezplačno sliko za lekcijo geometrije, z desno miškino tipko kliknite sliko in kliknite »Shrani sliko kot ...«.

Za prikaz slik v lekciji lahko tudi brezplačno prenesete celotno predstavitev "Trikotnik 2.ppt" z vsemi slikami v zip arhivu. Velikost arhiva je 16 KB.

Prenesi predstavitev

Trikotnik

"Vektorji v prostoru" - Sosmerni vektorji. k (a+b) = ka + kb - 1. porazdelitveni zakon. a+b=b+a (komutativni zakon). Množenje vektorja s številom. Vektor je usmerjen segment. Vektorji v vesolju. Sosmerni vektorji so vektorji, ki imajo isto smer. Če so vektorji sosmerni in so njihove dolžine enake, se ti vektorji imenujejo enaki.

“Kot med vektorji” - koordinate vektorjev. Smerni vektor je raven. Vizualna analiza nalog iz učbenika. Predstavitev koordinatnega sistema. Oglejmo si vodila ravnih črt D1B in CB1. Kako najdete razdaljo med točkami? Poiščite kot med premicama ВD in CD1. Kot med premicama AB in CD. Kot med vektorji. Kako najdete koordinate sredine odseka? "Veliki matematiki" - koordinatni sistem, ki ga je predlagal Descartes, je prejel njegovo ime. Descartes je izrazil zakon o ohranitvi gibalne količine in dal koncept impulza sile. "Metoda" (ali "Efhod") in "pravilni sedemkotnik". Leibniz Gottfried Wilhelm. Keldysh Mstislav Vsevolodovič. Isaac Newton. Pitagora s Samosa. Gauss je leta 1799 doktoriral na univerzi v Helmstedtu."Matematika kot znanost" - Tekmovanje "Računalništvo" je dve neločljivi področji znanja Pokrajina Nižni Novgorod. Lyubachevsky - profesor na Moskovski univerzi in Imperial

tehnična šola . Uganke. Leonard Euler. Števec. Aleksandrovi starši so bili šolski učitelji."Znaki enakosti trikotnikov" - Vsak trikotnik ima tri mediane. Enakostranični in ravna figura. Trikotnik. Višina trikotnika. Znaki enakosti trikotnikov. Preučevanje trikotnika je povzročilo trigonometrijo. Vsak trikotnik ima tri višine. Navpičnica, potegnjena iz oglišča trikotnika na premico.

“Sinusna funkcija” - graf sončnega zahoda. Datum. Opisan je proces sončnega zahoda trigonometrična funkcija sinusov. Povprečni čas sončnega zahoda je 18:00. Z odtrgalnim koledarjem je enostavno označiti trenutek sončnega zahoda. Tarča. Sklepi. Čas. sončni zahod Različni obrazi trigonometrije.

V temi je skupno 42 predstavitev

Predstavljamo vam video vadnico na temo "Konstrukcija trikotnika s tremi elementi." Znali boste rešiti več primerov iz razreda konstrukcijskih problemov. Učitelj bo podrobno analiziral problem konstruiranja trikotnika s tremi elementi, spomnil pa se bo tudi na izrek o enakosti trikotnikov.

Ta tema ima široko praktična uporaba, zato si poglejmo nekaj vrst reševanja problemov. Naj vas spomnimo, da se vse konstrukcije izvajajo izključno s pomočjo šestila in ravnila.

Primer 1:

Z dvema stranicama in kotom med njima sestavi trikotnik.

Podano: Recimo, da analizirani trikotnik izgleda takole

riž. 1.1. Analiziran primer trikotnika 1

Naj danih segmentih bo c in a, dani kot pa bo

riž. 1.2. Dani elementi na primer 1

Konstrukcija:

Najprej morate odložiti kot 1

riž. 1.3. Odloženi kot 1 na primer 1

Nato na stranicah danega kota s šestilom narišemo dve dani stranici: s šestilom izmerimo dolžino stranice. A in konico šestila postavimo na vrh kota 1, z drugim delom pa naredimo zarezo na stranici kota 1. Podoben postopek naredimo s stranico z

riž. 1.4. Postavite na stran A in z na primer 1

Nato nastale zareze povežemo in dobimo želeni trikotnik ABC

riž. 1.5. Konstruiran trikotnik ABC na primer 1

Ali bo ta trikotnik enak pričakovanemu? Bo, ker so elementi nastalega trikotnika (dve stranici in kot med njima) enaki obema stranicama in kotu med njima, podanim v pogoju. Zato je po prvi lastnosti enakosti trikotnikov - - želeni.

Gradnja je zaključena.

Opomba:

Spomnimo se, kako narišemo kot, ki je enak danemu.

Primer 2

Od danega žarka odštej kot, ki je enak danemu. Podana sta kot A in žarek OM. Zgradite.

Konstrukcija:

riž. 2.1. Pogoj na primer 2

1. Konstruirajmo krožnico Okr(A, r = AB). Točki B in C sta presečni točki s stranicami kota A

riž. 2.2. Rešitev primera 2

1. Konstruirajmo krožnico Okr(D, r = CB). Točki E in M ​​sta presečni točki s stranicami kota A

riž. 2.3. Rešitev primera 2

1. Kot MOE je želen, saj .

Gradnja je zaključena.

Primer 3

Sestavi trikotnik ABC z znano stranico in dvema sosednjima kotoma.

Naj analizirani trikotnik izgleda takole:

riž. 3.1. Pogoj na primer 3

Potem so dani segmenti videti takole

riž. 3.2. Pogoj na primer 3

Konstrukcija:

Na ravnino narišimo kot

riž. 3.3. Rešitev na primer 3

Na stranico danega kota narišemo dolžino stranice A

riž. 3.4. Rešitev na primer 3

Nato iz oglišča C odstavimo kot. Neskupni stranici kotov γ in α se sekata v točki A

riž. 3.5. Rešitev na primer 3

Ali je sestavljeni trikotnik želeni? Je, ker sta stranica in dva sosednja kota sestavljenega trikotnika enaki stranici in kotu med njima, ki sta navedena v pogoju

Iskan po drugem kriteriju za enakost trikotnikov

Gradnja končana

Primer 4

Sestavi trikotnik z 2 krakoma

Naj analizirani trikotnik izgleda takole

riž. 4.1. Pogoj na primer 4

Znani elementi - noge

riž. 4.2. Pogoj na primer 4

Ta naloga se od prejšnjih razlikuje po tem, da je kot med stranicama mogoče določiti privzeto - 90 0

Konstrukcija:

Odložimo kot, ki je enak 90 0. To bomo storili na popolnoma enak način, kot je prikazano v primeru 2

riž. 4.3. Rešitev na primer 4

Nato na stranicah tega kota narišemo dolžine stranic A in b, podan v pogoju

riž. 4.4. Rešitev na primer 4

Posledično je dobljeni trikotnik želeni, ker sta njegovi dve strani in kot med njima enaki obema stranicama in kotu med njima, podanim v pogoju

Upoštevajte, da lahko določite kot 90 0 tako, da sestavite dve pravokotni črti. Poglejmo, kako to nalogo opraviti v dodatni primer

Dodaten primer

Obnovite pravokotnico na premico p, ki poteka skozi točko A,

Premica p in točka A, ki leži na tej premici

riž. 5.1. Pogoj za dodatni primer

Konstrukcija:

Najprej sestavimo krog poljubnega polmera s središčem v točki A

riž. 5.2. Rešitev dodatnega primera

Ta krog seka premico r v točkah K in E. Nato konstruiramo dve krožnici Okr(K, R = KE), Okr(E, R = KE). Ti krogi se sekata v točkah C in B. Dolžina NE je zahtevana,

riž. 5.3. Odgovor na dodatni primer

1. Enotna zbirka digitalnih izobraževalni viri ().
2. Mentor matematike ().

1. Št. 285, 288. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. uredil Tikhonov A. N. Geometrija razredi 7-9. M.: Razsvetljenje. 2010
2. Konstruirajte enakokraki trikotnik s stranico in kotom, ki je nasproti osnove.
3. Zgradite pravokotni trikotnik s hipotenuzo in ostrim kotom
4. Sestavi trikotnik s pomočjo kota, nadmorske višine in simetrale, narisanih iz oglišča danega kota.

Njihovo bistvo je zgraditi kateri koli geometrijski predmet v skladu s katerim koli zadostnim nizom začetnih pogojev, pri čemer imata pri roki le šestilo in ravnilo. Razmislimo o splošni shemi za opravljanje takšnih nalog:

Analiza naloge.

Ta del vključuje vzpostavitev povezave med elementi, ki jih je treba zgraditi, in začetnimi pogoji problema. Po zaključku te točke bi morali imeti načrt za rešitev našega problema.

Gradnja.

Tukaj izvajamo gradnjo po načrtu, ki smo ga pripravili zgoraj.

Dokaz.

Tu dokažemo, da figura, ki smo jo sestavili, dejansko izpolnjuje začetne pogoje problema.

Študij.

Tu ugotovimo, pod katerimi podatki ima problem eno rešitev, pod katerimi jih je več in pod katerimi ni nobene.

Nato bomo preučili probleme konstruiranja trikotnikov z različnimi tremi elementi. Tukaj ne bomo upoštevali elementarnih konstrukcij, kot so segment, kot itd. Do zdaj bi že morali imeti te veščine.

Sestavljanje trikotnika z uporabo dveh stranic in kota med njima

Primer 1

Sestavimo trikotnik, če imamo dve stranici in kot med tema stranicama.

Analiza.

Naj imamo podana odseka $AB$ in $AC$ ter kot $α$. Sestaviti moramo trikotnik $ABC$ s kotom $C$, ki je enak $α$.

Naredimo gradbeni načrt:

1. Če vzamemo $AB$ za eno od stranic kota, od njega odštejemo kot $BAM$, ki je enak kotu $α$.
2. Na premico $AM$ narišemo odsek $AC$.
3. Povežimo točki $B$ in $C$.

Gradnja.

Izdelajmo risbo v skladu z zgoraj sestavljenim načrtom (slika 1).

Dokaz.

Študij.

Ker je vsota kotov trikotnika $180^\circ$. To pomeni, da če je kot α večji ali enak $180^\circ$, potem problem ne bo imel rešitev.

Sicer pa obstaja rešitev. Ker je premica $a$ poljubna premica, bo takšnih trikotnikov neskončno veliko. Ker pa so vsi med seboj enaki po prvem znaku, bomo domnevali, da je rešitev tega problema edinstvena.

Sestavljanje trikotnika s tremi stranicami

Primer 2

Sestavimo trikotnik, če imamo tri stranice.

Analiza.

Naj imamo podane odseke $AB$ ter $AC$ in $BC$. Sestaviti moramo trikotnik $ABC$.

Naredimo gradbeni načrt:

1. Narišimo premico $a$ in na njej zgradimo odsek $AB$.
2. Sestavimo $2$ kroga: prvega s središčem $A$ in polmerom $AC$, drugega pa s središčem $B$ in polmerom $BC$.
3. Povežimo eno izmed presečišč krožnic (ki bo točka $C$) s točkama $A$ in $B$.

Gradnja.

Izdelajmo risbo v skladu z zgoraj sestavljenim načrtom (slika 2).

Dokaz.

Iz konstrukcije je razvidno, da so izpolnjeni vsi začetni pogoji.

Študij.

Iz neenakosti trikotnika vemo, da mora biti katera koli stranica manjša od vsote drugih dveh. Posledično, če taka neenakost ni izpolnjena za prvotne tri segmente, problem ne bo imel rešitve.

Ker imajo krožnice iz konstrukcije dve presečišči, lahko sestavimo dva takšna trikotnika. Ker pa sta si po tretjem kriteriju enaka, bomo predpostavili, da je rešitev tega problema edinstvena.

Sestavljanje trikotnika s stranico in dvema sosednjima kotoma

Primer 3

Sestavimo trikotnik, če imamo eno stranico in nanjo priležna kota $α$ in $β$.

Analiza.

Naj nam je podana odsek $BC$ ter kota $α$ in $β$. Sestaviti moramo trikotnik $ABC$, kjer je $∠B=α$ in $∠C=β$.

Naredimo gradbeni načrt:

1. Narišimo premico $a$ in na njej zgradimo odsek $BC$.
2. Sestavimo kot $∠ K=α$ pri oglišču $B$ na stranico $BC$.
3. Sestavimo kot $∠ M=β$ pri oglišču $C$ na stranico $BC$.
4. Povežimo presečišče (to bo točka $A$) žarkov $∠ K$ in $∠ M$ s točkama $C$ in $B$,

Gradnja.

Izdelajmo risbo po zgornjem načrtu (slika 3).

Dokaz.

Iz konstrukcije je razvidno, da so izpolnjeni vsi začetni pogoji.

Študij.

Ker je vsota kotov trikotnika enaka $180^\circ$, potem če $α+β≥180^\circ$ problem ne bo imel rešitve.

Sicer pa obstaja rešitev. Ker lahko sestavimo kote z obeh stranic, lahko sestavimo dva taka trikotnika. Ker pa sta si po drugem kriteriju enaka, bomo predpostavili, da je rešitev tega problema edinstvena.