Teoretično gradivo na to temo je predstavljeno na str. 228-236 te publikacije.

Primer 30. Preverite, ali je vektorsko polje

a) potencial; b) solenoidni. Če je polje potencialno, poiščite njegov potencial.

rešitev. A) Poiščite poljski rotor

Zato je polje potencialno.

B) Poiščite divergenco polja

Zato polje ni solenoidno.

B) Ker je , lahko potencial polja izračunamo s formulo

Premični integral celotnega diferenciala ni odvisen od poti integracije. Tukaj je priročno vzeti izhodišče koordinat za izhodišče. Kot integracijsko pot vzamemo lomljeno črto OAVM(Slika 17).

riž. 17

1. Na segmentu torej

2. Na segmentu od tukaj

3. Na segmentu od tukaj

Torej, kje je poljubna konstanta.

končno,

Testne naloge št. 5-8

Številke nalog se izberejo iz tabele glede na zadnji dve števki kode in prvo črko priimka. Na primer, študent Ivanov, šifra 1-45-5815, rešuje naloge 5, 15, 21,31 v testu 5, naloge 45, 51, 61, 71 v testu 6, naloge 85, 91 v testu 7, 101, 111, pri testu 8 - naloge 125,135,141,151.

Zadnja številka šifre
Testna številka
Predzadnja številka šifre
Testna številka
Prva črka priimka	A, jaz T	B,OC	V,NH	G, FYA	D,ZL	E, GOSPOD	F, MF	K E	p	U,SHYU
Testna številka

Test št. 5

V nalogah 1-10 poiščite splošno rešitev diferencialne enačbe prvega reda

V nalogah 11-20 poiščite splošno rešitev ali splošni integral diferencialne enačbe drugega reda

V nalogah 21-30 poiščite splošno rešitev linearnih enačb drugega reda

V nalogah 31-40 poiščite območje konvergence potenčnih vrst

Test št. 6

V nalogah 41-50 razširite funkcijo v Maclaurinovo vrsto, določite območje konvergence vrste

V nalogah 51-60 sestavite domeno integracije in spremenite vrstni red integracije

61. Izračunajte površino dela krogle , rezano s cilindrom in letalo .

62. Izračunajte površino ravne plošče, omejene s črtami: in (zunaj parabole).

63. Izračunajte površino valja, odrezanega z ravninami.

64. Poiščite prostornino telesa, ki ga omejujejo površine , , , , .

65. Poiščite prostornino telesa, ki ga omejujejo površine: in , ki leži v prvem oktantu pri .

66. Poiščite območje ravne plošče, omejene s črtami, .

67. Določite površino dela kroga, ki se nahaja zunaj kroga (uporabi polarne koordinate).

68. Izračunajte maso homogene ravne plošče (),

omejena s krogom in ravnimi črtami in .

69. Poiščite maso plošče z gostoto , omejeno s črtami , , .

70. Poiščite maso plošče z gostoto , podana z neenakostmi: .

V nalogah 71-80 izračunajte krivuljne integrale vzdolž krivulje:

Test št. 7

V nalogah 81-86 razširite funkcije v Fourierjev niz; narišite dano funkcijo

81.

82.

83.

84.

85.

86.

V nalogah 87, 88 razširite funkcijo v Fourierjev niz glede na sinuse; nariši graf dane funkcije.

87.

88.

V nalogah 89.90 razširite funkcijo v Fourierjev niz v kosinusih; nariši graf dane funkcije.

89.

90.

V nalogah 91-95 rešite valovno enačbo na danem segmentu z robnimi pogoji s Fourierjevo metodo in glede na začetne pogoje.

91.

93.

95.

V nalogah 96–100 rešite enačbo prevodnosti toplote na danem segmentu s Fourierjevo metodo za dane začetne pogoje in robne pogoje .

96.

97.

98.

99.

100.

Pri nalogah 101-106 izračunajte trojni integral po ploščini T, podana z neenakostmi. Narišite risbo.

103.
(pri izračunu integralov pojdite na cilindrične koordinate).

105. (pri računanju integralov pojdite na cilindrične koordinate).

V nalogah 107-110 poiščite maso telesa, podanega z neenačbami, ki ima določeno gostoto. Narišite risbo.

108. (pri izračunu trojnega integrala pojdite na cilindrične koordinate).

110. (pri izračunu trojnega integrala pojdite na cilindrične koordinate).

Pri nalogah 111-120 izračunaj površinski integral. Narišite površino.

111. kje je del letala omejena s koordinatnimi ravninami.

112. - zgornja stran dela paraboličnega valja, ki ga omejuje krožni valj in letalo. Pri izračunu integrala pojdite na polarne koordinate.

113. - del površine valja, omejen z ravninami

114. , kjer je del površine stožca , omejeno z ravninama in (pri izračunu dvojnega integrala pojdite na polarne koordinate).

115. , - del krožnega valja, ki ga omejujejo ravnine

116. - zgornja stran stožčastega dela , omejen z letali . Pri izračunu integrala pojdite na polarne koordinate.

117. , kjer je zgornja stran krogle . Pri izračunu dvojnega integrala pojdite na polarne koordinate.

118. , kjer je zgornja stran ravninskega dela , omejeno s koordinatnimi ravninami.

119. , - del paraboličnega valja, omejen s koordinatnimi ravninami in ravnino.

120. ; - zgornja stran dela krožnega valja, ki ga omejuje krožni valj in ravnina Pojdi na polarne koordinate.

Test št. 8

V nalogah 121-130 poišči gradient skalarnega polja in preveri, ali je skalarno polje harmonično.

V nalogah 131-135 poiščite tok vektorskega polja skozi del površine, ki leži v prvem oktantu. v smeri normale, ki z osjo tvori oster kot. Narišite risbo.

V nalogah 136-140 uporabite izrek Ostrogradskega za izračun toka vektorskega polja proti zunanji normali skozi površino telesa, ki leži v prvem oktantu. in omejena z dano površino in koordinatnimi ravninami. Narišite risbo.

V nalogah 141-150 izračunajte kroženje vektorskega polja po poti presečišča s koordinatnimi ravninami tistega dela površja, ki leži v prvem oktantu. . - točke presečišča površine z osi oz. Narišite risbo.

V nalogah 141-145 izračunajte kroženja s Stokesovim izrekom.

V nalogah 146-150 izračunajte obtok po njegovi definiciji.

Pri nalogah 151-160 preveri, ali je vektorsko polje: a) potencialno, b) solenoidno. Če je polje potencialno, poiščite njegov potencial.

152.

155.

Trenutni nadzor

Testne naloge

1. Ugotovite, katera enačba ima naslednjo rešitev .

A) b) V)

2. Določite značilno enačbo za diferencialno enačbo

a) b) V)

3. Z D'Alembertovim testom določite, pri kateri vrednosti bo stopenjska vrsta konvergirala .

4. Formulirajte geometrijsko interpretacijo dvojnega integrala.

5. Formulirajte geometrijsko interpretacijo trojnega integrala.

6. Določite znak potencialnosti vektorskega polja:

a) b) c)

Končna kontrola

Vprašanja za pripravo na izpit iz matematike

(III. semester)

Diferencialne enačbe

1. Definicija navadne diferencialne enačbe, njen vrstni red in rešitev. Diferencialna enačba prvega reda, smerno polje, izokline.

2. Cauchyjev problem za diferencialno enačbo prvega reda. Izrek obstoja in edinstvenosti rešitve Cauchyjevega problema.

3. Določitev splošne in partikularne rešitve (integrala) diferencialne enačbe prvega reda.

4. Enačba z ločljivimi spremenljivkami, njena integracija.

5. Linearna enačba prvega reda, njena integracija.

6. Homogena diferencialna enačba prvega reda, njena integracija.

7. Diferencialna enačba n-th red. Cauchyjev problem za diferencialno enačbo n-th red. Izrek obstoja in edinstvenosti za rešitev Cauchyjevega problema za enačbo n-th red.

8. Določanje splošnih in partikularnih rešitev diferencialne enačbe n-th red. Integracija enačbe oblike.

9. Enačbe, ki omogočajo padanje po vrstnem redu. Metoda za integracijo enačbe oblike , kjer je k< n.

10. Metoda integracije enačb oblike .

11. Definicija linearne diferencialne enačbe n-th red. Homogena linearna enačba. Lastnosti rešitev homogene linearne enačbe.

12. Definicija linearno odvisnih in linearno neodvisnih funkcij. Primeri.

13. Določitev temeljnega sistema rešitev linearne homogene enačbe. Izrek o zgradbi splošne rešitve linearne homogene enačbe n-th red.

14. Izrek o strukturi splošne rešitve linearne nehomogene enačbe n-th red.

15. Linearna homogena enačba s konstantnimi koeficienti. Eulerjeva metoda, karakteristična enačba.

16. Konstrukcija temeljnega sistema rešitev in splošne rešitve linearne homogene enačbe n-tega reda v primeru realnih različnih korenin karakteristične enačbe. Primer.

17. Konstrukcija temeljnega sistema rešitev in splošne rešitve linearne homogene enačbe n-tega reda v primeru kompleksno konjugiranih korenov karakteristične enačbe. Primer.

18. Konstrukcija temeljnega sistema rešitev in splošne rešitve linearne homogene enačbe n-tega reda v primeru realnih enakih korenov karakteristične enačbe. Primer.

19. Pravilo za iskanje določene rešitve linearne nehomogene enačbe s konstantnimi koeficienti, če ima desna stran obliko , kjer je polinom stopnje .

20. Pravilo za iskanje določene rešitve linearne nehomogene enačbe s konstantnimi koeficienti, če ima desna stran obliko , kjer je .

21. Metoda reševanja linearne nehomogene diferencialne enačbe oblike (princip superpozicije).

22. Sistem linearnih diferencialnih enačb v normalni obliki. Cauchyjeva težava. Izrek obstoja in edinstvenosti rešitve Cauchyjevega problema. Določanje splošnih in partikularnih rešitev sistema. Eliminacijska metoda za normalne sisteme diferencialnih enačb.

23. Sistemi linearnih diferencialnih enačb. Lastnosti raztopin. Reševanje sistemov linearnih diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti.

Vrstice

24. Številčne serije. Opredelitev n-ti delni seštevek niza. Pojma konvergence in divergence številske vrste. Vsota konvergentne vrste. Geometrijske serije.

25. Lastnosti konvergentnih vrst: množenje vrste s številom, seštevanje vrst po členih.

26. Preostanek vrstice. Izrek o sočasni konvergenci niza in njegovega ostanka.

27. Nujni znak konvergence vrste. Ponazoritev njegove nezadostnosti s primerom.

28. Pozitivna serija. Nujen in zadosten pogoj za konvergenco pozitivne vrste.

29. Prvi in ​​drugi znak primerjanja pozitivnih serij.

30. D'Alembertov znak.

31. Integralni Cauchyjev test.

32. Posplošen harmonski niz, kjer str– poljubno realno število. Vedenje serije pri str<1, str=1, str>1.

33. Izmenične serije. Absolutna in neabsolutna konvergenca. Izrek o konvergenci absolutno konvergentne vrste.

34. Leibnizov test za konvergenco izmeničnega niza. Ocena absolutne napake pri zamenjavi vsote konvergentnega niza z vsoto prvega n

42. Binomska vrsta za funkcijo.

Izrek 1. Da je vektorsko polje, določeno v območju T, solenoidno, je nujno in zadostno, da je to polje rotorsko polje nekega vektorja, tj. tako da obstaja vektor, ki izpolnjuje pogoj v vseh točkah področja T

Dokaz.

Ustreznost. Imamo

Nujnost. Naj

Poiščimo tako funkcijo, da

V nadaljevanju bomo pokazali, da funkcija ni enoznačno definirana, zato lahko za to funkcijo naložimo dodatne pogoje. Naj

Izberimo funkcije

Pokažimo, da te funkcije izpolnjujejo sistem enačb (1). Res imamo

Dejansko konstruirana funkcija izpolnjuje pogoj

Funkcija se imenuje vektorski potencial.

Pri dokazovanju izreka smo predlagali metodo, ki nam omogoča določitev vektorskega potenciala polja.

Opomba 1. Če je funkcija vektorski potencial polja, potem je funkcija

kjer je poljubna skalarna funkcija in je tudi vektorski potencial polja.

Dokaz.

Posledično je vektorski potencial določen dvoumno.

Primer 1: Pokažite, da je polje

rešitev. Imamo.

Izračunajmo

Najdena funkcija je želeni vektorski potencial. Preverimo to trditev, tj. poiščimo rotor:

Pogoj je izpolnjen. Preprosto je preveriti, da je lahko vektorski potencial tega polja bolj simetrična funkcija

Primer 2: Pokažite, da je polje

solenoidno in poiščite vektorski potencial tega polja.

rešitev. Imamo.

Izračunajmo

Preverimo:

Pogoj je izpolnjen. Preprosto je preveriti, da so vektorski potencial tega polja lahko bolj simetrične funkcije

Iz zgornjih primerov je jasno, da se lahko izrazi za vektorski potencial za isto polje močno razlikujejo. To je posledica dejstva, da lahko najdenemu vektorskemu potencialu dodamo gradient katere koli skalarne funkcije.

Definicija 1. Naj bo A vektorsko polje v domeni, imenujemo potencial polja A v tej domeni

Definicija 2. Polje, ki ima potencial, imenujemo potencialno polje.

Ker v povezanem območju delni odvodi določajo funkcijo do konstante, potem je v takem območju potencial polja določen do aditivne konstante.

V prvem delu tečaja smo že na kratko spregovorili o potencialu. Tukaj bomo o tem pomembnem konceptu razpravljali nekoliko podrobneje. Naj v zvezi s temi definicijami opozorimo, da v fiziki, ko obravnavamo različne vrste polj sile, potencial polja običajno imenujemo taka funkcija, da se tak potencial razlikuje od tistega, ki ga uvaja definicija 1, le v predznaku.

Primer 1. Jakost gravitacijskega polja, ki ga ustvari masa točke M, postavljena na izhodišče koordinat v točki v prostoru, ki ima radij vektor, se izračuna po Newtonovem zakonu v obliki

To je sila, s katero polje deluje na enoto mase v ustrezni točki prostora. Gravitacijsko polje (1)

potencialno. Njen potencial v smislu definicije 1 je funkcija

Primer 2. Električna poljska jakost E točkastega naboja, postavljenega v izvor, v točki v prostoru s polmernim vektorjem, se izračuna po Coulombovem zakonu

Teorija polja

Znan tudi kot vektorska analiza. In za nekatere vektorska analiza, znana kot teorija polja =) Končno smo prišli do te najbolj zanimive teme. Tega dela višje matematike ne moremo imenovati preprosto, vendar bom v prihodnjih člankih poskušal doseči dva cilja:

a) tako da vsi razumejo, o čem govori pogovor;

b) in tako, da se "teleki" naučijo reševati vsaj preproste stvari - vsaj na ravni nalog, ki se ponujajo izrednim študentom.

Vse gradivo bo predstavljeno v priljubljenem slogu, in če potrebujete bolj stroge in popolne informacije, lahko vzamete na primer 3. zvezek Fichtenholtza ali si ogledate Wiki.

In takoj razvozlajmo naslov. Mislim, da je s teorijo vse jasno - v najboljših tradicijah spletnega mesta bomo analizirali njegove osnove in se osredotočili na prakso. No, s čim povezujete besedo "polje"?

Travnato igrišče, nogometno igrišče... Več? Področje delovanja, polje eksperimentov. Lep pozdrav humanisti! ...Iz šolskega tečaja? Električno polje, magnetno, elektromagnetno ..., prav. Gravitacijsko polje Zemlje, v katerem se nahajamo. odlično! Torej, kdo je to rekel o terenu? veljaven in kompleksna števila? ...nekatere pošasti so se zbrale tukaj! =) Na srečo algebraže minilo.

V naslednjih lekcijah se bomo seznanili s posebnim konceptom polja, konkretne primere iz življenja in se tudi naučijo reševati tematske probleme vektorske analize. Teorijo polja se najbolje uči, kot pravilno ugibate, na terenu - v naravi, kjer je gozd, reka, jezero, vaška hiša, in vabim vse, da se potopite, če ne v toplo poletno realnost, potem v prijetnih spominih:

Polja v današnjem smislu so skalar in vektor, začeli pa bomo z njihovimi "gradniki".

Prvič, skalar. Pogosto se ta izraz napačno identificira število. Ne, stvari so nekoliko drugačne: skalar je količina, katere vsako vrednost je mogoče izraziti samo ena številka. V fiziki je veliko primerov mase: dolžina, širina, površina, prostornina, gostota, temperatura itd. Vse to so skalarne količine. In, mimogrede, zgled je tudi masa.

Drugič, vektor. Algebraične definicije vektorja sem se dotaknil v lekciji o linearne transformacije in ena njegovih zasebnih inkarnacij enostavno je nemogoče ne vedeti=) Tipično vektor je izražena dva ali več številke(z vašimi koordinatami). In celo za enodimenzionalni vektor samo ena številka ne dovolj– iz razloga, ker ima vektor tudi smer. In točka uporabe, če je vektor ni zastonj. Vektorji označujejo polja fizične sile, hitrost in številne druge količine.

No, zdaj lahko začnete nabirati aluminijaste kumare:

Skalarno polje

če vsak neka točka območja prostora je dodeljena določena številka (običajno resnično), potem pravijo, da je na tem območju dano skalarno polje.

Razmislite na primer o pravokotnici, ki izhaja iz zemlje žarek. Stisnite lopato za jasnost =) Kaj skalarna polja lahko vprašam na tem žarku? Prva stvar, ki mi pride na misel, je višinsko polje– ko je vsaki točki žarka dodeljena njena višina nad nivojem tal. ali npr. polje atmosferskega tlaka– tukaj vsaka točka žarka ustreza številčni vrednosti atmosferskega tlaka na dani točki.

Zdaj pa se približajmo jezeru in v mislih narišimo ravnino čez njegovo gladino. Če je vsaka točka "vodnega" fragmenta ravnine povezana z globino jezera, potem je podano skalarno polje. Na istih točkah lahko upoštevate druge skalarne količine, na primer temperaturo vodne površine.

Najpomembnejša lastnost skalarnega polja je njegov invariantnost glede na koordinatni sistem. Če prevedemo v človeški jezik, potem ne glede na to, s katere strani pogledamo lopato / jezero - skalarno polje (višina, globina, temperatura itd.) to se ne bo spremenilo. Poleg tega lahko skalarno polje, recimo globino, nastavite na drugo površino, na primer na primerno hemisfera, ali neposredno na sami vodni gladini. Zakaj ne? Ali ni mogoče vsaki točki poloble, ki se nahaja nad jezerom, dodeliti številko? Ploskost sem predlagal izključno zaradi udobja.

Dodajmo še eno koordinato. Vzemite kamen v roko. Vsako točko tega kamna lahko pripišemo svoji fizična gostota. In spet - ne glede na to, v katerem koordinatnem sistemu ga obravnavamo, ne glede na to, kako ga vrtimo v roki - polje skalarne gostote bo ostalo nespremenjeno. Vendar pa nekateri ljudje lahko oporekajo temu dejstvu =) Takšen je kamen modrosti.

S čisto matematičnega vidika (izven fizičnega ali drugega zasebnega pomena) skalarna polja tradicionalno podajajo naše "navadne" funkcije eno , dva , tri in več spremenljivk. Hkrati se v teoriji polja široko uporabljajo tradicionalni atributi teh funkcij, kot npr domena definicije, ravne črte in površine.

S tridimenzionalnim prostorom je vse podobno:
– tukaj je vsaka dopustna točka v prostoru povezana z vektorjem z začetkom v dani točki. "Dopustnost" je določena z domenami definicije funkcij in če je vsaka od njih definirana za vse "X", "E", "Z", bo vektorsko polje določeno v celotnem prostoru.

! Poimenovanja : vektorska polja so označena tudi s črko ali, njihove komponente pa z ali.

Iz zgoraj navedenega je že dolgo jasno, da je mogoče, vsaj matematično, skalarna in vektorska polja definirati v celotnem prostoru. Vendar sem bil še vedno previden z ustreznimi fizikalnimi primeri, saj so takšni koncepti, kot je temperaturo, gravitacija(ali drugi) navsezadnje nekje morda sploh ne obstaja. Ampak to ni več grozljivka, ampak znanstvena fantastika =) In ne samo znanstvena fantastika. Ker veter praviloma ne piha znotraj kamnov.

Opozoriti je treba, da nekatera vektorska polja (enaka polja hitrosti) se s časom hitro spreminjajo, zato mnogi fizični modeli upoštevajo dodatno neodvisno spremenljivko. Mimogrede, enako velja za skalarna polja - temperatura pravzaprav tudi ni "zamrznjena" v času.

Vendar se bomo v okviru matematike omejili na trojstvo in ko se taka polja »srečajo«, bomo implicirali nek fiksen trenutek v času ali čas, v katerem se polje ni spremenilo.

Vektorske črte

Če so opisana skalarna polja črte in ravne površine, potem je mogoče opisati "obliko" vektorskega polja vektorske črte. Verjetno se mnogi spomnijo te šolske izkušnje: magnet je postavljen pod list papirja in na vrh (pa poglejmo!) železni opilki se razsujejo, ki se kar »zvrstijo« vzdolž poljskih črt.

Poskušal bom formulirati bolj preprosto: vsaka točka vektorske črte je začetek vektor polja, ki leži na tangenti v dani točki:

Seveda imajo črtni vektorji v splošnem primeru različne dolžine, zato se na zgornji sliki pri premikanju od leve proti desni njihova dolžina povečuje - tukaj lahko domnevamo, da se približujemo na primer magnetu. V fizičnih poljih sile vektorske črte imenujemo - električni vodi. Drug, enostavnejši primer je gravitacijsko polje Zemlje: njene poljske črte so žarki z začetkom v središču planeta in vektorji gravitacija ki se nahaja neposredno na samih žarkih.

Vektorske črte polj hitrosti imenujemo trenutne vrstice. Ponovno si predstavljajte prašno nevihto – prašni delci se skupaj z molekulami zraka gibljejo vzdolž teh linij. Podobno je z reko: trajektorije, po katerih se gibljejo molekule tekočine (in ne samo), so v dobesednem pomenu tokovnice. Na splošno mnogi koncepti teorije polja izhajajo iz hidrodinamike, s katero se bomo večkrat srečali.

Če je "plosko" vektorsko polje podano z neničelno funkcijo, potem lahko njegove poljske črte najdemo iz diferencialna enačba. Rešitev te enačbe daje družina vektorske črte na ravnini. Včasih je pri nalogah potrebno narisati več takih črt, kar običajno ne povzroča težav - izbrali smo več priročnih vrednosti "tse", narisali nekaj hiperbole, in red.

Bolj zanimiva je situacija s prostorskim vektorskim poljem. Njene poljske črte so določene z razmerji. Tukaj se moramo odločiti sistem dveh diferencialnih enačb in dobili dve družini prostorske površine. Presečišča teh družin bodo prostorske vektorske črte. Če so vse komponente ("pe", "ku", "er") različne od nič, potem obstaja več tehničnih rešitev. Ne bom upošteval vseh teh metod. (ker bo članek zrasel do nespodobnih razsežnosti), vendar se bom osredotočil na pogost poseben primer, ko je ena od komponent vektorskega polja enaka nič. Naštejmo vse možnosti hkrati:

če je , potem je treba sistem rešiti;
če , potem sistem;
in če, potem.

In iz neznanega razloga že dolgo nismo imeli prakse:

Primer 1

Poiščite poljske črte vektorskega polja

rešitev: v tem problemu, torej rešujemo sistem:

Pomen je zelo preprost. Torej, če funkcija določa skalarno polje globine jezera, potem ustrezna vektorska funkcija definira niz nesvoboden vektorji, od katerih vsak označuje smer hiter dvig dno na eni ali drugi točki in hitrost tega dviga.

Če funkcija določa skalarno temperaturno polje določene regije prostora, potem ustrezno vektorsko polje označuje smer in hitrost najhitrejše ogrevanje prostora na vsaki točki tega območja.

Oglejmo si splošni matematični problem:

Primer 3

Dana skalarno polje in točka. Zahtevano:

1) sestavite gradientno funkcijo skalarnega polja;

Kar je enako potencialna razlika .

Z drugimi besedami, v potencialnem polju sta pomembni samo začetna in končna točka poti. In če te točke sovpadajo, bo skupno delo sil vzdolž zaprte konture enako nič:

Poberemo pero s tal in ga odnesemo na izhodišče. V tem primeru je tirnica našega gibanja spet poljubna; pero lahko celo spustiš, ga spet dvigneš itd.

Zakaj je končni rezultat nič?

Ali je pero padlo od točke "a" do točke "b"? Padel je. Svoje je opravila gravitacijska sila.

Je pero zadelo točko "a" nazaj? Razumem To pomeni, da je bilo opravljeno popolnoma enako delo proti gravitaciji, in ni pomembno, s kakšnimi "pustolovščinami" in s kakšnimi silami - tudi če ga je veter odpihnil nazaj.

Opomba : V fiziki znak minus simbolizira nasprotno smer.

Tako je celotno delo, ki ga opravijo sile, enako nič:

Kot sem že omenil, se fizični in laični koncept dela razlikujeta. In ta razlika vam bo pomagala dobro razumeti ne pero ali celo opeko, ampak na primer klavir :)

Skupaj dvignite klavir in ga spustite po stopnicah. Povlecite ga po ulici. Kolikor želite in kjerkoli želite. In če nihče ni poklical norca, prinesite instrument nazaj. Ste delali? Vsekakor. Do sedmega znoja. Toda z vidika fizike delo ni bilo opravljeno.

Besedna zveza »potencialna razlika« je vabljiva, da bi več govorili o potencialnem elektrostatičnem polju, a šokirati svoje bralce nekako ni prav nič humano =) Še več, primerov je nešteto, saj vsako gradientno polje je potencialno, ki jih je desetina.

Toda preprosto je reči "dime ducat": tukaj imamo vektorsko polje - kako ugotoviti ali je potencialna ali ne?

Vektorski poljski rotor

Ali njega vrtinec komponento, ki je izražena tudi z vektorji.

Ponovno vzemimo pero v roke in ga previdno spustimo po reki navzdol. Zaradi čistosti poskusa bomo predpostavili, da je homogen in simetričen glede na svoje središče. Os štrli navzgor.

Razmislimo vektorsko polje trenutna hitrost in določena točka na vodni površini, nad katero se nahaja središče peresa.

Če v na tej točki pero se vrti v nasprotni smeri urinega kazalca, potem ga bomo uskladili z odhodnim nesvoboden vektor navzgor. Hkrati, hitreje ko se pero vrti, daljši je ta vektor, ... iz nekega razloga se mi zdi tako črn v svetlih sončnih žarkih ... Če pride do vrtenja v smeri urinega kazalca, potem vektor "gleda" navzdol. Če se pero sploh ne vrti, je vektor enak nič.

Spoznaj - to je to vektor rotorja vektorsko polje hitrosti, označuje smer "vrtinčenja" tekočine v na tej točki in kotna hitrost vrtenja peresa (vendar ne smer ali hitrost samega toka!).

Popolnoma jasno je, da imajo vse točke reke rotacijski vektor (vključno s tistimi, ki so "pod vodo"), torej za vektorsko polje trenutne hitrosti definirali smo novo vektorsko polje!

Če je vektorsko polje podano s funkcijo, potem je njegovo rotorsko polje podano z naslednjim vektorska funkcija:

Še več, če vektorji polje rotorja reke so velike in ponavadi spreminjajo smer, to sploh ne pomeni, da govorimo o vijugasti in nemirni reki (nazaj na primer). To stanje je mogoče opaziti tudi v ravnem kanalu - ko je na primer hitrost večja na sredini in nižja ob brežinah. To pomeni, da se ustvari vrtenje peresa različne pretoke V sosednji trenutne vrstice.

Po drugi strani pa, če so vektorji rotorja kratki, potem je to lahko "ovinkasta" gorska reka! Pomembno je, da v sosednje tokovne linije hitrost samega toka (hitro ali počasi) nekoliko razlikovala.

In na koncu odgovorimo na zgoraj zastavljeno vprašanje: na kateri koli točki potencialnega polja je njegov rotor enak nič:

Oziroma ničelni vektor.

Imenuje se tudi potencialno polje irotacijski polje.

"Idealni" tok seveda ne obstaja, vendar ga lahko pogosto opazimo hitrostno polje reke so blizu potenciala - razni predmeti mirno plavajo in se ne vrtijo, ...ste si tudi vi zamislili to sliko? Lahko pa plavajo zelo hitro in vzdolž ovinka, nato se upočasnijo, nato pospešijo - pomembno je, da je hitrost toka v sosednje tokovne linije je bil ohranjen konstantna.

In, seveda, naše smrtno gravitacijsko polje. Za naslednji poskus je primeren kateri koli dokaj težek in homogen predmet, na primer zaprta knjiga, neodprta pločevinka piva ali, mimogrede, opeka, ki je čakala na svoja krila =) Držite njene konce z rokami , ga dvignite in previdno spustite v prosti pad. Ne bo se vrtelo. In če se, potem je to vaš "osebni trud" ali pa je bila opeka, ki ste jo dobili, napačna. Ne bodite leni in preverite to dejstvo! Samo ne vrzi ničesar skozi okno, to ni več pero

Po tem se lahko s čisto vestjo in povečanim tonom vrnete k praktičnim nalogam:

Primer 5

Pokažite, da je vektorsko polje potencialno in poiščite njegov potencial

rešitev: pogoj neposredno navaja potencialnost polja in naša naloga je to dejstvo dokazati. Poiščimo rotorsko funkcijo ali, kot pogosteje pravijo, rotor danega polja:

Za udobje zapišemo komponente polja:

in začnimo jih iskati delni derivati– priročno jih je »razvrstiti« v »rotacijskem« vrstnem redu, od leve proti desni:
- In takoj preveri to (da se izognete dodatnemu delu v primeru rezultata, ki ni enak nič). Gremo naprej:

Torej:
, zato je polje potencialno in zato predstavlja gradientno funkcijo neko skalarno polje, ki ga določa potencial.

Sprememba spremenljivk v trojnem integralu. Primeri: primeri cilindričnih in sferičnih koordinat.

Izračun površine gladke površine, določene parametrično in eksplicitno. Element površine.

Definicija krivočrtnega integrala prve vrste, njegove osnovne lastnosti in izračun.

Definicija krivočrtnega integrala druge vrste, njegove osnovne lastnosti in izračun. Povezava s integralom prve vrste.

Greenova formula. Pogoji za to, da krivočrtni integral na ravnini ni odvisen od poti integracije.

Definicija površinskega integrala prve vrste, njegove osnovne lastnosti in izračun.

Definicija površinskega integrala druge vrste, njegove osnovne lastnosti in izračun. Povezava s integralom prve vrste.

Izrek Gauss-Ostrogradskega, njegov zapis v koordinatni in vektorski (invariantni) obliki.

Stokesov izrek, njegov prikaz v koordinatni in vektorski (invariantni) obliki.

Pogoji za to, da krivočrtni integral v prostoru ni odvisen od poti integracije.

Skalarno polje. Gradient skalarnega polja in njegove lastnosti. Izračun gradienta v kartezičnih koordinatah.

Definicija vektorskega polja. Gradientno polje. Potencialna polja, pogoji potencialnosti.

Tok vektorskega polja skozi površino. Definicija divergence vektorskega polja in njegove lastnosti. Izračun divergence v kartezičnih koordinatah.

Solenoidna vektorska polja, pogoji solenoidalnosti.

Kroženje vektorskega polja in rotor vektorskega polja. Izračun rotorja v kartezičnih koordinatah.

Hamiltonov operator (nabla), diferencialne operacije drugega reda, povezave med njimi.

Osnovni pojmi, povezani z odo I. reda: splošne in partikularne rešitve, splošni integral, integralne krivulje. Cauchyjev problem, njegov geometrijski pomen.

Integracija odov prvega reda z ločljivimi in homogenimi spremenljivkami.

Integracija linearnih enačb prvega reda in Bernoullijevih enačb.

Integracija odov prvega reda v totalnih diferencialih. Integracijski faktor.

Metoda vnosa parametrov. Integracija ode prvega reda Lagrangea in Clairauta.

Najenostavnejše ode višjih redov, ki jih je mogoče integrirati v kvadrature in omogočajo redukcijo v redu.

Normalna oblika sistema linearnih odov, skalarni in vektorski (matrični) zapis. Cauchyjev problem za normalni sistem linearnih ods, njegov geometrijski pomen.

Linearno odvisni in linearno neodvisni sistemi vektorskih funkcij. Nujen pogoj za linearno odvisnost. Izrek o determinanti Wronskega rešitev sistema homogenih linearnih od.

Izrek o splošni rešitvi (o strukturi splošne rešitve) normalnega sistema nehomogenih linearnih od.

Metoda variacije poljubnih konstant za iskanje parcialnih rešitev normalnega sistema nehomogenih linearnih od.

Fundamentalni sistem rešitev normalnega sistema homogenih linearnih enačb s konstantnimi koeficienti v primeru enostavnih realnih korenov karakteristične enačbe.

Linearno odvisni in linearno neodvisni sistemi funkcij. Nujen pogoj za linearno odvisnost. Izrek o determinanti Wronskega rešitev homogene linearne kode.

Izrek o splošni rešitvi (o strukturi splošne rešitve) homogene linearne ode.

Izrek o splošni rešitvi (o strukturi splošne rešitve) nehomogene linearne ode.

Metoda variacije poljubnih konstant za iskanje parcialnih rešitev nehomogene linearne ode.

Temeljni sistem rešitev homogene linearne enačbe s konstantnimi koeficienti v primeru preprostih korenov značilne enačbe, realne ali kompleksne.

Temeljni sistem rešitev homogene linearne enačbe s konstantnimi koeficienti v primeru več korenin značilne enačbe.

Iskanje parcialnih rešitev nehomogene linearne ode s konstantnimi koeficienti in posebno desno stranjo.

Izrek obstoja za (lokalno) rešitev Cauchyjevega problema za ODE prvega reda.

Izrek edinstvenosti za rešitev Cauchyjevega problema za oode prvega reda.

1. Definicija vektorskega polja. Gradientno polje. Potencialna polja, pogoji potencialnosti.

Vektorsko polje. Če vsaka točka M neko področje V presledek ustreza vrednosti neke vektorske količine ( M ), potem pravijo, da v okolici V podano vektorsko polje ( M ). Primeri vektorskih polj so gravitacijsko polje, električno in magnetno polje ter polje hitrosti delcev gibajoče se tekočine.

Če je v nekem kartezičnem koordinatnem sistemu vektor ( M ) ima koordinate R (M ), Q (M ), R (M ), To . Tako določanje vektorskega polja ( M ) je enako kot podajanje treh skalarnih polj R (M ), Q (M ), R (M ). Imenovali bomo vektorsko polje gladka, če so njegove koordinatne funkcije gladka skalarna polja.

Gradient diferenciabilno skalarno polje u(M)=u(x,y,z) imenujemo vektor . Tisti. vsota parcialnih odvodov, pomnožena z ustreznimi enotskimi vektorji.

V splošnem primeru je gradient predstavljen kot vektorska značilnost skalarnega polja - to je območje, katerega vsaka točka ustreza vrednosti določenega skalarja. Gradient označuje, kako hitro se spreminja skalarna količina na enem ali drugem mestu v tem polju.

Potencialna vektorska polja. Vektorsko polje A = (Ax, Ay, Az) imenujemo potencialno, če je vektor A gradient neke skalarne funkcije u = u(x, y, z): A = grad u = (16.7).

V tem primeru se funkcija u imenuje potencial tega vektorskega polja.

Ugotovimo kdaj pod katerimi pogoji je potencial vektorskega polja? . Ker iz (16.7) sledi, da , To ,=,=. saj mešani odvod drugega reda ni odvisen od reda diferenciacije. Iz teh enakosti zlahka dobimo, da je rot A = 0 - pogoj potencialnosti vektorskega polja.

Vektorski poljski rotor ( M ) v točki imenujemo vektorska količina (vektorsko polje):. Izraženo s Hamiltonovim operatorjem, je nabla: enako vektorskemu produktu. res, .

1. Tok vektorskega polja skozi površino. Definicija divergence vektorskega polja in njegove lastnosti. Izračun divergence v kartezičnih koordinatah.

Tok vektorskega polja skozi površino . Naj bo v domeni D podano zvezno vektorsko polje ,. Vzemimo neko površino S v tem vektorskem polju in izberimo njeno stran. Naj bo polje enotskih normal na površino, ki ustreza izbrani strani. Nato površinski integral 2. vrste (ker) se imenuje vektorski tokAskozi površinoS v označeni smeri.

Naj . Formula Gauss-Ostrogradskega:

Levo stran lahko zapišemo takole: ,,. Zato:, saj. To je tok vektorja skozi zaprto površino. Desno stran lahko zapišemo kot razhajanje (razhajanje): .

Razhajanje vektorsko polje A v točki MÎV kličemo odvod funkcije po volumnu na tej točki: . Razhajanje lahko zapišemo tudi z uporabo operater Nabla: .Divergenca v kartezičnih koordinatah : .

Lastnosti divergence:

Druge lastnosti (se ne obravnava na predavanju, po presoji testiranca):

1. Solenoidna vektorska polja, pogoji solenoidalnosti.

Naj bo v neki domeni D podano zvezno vektorsko polje (M)=(x,y,z). Tok vektorskega polja skozi usmerjeno kosovno gladko površino S, ki se nahaja v območju D, imenujemo integral , kje - enotni normalni vektor na površino S, ki kaže njeno orientacijo, in – površinski element S.

Vektorsko polje se imenuje elektromagnetni v območju D, če tok tega polja skozi poljubno kosno gladko ploskev, ki se ne preseka samega sebe, ki se nahaja v D in predstavlja mejo neke omejene podregije regije D, enako nič.

Če je divergenca enaka nič, se polje imenuje vektor elektromagnetni .

, zato je pretok povsod enak, na vsakem odseku cevi.

Da bi bilo zvezno diferenciabilno vektorsko polje elektromagnetni v volumetrično preprosto povezani domeni D, potrebno in zadostno, tako da enakost velja v vseh točkah D. Pri čemer je divergenca (»divergenca«) vektorskega polja skalarna funkcija

"