Kaj je koren definicije števila. Aritmetični kvadratni koren (8. razred). Potenciranje

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 8. razred. izobraževalne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).

Korenske formule. Lastnosti kvadratnih korenov.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

V prejšnji lekciji smo ugotovili, kaj je kvadratni koren. Čas je, da ugotovimo, kateri obstajajo formule za korenine kaj so lastnosti korenin, in kaj se da narediti z vsem tem.

Formule korenin, lastnosti korenin in pravila za delo s koreninami- to je v bistvu ista stvar. Obstaja presenetljivo malo formul za kvadratne korene. Kar me zagotovo veseli! Oziroma lahko napišete veliko različnih formul, a za praktično in samozavestno delo s koreninami so dovolj le tri. Vse ostalo izhaja iz teh treh. Čeprav se mnogi zmedejo v formulah treh korenin, ja...

Začnimo z najpreprostejšim. Tukaj je:

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

V tem članku bomo predstavili koncept korena števila. Nadaljevali bomo zaporedno: začeli bomo s kvadratnim korenom, od tam bomo prešli na opis kubičnega korena, nakar bomo posplošili pojem korena in definirali n-ti koren. Hkrati bomo predstavili definicije, oznake, podali primere korenin ter podali potrebna pojasnila in komentarje.

Kvadratni koren, aritmetični kvadratni koren

Če želite razumeti definicijo korena števila in še posebej kvadratnega korena, morate imeti . Na tem mestu se bomo pogosto srečali z drugo potenco števila - kvadratom števila.

Začnimo z definicije kvadratnega korena.

Opredelitev

Kvadratni koren iz a je število, katerega kvadrat je enak a.

Voditi primeri kvadratnih korenov, vzamemo več števil, na primer 5, −0,3, 0,3, 0, in jih kvadriramo, dobimo števila 25, 0,09, 0,09 oziroma 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 in 0 2 =0·0=0 ). Potem je po zgornji definiciji število 5 kvadratni koren iz števila 25, števili −0,3 in 0,3 sta kvadratni koren iz 0,09, 0 pa kvadratni koren iz nič.

Upoštevati je treba, da za nobeno število a ne obstaja a, katerega kvadrat je enak a. Za nobeno negativno število a namreč ne obstaja realno število b, katerega kvadrat je enak a. Pravzaprav je enakost a=b 2 nemogoča za kateri koli negativni a, saj je b 2 nenegativno število za kateri koli b. torej v množici realnih števil ni kvadratnega korena negativnega števila. Z drugimi besedami, na množici realnih števil kvadratni koren negativnega števila ni definiran in nima pomena.

To vodi do logičnega vprašanja: "Ali obstaja kvadratni koren iz a za vsak nenegativen a"? Odgovor je pritrdilen. To dejstvo je mogoče utemeljiti s konstruktivno metodo, uporabljeno za iskanje vrednosti kvadratnega korena.

Potem se pojavi naslednje logično vprašanje: "Koliko je število vseh kvadratnih korenin danega nenegativnega števila a - ena, dve, tri ali celo več"? Tukaj je odgovor: če je a nič, potem je edini kvadratni koren iz nič nič; če je a neko pozitivno število, potem je število kvadratnih korenin števila a dve, korenine pa so . Utemeljimo to.

Začnimo s primerom a=0. Najprej pokažimo, da je nič res kvadratni koren iz nič. To izhaja iz očitne enakosti 0 2 =0·0=0 in definicije kvadratnega korena.

Zdaj pa dokažimo, da je 0 edini kvadratni koren iz nič. Uporabimo obratno metodo. Recimo, da obstaja neko neničelno število b, ki je kvadratni koren iz nič. Takrat mora biti izpolnjen pogoj b 2 =0, kar je nemogoče, saj je za vsak neničelni b vrednost izraza b 2 pozitivna. Prišli smo do protislovja. To dokazuje, da je 0 edini kvadratni koren iz nič.

Pojdimo na primere, ko je a pozitivno število. Zgoraj smo rekli, da vedno obstaja kvadratni koren katerega koli nenegativnega števila, naj bo kvadratni koren iz a število b. Recimo, da obstaja število c, ki je tudi kvadratni koren iz a. Potem po definiciji kvadratnega korena veljata enakosti b 2 =a in c 2 =a, iz česar sledi, da je b 2 −c 2 =a−a=0, ker pa je b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , potem (b−c)·(b+c)=0 . Dobljena enakost je veljavna lastnosti operacij z realnimi števili možno samo, če je b−c=0 ali b+c=0. Tako sta števili b in c enaki ali nasprotni.

Če predpostavimo, da obstaja število d, ki je drug kvadratni koren števila a, potem s sklepanjem, podobnim že podanim, dokažemo, da je d enako številu b ali številu c. Torej je število kvadratnih korenov pozitivnega števila dve, kvadratni koreni pa so nasprotna števila.

Za udobje dela s kvadratnimi koreninami je negativni koren "ločen" od pozitivnega. V ta namen je uveden definicija aritmetičnega kvadratnega korena.

Opredelitev

Aritmetični kvadratni koren nenegativnega števila a je nenegativno število, katerega kvadrat je enak a.

Zapis za aritmetični kvadratni koren a je . Predznak se imenuje znak aritmetičnega kvadratnega korena. Imenuje se tudi radikalni znak. Zato lahko včasih slišite tako "koren" kot "radikal", kar pomeni isti predmet.

Število pod znakom aritmetičnega kvadratnega korena se imenuje radikalno število, izraz pod korenskim znakom pa je radikalno izražanje, medtem ko se izraz "radikalno število" pogosto nadomesti z "radikalnim izrazom". Na primer, v zapisu je število 151 radikalno število, v zapisu pa je izraz a radikalni izraz.

Pri branju je beseda "aritmetika" pogosto izpuščena, na primer vnos se bere kot "kvadratni koren iz sedem pik devetindvajset." Beseda "aritmetika" se uporablja le, ko želijo poudariti, da govorimo ravno o pozitivnem kvadratnem korenu števila.

V luči uvedenega zapisa sledi iz definicije aritmetičnega kvadratnega korena, da za vsako nenegativno število a .

Kvadratni koreni pozitivnega števila a so zapisani z aritmetičnim znakom kvadratnega korena kot in . Na primer, kvadratni koren iz 13 je in . Aritmetični kvadratni koren iz nič je nič, to je . Za negativna števila a zapisu ne bomo pripisovali pomena, dokler ga ne preučimo kompleksna števila. Na primer, izraza in sta brez pomena.

Na podlagi definicije kvadratnega korena so dokazane lastnosti kvadratnih korenov, ki se pogosto uporabljajo v praksi.

V zaključku tega odstavka omenimo, da so kvadratni koreni števila a rešitve oblike x 2 =a glede na spremenljivko x.

Kubični koren števila

Opredelitev kubnega korenaštevila a je podana podobno kot definicija kvadratnega korena. Le da temelji na konceptu kocke števila, ne kvadrata.

Opredelitev

Kubični koren a je število, katerega kub je enak a.

Dajmo primeri kockastih korenin. Če želite to narediti, vzemite več števil, na primer 7, 0, −2/3, in jih kockajte: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Potem lahko na podlagi definicije kubičnega korena rečemo, da je število 7 kubični koren iz 343, 0 je kubični koren iz nič in −2/3 je kubični koren iz −8/27.

Lahko se pokaže, da kubični koren števila, za razliko od kvadratnega korena, vedno obstaja, ne le za nenegativno a, ampak tudi za vsako realno število a. Če želite to narediti, lahko uporabite isto metodo, ki smo jo omenili pri preučevanju kvadratnih korenov.

Poleg tega obstaja samo en kubični koren danega števila a. Dokažimo zadnjo trditev. Če želite to narediti, razmislite o treh primerih ločeno: a je pozitivno število, a=0 in a je negativno število.

Preprosto je pokazati, da če je a pozitiven, kubni koren a ne more biti niti negativno število niti nič. Res, naj bo b kubični koren od a, potem lahko po definiciji zapišemo enakost b 3 =a. Jasno je, da ta enakost ne more veljati za negativni b in za b=0, saj bo v teh primerih b 3 =b·b·b negativno število oziroma nič. Torej je kubni koren pozitivnega števila a pozitivno število.

Zdaj pa predpostavimo, da poleg števila b obstaja še en kubični koren števila a, označimo ga s c. Potem je c 3 =a. Zato je b 3 −c 3 =a−a=0, vendar b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(to je skrajšana formula množenja razlika kock), od koder je (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Dobljena enakost je mogoča le, če je b−c=0 ali b 2 +b·c+c 2 =0. Iz prve enačbe imamo b=c, druga enačba pa nima rešitev, saj je njena leva stran pozitivno število za poljubna pozitivna števila b in c kot vsota treh pozitivnih členov b 2, b·c in c 2. To dokazuje edinstvenost kubnega korena pozitivnega števila a.

Ko je a=0, je kubni koren števila a samo število nič. Če predpostavimo, da obstaja število b, ki je različen od nič kubni koren iz nič, potem mora veljati enakost b 3 =0, kar je možno le pri b=0.

Za negativni a je mogoče navesti argumente, podobne tistim za pozitivni a. Najprej pokažemo, da kubični koren negativnega števila ne more biti enak niti pozitivnemu številu niti nič. Drugič, predpostavimo, da obstaja drugi kubični koren negativnega števila in pokažemo, da bo nujno sovpadal s prvim.

Torej, vedno obstaja kubni koren katerega koli danega realnega števila a in edinstven.

Dajmo definicija aritmetičnega kubnega korena.

Opredelitev

Aritmetični kubični koren nenegativnega števila a je nenegativno število, katerega kub je enak a.

Aritmetični kubni koren nenegativnega števila a je označen kot , predznak se imenuje predznak aritmetičnega kubnega korena, število 3 v tem zapisu se imenuje korenski indeks. Številka pod korenskim znakom je radikalno število, izraz pod korenskim znakom je radikalno izražanje.

Čeprav je aritmetični kubni koren definiran le za nenegativna števila a, je prav tako priročno uporabljati zapise, v katerih so negativna števila pod znakom aritmetičnega kubnega korena. Razumeli jih bomo takole: , kjer je a pozitivno število. na primer .

O lastnostih kockastih korenov bomo govorili v splošnem članku Lastnosti korenin.

Izračun vrednosti kubnega korena se imenuje pridobivanje kubnega korena; to dejanje je obravnavano v članku pridobivanje korenov: metode, primeri, rešitve.

Za zaključek te točke povejmo, da je kubični koren števila a rešitev oblike x 3 =a.

n-ti koren, aritmetični koren stopnje n

Posplošimo pojem korena števila - uvedemo definicija n-tega korena za n.

Opredelitev

n-ti koren od a je število, katerega n-ta potenca je enaka a.

Iz te definicije je razvidno, da je koren prve stopnje števila a samo število a, saj smo pri študiju stopnje z naravnim eksponentom vzeli 1 =a.

Zgoraj smo si ogledali posebne primere n-tega korena za n=2 in n=3 - kvadratni in kubični koren. To pomeni, da je kvadratni koren koren druge stopnje, kubični koren pa koren tretje stopnje. Za preučevanje korenin n-te stopnje za n=4, 5, 6, ... jih je priročno razdeliti v dve skupini: prva skupina - korenine sodih stopenj (to je za n = 4, 6, 8) , ...), druga skupina - korenine lihih stopinj (to je z n=5, 7, 9, ...). To je posledica dejstva, da so koreni sodih potenc podobni kvadratnim korenom, koreni lihih potenc pa so podobni kubičnim korenom. Ukvarjajmo se z njimi enega za drugim.

Začnimo s koreni, katerih potence so soda števila 4, 6, 8, ... Kot smo že povedali, so podobni kvadratnemu korenu števila a. To pomeni, da koren katere koli sode stopnje števila a obstaja samo za nenegativno a. Poleg tega, če je a=0, potem je koren a edinstven in enak nič, in če je a>0, potem obstajata dva korena sode stopnje števila a in sta nasprotni števili.

Utemeljimo zadnjo trditev. Naj bo b sodi koren (označujemo ga kot 2·m, kjer je m neko naravno število) števila a. Recimo, da obstaja število c - drug koren stopnje 2·m iz števila a. Potem je b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Poznamo pa obliko b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), potem (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iz te enakosti sledi, da je b−c=0, ali b+c=0, oz b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prvi dve enakosti pomenita, da sta števili b in c enaki oziroma sta b in c nasprotni. In zadnja enakost velja le za b=c=0, saj je na njeni levi strani izraz, ki je nenegativen za poljubna b in c kot vsota nenegativnih števil.

Kar zadeva korenine n-te stopnje za liho n, so podobne kockastemu korenu. To pomeni, da koren katere koli lihe stopnje števila a obstaja za vsako realno število a in je za dano število a edinstven.

Edinstvenost korena lihe stopnje 2·m+1 števila a dokažemo po analogiji z dokazom edinstvenosti kubnega korena iz a. Samo tukaj namesto enakosti a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) uporabljena je enačba oblike b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Izraz v zadnjem oklepaju lahko prepišemo kot b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na primer, z m=2 imamo b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Če sta a in b oba pozitivna ali oba negativna, je njun produkt pozitivno število, potem je izraz b 2 +c 2 +b·c v najvišjem ugnezdenem oklepaju pozitiven kot vsota pozitivnih števil. Zdaj, ko se zaporedoma premaknemo na izraze v oklepajih prejšnjih stopenj gnezdenja, smo prepričani, da so pozitivni tudi kot vsota pozitivnih števil. Kot rezultat dobimo, da je enakost b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 mogoče le, če je b−c=0, torej ko je število b enako številu c.

Čas je, da razumemo zapis n-tih korenin. V ta namen je dano definicija aritmetičnega korena n-te stopnje.

Opredelitev

Aritmetični koren n-te stopnje nenegativnega števila a je nenegativno število, katerega n-ta potenca je enaka a.

Aritmetični koren n-te stopnje nenegativnega števila a je označen kot . Število a imenujemo radikalno število, število n pa korenski eksponent. Na primer, upoštevajte vnos, tukaj je radikalno število 125,36, korenski eksponent pa 5.

Upoštevajte, da pri n=2 imamo opravka s kvadratnim korenom števila, v tem primeru je običajno, da ne zapišemo korenskega eksponenta, to pomeni, da vnosi pomenijo isto število.

Kljub dejstvu, da je bila definicija aritmetičnega korena n-te stopnje in njegova oznaka uvedena za nenegativna radikalna števila, bomo zaradi priročnosti za lihe eksponente korena in negativna radikalna števila uporabljali zapise oblike , ki jo bomo razumeli kot . na primer in .

Korenom sodih stopenj z negativnimi radikali ne bomo pripisovali nobenega pomena (preden začnemo preučevati kompleksna števila). Na primer, izrazi nimajo smisla.

Na podlagi zgornje definicije so utemeljene lastnosti n-tih korenin, ki imajo široko praktično uporabo.

Na koncu je vredno reči, da so korenine n-te stopnje korenine enačb oblike x n =a.

Praktično pomembni rezultati

Prvi praktično pomemben rezultat: .

Ta rezultat v bistvu odraža definicijo sodega korena. Znak ⇔ pomeni enakovrednost. To pomeni, da je treba zgornji vnos razumeti takole: če , potem , in če , potem . In zdaj isto, vendar z besedami: če je b koren sode stopnje 2·k iz števila a, potem je b nenegativno število, ki izpolnjuje enakost b 2·k =a, in obratno, če b je nenegativno število, za katerega velja enakost b 2·k =a, potem je b sodi koren 2·k iz števila a.

Iz prve enakosti sistema je jasno, da je število a nenegativno, saj je enako nenegativnemu številu b, dvignjenemu na sodo potenco 2·k.

Tako v šoli upoštevajo korenine sodih potenc samo iz nenegativnih števil in jih razumejo kot in koreni sodih potenc negativnih števil nimajo nobenega pomena.

Drugi praktično pomemben rezultat: .

V bistvu združuje definicijo lihega korena z definicijo lihega korena negativnega števila. Razložimo to.

Iz definicij, podanih v prejšnjih odstavkih, je razvidno, da dajejo pomen korenom lihih potenc katerega koli realnega števila, ne samo nenegativnega, ampak tudi negativnega. Za nenegativna števila b velja, da . Zadnji sistem implicira pogoj a≥0. Za negativna števila −a (kjer je a pozitivno število) vzemite . Jasno je, da je s to definicijo negativno število, saj je enako , in je pozitivno število. Jasno je tudi, da dvig korena na potenco 2 k+1 da radikand –a. Dejansko, ob upoštevanju te definicije in lastnosti pooblastil, imamo

Iz tega sklepamo, da je koren lihe stopnje 2 k+1 negativnega števila −a negativno število b, katerega stopnja 2 k+1 je enaka −a, v dobesedni obliki . Združevanje rezultatov za a≥0 in za –a<0 , приходим к следующему выводу: корень нечетной степени 2·k+1 из произвольного действительного числа a есть число b (оно может быть как неотрицательным, так и отрицательным), которое при возведении в степень 2·k+1 равно a , то есть .

Tako v šoli upoštevajo korenine lihih potenc poljubnih realnih števil in jih razumejo takole: .

Za zaključek še enkrat zapišimo dva rezultata, ki nas zanimata: in .

Mož. koren, vrat, korenina · odvzema. zaničljiva korenina, povečevalna korenina, podzemni del katere koli rastline. Pri drevesih so primarne in stranske korenine, z njimi pa korenine in drobni režnji. vpijanje vlage. Korenina je lahko: čebulasta, ... ... Dahlov razlagalni slovar

KOREN, rn, množina. rni, rni, mož. 1. Podzemni del rastline, ki služi za njeno utrjevanje v zemlji in iz nje vsrkava vodo in hranila. Glavne, stranske, zračne korenine (pri lianah in nekaterih drugih rastlinah visoko nad tlemi). Razlagalni slovar Ozhegov

- (radix), eden glavnih vegetativnih organov listnatih rastlin, ki služi za pritrditev na podlago, absorpcijo vode in prehrano iz nje. snovi. Filogenetsko je K. nastal pozneje kot steblo in verjetno izvira iz korenastih... ... Biološki enciklopedični slovar

Glej začetek, razlog, izvor, izkoreniniti, ukoreniniti ... Slovar ruskih sinonimov in podobnih izrazov. pod. izd. N. Abramova, M.: Ruski slovarji, 1999. koren, začetek, vzrok, izvor; radikalno; hrbtenica, jedro, ... ... Slovar sinonimov

korenina- ROOT, rnya, m. Prijatelj, prijatelj. 2. Moški spolni organ Majhen človek raste v korenu močna korenina je stari, zvesti prijatelj. 1. mogoče kontaminacija s sidekickom... Slovar ruskega argota

V matematiki..1) koren stopnje n števila je poljubno število x (označeno z a se imenuje radikalni izraz), katerega n-ta stopnja je enaka a (). Dejanje iskanja korena se imenuje ekstrakcija korena2)] Koren enačbe je število, ki je po... ...

Primarna korenina ostane pri mnogih iglavcih vse življenje in se razvije v obliki močne korenine, iz katere segajo stranske korenine. Manj pogosto, kot pri nekaterih borovcih, je primarna korenina nerazvita in jo nadomestijo stranske. Poleg dolgih...... Biološka enciklopedija

- (matematično), 1) Koren stopnje n števila a Število, katerega n-ta stopnja je enaka danemu številu a (označeno; a imenujemo radikalni izraz). Dejanje iskanja korenine se imenuje ekstrakcija korenine. 2) Reševanje vrednosti enačbe ... ... Sodobna enciklopedija

V biologiji je eden glavnih organov rastlin, ki služi za krepitev tal, absorpcijo vode, mineralov, sintezo organskih spojin in tudi za sproščanje nekaterih presnovnih produktov. Korenina je lahko prostor za shranjevanje rezervnih... ... Veliki enciklopedični slovar

V jezikoslovju neizpeljanka (preprosto) besedno deblo, ki ne vsebuje nobenih priponk. Koren je leksikalno jedro besede, torej nosi njen osnovni stvarni pomen ... Veliki enciklopedični slovar

knjige

• Koren vsega zla, Williams R. Donald Bailey ni težaven najstnik, ampak preprosto nesrečen. Po nepopravljivem dejanju je izgubil zaupanje prijateljev, mamino ljubezen in svoj mir. Kaj mu preostane? Beži pred...
• Koren problema, Henry R. Brandt. Avtor te knjige ponuja zelo preprosto svetopisemsko resnico za odpravo vseh vrst duševnih motenj: zavedanje greha kot temeljnega vzroka vseh težav in kesanje za storjene grehe. V…

Še enkrat sem pogledal na tablo ... In, gremo!

Začnimo z nečim preprostim:

Samo trenutek. to, kar pomeni, da lahko zapišemo takole:

razumeš Tukaj je naslednji za vas:

Ali koreni dobljenih števil niso natančno izluščeni? Ni problema – tukaj je nekaj primerov:

Kaj pa, če nista dva, ampak več množiteljev? enako! Formula za množenje korenov deluje s poljubnim številom faktorjev:

Zdaj popolnoma sami:

odgovori: Bravo! Strinjam se, vse je zelo enostavno, glavna stvar je poznati tabelo množenja!

Delitev korenin

Razvrstili smo množenje korenov, zdaj pa preidimo na lastnost deljenja.

Naj vas spomnim, da je splošna formula videti takole:

Kar pomeni, da koren kvocienta je enak kvocientu korenov.

No, poglejmo nekaj primerov:

To je vse, kar je znanost. Tukaj je primer:

Vse ni tako gladko kot v prvem primeru, vendar, kot vidite, ni nič zapletenega.

Kaj pa, če naletite na ta izraz:

Samo formulo morate uporabiti v nasprotni smeri:

In tukaj je primer:

Morda boste naleteli tudi na ta izraz:

Vse je isto, le tukaj se morate spomniti, kako prevesti ulomke (če se ne spomnite, poglejte temo in se vrnite!). se spomniš Zdaj pa se odločimo!

Prepričan sem, da ste se spopadli z vsem, zdaj pa poskusimo dvigniti korenine do stopinj.

Potenciranje

Kaj se zgodi, če je kvadratni koren na kvadrat? Preprosto je, zapomnite si pomen kvadratnega korena števila - to je število, katerega kvadratni koren je enak.

Torej, če kvadriramo število, katerega kvadratni koren je enak, kaj dobimo?

No, seveda!

Poglejmo si primere:

Preprosto je, kajne? Kaj pa, če je koren drugačne stopnje? V redu je!

Sledite isti logiki in si zapomnite lastnosti in možna dejanja s stopinjami.

Preberite teorijo na temo "" in vse vam bo postalo izjemno jasno.

Tukaj je na primer izraz:

V tem primeru je stopnja soda, kaj pa če je liha? Ponovno uporabimo lastnosti potenc in faktoriziramo vse:

S tem se zdi vse jasno, toda kako izvleči koren števila na moč? Tukaj je na primer to:

Precej preprosto, kajne? Kaj pa, če je diploma več kot dve? Sledimo isti logiki z uporabo lastnosti stopinj:

No, je vse jasno? Nato sami rešite primere:

In tukaj so odgovori:

Vstop pod znak korena

Česa se nismo naučili narediti s koreninami! Preostane le še vadba vnosa številke pod znak korena!

Res je enostavno!

Recimo, da imamo zapisano številko

Kaj lahko storimo z njim? No, seveda skrijte tri pod koren, ne pozabite, da je tri kvadratni koren od!

Zakaj potrebujemo to? Da, samo za razširitev naših zmožnosti pri reševanju primerov:

Kako vam je všeč ta lastnost korenin? Ali močno olajša življenje? Zame je to točno tako! Samo Ne smemo pozabiti, da lahko pod kvadratni koren vnesemo samo pozitivna števila.

Rešite ta primer sami -
Vam je uspelo? Poglejmo, kaj bi morali dobiti:

Bravo! Uspelo vam je vnesti številko pod glavni znak! Pojdimo k nečemu enako pomembnemu – poglejmo, kako primerjati števila, ki vsebujejo kvadratni koren!

Primerjava korenin

Zakaj se moramo naučiti primerjati števila, ki vsebujejo kvadratni koren?

Zelo preprosto. Pogosto v velikih in dolgih izrazih, ki jih srečamo na izpitu, prejmemo iracionalen odgovor (se spomnite, kaj je to? O tem smo že govorili danes!)

Prejete odgovore moramo na primer postaviti na koordinatno premico, da ugotovimo, kateri interval je primeren za rešitev enačbe. In tu nastane težava: na izpitu ni kalkulatorja in kako si brez njega predstavljati, katero število je večje in katero manjše? To je to!

Na primer, določite, kaj je večje: ali?

Ne morete povedati takoj. No, uporabimo disassembled lastnost vnosa števila pod znak korena?

Potem nadaljuj:

No, očitno je, da večje kot je število pod znakom korena, večji je sam koren!

Tisti. če, potem,.

Iz tega trdno sklepamo, da. In nihče nas ne bo prepričal v nasprotno!

Pridobivanje korenov iz velikih števil

Pred tem smo pod znak korena vnesli množitelj, a kako ga odstraniti? Samo razložiti ga morate na faktorje in izluščiti, kar izluščite!

Možno je bilo ubrati drugačno pot in se razširiti na druge dejavnike:

Ni slabo, kajne? Vsak od teh pristopov je pravilen, odločite se, kot želite.

Faktoring je zelo uporaben pri reševanju tako nestandardnih problemov, kot je ta:

Ne bojmo se, ampak ukrepajmo! Razčlenimo vsak faktor pod korenom na ločene faktorje:

Zdaj pa poskusite sami (brez kalkulatorja! Ne bo na izpitu):

Je to konec? Ne ustavimo se na pol poti!

To je vse, ni tako strašno, kajne?

Je uspelo? Bravo, tako je!

Zdaj poskusite ta primer:

Toda primer je trd oreh, zato ne morete takoj ugotoviti, kako se mu približati. Ampak seveda se lahko spopademo.

No, začnimo s faktoringom? Naj takoj opozorimo, da lahko število delite z (zapomnite si znake deljivosti):

Zdaj pa poskusite sami (spet brez kalkulatorja!):

No, je uspelo? Bravo, tako je!

Naj povzamemo

1. Kvadratni koren (aritmetični kvadratni koren) nenegativnega števila je nenegativno število, katerega kvadrat je enak.
   .
2. Če preprosto vzamemo kvadratni koren nečesa, vedno dobimo en nenegativen rezultat.
3. Lastnosti aritmetičnega korena:
4. Pri primerjavi kvadratnih korenov je treba zapomniti, da večje kot je število pod znakom korena, večji je sam koren.

Kakšen je kvadratni koren? Je vse jasno?

Poskušali smo vam brez napora razložiti vse, kar morate vedeti na izpitu o kvadratnem korenu.

Zdaj si ti na vrsti. Pišite nam, ali je ta tema za vas težka ali ne.

Ste izvedeli kaj novega ali je bilo že vse jasno?

Zapiši v komentarje in srečno na izpitih!