Dejanja s teorijo diplom. Dejanja z monomi. Stopnja z iracionalnim eksponentom

Prej smo že govorili o tem, kaj je potenca števila. Ima določene lastnosti, uporabno pri reševanju problemov: analizirali jih bomo in vse možne eksponente v tem članku. S primeri bomo tudi nazorno pokazali, kako jih je mogoče dokazati in pravilno uporabiti v praksi.

Spomnimo se prej oblikovanega koncepta stopnje z naravnim eksponentom: to je produkt n-tega števila faktorjev, od katerih je vsak enak a. Spomniti se bomo morali tudi pravilnega množenja realnih števil. Vse to nam bo pomagalo oblikovati naslednje lastnosti stopnje z naravnim eksponentom:

Definicija 1

1. Glavna lastnost stopnje: a m · a n = a m + n

Lahko se posploši na: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Lastnost količnika za stopnje z enakimi bazami: a m: a n = a m − n

3. Lastnost moči izdelka: (a · b) n = a n · b n

Enakost lahko razširimo na: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Lastnost količnika naravne stopnje: (a: b) n = a n: b n

5. Potenco povečamo na potenco: (a m) n = a m n,

Lahko se posploši na: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Primerjaj stopnjo z ničlo:

• če je a > 0, bo za vsako naravno število n a n večje od nič;
• če je a enako 0, bo tudi a n enak nič;
• pri a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• pri a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Enakost a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Neenakost a m > a n bo veljala pod pogojem, da sta m in n naravni števili, m je večje od n in a je večji od nič in ne manjši od ena.

Kot rezultat smo dobili več enakosti; če so izpolnjeni vsi zgoraj navedeni pogoji, bodo enaki. Za vsako od enačb, na primer za glavno lastnost, lahko zamenjate desno in levo stran: a m · a n = a m + n - enako kot a m + n = a m · a n. V tej obliki se pogosto uporablja za poenostavitev izrazov.

1. Začnimo z osnovno lastnostjo stopnje: enakost a m · a n = a m + n bo veljala za vsak naravni m in n ter pravi a. Kako dokazati to trditev?

Osnovna definicija potence z naravnimi eksponenti nam bo omogočila, da enakost pretvorimo v produkt faktorjev. Dobili bomo tak zapis:

To lahko skrajšamo na (zapomnite si osnovne lastnosti množenja). Kot rezultat smo dobili potenco števila a z naravnim eksponentom m + n. Tako je a m + n, kar pomeni, da je glavna lastnost stopnje dokazana.

Uredimo to konkreten primer, ki to potrjuje.

Primer 1

Torej imamo dve potenci z osnovo 2. Njihovi naravni indikatorji so 2 oziroma 3. Imamo enakost: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Izračunajmo vrednosti, da preverimo veljavnost te enakosti.

Izvedli bomo potrebno matematične operacije: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 in 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Kot rezultat smo dobili: 2 2 · 2 3 = 2 5. Lastnost je dokazana.

Zaradi lastnosti množenja lahko lastnost posplošimo tako, da jo formuliramo v obliki treh in več potence, katerih eksponenti so naravna števila in katerih osnove so enake. Če število naravnih števil n 1, n 2 itd. označimo s črko k, dobimo prava enakost:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Primer 2

2. Nato moramo dokazati naslednjo lastnost, ki se imenuje lastnost kvocienta in je neločljivo povezana s potenci z enakimi bazami: to je enakost a m: a n = a m − n, ki velja za vsak naravni m in n (in m je večji od n)) in katerikoli realni a, ki ni enak nič.

Za začetek pojasnimo, kaj točno pomenijo pogoji, ki so navedeni v formulaciji. Če vzamemo a enako nič, potem končamo z deljenjem z nič, česar pa ne moremo narediti (navsezadnje je 0 n = 0). Pogoj, da mora biti število m večje od n, je nujen, da lahko ostanemo v mejah naravnih eksponentov: če od m odštejemo n, dobimo naravno število. Če pogoj ni izpolnjen, bomo na koncu dobili negativno število ali nič in spet bomo presegli preučevanje stopinj z naravnimi eksponenti.

Zdaj lahko nadaljujemo z dokazom. Iz tega, kar smo prej preučevali, se spomnimo osnovnih lastnosti ulomkov in enačbo oblikujmo takole:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Iz nje lahko sklepamo: a m − n · a n = a m

Spomnimo se povezave med deljenjem in množenjem. Iz tega sledi, da je a m − n količnik potenc a m in a n . To je dokaz druge lastnosti stopnje.

Primer 3

Zaradi jasnosti nadomestimo določena števila v eksponente in označimo osnovo stopnje kot π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Nato bomo analizirali lastnost moči produkta: (a · b) n = a n · b n za poljubna realna a in b ter naravni n.

Glede na osnovno definicijo potence z naravnim eksponentom lahko enakost preformuliramo takole:

Če se spomnimo lastnosti množenja, zapišemo: . To pomeni enako kot a n · b n.

Primer 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Če imamo tri ali več faktorjev, potem ta lastnost velja tudi za ta primer. Za število faktorjev uvedemo zapis k in zapišemo:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Primer 5

Z določenimi številkami dobimo naslednjo pravilno enakost: (2 · (- 2 , 3) ​​​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​​​7 · a

4. Nato bomo poskušali dokazati lastnost kvocienta: (a: b) n = a n: b n za poljubna realna a in b, če b ni enak 0 in je n naravno število.

Da bi to dokazali, lahko uporabite prejšnjo lastnost stopinj. Če je (a: b) n · b n = ((a: b) b) n = a n in (a: b) n · b n = a n, potem sledi, da je (a: b) n količnik deljenja a n avtor b n.

Primer 6

Izračunajmo primer: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Primer 7

Začnimo takoj s primerom: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Sedaj pa oblikujmo verigo enakosti, ki nam bo dokazala, da je enakost pravilna:

Če imamo v primeru stopinje stopinj, potem ta lastnost velja tudi zanje. Če imamo poljubna naravna števila p, q, r, s, potem velja:

a p q y s = a p q y s

Primer 8

Dodajmo nekaj podrobnosti: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Druga lastnost potence z naravnim eksponentom, ki jo moramo dokazati, je lastnost primerjave.

Najprej primerjajmo stopnjo z ničlo. Zakaj je a n > 0, če je a večje od 0?

Če eno pozitivno število pomnožimo z drugim, prav tako dobimo pozitivno število. Če poznamo to dejstvo, lahko rečemo, da ni odvisno od števila faktorjev - rezultat množenja poljubnega števila pozitivnih števil je pozitivno število. Kaj je diploma, če ne rezultat množenja števil? Potem bo to veljalo za vsako potenco a n s pozitivno osnovo in naravnim eksponentom.

Primer 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 in 34 9 13 51 > 0

Očitno je tudi, da je potenca z osnovo enako nič sama nič. Ne glede na to, na kakšno moč dvignemo ničlo, bo ostala ničla.

Primer 10

0 3 = 0 in 0 762 = 0

Če je osnova stopnje negativno število, potem je dokaz nekoliko bolj zapleten, saj postane koncept sodega/lihega eksponenta pomemben. Vzemimo najprej primer, ko je eksponent sod, in ga označimo z 2 · m, kjer je m naravno število.

Spomnimo se, kako pravilno množiti negativna števila: zmnožek a · a je enak zmnožku modulov, zato bo pozitivno število. Potem in stopnja a 2 m sta prav tako pozitivna.

Primer 11

Na primer (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 in - 2 9 6 > 0

Kaj pa, če je eksponent z negativno osnovo liho število? Označimo ga z 2 · m − 1 .

Potem

Vsi produkti a · a so po lastnostih množenja pozitivni, prav tako njihov produkt. Če pa ga pomnožimo z edinim preostalim številom a, bo končni rezultat negativen.

Potem dobimo: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Kako to dokazati?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Primer 12

Na primer, veljajo naslednje neenakosti: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Le še zadnjo lastnost moramo dokazati: če imamo dve potenci, katerih osnovi sta enaki in pozitivni, eksponenta pa sta naravna števila, potem je tisti, katerega eksponent je manjši, večji; in od dveh potenc z naravnimi eksponenti in enakima osnovama, večjima od ena, je večja tista, katere eksponent je večji.

Dokažimo te trditve.

Najprej se moramo prepričati, da je m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Vzemimo n iz oklepaja, potem pa bo naša razlika dobila obliko a n · (a m − n − 1) . Njegov rezultat bo negativen (ker je rezultat množenja pozitivnega števila z negativnim številom negativen). Navsezadnje je po začetnih pogojih m − n > 0, potem je a m − n − 1 negativen, prvi faktor pa je pozitiven, kot vsaka naravna potencija s pozitivno bazo.

Izkazalo se je, da je a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Treba je še dokazati drugi del zgoraj formulirane izjave: a m > a velja za m > n in a > 1. Označimo razliko in izpišimo n iz oklepaja: (a m − n − 1 bo dalo pozitiven rezultat); in tudi sama razlika se bo zaradi začetnih pogojev izkazala za pozitivno, pri a > 1 pa je stopnja a m − n večja od ena. Izkaže se, da je a m − a n > 0 in a m > a n , kar smo morali tudi dokazati.

Primer 13

Primer z določenimi številkami: 3 7 > 3 2

Osnovne lastnosti stopinj s celimi eksponenti

Za potence s pozitivnimi celimi eksponenti bodo lastnosti podobne, saj so pozitivna cela števila naravna števila, kar pomeni, da vse zgoraj dokazane enakosti veljajo tudi zanje. Primerni so tudi za primere, ko so eksponenti negativni ali enaki nič (pod pogojem, da sama osnova stopnje ni nič).

Tako so lastnosti potenc enake za kateri koli osnovi a in b (pod pogojem, da sta ti števili realni in nista enaki 0) ter pri vseh eksponentih m in n (pod pogojem, da sta celi števili). Naj jih na kratko zapišemo v obliki formul:

Definicija 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n ob upoštevanju pozitivnega celega števila n, pozitivnega a in b, a< b

7. zjutraj< a n , при условии целых m и n , m >n in 0< a < 1 , при a >1 am > a n.

Če je osnova stopnje enaka nič, sta zapisa a m in a n smiselna le v primeru naravnih in pozitivnih m in n. Posledično ugotovimo, da so zgornje formulacije primerne tudi za primere s potenco z ničelno osnovo, če so izpolnjeni vsi drugi pogoji.

Dokazi teh lastnosti so v tem primeru preprosti. Spomniti se bomo morali, kaj je stopnja z naravnim in celim eksponentom ter lastnosti operacij z realnimi števili.

Oglejmo si lastnost potence in dokažimo, da velja tako za pozitivna kot za nepozitivna cela števila. Začnimo z dokazovanjem enakosti (a p) q = a p q, (a − p) q = a (− p) q, (a p) − q = a p (− q) in (a − p) − q = a (− p) · (− q)

Pogoji: p = 0 ali naravno število; q – podobno.

Če sta vrednosti p in q večji od 0, potem dobimo (a p) q = a p · q. Podobno enakost smo že dokazali. Če je p = 0, potem:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Zato je (a 0) q = a 0 q

Za q = 0 je vse popolnoma enako:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Rezultat: (a p) 0 = a p · 0 .

Če sta oba indikatorja nič, potem je (a 0) 0 = 1 0 = 1 in a 0 · 0 = a 0 = 1, kar pomeni (a 0) 0 = a 0 · 0.

Spomnimo se zgoraj dokazane lastnosti količnikov in zapišimo:

1 a p q = 1 q a p q

Če je 1 p = 1 1 … 1 = 1 in a p q = a p q, potem je 1 q a p q = 1 a p q

Ta zapis lahko na podlagi osnovnih pravil množenja pretvorimo v a (− p) · q.

Tudi: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

In (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Preostale lastnosti stopnje lahko dokažemo na podoben način s transformacijo obstoječih neenakosti. O tem se ne bomo podrobneje ukvarjali, izpostavili bomo le težke točke.

Dokaz predzadnje lastnosti: spomnimo se, da a − n > b − n velja za vse negativne cele vrednosti n in vse pozitivne a in b, pod pogojem, da je a manjši od b.

Potem lahko neenakost transformiramo na naslednji način:

1 a n > 1 b n

Zapišimo desno in levo stran kot razliko in izvedimo potrebne transformacije:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Spomnimo se, da je v pogoju a manjši od b, potem je glede na definicijo stopnje z naravnim eksponentom: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n je na koncu pozitivno število, ker so njegovi faktorji pozitivni. Kot rezultat imamo ulomek b n - a n a n · b n, kar na koncu prav tako daje pozitiven rezultat. Od tod 1 a n > 1 b n od koder a − n > b − n , kar smo morali dokazati.

Zadnjo lastnost potence s celimi eksponenti dokazujemo podobno kot lastnost potence z naravnimi eksponenti.

Osnovne lastnosti potenc z racionalnimi eksponenti

V prejšnjih člankih smo pogledali, kaj je stopnja z racionalnim (ulomljenim) eksponentom. Njihove lastnosti so enake kot pri stopinjah s celimi eksponenti. Zapišimo:

Definicija 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 za a > 0, in če je m 1 n 1 > 0 in m 2 n 2 > 0, potem za a ≥ 0 (lastnost produkta stopnje z enakimi osnovami).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, če je a > 0 (lastnost kvocienta).

3. a · b m n = a m n · b m n za a > 0 in b > 0, in če je m 1 n 1 > 0 in m 2 n 2 > 0, potem za a ≥ 0 in (ali) b ≥ 0 (lastnost produkta v delna stopnja).

4. a: b m n = a m n: b m n za a > 0 in b > 0, če pa je m n > 0, potem za a ≥ 0 in b > 0 (lastnost količnika na ulomek).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 za a > 0, in če je m 1 n 1 > 0 in m 2 n 2 > 0, potem za a ≥ 0 (lastnost stopnje v stopinj).

6.a str< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ; če p< 0 - a p >b p (lastnost primerjanja stopinj z enakim racionalni kazalci).

7.a str< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q pri 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Da bi dokazali te določbe, se moramo spomniti, kaj je potenca z delnim eksponentom, kakšne so lastnosti aritmetičnega korena n - stopnja in kakšne so lastnosti stopinj s celimi eksponenti. Oglejmo si vsako lastnost.

Glede na to, kakšna je stopnja z delnim eksponentom, dobimo:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 in a m 2 n 2 = a m 2 n 2, torej a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Lastnosti korena nam bodo omogočile izpeljavo enakosti:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Iz tega dobimo: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Preobrazimo:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Eksponent lahko zapišemo kot:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

To je dokaz. Druga lastnost je dokazana na povsem enak način. Zapišimo verigo enačb:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Dokazi preostalih enakosti:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Naslednja lastnost: dokažimo, da bo za vse vrednosti a in b večje od 0, če je a manjši od b, a p izpolnjen< b p , а для p больше 0 - a p >b str

Predstavimo racionalno število p kot m n. V tem primeru je m celo število, n pa naravno število. Potem pogoji p< 0 и p >0 se bo razširil na m< 0 и m >0 . Za m > 0 in a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Uporabimo lastnost korenin in izpišemo: a m n< b m n

Ob upoštevanju pozitivnih vrednosti a in b neenakost prepišemo kot a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Na enak način za m< 0 имеем a a m >b m, dobimo a m n > b m n, kar pomeni a m n > b m n in a p > b p.

Preostane nam še dokazilo o zadnji lastnini. Dokažimo, da za racionalna števila p in q velja p > q pri 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 bo res a p > a q .

Racionalni števili p in q lahko skrčimo na skupni imenovalec in dobimo ulomka m 1 n in m 2 n

Tu sta m 1 in m 2 celi števili, n pa naravno število. Če je p > q, potem je m 1 > m 2 (ob upoštevanju pravila za primerjanje ulomkov). Nato ob 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – neenačba a 1 m > a 2 m.

Lahko jih prepišemo na naslednji način:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Nato lahko izvedete transformacije in na koncu dobite:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Če povzamemo: za p > q in 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Osnovne lastnosti potenc z iracionalnimi eksponenti

Na takšno stopnjo lahko razširimo vse zgoraj opisane lastnosti, ki jih ima stopnja z racionalnimi eksponenti. To izhaja iz same njegove definicije, ki smo jo podali v enem od prejšnjih člankov. Na kratko oblikujmo te lastnosti (pogoji: a > 0, b > 0, eksponenta p in q sta iracionalni števili):

Definicija 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b str

4. (a: b) p = a p: b str

5. (a p) q = a p · q

6.a str< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b str

7.a str< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, potem a p > a q.

Tako imajo vse potence, katerih eksponenta p in q sta realna števila, če je a > 0, enake lastnosti.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Kako pomnožiti moči? Katere moči je mogoče množiti in katere ne? Kako pomnožiti število s potenco?

V algebri lahko najdete produkt potenc v dveh primerih:

1) če imajo stopnje enake baze;

2) če imajo stopnje enake kazalnike.

Pri množenju potenc z enakimi osnovami je treba osnovo pustiti enako, eksponente pa dodati:

Pri množenju potenc z enaki indikatorji Splošni kazalnik lahko vzamemo iz oklepaja:

Oglejmo si, kako pomnožimo potence na konkretnih primerih.

Enota ni zapisana v eksponentu, ampak pri množenju potenc upoštevajo:

Pri množenju je lahko poljubno število potenc. Ne smemo pozabiti, da vam pred črko ni treba pisati znaka za množenje:

V izrazih se najprej izvede potenciranje.

Če morate število pomnožiti s potenco, morate najprej izvesti potenciranje in šele nato množenje:

www.algebraclass.ru

Seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje potenc

Seštevanje in odštevanje potenc

Očitno je, da lahko števila s potencami seštevamo kot druge količine , tako da jih dodate enega za drugim z njihovimi znaki.

Torej je vsota a 3 in b 2 a 3 + b 2.
Vsota a 3 - b n in h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

kvote enake moči enakih spremenljivk lahko dodamo ali odštejemo.

Torej je vsota 2a 2 in 3a 2 enaka 5a 2.

Očitno je tudi, da če vzamete dva polja a, ali tri polja a, ali pet polj a.

Ampak stopinje različne spremenljivke in različne stopnje identične spremenljivke, je treba sestaviti tako, da jih seštejemo z njihovimi znaki.

Torej je vsota 2 in 3 vsota 2 + 3.

Očitno je, da kvadrat a in kocka a nista enaka dvakratnemu kvadratu a, ampak dvakratni kubu a.

Vsota a 3 b n in 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Odštevanje potence se izvajajo na enak način kot seštevanje, le da je treba ustrezno spremeniti znake subtrahendov.

ali:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje moči

Števila s potencami lahko množimo tako kot druge količine tako, da jih zapišemo eno za drugo, z ali brez znaka za množenje med njimi.

Tako je rezultat množenja a 3 z b 2 a 3 b 2 ali aaabb.

ali:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat v zadnjem primeru lahko uredite z dodajanjem enakih spremenljivk.
Izraz bo imel obliko: a 5 b 5 y 3.

Če primerjamo več števil (spremenljivk) s potencami, lahko vidimo, da če pomnožimo kateri koli dve od njiju, je rezultat število (spremenljivka) s potenco, ki je enaka znesek stopnje pogojev.

Torej, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tukaj je 5 potenca rezultata množenja, ki je enak 2 + 3, vsoti potenc členov.

Torej, a n .a m = a m+n .

Za a n se a vzame kot faktor tolikokrat, kot je potenca n;

In a m se vzame kot faktor tolikokrat, kolikor je stopinja m enaka;

zato, potence z enakimi osnovami lahko pomnožimo s seštevanjem eksponentov potenc.

Torej, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . In x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ali:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnoži (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnoži (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

To pravilo velja tudi za števila, katerih eksponenti so negativno.

1. Torej, a -2 .a -3 = a -5 . To lahko zapišemo kot (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Če a + b pomnožimo z a - b, bo rezultat a 2 - b 2: to je

Rezultat množenja vsote ali razlike dveh števil je enak vsoti ali razliki njunih kvadratov.

Če pomnožite vsoto in razliko dveh števil, dvignjenih na kvadrat, bo rezultat enak vsoti ali razliki teh števil v četrti stopnje.

Torej, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Delitev stopinj

Števila s potencami lahko delimo tako kot druga števila, tako da jih odštejemo od dividende ali jih postavimo v ulomek.

Tako je a 3 b 2 deljeno z b 2 enako a 3.

Pisanje 5 deljeno s 3 je videti kot $\frac $. Toda to je enako 2 . V nizu številk
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
poljubno število lahko delimo z drugim in eksponent bo enak razlika indikatorji deljivih števil.

Pri delitvi stopinj z enaka osnova njihovi kazalniki se odštejejo..

Torej, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. To je $\frac = y$.

In a n+1:a = a n+1-1 = a n. To je $\frac = a^n$.

ali:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo velja tudi za števila z negativno vrednosti stopinj.
Rezultat deljenja -5 z -3 je -2.
Tudi $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ali $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Zelo dobro je treba obvladati množenje in deljenje potenc, saj se takšne operacije zelo pogosto uporabljajo v algebri.

Primeri reševanja primerov z ulomki, ki vsebujejo števila s potencami

1. Zmanjšaj eksponente za $\frac $ Odgovor: $\frac $.

2. Zmanjšaj eksponente za $\frac$. Odgovor: $\frac$ ali 2x.

3. Eksponenta a 2 /a 3 in a -3 /a -4 zmanjšaj in spravi na skupni imenovalec.
a 2 .a -4 je a -2 prvi števec.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi števec.
a 3 .a -4 je a -1 , skupni števec.
Po poenostavitvi: a -2 /a -1 in 1/a -1 .

4. Eksponenta 2a 4 /5a 3 in 2 /a 4 zmanjšaj in spravi na skupni imenovalec.
Odgovor: 2a 3 /5a 7 in 5a 5 /5a 7 ali 2a 3 /5a 2 in 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 z (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 z (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 s h -3 /x in a n /y -3.

8. Deli a 4 /y 3 s 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

Lastnosti stopnje

Spomnimo vas, da bomo v tej lekciji razumeli lastnosti stopinj z naravnimi indikatorji in ničlo. Potence z racionalnimi eksponenti in njihove lastnosti bomo obravnavali pri pouku za 8. razred.

Diploma z naravnim kazalnikom jih ima več pomembne lastnosti, ki vam omogočajo poenostavitev izračunov v primerih s potencami.

Nepremičnina št. 1
Produkt moči

Pri množenju potenc z enakimi osnovami ostane osnova nespremenjena, eksponenti potenc pa se seštejejo.

a m · a n = a m + n, kjer je "a" poljubno število, "m", "n" pa poljubna naravna števila.

Ta lastnost stopinj velja tudi za produkt treh in več stopinj.

Poenostavite izraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Predstavite ga kot diplomo.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Predstavite ga kot diplomo.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Upoštevajte, da smo v navedeni lastnosti govorili le o množenju potenc z enakimi bazami. Ne velja za njihovo dodajanje.

Vsote (3 3 + 3 2) ne morete zamenjati s 3 5. To je razumljivo, če
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 in 3 5 = 243

Nepremičnina št. 2
Delne stopnje

Pri deljenju potenc z isto osnovo ostane osnova nespremenjena, eksponent delitelja pa se odšteje od eksponenta dividende.

Količnik zapiši kot potenco
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Izračunaj.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Primer. Reši enačbo. Uporabljamo lastnost kvocientnih potenc.
3 8: t = 3 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Z uporabo lastnosti št. 1 in št. 2 lahko preprosto poenostavite izraze in izvedete izračune.

Primer. Poenostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Primer. Poiščite vrednost izraza z uporabo lastnosti eksponentov.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Upoštevajte, da smo v Lastnosti 2 govorili le o delitvi potenc z istimi osnovami.

Razlike (4 3 −4 2) ne morete nadomestiti s 4 1. To je razumljivo, če izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 in 4 1 = 4

Nepremičnina št. 3
Povišanje stopnje na potenco

Pri povišanju stopnje na potenco ostane osnova stopnje nespremenjena, eksponenti pa se pomnožijo.

(a n) m = a n · m, kjer je "a" poljubno število, "m", "n" pa poljubna naravna števila.

Upoštevajte, da se lastnost št. 4, tako kot druge lastnosti stopinj, uporablja tudi v obratnem vrstnem redu.

(a n · b n)= (a · b) n

To pomeni, da lahko pomnožite potence z istimi eksponenti, pomnožite osnove, vendar pustite eksponent nespremenjen.

Primer. Izračunaj.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Primer. Izračunaj.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

V več zapleteni primeri Obstajajo lahko primeri, ko je treba množenje in deljenje izvesti na potencah z različnimi osnovami in različnimi eksponenti. V tem primeru vam svetujemo, da storite naslednje.

Na primer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Primer povišanja decimalke na potenco.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Lastnosti 5
Moč kvocienta (ulomek)

Če želite povečati količnik na potenco, lahko dividendo in delitelj dvignete ločeno na to potenco in prvi rezultat delite z drugim.

(a: b) n = a n: b n, kjer sta "a", "b" poljubna racionalna števila, b ≠ 0, n - poljubno naravno število.

Primer. Izraz predstavi kot količnik potenc.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Spomnimo vas, da je količnik lahko predstavljen kot ulomek. Zato se bomo na naslednji strani podrobneje posvetili temi dviga ulomka na potenco.

Moči in korenine

Operacije s potencami in koreni. Stopnja z negativno ,

nič in ulomek indikator. O izrazih, ki nimajo pomena.

Operacije s stopinjami.

1. Pri množenju potenc z isto osnovo se njihovi eksponenti seštejejo:

a m · a n = a m + n.

2. Pri delitvi stopinj z isto osnovo, njihovih eksponentov se odštejejo .

3. Stopnja zmnožka dveh ali več faktorjev je enaka zmnožku stopenj teh faktorjev.

4. Stopnja razmerja (ulomek) je enaka razmerju stopenj dividende (števec) in delitelja (imenovalec):

(a/b) n = a n / b n.

5. Pri dvigovanju potence na potenco se njihovi eksponenti pomnožijo:

Vse zgornje formule se berejo in izvajajo v obe smeri od leve proti desni in obratno.

PRIMER (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operacije s koreninami. V vseh spodnjih formulah simbol pomeni aritmetični koren (radikalni izraz je pozitiven).

1. Koren produkta več faktorjev enako zmnožku korenine teh dejavnikov:

2. Korenina odnosa enako razmerju koreni dividenda in delitelja:

3. Ko dvignete koren na potenco, je dovolj, da povzdignete na to potenco radikalno število:

4. Če povečate stopnjo korena za m-krat in hkrati dvignete radikalno število na m-to moč, se vrednost korena ne bo spremenila:

5. Če zmanjšate stopnjo korena za m-krat in hkrati izvlečete m-ti koren radikalnega števila, se vrednost korena ne bo spremenila:

Razširitev koncepta diplome. Do sedaj smo upoštevali stopnje le z naravnimi eksponenti; vendar lahko operacije s pooblastili in koreninami vodijo tudi do negativno, nič in ulomek indikatorji. Vsi ti eksponenti zahtevajo dodatno opredelitev.

Stopnja z negativnim eksponentom. Potenco določenega števila z negativnim (celim) eksponentom definiramo kot eno deljeno s potenco istega števila z eksponentom, ki je enak absolutni vrednosti negativnega eksponenta:

Sedaj pa formula a m : a n = a m - n se lahko uporablja ne samo za m, več kot n, ampak tudi z m, manj kot n .

PRIMER a 4: a 7 =a 4 — 7 =a — 3 .

Če želimo formulo a m : a n = a m — n je bilo pošteno, ko m = n, potrebujemo definicijo stopnje nič.

Diploma z ničelnim indeksom. Potenca katerega koli neničelnega števila z eksponentom nič je 1.

PRIMERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stopnja z delnim eksponentom. Da bi zgradili realno število in na moč m / n, morate izvleči n-ti koren m-te moči tega števila a:

O izrazih, ki nimajo pomena. Takih izrazov je več.

kje a ≠ 0 , ne obstaja.

Pravzaprav, če predpostavimo, da x je določeno število, potem imamo v skladu z definicijo operacije deljenja: a = 0· x, tj. a= 0, kar je v nasprotju s pogojem: a ≠ 0

— poljubno število.

Pravzaprav, če predpostavimo, da je ta izraz enak nekemu številu x, potem imamo glede na definicijo operacije deljenja: 0 = 0 · x. Toda ta enakost nastopi, ko poljubno število x, kar je bilo treba dokazati.

0 0 — poljubno število.

Razmislimo o treh glavnih primerih:

1) x = 0 – ta vrednost ne zadošča tej enačbi

2) kdaj x> 0 dobimo: x/x= 1, tj. 1 = 1, kar pomeni

Kaj x– poljubno število; a ob upoštevanju, da v

v našem primeru x> 0, odgovor je x > 0 ;

Pravila za množenje potenc z različnimi bazami

DIPLOMIJA Z RACIONALNIM KAZALNIKOM,

MOČNOSTNA FUNKCIJA IV

§ 69. Množenje in deljenje potence z enakimi osnovami

1. izrek. Za množenje potenc z enakimi osnovami je dovolj, da seštejemo eksponente in pustimo osnovo enako, tj.

Dokaz. Po definiciji stopnje

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Ogledali smo si produkt dveh potenc. Pravzaprav dokazana lastnost velja za poljubno število potenc z enakimi bazami.

2. izrek. Za delitev potenc z enakimi osnovami, ko je indeks dividende večji od indeksa delitelja, je dovolj, da od indeksa dividende odštejemo indeks delitelja, osnovo pa pustimo enako, tj. pri t > str

(a =/= 0)

Dokaz. Spomnimo se, da je količnik deljenja enega števila z drugim število, ki, ko ga pomnožimo z deliteljem, da dividendo. Zato dokažite formulo, kjer je a =/= 0, je enako kot dokazovanje formule

če t > str , nato številko t - str bo naravno; torej po izreku 1

Izrek 2 je dokazan.

Treba je opozoriti, da formula

dokazali smo le ob predpostavki, da t > str . Zato iz tega, kar je bilo dokazano, še ni mogoče potegniti na primer naslednjih zaključkov:

Poleg tega še nismo upoštevali stopinj z negativnimi eksponenti in še ne vemo, kakšen pomen lahko pripišemo izrazu 3 - 2 .

Izrek 3. Če želite stopnjo dvigniti na potenco, je dovolj, da pomnožite eksponente, pri čemer pustite osnovo stopnje enaka, to je

Dokaz. Z uporabo definicije stopnje in izreka 1 tega razdelka dobimo:

Q.E.D.

Na primer, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (ustno) Ugotovi X iz enačb:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Sklop št.) Poenostavite:

520. (Sklop št.) Poenostavite:

521. Te izraze predstavi v obliki stopinj z enakimi osnovami:

1) 32 in 64; 3) 8 5 in 16 3; 5) 4 100 in 32 50;

2) -1000 in 100; 4) -27 in -243; 6) 81 75 8 200 in 3 600 4 150.

Formule stopnje uporablja se v procesu zmanjševanja in poenostavljanja kompleksnih izrazov, pri reševanju enačb in neenačb.

številka c je n-ta potenca števila a kdaj:

Operacije s stopinjami.

1. Z množenjem stopinj z isto osnovo se dodajo njihovi indikatorji:

a m·a n = a m + n .

2. Pri delitvi stopinj z isto osnovo se njihovi eksponenti odštejejo:

3. Stopnja produkta 2 ali več faktorjev je enaka produktu stopenj teh faktorjev:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stopnja ulomka je enaka razmerju stopenj dividende in delitelja:

(a/b) n = a n /b n.

5. Povečanje moči na moč, se eksponenti pomnožijo:

(a m) n = a m n.

Vsaka zgornja formula velja v smeri od leve proti desni in obratno.

Na primer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s koreninami.

1. Koren produkta več faktorjev je enak produktu korenin teh faktorjev:

2. Koren razmerja je enak razmerju dividende in delitelja korenin:

3. Ko dvignete koren na potenco, je dovolj, da dvignete radikalno število na to potenco:

4. Če povečate stopnjo korenine v n enkrat in hkrati vgraditi v n th potenca je radikalno število, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

5. Če zmanjšate stopnjo korenine v n hkrati izvlecite korenino n-ta potenca radikalnega števila, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

Stopnja z negativnim eksponentom. Potenca določenega števila z nepozitivnim (celim) eksponentom je definirana kot ena, deljena s potenco istega števila z eksponentom, ki je enak absolutni vrednosti nepozitivnega eksponenta:

Formula a m:a n =a m - n se lahko uporablja ne samo za m> n, ampak tudi z m< n.

Na primer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulo a m:a n =a m - n postalo pošteno, ko m=n, je potrebna prisotnost ničelne stopnje.

Diploma z ničelnim indeksom. Potenca katerega koli števila, ki ni enako nič z eksponentom nič, je enaka ena.

Na primer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopnja z delnim eksponentom. Zvišati realno številko A do stopnje m/n, morate izvleči koren n th stopnjo m-ta potenca tega števila A.

Če morate določeno število dvigniti na potenco, lahko uporabite . Zdaj si bomo podrobneje ogledali lastnosti stopinj.

Eksponentna števila odpirajo velike možnosti, omogočajo nam, da množenje pretvorimo v seštevanje, seštevanje pa je veliko lažje kot množenje.

Na primer, 16 moramo pomnožiti s 64. Produkt množenja teh dveh števil je 1024. Toda 16 je 4x4, 64 pa 4x4x4. To je 16 x 64 = 4x4x4x4x4, kar je prav tako enako 1024.

Število 16 lahko predstavimo tudi kot 2x2x2x2, 64 pa kot 2x2x2x2x2x2 in če pomnožimo, spet dobimo 1024.

Zdaj pa uporabimo pravilo. 16=4 2 ali 2 4, 64=4 3 ali 2 6, hkrati 1024=6 4 =4 5 ali 2 10.

Zato lahko naš problem zapišemo drugače: 4 2 x4 3 =4 5 ali 2 4 x2 6 =2 10 in vsakič dobimo 1024.

Rešimo lahko številne podobne primere in vidimo, da se množenje števil s potencami zmanjša na dodajanje eksponentov ali eksponentno, seveda pod pogojem, da so baze faktorjev enake.

Tako lahko brez množenja takoj rečemo, da je 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

To pravilo velja tudi pri deljenju števil s potencami, vendar v tem primeru eksponent delitelja se odšteje od eksponenta dividende. Tako je 2 5:2 3 = 2 2, kar je v navadnih številih enako 32 : 8 = 4, torej 2 2. Naj povzamemo:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, kjer sta m in n celi števili.

Na prvi pogled se morda zdi, da je to množenje in deljenje števil s potencami ni zelo priročno, ker morate najprej številko predstaviti v eksponentni obliki. Števil 8 in 16, torej 2 3 in 2 4, ni težko predstaviti v tej obliki, ampak kako to storiti s števili 7 in 17? Ali kaj storiti v primerih, ko je število mogoče predstaviti v eksponentni obliki, vendar so osnove za eksponentne izraze števil zelo različne. Na primer, 8x9 je 2 3 x 3 2, v tem primeru ne moremo sešteti eksponentov. Niti 2 5 niti 3 5 ni odgovor, niti odgovor ne leži v intervalu med tema dvema številoma.

Ali se potem sploh splača ukvarjati s to metodo? Vsekakor vredno. Zagotavlja ogromne prednosti, zlasti pri zapletenih in dolgotrajnih izračunih.