Kupil sem splošni zvezek z obsegom 96 listov. Naloge za šolsko stopnjo vseruske olimpijade za šolarje iz matematike. Želimo vam uspeh

Oddelki: Matematika

Spoštovani udeleženec olimpijade!

Šolska matematična olimpijada poteka v enem krogu.
Na voljo je 5 nalog različnih težavnostnih stopenj.
Pred vami niso postavljene posebne zahteve glede izvedbe del. Oblika predstavitve rešitev problemov, pa tudi metode reševanja, so lahko poljubne. Če imate posamezne misli o določeni nalogi, vendar ne morete dokončati rešitve, ne oklevajte in izrazite vse svoje misli. Tudi delno rešene naloge bodo ocenjene z ustreznim številom točk.
Začnite reševati probleme, za katere mislite, da so lažji, nato pa nadaljujte z ostalimi. Tako boste prihranili delovni čas.

Želimo vam uspeh!

Šolski oder Vse-ruska olimpijadašolarji pri matematiki

5. razred.

Naloga 1. V izrazu 1*2*3*4*5 zamenjajte »*« z znaki dejanja in postavite oklepaje takole. Če želite dobiti izraz, katerega vrednost je 100.

Naloga 2. Potrebno je dešifrirati zapis aritmetične enakosti, v kateri so številke nadomeščene s črkami, različne številke pa zamenjane z različnimi črkami, enak - enak.

PET - TRI = DVA Znano je, da namesto slov A morate zamenjati številko 2.

Naloga 3. Kako lahko s skodelico tehtnice brez uteži razdeliš 80 kg žebljev na dva dela - 15 kg in 65 kg?

Naloga 4. Figuro, prikazano na sliki, razrežite na dva enaka dela, tako da ima vsak del eno zvezdico. Režete lahko le vzdolž mrežnih črt.

Naloga 5. Skodelica in krožniček skupaj staneta 25 rubljev, 4 skodelice in 3 krožnički pa 88 rubljev. Poiščite ceno skodelice in ceno krožnika.

6. razred.

Naloga 1. Primerjajte ulomke, ne da bi jih reducirali na skupni imenovalec.

Naloga 2. Potrebno je dešifrirati zapis aritmetične enakosti, v kateri so številke nadomeščene s črkami, različne številke pa z različnimi črkami, enake številke pa z enakimi. Predpostavlja se, da je prvotna enakost resnična in zapisana po običajnih aritmetičnih pravilih.

DELO
+BOJA
SREČA

Naloga 3. Trije prijatelji so prišli v poletni tabor, da bi se sprostili: Miša, Volodja in Petja. Znano je, da ima vsak od njih enega od naslednjih priimkov: Ivanov, Semenov, Gerasimov. Miša ni Gerasimov. Volodjin oče je inženir. Volodja je v 6. razredu. Gerasimov študira v 5. razredu. Ivanov oče je učitelj. Kakšen je priimek vsakega od treh prijateljev?

Naloga 4. Lik vzdolž mrežnih črt razdeli na štiri enake dele, tako da vsak del vsebuje eno točko.

Naloga 5. Poskočni kačji pastir je spal polovico časa vsakega dne rdečega poletja, plesal tretjino časa vsakega dne in šestino časa pel. Odločila se je, da bo preostali čas posvetila pripravi na zimo. Koliko ur na dan se je Dragonfly pripravljal na zimo?

7. razred.

Naloga 1. Rešite uganko, če veste, da je največja številka v številu MOČNO 5:

ODLOČITE SE
ČE
MOČNO

Naloga 2. Rešite enačbo│7 - x│ = 9,3

Naloga 3. Po sedmih pranjih se je dolžina, širina in debelina mila prepolovila. Za koliko pranj bo ostalo milo?

Naloga 4 . Pravokotnik 4 × 9 celic razdelite vzdolž stranic celic na dva enaka dela, tako da lahko nato iz njih sestavite kvadrat.

Naloga 5. Leseno kocko smo z vseh strani pobarvali z belo barvo in jo nato razžagali na 64 enakih kock. S koliko kockami smo pobarvali tri strani? Na obeh straneh?
Na eni strani? Koliko kock ni pobarvanih?

8. razred.

Naloga 1. S katerima dvema števkama se konča število 13?

Naloga 2. Zmanjšaj ulomek:

Naloga 3. Šolski dramski krožek se pripravlja na uprizoritev odlomka iz pravljice A.S. Puškina o carju Saltanu, odločila razdeliti vloge med udeležence.
"Jaz bom Černomor," je rekel Yura.
"Ne, jaz bom Černomor," je rekel Kolya.
"V redu," mu je priznal Yura, "lahko igram Guidona."
"No, lahko postanem Saltan," je tudi Kolya pokazal skladnost.
- Strinjam se, da bom samo Guidon! - je rekla Misha.
Želja fantov je bila zadovoljena. Kako so bile vloge razdeljene?

Naloga 4. IN enakokraki trikotnik ABC z osnovo AB = 8m, narisana je mediana AD. Obseg trikotnika ACD je za 2m večji od obsega trikotnika ABD. Poiščite AC.

Naloga 5. Nikolaj je kupil splošni zvezek s 96 listi in strani oštevilčil od 1 do 192. Nečak Artur je iz tega zvezka iztrgal 35 listov in seštel vseh 70 številk, ki so bile napisane na njih. Bi mu leta 2010 lahko uspelo?

9. razred.

Naloga 1. Poiščite zadnjo številko 1989 1989.

Naloga 2. Vsota korenin nekaterih kvadratna enačba je 1, vsota njunih kvadratov pa 2. Kolikšna je vsota njunih kubov?

Naloga 3. S pomočjo treh median m a, m b in m c ∆ ABC poišči dolžino stranice AC = b.

Naloga 4. Zmanjšajte delež .

Naloga 5. Na koliko načinov lahko izberete samoglasnik in soglasnik v besedi »kamzol«?

10. razred.

Naloga 1. Trenutno obstajajo kovanci za 1, 2, 5, 10 rubljev. Navedite vse vsote denarja, ki jih je mogoče plačati s sodim in lihim številom kovancev.

Naloga 2. Dokažite, da je 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 deljivo s 6.

Naloga 3. V štirikotniku ABCD diagonale se sekajo v točki M. Znano je, da AM = 1,
VM = 2, SM = 4. Pri kakšnih vrednostih DMštirikotnik ABCD ali je trapez?

Naloga 4. Rešite sistem enačb

Naloga 5. Tridesetim šolarjem - desetošolcem in enajstošolcem - se je rokovalo. Izkazalo se je, da se je vsak desetošolec rokoval z osmimi enajstošolci, vsak enajstošolec pa s sedmimi desetošolci. Koliko je bilo desetošolcev in koliko enajstošolcev?

To delo je Petya kupil splošni zvezek z obsegom 96 listov in oštevilčil vse njegove strani po vrstnem redu s številkami od 1 do 192. Vasya je iztrgal (Test) na temo (ACD in finančna analiza), dokončan je bil po individualnem naročilu strokovnjaki našega podjetja in ga opravili uspešna obramba. Delo - Petya je kupil splošni zvezek z obsegom 96 listov in oštevilčil vse njegove strani po vrstnem redu s številkami od 1 do 192. Vasya je iztrgal ACD na to temo in finančna analiza odraža njeno temo in logično komponento njenega razkritja, Razkrito je bistvo obravnavanega vprašanja, poudarjene so glavne določbe in vodilne ideje te teme.
Delo - Petya je kupil splošni zvezek z obsegom 96 listov in oštevilčil vse njegove strani po vrstnem redu s številkami od 1 do 192. Vasya ga je iztrgal, vsebuje: tabele, risbe, najnovejše literarni viri, leto oddaje in zagovora dela - 2017. V delu je Petya kupil splošni zvezek z obsegom 96 listov in oštevilčil vse njegove strani po vrstnem redu s številkami od 1 do 192. Vasya je izvlekel (AHD in finančna analiza) razkriva relevantnost raziskovalne teme, odraža stopnjo razvitosti problema, ki temelji na poglobljeni oceni in analizi znanstvenih in metodološka literatura, v delu na temo ACD in finančne analize so predmet analize in njegova vprašanja celovito obravnavana, tako s teoretične kot praktične strani, oblikovani so cilj in posebne naloge obravnavane teme, obstaja logika predstavitev snovi in ​​njeno zaporedje.

Problem 16:

Ali je mogoče zamenjati 25 rubljev z desetimi bankovci v apoenih po 1, 3 in 5 rubljev? rešitev:

Odgovor: Ne

Problem 17:

Petya je kupil splošni zvezek z obsegom 96 listov in vse njegove strani oštevilčil po vrstnem redu s številkami od 1 do 192. Vasya je iz tega zvezka iztrgal 25 listov in seštel vseh 50 številk, ki so bile napisane na njih. Bi mu leta 1990 lahko uspelo? rešitev:

Na vsakem listu je vsota številk strani liha, vsota 25 lihih številk pa je liha.

Problem 18:

Zmnožek 22 celih števil je 1. Dokaži, da njihova vsota ni nič. rešitev:

Med temi številkami - sodo število“minus enice”, in da bi bila vsota enaka nič, jih mora biti točno 11.

Problem 19:

Ali je mogoče sestaviti magični kvadrat iz prvih 36 praštevil? rešitev:

Med temi številkami je eno (2) sodo, ostala pa so liha. Zato je v vrstici, kjer je dvojka, vsota števil liha, v drugih pa soda.

Problem 20:

Številke od 1 do 10 so zapisane v vrsti. Ali je mogoče med njimi postaviti znaka »+« in »-«, da bo vrednost dobljenega izraza enaka nič?

Opomba: Upoštevajte to negativna števila so tudi sodi in lihi. rešitev:

Pravzaprav je vsota števil od 1 do 10 55 in s spremembo predznakov v njej spremenimo celoten izraz v sodo število.

Problem 21:

Kobilica skoči v ravni liniji in prvič je skočil 1 cm v neko smer, drugič - 2 cm in tako naprej. Dokaži, da po 1985 skokih ne more končati tam, kjer je začel. rešitev:

Opomba: Vsota 1 + 2 + … + 1985 je liha.

Problem 22:

Številke 1, 2, 3, ..., 1984, 1985 so napisane na tabli. S table lahko izbrišete poljubni števili in namesto tega zapišete modul njune razlike. Na koncu bo na tabli ostala samo ena številka. Ali je lahko nič? rešitev:

Preverite, da zgornje operacije ne spremenijo paritete vsote vseh števil, zapisanih na tabli.

Problem 23:

Ali je mogoče šahovnico prekriti z domino 1 × 2 tako, da ostaneta prosti le polji a1 in h8? rešitev:

Vsaka domina pokriva eno črno in eno belo polje, pri zavrženju polji a1 in h8 pa ostane 2 črni polji manj kot belih.

Problem 24:

17-mestnemu številu smo dodali število, zapisano z istimi števkami, vendar v obratnem vrstnem redu. Dokaži, da je vsaj ena cifra dobljene vsote soda. rešitev:

Razmislite o dveh primerih: vsota prve in zadnje števke števila je manjša od 10, vsota prve in zadnje števke števila pa ni manjša od 10. Če predpostavimo, da so vse števke vsote lihe, potem v prvem primeru v številkah ne bi smelo biti niti enega prenosa (kar je očitno , vodi v protislovje), v drugem primeru pa se prisotnost prenosa pri premikanju z desne proti levi ali od leve proti desni izmenjuje z odsotnostjo prenosa in kot rezultat dobimo, da je številka vsote v devetem mestu nujno soda.

Problem 25:

V ljudski četi je 100 ljudi, vsak večer pa so trije na dolžnosti. Ali se lahko čez nekaj časa izkaže, da je bil vsak z vsakim v službi točno enkrat? rešitev:

Ker na vsaki dolžnosti, pri kateri sodeluje ta oseba, on je v službi s še dvema, potem se lahko vsi ostali razdelijo v pare. Vendar je 99 liho število.

Problem 26:

Na premici je 45 točk, ki ležijo zunaj odseka AB. Dokaži, da vsota razdalj od teh točk do točke A ni enaka vsoti razdalj od teh točk do točke B. rešitev:

Za vsako točko X, ki leži zunaj AB, velja AX - BX = ± AB. Če predpostavimo, da sta vsoti razdalj enaki, dobimo, da je izraz ± AB ± AB ± … ± AB, ki vsebuje 45 členov, enak nič. Ampak to je nemogoče.

Problem 27:

V krogu je 9 števil - 4 enice in 5 ničel. Vsako sekundo se nad števili izvede naslednja operacija: med sosednji števili se postavi ničla, če sta različna, in enota, če sta enaka; po tem se stare številke izbrišejo. Ali lahko vse številke čez nekaj časa postanejo enake? rešitev:

Jasno je, da kombinacije devetih enic ni mogoče dobiti pred devetimi ničlami. Če je bilo ničel devet, so se morale na prejšnji potezi izmenjevati ničle in enice, kar je nemogoče, saj jih je samo liho število.

Problem 28:

Za okroglo mizo sedi 25 fantov in 25 deklet. Dokaži, da imajo nekateri ljudje, ki sedijo za mizo, oba fanta za soseda. rešitev:

Izvedimo naš dokaz s protislovjem. Oštevilčimo vse, ki sedijo za mizo, po vrsti, začenši od nekega mesta. Če je vklopljen k-to mesto sedi fant, potem je razvidno, da dekleta sedijo na (k - 2) in (k + 2) mestu. Ker pa je enako število fantov in deklet, potem za vsako deklico, ki sedi na n-tem mestu, velja, da fantje sedijo na (n - 2) in (n + 2) mestu. Če zdaj upoštevamo samo tistih 25 ljudi, ki sedijo na »enakih« mestih, ugotovimo, da se med njimi izmenjujejo fantje in dekleta, če gremo okrog mize v neko smer. Toda 25 je liho število.

Problem 29:

Polž se plazi po letalu s konstantno hitrostjo in se vsakih 15 minut obrne pod pravim kotom. Dokaži, da se lahko vrne na izhodišče šele po celem številu ur. rešitev:

Jasno je, da je število a področij, v katerih se je polž plazil gor ali dol, enako številu področij, v katerih se je plazil v desno ali levo. Opaziti je treba le, da je a sodo.

Problem 30:

Tri kobilice igrajo skok na ravni liniji. Vsakič eden od njiju skoči čez drugega (vendar ne oba hkrati!). Ali lahko po skoku leta 1991 končajo na istih mestih? rešitev:

Kobilice označimo z A, B in C. Razporeditev kobilic ABC, BCA in CAB (od leve proti desni) imenujemo pravilna, ACB, BAC in CBA pa napačna. Preprosto je videti, da se s katerim koli skokom vrsta razporeditve spremeni.

Problem 31:

Gre za 101 kovanec, od tega je 50 ponarejenih, ki se po teži razlikujejo od pravih za 1 gram. Petya je vzel en kovanec in pri enem tehtanju na tehtnici s puščico, ki kaže razliko v težah na skodelicah, želi ugotoviti, ali je ponarejen. Mu bo to uspelo? rešitev:

Ta kovanec morate odložiti, nato pa preostalih 100 kovancev razdeliti na dva kupa po 50 kovancev in primerjati težo teh kupčkov. Če se razlikujejo za sodo število gramov, potem je kovanec, ki nas zanima, pravi. Če je razlika v teži neparna, je kovanec ponarejen.

Problem 32:

Ali je možno števila od 1 do 9 zapisati enkrat zaporedoma tako, da bo med ena in dve, dve in tri, ..., osem in devet liho število števk? rešitev:

V nasprotnem primeru bi bila vsa števila v vrsti na mestih iste paritete.