V teoriji zanesljivosti se najpogosteje uporabljajo naslednji zakoni porazdelitve naključnih spremenljivk: f(t):

Za diskretne naključne spremenljivke - binomski zakon; Poissonov zakon;

Za zvezne naključne spremenljivke - eksponentni zakon; običajno pravo; gama porazdelitev; Weibullov zakon; x 2 - distribucija; log-normalna porazdelitev.

Binomski zakon porazdelitev števila n pojavov dogodka A V m neodvisni poskusi (testi). Če je verjetnost nastanka dogodka A v enem testu je enako str, verjetnost, da se dogodek ne zgodi A enako q= 1– str; število neodvisnih poskusov je m, potem bo verjetnost pojava n dogodkov v poskusih:

kje: - število kombinacij m Avtor: n.

1) število dogodkov n- pozitivno celo število;

2) matematično pričakovanje števila dogodkov je mp;

3) standardni odklon števila dogodkov:

Ko se število poskusov poveča, se binomska porazdelitev približuje

na normalno s povprečno vrednostjo n/m in varianco str(1– str) / m.

Poissonov zakon- porazdelitev številk naključnega dogodka n i v času τ . Verjetnost, da se zgodi naključni dogodek n občasno τ :

kjer je: λ intenzivnost naključnega dogodka.

Lastnosti porazdelitve so naslednje:

1) matematično pričakovanje števila dogodkov skozi čas τ enako λτ;

2) standardni odklon števila dogodkov:

Značilna lastnost Poissonove porazdelitve je enakost matematičnega pričakovanja in variance. Ta lastnost se uporablja za preverjanje stopnje ujemanja proučevane (eksperimentalne) porazdelitve s Poissonovo porazdelitvijo.

Poissonovo porazdelitev dobimo iz binomske porazdelitve, če število poskusov m neomejeno narašča in pričakovano število dogodkov a= λτ ostane konstanten.

Potem verjetnost binomska porazdelitev za vsako n, enako 0, 1, 2, ..., teži k meji:

Poissonov zakon se uporablja, ko je treba določiti verjetnost, da se bo v izdelku v določenem času zgodila ena, dve, tri itd. okvara.

Eksponentni (eksponentni) zakon porazdelitev naključne spremenljivke X(Sl. 4.3.3, a) je v splošnem primeru zapisan na naslednji način:

p(x) = exp(–λ x),

kje: p(x) - verjetnost, da naključna spremenljivka X pomembnejše x; vrednosti e–x so podani v Dodatku 1.

V posebnem primeru, ko je čas delovanja objekta vzet kot naključna spremenljivka t, verjetnost, da izdelek skozi čas t bo v delovnem stanju, enako exp(–λ t):

p(t) = exp(–λ t), (4.3.4)

kjer je: λ - stopnja napak objekta za eksponentno porazdelitev

(je konstanten), tj. λ= const.

Izraz (4.3.4) lahko dobimo neposredno iz (4.3.3), če je število napak n vzemite enako 0.

Verjetnost neuspeha skozi čas t iz (4.3.4):

Q(t) = 1– p(t) = 1– exp(–λ t). (4.3.5)

Povprečni čas delovanja pred pojavom okvare:

Razpršenost časa delovanja pred pojavom okvare:

RMS čas delovanja:

σ( t) =T 1 . (4.3.9)

Enakost standardnega odklona povprečnemu času delovanja je značilna lastnost eksponentne porazdelitve.

Statistični materiali o okvarah elementov kažejo, da je v bistvu njihov čas delovanja podrejen eksponentnemu zakonu porazdelitve. Pogoj za nastanek eksponentnega zakona porazdelitve časa do odpovedi je konstantnost stopnje odpovedi, ki je značilna za nenadne odpovedi v časovnem intervalu, ko se konča utekanje objekta, in doba obrabe. in staranje se še ni začelo, torej za normalne pogoje delovanja. Stopnja napak pri kompleksnih objektih postane konstantna, če jih povzročijo napake veliko število komponente.

Čas nastanka primarnih okvar se lahko nahaja na časovni osi, tako da se skupni tok odpovedi kompleksnega izdelka približa najenostavnejšemu, to je s konstantno stopnjo odpovedi.

Te okoliščine, kot tudi dejstvo, da predpostavka eksponentne porazdelitve bistveno poenostavi izračune zanesljivosti, pojasnjujejo široko uporabo eksponentnega zakona v inženirski praksi.

Porazdelitev gama naključna spremenljivka (slika 4.3.3, b). Če pride do okvare naprave, ko vsaj k odpovedi njenih elementov, odpovedi elementov pa so predmet eksponentnega zakona s parametri λ 0, gostota verjetnosti odpovedi naprave:

kjer je: λ 0 - začetna stopnja napak elementov naprave, katerih napaka je posledica okvare k elementi.

Ta porazdelitev je odvisna od časa delovanja redundantnih naprav. Enakost (4.3.9) dobimo iz (4.3.3).

Verjetnost k ali več okvar, tj. verjetnost okvare dane naprave:

Gostota verjetnosti okvare naprave skozi čas t:

Povprečni čas delovanja naprave pred odpovedjo:

Stopnja napak naprave:

Verjetnost brezhibnega stanja naprave:

pri k= 1 γ-porazdelitev sovpada z eksponentno porazdelitvijo. Ko k narašča, se bo γ-porazdelitev približala simetrični porazdelitvi, stopnja napak pa bo imela vse bolj izrazit značaj naraščajoče funkcije časa.

Weibullova porazdelitev. V primeru, ko tok okvar ni stacionaren, tj., ko se gostota toka spreminja skozi čas, ima porazdelitvena funkcija časa do odpovedi obliko, prikazano na sliki 1. 4.3.3, c.

Gostota verjetnosti napake te porazdelitve je:

t:

Stopnja napak:

V (4.3.15)-(4.3.17) sta α in λ 0 parametra porazdelitvenega zakona. Parameter λ 0 določa merilo, ko se spreminja, se krivulja porazdelitve krči ali razteza. Za α = 1 funkcija Weibullove porazdelitve sovpada z eksponentno porazdelitvijo; pri α< 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; при α >1-monotono narašča. Ta okoliščina omogoča izbiro najprimernejših parametrov α in λ 0 za eksperimentalne podatke, tako da se enačba porazdelitvene funkcije najbolje ujema z eksperimentalnimi podatki. Weibullova porazdelitev se pojavi pri okvarah, ki nastanejo zaradi utrujenosti telesa dela ali površinskih plasti (ležaji, zobniki). Ta primer je povezan z razvojem utrujenostne razpoke na območju lokalne koncentracije napetosti, tehnološke napake ali začetne poškodbe. Za čas pred nastankom mikrorazpoke so značilni znaki nenadne odpovedi, za proces uničenja pa znaki obrabne odpovedi.

Ta zakon se uporablja za okvare naprave, sestavljene iz podvojenih zaporedno povezanih elementov, in druge podobne primere.

Ta porazdelitev se včasih uporablja za opis zanesljivosti kotalnih ležajev (α = 1,4-1,7).

Povprečni čas do prve okvare je določen z naslednjim izrazom:

Vrednosti Γ (gama funkcija) so prikazane v tabeli (Dodatek 2).

Normalna porazdelitev(Sl. 4.3.3, d) naključna spremenljivka X se pojavi kadarkoli X odvisno od velikega števila naključnih dejavnikov, ki so homogeni po svojem vplivu, vpliv vsakega od teh dejavnikov pa je nepomemben v primerjavi s celoto vseh ostalih. Ta pogoj je značilen za čas nastanka okvare zaradi staranja, tj. ta zakon se uporablja za oceno zanesljivosti izdelkov ob postopnih okvarah (obrabi).

Gostota verjetnosti okvare:

kje: T- povprečni čas do okvare;

σ - srednji kvadratni (standardni) odklon časa brezhibnega delovanja.

Verjetnost časa okvare t:

Vrednost porazdelitvene funkcije je določena s formulo:

F(t) = 0,5 + Φ( u) =Q(t); u= (t−T) / σ.

(4.3.21) t:

p(t) = 1 −Q(t) = 1 − = 0,5 −Verjetnost, da čez čas ne pride do napake(u). (4.3.22)

F F(t Vrednote

) tabelarično (priloga 3). t Graf λ( T) je prikazano na sl. 4.3.3, d. Stopnja napak se monotono poveča

se začne približevati asimptoti:= (t−T l

) / σ. t(4.3.23)

Monotono povečanje stopnje napak skozi čas je značilna lastnost normalne porazdelitve. Normalna porazdelitev se bistveno razlikuje od eksponentne porazdelitve. Začetek odštevanja v (4.3.20) je začetek delovanja predmeta, to je trenutek, ko se začne proces obrabe in staranja, izhodišče v (4.3.4) pa je trenutek v času, ko se ugotovi, da je izdelek v dobrem delovnem stanju (ta trenutek se lahko nahaja na kateri koli točki časovne osi). Okrnjeno

normalna porazdelitev (Sl. 4.3.3, d). Ker lahko pri normalni porazdelitvi naključna spremenljivka sprejme katero koli vrednost od −∞ do +∞ in je čas brez napake lahko samo pozitiven, je treba upoštevati okrnjeno normalno porazdelitev z gostoto verjetnosti napake: Normalizacijski faktor

(Sl. 4.3.3, d). Ker lahko pri normalni porazdelitvi naključna spremenljivka sprejme katero koli vrednost od −∞ do +∞ in je čas brez napake lahko samo pozitiven, je treba upoštevati okrnjeno normalno porazdelitev z gostoto verjetnosti napake:= 1 / F(T c

določeno iz izraza:

1 / σ) = 1 / , (4.3.26)

tabelirano (Dodatek 4) kumulativno funkcijo normalne porazdelitve;

normalizirana Laplaceova funkcija. T Potem bo (4.3.24) zapisano takole:

pri T Povprečni čas do okvare pri okrnjeni porazdelitvi in ​​parametru (Sl. 4.3.3, d). Ker lahko pri normalni porazdelitvi naključna spremenljivka sprejme katero koli vrednost od −∞ do +∞ in je čas brez napake lahko samo pozitiven, je treba upoštevati okrnjeno normalno porazdelitev z gostoto verjetnosti napake: 1 neprisekana normalna porazdelitev je povezana z:

/ σ ≥ 2, ki se pojavi v veliki večini primerov pri ocenjevanju zanesljivosti naprav z normalno porazdeljenimi okvarami, koeficient

malo razlikuje od enote in okrnjena normalna porazdelitev je precej natančno približana z običajnim normalnim zakonom. Verjetnost brezhibnega delovanja je določena z izrazom:

Rayleijeva porazdelitev x(Sl. 4.3.3, f) - zvezna porazdelitev verjetnosti z gostoto:

odvisno od parametra lestvice σ > 0. Porazdelitev ima pozitivno asimetrijo, njen edini način se nahaja v točki

= σ. Vsi momenti Rayleighove porazdelitve so končni.

Tako kot Weibullova ali γ porazdelitev je tudi Rayleighova porazdelitev primerna za opis obnašanja nošenja ali staranja izdelkov.

Stopnja napake (funkcija gostote verjetnosti napake) je določena z:

λ( t) = t Verjetnost brezhibnega delovanja se izračuna iz izraza:

Stopnja napak se ugotovi iz:

/ σ 2. (4.3.35) Določanje zakona porazdelitve okvar je zelo pomembno pri študijah in ocenah zanesljivosti. Opredelitev p(t) na podlagi istih začetnih informacij o T, vendar pod različnimi predpostavkami o distribucijskem zakonu lahko vodi do bistveno različnih rezultatov.

Zakon porazdelitve okvar je mogoče določiti iz eksperimentalnih podatkov, vendar to zahteva izvedbo velikega števila poskusov pod enakimi pogoji. V praksi je te pogoje običajno težko doseči. Poleg tega takšna rešitev vsebuje funkcije pasivne registracije dogodkov.

Hkrati v mnogih primerih med delovanjem odpove le majhen delež prvotnih naprav. Dobljeni statistični podatki ustrezajo začetnemu (levemu) delu eksperimentalne porazdelitve.

Bolj racionalno je preučevanje pogojev in fizičnih procesov, pod katerimi pride do te ali one porazdelitve. Hkrati so sestavljeni modeli nastanka okvar in ustrezni zakoni porazdelitve časa pred pojavom napake, kar omogoča razumne predpostavke o zakonu porazdelitve.

Eksperimentalni podatki naj služijo kot sredstvo za preverjanje veljavnosti napovedi in ne kot edini vir podatkov o zakonu porazdelitve. Ta pristop je potreben za oceno zanesljivosti novih izdelkov, za katere je statistični material zelo omejen.

Vprašanje 16. Weibullov porazdelitveni zakon

Weibullov zakon porazdelitve je eden najpogostejših v teoriji zanesljivosti. Temu zakonu sledita življenjska doba izdelkov proti utrujenosti in čas do okvare izdelkov, ki jih ni mogoče popraviti. Z uporabo Weibullove porazdelitve lahko opišete različne vzroke neuspeha: utrujenost, nenadna, postopna. Za okvare menjalnikov, vitlov, vrtinjskih motorjev in traktorjev velja Weibullov porazdelitveni zakon.

Stopnja napak izdelka ali gostota verjetnosti časa delovanja izdelka brez napak

Stopnja napak

MTBF

kjer so a, k parametri Weibullovega porazdelitvenega zakona;

Г(x) je gama funkcija, katere vrednosti so podane v tabelah.

Pri k = 1 postane Weibullova porazdelitev eksponentna;

Ko je k = 2,5-3,5, je Weibullova porazdelitev blizu normalne.

Vprašanje 17. Eksponentni (eksponentni) zakon porazdelitve

Eksponentni zakon porazdelitve je poseben primer Weibullovega zakona porazdelitve (k=1). Velja za izdelke, ki so bili predhodno utečeni. Ta porazdelitev se uporablja tudi pri analizi nenadnih okvar črpalk za blato in rudarskih strojev.

Verjetnost brezhibnega delovanja izdelka v časovnem intervalu od 0 do t

Verjetnost okvare izdelka v časovnem intervalu od 0 do t

Diferencialna funkcija ali verjetnostna gostota eksponentne porazdelitve

Stopnja napak

Pričakovanje eksponentne porazdelitve

Ta porazdelitev se najpogosteje uporablja za preučevanje stopenj napak za obdobja utekanja in staranja.

Zanesljivost najpogostejših elementov električnih omrežij, kot so energetski transformatorji, kabelski vodi, je v veliki meri odvisna od zanesljivosti izolacije, katere "moč" se med delovanjem spreminja. Trdnost izolacije, odvisno od delovnih pogojev in vrste izdelka, je določena z mehansko trdnostjo, elastičnostjo, ki izključuje možnost nastanka preostalih deformacij, razpok, razslojev pod vplivom mehanskih obremenitev, to je nehomogenosti.

Homogenost in trdnost izolacijske strukture ter njena visoka toplotna prevodnost onemogočajo pojav povečanega lokalnega segrevanja, kar neizogibno vodi v povečanje stopnje nehomogenosti električne trdnosti. Uničenje izolacije med delovanjem elementa se pojavi predvsem zaradi segrevanja z obremenitvenimi tokovi in ​​temperaturnimi učinki zunanjega okolja. Mehanske obremenitve (tresljaji, deformacije, udarci itd.) vodijo tudi do uničenja izolacije.

Med naštetimi dejavniki, ki določajo življenjsko dobo izolacije določenih elementov električnih omrežij, je eden glavnih dejavnikov toplotno staranje. Na podlagi eksperimentalne raziskave pridobljeno je znano pravilo »osem stopinj«, po katerem povišanje temperature izolacije na organski osnovi za vsakih osem stopinj v povprečju zmanjša življenjsko dobo izolacije za polovico. Trenutno se glede na razred uporabljene izolacije uporabljajo šest-, osem-, deset- in dvanajststopenjska pravila.

Življenjska doba izolacije glede na temperaturo ogrevanja:

T in = A e-γς, (5,43)

kje A -življenjska doba izolacije pri ς = 0 - neka pogojna vrednost;

γ- koeficient, ki označuje stopnjo staranja izolacije glede na razred;

ς - temperatura pregrevanja izolacije.

Drug pomemben dejavnik, ki povzroča intenzivno staranje izolacije, so električni procesi med nenadne spremembe tok, na primer med močno spremenljivo obremenitvijo močnostnega transformatorja, sunki in padci obremenitve, skozi tokove kratkega stika. Mehanske lastnosti izolacijska trdnost je odvisna tudi od temperature. Mehanska trdnost izolacije se s segrevanjem hitro zmanjša, hkrati pa postane bolj elastična.

Ko je izpostavljen spremenljivkam neugodne razmere povečajo se nehomogenosti materiala, na primer mikrorazpoka se razširi globoko v izolacijo in ob nenamernem povečanju napetosti lahko povzroči preboj izolacije. Vzrok okvare je lahko že majhna heterogenost materiala.

Število neugodnih vplivov (toplotnih ali elektromehanskih), ki povzročijo razpad izolacije, je funkcija, ki pada glede na velikost nehomogenosti. To število je minimalno za največje nehomogenosti (razpoke, razslojevanje itd.). Tako mora število škodljivih vplivov ali življenjska doba izolacije upoštevati zakon porazdelitve najmanjšega števila neodvisnih SV - števila škodljivih vplivov, ki ustrezajo nehomogenostim različnih velikosti, tj. če je Ti brezhibno delovanje čas celotne izolacije in Tii - čas delovanja brez napak i-tega odseka (i = 1, 2,..., n), potem:

T u = min ( T u1, T u2,…, T in n). (5,44)

Tako je za določitev zakona porazdelitve časa brezhibnega delovanja takega predmeta, kot je izolacija elementa električno omrežje, je treba najti verjetnost porazdelitve minimalnih brezhibnih obratovalnih časov nabora vseh odsekov. Poleg tega je največ zanimanja v primeru, ko so zakoni porazdelitve časa delovanja posameznih odsekov poljubni, oblika porazdelitvenih zakonov pa je enaka, torej ni jasno določenih različnih odsekov.

Kar zadeva zanesljivost, odseki takega sistema ustrezajo serijski povezavi. Zato je porazdelitvena funkcija časa brezhibnega delovanja takega sistema:

q c (t) = 1 – n. (5,45)

Nato se z matematičnimi transformacijami izpelje formula, v kateri je glavni parameter "prag občutljivosti", kar pomeni, da element zajamčeno ne bo odpovedal v časovnem intervalu (0, t0) (v posebnem primeru t0 = 0). Če porazdelitev nima praga občutljivosti t0 , potem se imenuje distribucijski zakon Weibullova porazdelitev:

kjer je c > 0 nek konstanten koeficient;

α – porazdelitveni parameter.

Ta porazdelitveni zakon se pogosto uporablja za približevanje porazdelitve časa brez odpovedi sistemov s končnim številom serijsko povezanih (z vidika zanesljivosti) elementov (dolgi kabelski vodi z velikim številom sklopk itd.).

Gostota porazdelitve:

(5.47)

pri α = 1 se gostota porazdelitve spremeni v normalno eksponentna funkcija(Glejte sliko 5.12).

Slika 5.12 - Diferenčna porazdelitvena funkcija časa brezhibnega delovanja izolacije po zakonu

Weibull

Slika 5.13 - Stopnja napak pri

Weibullova porazdelitev

Stopnja napak za porazdelitev gostote po Weibullovem zakonu (glej sliko 5.13):

λ(t) = αctα-1. (5,48)

Stopnja napak za ta zakon se lahko glede na porazdelitveni parameter poveča, ostane konstantna (eksponentni zakon) in zmanjša.

Kot je razvidno iz slik 5.12 in 5.13, je eksponentni zakon porazdelitve poseben primer Weibullovega zakona za α = 1 (λ = const). pri α = 2 bo porazdelitvena funkcija časa brezhibnega delovanja sovpadala z Rayleighovim zakonom, ko α »1 je dokaj dobro aproksimirana z normalnim porazdelitvenim zakonom v bližini povprečnega časa brez odpovedi.

Z ustrezno izbiro parametra α Z uporabo Weibullovega zakona je možno opisati zanesljivost tako elementov staranja (doba staranja in obrabe), pri katerih λ(t) narašča, kot tudi zanesljivost elementov s skritimi napakami (doba utekanja), pri katerih λ (t) se sčasoma zmanjša.

Matematično pričakovanje (povprečni čas) brezhibnega delovanja in disperzije, ko je porazdeljeno po Weibullovem zakonu:

T u.av = Г(1+1/α) c-1/α, (5,49)

D(Ti) = c-2/α [Г(1+2/α) – Г2(1+1/α)]. (5,50)

kjer je Г( X) - funkcija gama.

Weibullova porazdelitev (model šibke povezave)

Praktična potreba po upoštevanju variabilnosti stopenj napak nam omogoča, da sklepamo, da pogoji, ki vodijo do glavnih porazdelitev teorije zanesljivosti (eksponentna, normalna, logaritemsko-normalna itd.), kažejo na neupravičenost njihove uporabe za analizo zanesljivosti. visokozmogljivih generatorskih elektronk, klistronov, magnetronov, žarnic s potujočimi valovi in ​​drugih elementov krmilnih sistemov, za katere je na splošno značilno staranje z nekonsistentno stopnjo obrabe, so po začetni kakovosti heterogeni.

Leta 1939 je švedski matematik in inženir W. Weibull (1887-1979) pri analizi okvar zaradi obrabe krogličnih ležajev predlagal porazdelitveno funkcijo, ki je uporabna za opis trajnosti materialov, in pripomnil: »Zdi se, da je edini praktični način za dosego uspeh je izbrati preprosto funkcijo, njeno empirično testiranje in nato končno izbiro, če ni nič boljšega.«

Ne da bi se zadrževali pri oceni veljavnosti teh besed v tem trenutku, ugotavljamo, da je Weibull izbral dvoparametrsko funkcijo porazdelitve verjetnosti kot preprosto funkcijo:

kje T, s- parametri obsega oziroma oblike.

Od sredine petdesetih let prejšnjega stoletja. Zanimanje za Weibullovo distribucijo narašča, ker se je izkazala kot dober model za opisovanje zanesljivosti kompleksnih naprav. Ta zakon se izkaže za najbolj primernega za analizo trajanja brezhibnega delovanja močnih električnih vakuumskih mikrovalovnih naprav.

B.V. Gnedenko je ugotovil, da je Weibullova porazdelitev asimptotična porazdelitev tretje vrste za najmanjše vrednosti zaporedja neodvisnih spremenljivk. dokazano značilna lastnost Weibullov zakon: če t| =min (X v X 2, X p) upošteva Weibullovo porazdelitev in naključne spremenljivke X ( , X 2 ,..., Xn so neodvisni in enakomerno porazdeljeni, potem tudi spoštujejo ta zakon. Številne naprave vsebujejo veliko število homogenih elementov pod enakimi pogoji delovanja. Če so ponavljajoči se elementi odločilni v zvezi s časom brezhibnega delovanja naprave, se oblikuje vezje, ki vodi do Weibullove porazdelitve. Okvara naprave se šteje kot okvara katerega koli parametra, ki presega določeno toleranco. Predpostavimo lahko, da so spremembe teh parametrov šibko povezani naključni procesi. Potem, če je m trajnost glede na i-ti parameter, potem je vir kot celota definiran kot m = min (t r t 2, ..., t l).

Funkcijo zanesljivosti za Weibullovo porazdelitev na splošno določajo trije parametri in ima obliko:

kjer - , / 0 - parametri merila, oblike, premika (parameter premika

imenovan tudi "prag občutljivosti") }