Teorija funkcij ene spremenljivke. Matematična analiza. Teorija funkcij ene spremenljivke Matematična analiza 1 letne meje

Predmet je namenjen diplomantom in magistrom matematičnih, ekonomskih ali naravoslovnih disciplin ter srednješolskim učiteljem matematike in univerzitetnim profesorjem. Uporaben bo tudi za šolarje, ki se poglobljeno učijo matematike.

Struktura tečaja je tradicionalna. Predmet zajema klasično gradivo matematične analize, ki se preučuje v prvem letniku univerze v prvem semestru. Predstavljeni bodo razdelki »Elementi teorije množic in realna števila«, »Teorija številskih zaporedij«, »Limit in zveznost funkcije«, »Diferenciabilnost funkcije«, »Aplikacije diferenciabilnosti«. Seznanili se bomo s pojmom množice, podali strogo definicijo realnega števila in preučevali lastnosti realnih števil. Nato bomo govorili o številskih zaporedjih in njihovih lastnostih. To nam bo omogočilo, da koncept numerične funkcije, ki je dobro poznan šolarjem, obravnavamo na novi, strožji ravni. Predstavili bomo koncept limite in zveznosti funkcije, obravnavali lastnosti zveznih funkcij in njihovo uporabo pri reševanju problemov.

V drugem delu predmeta bomo definirali odvod in diferenciabilnost funkcije ene spremenljivke ter preučevali lastnosti diferenciabilnih funkcij. To vam bo omogočilo, da se naučite reševati tako pomembne uporabne probleme, kot je približen izračun funkcijskih vrednosti in reševanje enačb, izračun meja, preučevanje lastnosti funkcije in izdelava njenega grafa.

Oblika

Oblika usposabljanja je dopisna (na daljavo).
Tedenske vaje bodo vključevale ogled tematskih video predavanj in reševanje testnih nalog z avtomatskim preverjanjem rezultatov.
Pomemben element študija stroke je samostojno reševanje računskih problemov in dokaznih problemov. Rešitev bo morala vsebovati strogo in logično pravilno sklepanje, ki vodi do pravilnega odgovora (v primeru računskega problema) ali v celoti dokazuje zahtevano trditev (pri teoretičnem problemu).

Zahteve

Tečaj je namenjen diplomantom 1. letnika. Zahtevano je osnovno znanje matematike na ravni srednje šole (11. razred).

Program tečaja

Predavanje 1. Elementi teorije množic.
Predavanje 2. Pojem realnega števila. Natančne ploskve številskih množic.
Predavanje 3. Aritmetične operacije nad realnimi števili. Lastnosti realnih števil.
Predavanje 4.Številska zaporedja in njihove lastnosti.
Predavanje 5. Monotone sekvence. Cauchyjev kriterij za konvergenco zaporedja.
Predavanje 6. Pojem funkcije ene spremenljivke. Omejitev delovanja. Neskončno majhne in neskončno velike funkcije.
Predavanje 7. Kontinuiteta delovanja. Razvrstitev prelomnih točk. Lokalne in globalne lastnosti zveznih funkcij.
Predavanje 8. Monotone funkcije. Inverzna funkcija.
Predavanje 9. Najenostavnejše elementarne funkcije in njihove lastnosti: eksponentne, logaritemske in potenčne funkcije.
Predavanje 10. Trigonometrične in inverzne trigonometrične funkcije. Izjemne meje. Enotna kontinuiteta funkcije.
Predavanje 11. Pojem odvoda in diferenciala. Geometrijski pomen izpeljanke. Pravila razlikovanja.
Predavanje 12. Izvodi osnovnih elementarnih funkcij. Funkcijski diferencial.
Predavanje 13. Odvodi in diferenciali višjih redov. Leibnizova formula. Odvodi parametrično definiranih funkcij.
Predavanje 14. Osnovne lastnosti diferenciabilnih funkcij. Rollejev in Lagrangeov izrek.
Predavanje 15. Cauchyjev izrek. L'Hopitalovo prvo pravilo razkrivanja negotovosti.
Predavanje 16. L'Hopitalovo drugo pravilo za razkrivanje negotovosti. Taylorjeva formula z ostankom v Peanovi obliki.
Predavanje 17. Taylorjeva formula z ostankom v splošni obliki, v Lagrangeovi in ​​Cauchyjevi obliki. Razširitev po Maclaurinovi formuli glavnih elementarnih funkcij. Uporaba Taylorjeve formule.
Predavanje 18. Zadostni pogoji za ekstrem. Asimptote grafa funkcije. Konveksno.
Predavanje 19. Prevojne točke. Splošna shema raziskovanja funkcij. Primeri risanja grafov.

Učni rezultati

Kot rezultat obvladovanja predmeta bo študent pridobil razumevanje osnovnih pojmov matematične analize: množice, števila, zaporedja in funkcije, se seznanil z njihovimi lastnostmi in se naučil te lastnosti uporabljati pri reševanju problemov.

Predmet je namenjen diplomantom in magistrom matematičnih, ekonomskih ali naravoslovnih disciplin ter srednješolskim učiteljem matematike in univerzitetnim profesorjem. Uporaben bo tudi za šolarje, ki se poglobljeno učijo matematike.

Struktura tečaja je tradicionalna. Predmet zajema klasično gradivo matematične analize, ki se preučuje v prvem letniku univerze v prvem semestru. Predstavljeni bodo razdelki »Elementi teorije množic in realna števila«, »Teorija številskih zaporedij«, »Limit in zveznost funkcije«, »Diferenciabilnost funkcije«, »Aplikacije diferenciabilnosti«. Seznanili se bomo s pojmom množice, podali strogo definicijo realnega števila in preučevali lastnosti realnih števil. Nato bomo govorili o številskih zaporedjih in njihovih lastnostih. To nam bo omogočilo, da koncept numerične funkcije, ki je dobro poznan šolarjem, obravnavamo na novi, strožji ravni. Predstavili bomo koncept limite in zveznosti funkcije, obravnavali lastnosti zveznih funkcij in njihovo uporabo pri reševanju problemov.

V drugem delu predmeta bomo definirali odvod in diferenciabilnost funkcije ene spremenljivke ter preučevali lastnosti diferenciabilnih funkcij. To vam bo omogočilo, da se naučite reševati tako pomembne uporabne probleme, kot je približen izračun funkcijskih vrednosti in reševanje enačb, izračun meja, preučevanje lastnosti funkcije in izdelava njenega grafa.

Oblika

Oblika usposabljanja je dopisna (na daljavo).
Tedenske vaje bodo vključevale ogled tematskih video predavanj in reševanje testnih nalog z avtomatskim preverjanjem rezultatov.
Pomemben element študija stroke je samostojno reševanje računskih problemov in dokaznih problemov. Rešitev bo morala vsebovati strogo in logično pravilno sklepanje, ki vodi do pravilnega odgovora (v primeru računskega problema) ali v celoti dokazuje zahtevano trditev (pri teoretičnem problemu).

Zahteve

Tečaj je namenjen diplomantom 1. letnika. Zahtevano je osnovno znanje matematike na ravni srednje šole (11. razred).

Program tečaja

Predavanje 1. Elementi teorije množic.
Predavanje 2. Pojem realnega števila. Natančne ploskve številskih množic.
Predavanje 3. Aritmetične operacije nad realnimi števili. Lastnosti realnih števil.
Predavanje 4.Številska zaporedja in njihove lastnosti.
Predavanje 5. Monotone sekvence. Cauchyjev kriterij za konvergenco zaporedja.
Predavanje 6. Pojem funkcije ene spremenljivke. Omejitev delovanja. Neskončno majhne in neskončno velike funkcije.
Predavanje 7. Kontinuiteta delovanja. Razvrstitev prelomnih točk. Lokalne in globalne lastnosti zveznih funkcij.
Predavanje 8. Monotone funkcije. Inverzna funkcija.
Predavanje 9. Najenostavnejše elementarne funkcije in njihove lastnosti: eksponentne, logaritemske in potenčne funkcije.
Predavanje 10. Trigonometrične in inverzne trigonometrične funkcije. Izjemne meje. Enotna kontinuiteta funkcije.
Predavanje 11. Pojem odvoda in diferenciala. Geometrijski pomen izpeljanke. Pravila razlikovanja.
Predavanje 12. Izvodi osnovnih elementarnih funkcij. Funkcijski diferencial.
Predavanje 13. Odvodi in diferenciali višjih redov. Leibnizova formula. Odvodi parametrično definiranih funkcij.
Predavanje 14. Osnovne lastnosti diferenciabilnih funkcij. Rollejev in Lagrangeov izrek.
Predavanje 15. Cauchyjev izrek. L'Hopitalovo prvo pravilo razkrivanja negotovosti.
Predavanje 16. L'Hopitalovo drugo pravilo za razkrivanje negotovosti. Taylorjeva formula z ostankom v Peanovi obliki.
Predavanje 17. Taylorjeva formula z ostankom v splošni obliki, v Lagrangeovi in ​​Cauchyjevi obliki. Razširitev po Maclaurinovi formuli glavnih elementarnih funkcij. Uporaba Taylorjeve formule.
Predavanje 18. Zadostni pogoji za ekstrem. Asimptote grafa funkcije. Konveksno.
Predavanje 19. Prevojne točke. Splošna shema raziskovanja funkcij. Primeri risanja grafov.

Učni rezultati

Kot rezultat obvladovanja predmeta bo študent pridobil razumevanje osnovnih pojmov matematične analize: množice, števila, zaporedja in funkcije, se seznanil z njihovimi lastnostmi in se naučil te lastnosti uporabljati pri reševanju problemov.

Predmet je studijski video posnetek prve polovice prvega semestra predavanj matematične analize, kot se izvajajo na Akademski univerzi. V 4 modulih se bodo študentje seznanili z osnovnimi koncepti matematične analize: zaporedji, limiti in kontinuiteta. Omejili se bomo samo na realna števila in funkcije ene spremenljivke. Predstavitev bo potekala na dokaj osnovni ravni brez morebitnih posploševanj, ki ne spremenijo glavnih idej dokazov, vendar bistveno otežijo dojemanje. Vse trditve (razen nekaj dolgočasnih formalnih utemeljitev na samem začetku predmeta in pri definiciji elementarnih funkcij) bodo strogo dokazane. Video posnetke spremlja veliko število nalog za samostojno delo učencev.

Komu je ta tečaj namenjen

Nižji študenti tehničnih specialnosti

Učenci morajo dobro obvladati šolski učni načrt matematike. Vedeti morate namreč, kako izgledajo grafi osnovnih elementarnih funkcij, poznati osnovne formule za trigonometrične, eksponentne in logaritemske funkcije, za aritmetične in geometrijske progresije ter samozavestno znati delati algebraične transformacije z enačbami in neenačbami. Za več nalog morate poznati tudi najenostavnejše lastnosti racionalnih in iracionalnih števil.

Vprašanja za izpit iz “Matematične analize”, 1. letnik, 1. semester.

1. Množice. Osnovne operacije na množicah. Metrični in aritmetični prostori.

2. Številčni nizi. Množice na številski premici: segmenti, intervali, pol-osi, soseske.

3. Definicija omejene množice. Zgornja in spodnja meja številskih nizov. Postulati o zgornji in spodnji meji številskih množic.

4. Metoda matematične indukcije. Bernoullijeve in Cauchyjeve neenakosti.

5. Definicija funkcije. Funkcijski graf. Sode in lihe funkcije. Periodične funkcije. Metode za določanje funkcije.

6. Meja doslednosti. Lastnosti konvergentnih zaporedij.

7. Omejena zaporedja. Izrek o zadostnem pogoju za divergenco zaporedja.

8. Definicija monotonega zaporedja. Weierstrassov izrek o monotonem zaporedju.

9. Številka e.

10. Limit funkcije v točki. Limit funkcije v neskončnosti. Enostranske omejitve.

11. Infinitezimalne funkcije. Limit vsote, produkta in kvocienta funkcij.

12. Izreki o stabilnosti neenačb. Limitni prehod v neenačbah. Izrek o treh funkcijah.

13. Prva in druga sta čudoviti meji.

14. Neskončno velike funkcije in njihova povezava z infinitezimalnimi funkcijami.

15. Primerjava infinitezimalnih funkcij. Lastnosti ekvivalentnih neskončno malih. Izrek o zamenjavi infinitezimalnih z enakovrednimi. Osnovne enakovrednosti.

16. Zveznost funkcije v točki. Dejanja z zveznimi funkcijami. Kontinuiteta osnovnih elementarnih funkcij.

17. Klasifikacija funkcijskih diskontinuitetnih točk. Definicija s kontinuiteto

18. Definicija kompleksne funkcije. Limit kompleksne funkcije. Zveznost kompleksne funkcije. Hiperbolične funkcije

19. Zveznost funkcije na segmentu. Cauchyjevi izreki o ničenju zvezne funkcije na intervalu in o vmesni vrednosti funkcije.

20. Lastnosti funkcij, zveznih na intervalu. Weierstrassov izrek o omejenosti zvezne funkcije. Weierstrassov izrek o največji in najmanjši vrednosti funkcije.

21. Definicija monotone funkcije. Weierstrassov izrek o limiti monotone funkcije. Izrek o množici vrednosti funkcije, ki je monotona in zvezna na intervalu.

22. Inverzna funkcija. Graf inverzne funkcije. Izrek o obstoju in zveznosti inverzne funkcije.

23. Inverzne trigonometrične in hiperbolične funkcije.

24. Določanje odvoda funkcije. Izvodi osnovnih elementarnih funkcij.

25. Definicija diferenciabilne funkcije. Potreben in zadosten pogoj za diferenciabilnost funkcije. Zveznost diferenciabilne funkcije.

26. Geometrijski pomen izpeljanke. Enačba tangente in normale na graf funkcije.

27. Odvod vsote, produkta in količnika dveh funkcij

28. Odvod kompleksne funkcije in njena inverzna funkcija.

29. Logaritemsko diferenciranje. Odvod funkcije, podane parametrično.

30. Glavni del prirastka funkcije. Formula linearizacije funkcije. Geometrijski pomen diferenciala.

31. Diferencial kompleksne funkcije. Invariantnost oblike diferenciala.

32. Izreki Rolla, Lagrangea in Cauchyja o lastnostih diferenciabilnih funkcij. Formula končnega prirastka.

33. Uporaba izvedenega finančnega instrumenta za razkritje negotovosti v mejah. L'Hopitalovo pravilo.

34. Opredelitev derivata n-ti red. Pravila za iskanje odvoda n-tega reda. Leibnizova formula. Diferenciali višjih redov.

35. Taylorjeva formula z ostankom v Peanovi obliki. Izrazi ostankov v Lagrangeovi in ​​Cauchyjevi obliki.

36. Naraščajoče in padajoče funkcije. Ekstremne točke.

37. Konveksnost in konkavnost funkcije. Prevojne točke.

38. Neskončne prekinitve delovanja. Asimptote.

39. Shema za izdelavo grafa funkcije.

40. Opredelitev protiizpeljave. Osnovne lastnosti antiizpeljave. Najenostavnejša pravila integracije. Tabela enostavnih integralov.

41. Integracija s spremembo spremenljivke in formula za integracijo po delih v nedoločenem integralu.

42. Integriranje izrazov oblike e ax cos bx in e ax sin bx z uporabo rekurentnih relacij.

	43. Integracija z ulomki			z uporabo povratnih relacij.
			a 2 n

44. Nedoločen integral racionalne funkcije. Integracija enostavnih ulomkov.

45. Nedoločen integral racionalne funkcije. Razstavljanje pravilnih ulomkov na preproste.

46. Nedoločen integral iracionalne funkcije. Integriranje izrazov

	R x, m

47. Nedoločen integral iracionalne funkcije. Integracija izrazov oblike R x , ax 2 bx c . Eulerjeve zamenjave.

48. Integriranje izrazov oblike

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Nedoločen integral iracionalne funkcije. Integracija binomskih diferencialov.

50. Integracija trigonometričnih izrazov. Univerzalna trigonometrična zamenjava.

51. Integracija racionalnih trigonometričnih izrazov v primeru, ko je integrand lih glede na sin x (ali cos x) ali celo glede na sin x in cos x.

52. Integriranje izrazov sin n x cos m x in sin nx cos mx.

53. Integriranje izrazov tg m x in ctg m x.

54. Integriranje izrazov R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 in R x , x 2 a 2 z uporabo trigonometričnih substitucij.

55. Določen integral. Problem izračuna površine ukrivljenega trapeza.

56. Integralne vsote. Darbouxove vsote. Izrek o pogoju obstoja določenega integrala. Razredi integrabilnih funkcij.

57. Lastnosti določenega integrala. Izreki o srednji vrednosti.

58. Določen integral kot funkcija zgornje meje. Formula Newton-Leibniz.

59. Formula za spreminjanje spremenljivke in formula za integriranje po delih v določenem integralu.

60. Uporaba integralnega računa v geometriji. Volumen figure. Prostornina rotacijskih figur.

61. Uporaba integralnega računa v geometriji. Območje ravne figure. Območje ukrivljenega sektorja. Dolžina krivulje.

62. Definicija nepravilnega integrala prve vrste. Formula Newton-Leibniz za neprave integrale prve vrste. Najenostavnejše lastnosti.

63. Konvergenca nepravilnih integralov prve vrste za pozitivno funkcijo. 1. in 2. primerjalni izrek.

64. Absolutna in pogojna konvergenca nepravilnih integralov prve vrste iz alternirane funkcije. Testi Abelove in Dirichletove konvergence.

65. Definicija nepravilnega integrala druge vrste. Formula Newton-Leibniz za neprave integrale druge vrste.

66. Povezava nepravilnih integralov 1. in 2. vrsta. Nepravilni integrali v smislu glavne vrednosti.

A.V. Glasco

PREDAVANJA IZ MATEMATIČNE ANALIZE

"ELEMENTARNE FUNKCIJE IN MEJE"

Moskva, MSTU im. N.E. Bauman

§1. Logična simbolika.

Pri pisanju matematičnih izrazov bomo uporabljali naslednje logične simbole:

	Pomen		Pomen
			Za vsakogar, za vsakogar, za vsakogar (od
			Obstaja, obstaja, obstaja (obstajati)
			Privlači, sledi (zato)
			Enakovredno, če in samo če,
			potrebno in zadostno
Torej, če sta A in B kateri koli izjavi, potem

			Pomen
			A ali B (ali A ali B ali oba A in B)
			Za vsak x, A
			Obstaja x, za katerega velja A
			Iz A sledi B (če je A res, potem je B res)
(implikacija)
			A je enakovreden B, A se pojavi, če in samo če se pojavi B,
			za B je potrebno in zadostuje za A
	Komentiraj. "A B" pomeni, da A zadostuje za B, B pa je potreben za A.

Primer. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).

Včasih bomo uporabili še en poseben simbol: A =df B.

To pomeni, da je A = B po definiciji.

§2. Množice. Elementi in deli množice.

Koncept množice je primarni koncept, ki ni definiran skozi enostavnejše. Besede: zbirka, družina, komplet so njeni sinonimi.

Primeri množic: veliko učencev v razredu, veliko učiteljev v oddelku, veliko avtomobilov na parkirišču itd.

Primarni pojmi so tudi pojmi set element in odnosi

med elementi množice.

Primer. N je množica naravnih števil, njeni elementi so števila 1,2,3,... Če sta x in y elementa N, potem sta v eni od naslednjih relacij: x=y, x u.

Dogovorimo se, da množice označujemo z velikimi začetnicami: A, B, C, X, Y, …, njihove elemente pa z malimi črkami: a, b, c, x, y, …

Odnosi med elementi ali množicami so označeni s simboli, vstavljenimi med črke. Na primer. Naj bo A neka množica. Tedaj relacija a A pomeni, da je a element množice A. Zapis a A pomeni, da a ni element množice A.

Nabor je mogoče določiti na različne načine. 1. Naštevanje njegovih elementov.

Na primer, A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Navedba lastnosti elementov. Naj bo A množica elementov a z lastnostjo p. To lahko zapišemo kot: A=( a:p ) ali A=( ap ).

Na primer, zapis A= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) pomeni, da je A množica realnih števil, ki izpolnjujejo neenakost x2 -1>0.

Predstavimo nekaj pomembnih definicij.

Def. Množica se imenuje končna, če je sestavljena iz določenega končnega števila elementov. V nasprotnem primeru se imenuje neskončno.

Na primer, množica učencev v učilnici je končna, množica naravnih števil ali množica točk znotraj segmenta pa neskončna.

Def. Množica, ki ne vsebuje niti enega elementa, se imenuje prazna in jo označimo.

Def. Za dva niza pravimo, da sta enaka, če sta sestavljena iz istega

Tisti. koncept množice ne pomeni določenega vrstnega reda elementov. Def. Množica X se imenuje podmnožica množice Y, če je katerikoli element množice X element množice Y (in na splošno ne noben

element množice Y je element množice X). Uporabljeni zapis je: X Y.

Na primer, množica pomaranč O je podmnožica množice sadja F: O F, množica naravnih števil N pa je podmnožica množice realnih števil R: N R.

Simboli “ ” in “ ” se imenujejo inkluzijski simboli. Vsak niz se obravnava kot podmnožica samega sebe. Prazna množica je podmnožica katerekoli množice.

Def. Vsaka neprazna podmnožica B množice A, ki ni enaka A, je klicana

lastna podmnožica.

§ 3. Euler-Vennovi diagrami. Elementarne operacije na množicah.

Množice je priročno predstaviti grafično, v obliki območij na ravnini. Predpostavlja se, da točke območja ustrezajo elementom množice. Takšne grafične predstavitve množic imenujemo Euler-Vennovi diagrami.

Primer. A – veliko študentov MSTU, B – veliko študentov v občinstvu. riž. 1 jasno dokazuje, da A B .

Euler-Vennovi diagrami so primerni za uporabo za vizualno predstavitev elementarnih nastavite operacije. Glavne operacije vključujejo naslednje.

riž. 1. Primer Euler-Vennovega diagrama.

1. Presečišče A B množic A in B je množica C, sestavljena iz vseh elementov, ki hkrati pripadajo množicam A in B:

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(na sliki 2 je niz C predstavljen z osenčenim območjem).

riž. 2. Presečišče množic.

2. Unija A B množic A in B je množica C, sestavljena iz vseh elementov, ki pripadajo vsaj eni izmed množic A ali B.

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(na sliki 3 je niz C predstavljen z osenčenim območjem).

riž. 3. Zveza množic.

riž. 4. Razlika množic.

3. Razliko A\B množic A in B imenujemo množica C, sestavljena iz vseh elementov, ki pripadajo množici A, vendar ne pripadajo množici B:

A\B =( z: (z A) (z B) )

(na sliki 4 je množica C predstavljena z območjem, osenčenim z rumeno).

§4. Množica realnih števil.

Konstruirajmo niz realnih števil R. Da bi to naredili, najprej razmislimo o množica naravnih števil, ki ga definiramo na naslednji način. Za prvi element vzemimo število n=1. Vsak naslednji element bo pridobljen iz prejšnjega z dodajanjem enega:

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = (1, 2, 3, …, n, …).

N = (-1, -2, -3, …, -n, …).

Množica celih števil Z definiramo kot unijo treh množic: N, -N in množice, sestavljene iz enega samega elementa – ničle:

Množico racionalnih števil definiramo kot množico vseh možnih relacij celih števil:

Q = (xx = m/n; m, n Z, n 0).

Očitno N Z Q.

Znano je, da lahko vsako racionalno število zapišemo kot končni realni ali neskončni periodični ulomek. Ali so racionalna števila dovolj za merjenje vseh količin, s katerimi se lahko srečamo pri proučevanju sveta okoli nas? Že v stari Grčiji so dokazali, da ne: če obravnavamo enakokraki pravokotni trikotnik s kraki dolžine ena, dolžine hipotenuze ni mogoče predstaviti kot racionalno število. Tako se ne moremo omejiti na množico racionalnih števil. Treba je razširiti koncept števila. Ta razširitev se doseže z uvedbo množice iracionalnih števil J, ki si ga najlažje predstavljamo kot množico vseh neperiodičnih neskončnih decimalnih ulomkov.

Unija množic racionalnih in iracionalnih števil se imenuje

množica realnih števil R: R =Q Y.

Včasih upoštevamo tudi razširjeno množico realnih števil R, razumemo

Realna števila je priročno predstaviti kot točke na številski premici.

Def. Številska os je ravna črta, na kateri so označeni izhodišče, merilo in referenčna smer.

Med realnimi števili in točkami na številski osi se vzpostavi korespondenca ena proti ena: vsako realno število ustreza eni točki na številski osi in obratno.

Aksiom popolnosti (kontinuitete) množice realnih števil. Ne glede na to, katere neprazne množice A= (a) R in B= (b) R so takšne, da za vsak a in b velja neenakost a ≤ b, obstaja število cR tako, da je a ≤ c ≤ b (slika 5).

Slika 5. Ponazoritev aksioma popolnosti množice realnih števil.

§5. Številčni nizi. Soseska.

Def. Številčni niz katero koli podmnožico množice R imenujemo najpomembnejše številske množice: N, Z, Q, J, kot tudi

segment: (x R |a x b),

interval: (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R

polintervali: (x R| a x b),

(x R | x b).

Najpomembnejšo vlogo v matematični analizi ima koncept soseščine točke na številski osi.

Def. - okolica točke x 0 je interval dolžine 2 s središčem v točki x 0 (slika 6):

u (x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

riž. 6. Okolica točke.

Def. Preluknjana -soseska točke je okolica te točke,

iz katere je izključena sama točka x0 (slika 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

riž. 7. Preluknjana okolica točke.

Def. Desnostranska okolica točke x0 imenujemo polovični interval

u (x 0 ), območje vrednosti: E= [-π/2,π/2 ].

riž. 11. Graf funkcije y arcsin x.

Uvedimo zdaj koncept kompleksne funkcije ( sestave preslikav). Naj so podane tri množice D, E, M in f: D→E, g: E→M. Očitno je možno konstruirati novo preslikavo h: D→M, imenovano kompozicija preslikav f in g ali kompleksna funkcija (slika 12).

Kompleksno funkcijo označimo takole: z =h(x)=g(f(x)) ali h = f o g.

riž. 12. Ponazoritev pojma kompleksne funkcije.

Pokliče se funkcija f (x). notranja funkcija in funkcija g (y) - zunanja funkcija.

1. Notranja funkcija f(x)= x², zunanja funkcija g (y) sin y. Kompleksna funkcija z= g(f(x))=sin(x²)

2. Zdaj je obratno. Notranja funkcija f (x)= sinx, zunanja funkcija g (y) y 2. u=f(g(x))=sin²(x)