Formula za iskanje večjega loka kroga. krog. Osrednji in včrtani kot

Formula za iskanje dolžine krožnega loka je precej preprosta in zelo pogosta pomembne izpite Tako kot enotni državni izpit obstajajo težave, ki jih ni mogoče rešiti brez njegove uporabe. Znati ga je potrebno tudi za opravljanje mednarodnih standardiziranih testov, kot so SAT in drugi.

Kolikšna je dolžina krožnega loka?

Formula izgleda takole:

l = πrα / 180°

Kaj je vsak element formule:

• π - število pi ( konstantna, enako ≈ 3,14);
• r je polmer danega kroga;
• α je velikost kota, pod katerim leži lok (centralni, ni včrtan).

Kot lahko vidite, morata za rešitev problema biti v pogoju prisotna r in α. Brez teh dveh količin je nemogoče najti dolžino loka.

Kako je ta formula izpeljana in zakaj izgleda tako?

Vse je izjemno enostavno. Veliko bolj jasno bo, če v imenovalec vnesete 360° in v števec spredaj dodate dvojko. Lahko tudi α ne puščajte ga v ulomku, vzemite ga ven in zapišite z znakom za množenje. To je povsem mogoče, saj je ta element v števcu. Potem splošni pogled bo postalo takole:

l = (2πr / 360°) × α

Samo zaradi priročnosti smo skrajšali 2 in 360°. In zdaj, če pogledate natančno, lahko vidite zelo znano formulo za dolžino celotnega kroga, in sicer - 2πr. Celoten krog je sestavljen iz 360°, zato dobljeno mero razdelimo na 360 delov. Nato pomnožimo s številom α, torej za število "kosov pogače", ki jih potrebujemo. Toda vsi zagotovo vedo, da števila (to je dolžine celotnega kroga) ni mogoče deliti s stopnjo. Kaj storiti v tem primeru? Običajno se stopinja praviloma skrči s stopnjo središčnega kota, to je s α. Nato ostanejo samo številke, na koncu pa dobimo končni odgovor.

To lahko pojasni, zakaj je dolžina krožnega loka ugotovljena na ta način in ima to obliko.

Primer problema srednje zahtevnosti z uporabo te formule

Pogoj: Obstaja krog s polmerom 10 centimetrov. Stopinjska mera središčnega kota je 90°. Poiščite dolžino krožnega loka, ki ga tvori ta kot.

Rešitev: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Odgovor: l = 5π

Možno je tudi, da bi bila namesto stopinjske mere podana radianska mera kota. V nobenem primeru se ne smete bati, saj je tokrat naloga postala veliko lažja. Če želite radiansko mero pretvoriti v stopinjsko mero, potrebujete dano številko pomnožite s 180° / π. To pomeni, da zdaj lahko zamenjamo α naslednjo kombinacijo: m × 180° / π. Kjer je m radianska vrednost. In potem 180 in številka π se zmanjšajo in dobimo popolnoma poenostavljeno formulo, ki izgleda takole:

• m - radianska mera kota;
• r je polmer danega kroga.

Del figure, ki tvori krog, katerega točke so enako oddaljene, se imenuje lok. Če potegnemo žarke iz središča kroga do točk, ki sovpadajo s koncema loka, se oblikuje njegov središčni kot.

Določanje dolžine loka

Proizvedeno po naslednji formuli:

kjer je L želena dolžina loka, π = 3,14, r je polmer kroga, α je središčni kot.

L

3,14 x 10 x 85

14,82

odgovor:

Dolžina krožnega loka je 14,82 centimetra.

V elementarni geometriji se lok razume kot podmnožica kroga, ki se nahaja med dvema točkama, ki se nahajata na njem. V praksi rešujte probleme v definicija njo dolžina inženirji in arhitekti morajo to početi precej pogosto, saj je ta geometrijski element razširjen v najrazličnejših oblikah.

Morda so bili prvi, ki so se soočili s to nalogo, starodavni arhitekti, ki so tako ali drugače morali določiti ta parameter za konstrukcijo obokov, ki se pogosto uporabljajo za pokrivanje vrzeli med nosilci v okroglih, poligonalnih ali eliptičnih zgradbah. Če natančno pogledate mojstrovine starogrške, starorimske in zlasti arabske arhitekture, ki so se ohranile do danes, boste opazili, da so loki in oboki zelo pogosti v njihovih zasnovah. Stvaritve sodobnih arhitektov z njimi niso tako bogate, a ti geometrijski elementi so v njih seveda prisotni.

Dolžina različne lok je treba izračunati pri izdelavi avtomobila in železnice, pa tudi na dirkališčih, velikokrat pa je prometna varnost v veliki meri odvisna od pravilnosti in točnosti izračunov. Dejstvo je, da so številni zavoji avtocest z geometričnega vidika prav loki, med premikanjem po njih pa na vozila delujejo različne fizične sile. Parametri njihove rezultante so v veliki meri določeni z dolžino loka, pa tudi z njegovim središčnim kotom in polmerom.

Oblikovalci strojev in mehanizmov morajo za pravilno in natančno postavitev izračunati dolžine različnih lokov komponente različne enote. V tem primeru so napake v izračunih polne dejstva, da bodo pomembni in kritični deli med seboj nepravilno delovali in mehanizem preprosto ne bo mogel delovati, kot načrtujejo njegovi ustvarjalci. Primeri struktur, ki so polni geometrijskih elementov, kot so loki, vključujejo motorje z notranjim zgorevanjem, menjalnike, opremo za obdelavo lesa in kovin, dele karoserije avtomobilov in tovornjakov itd.

Arcs V medicini, zlasti v zobozdravstvu, so precej pogosti. Uporabljajo se na primer za odpravo malokluzij. Korektivni elementi, imenovani naramnice (ali sistemi nosilcev) in imajo ustrezno obliko, so izdelani iz posebnih zlitin in so nameščeni tako, da spreminjajo položaj zob. Samoumevno je, da morajo biti ti loki zelo natančno izračunani, da bo zdravljenje uspešno. Poleg tega se loki zelo pogosto uporabljajo v travmatologiji in morda najbolj presenetljiv primer tega je slavni aparat Ilizarov, ki ga je leta 1951 izumil ruski zdravnik in se izjemno uspešno uporablja do danes. Njeni sestavni deli so kovinski loki, opremljeni z luknjami, skozi katere so napeljane posebne pletilne igle in so glavni nosilci celotne konstrukcije.

Krog, njegovi deli, njihove velikosti in razmerja so stvari, s katerimi se draguljar nenehno srečuje. Prstani, zapestnice, kaste, cevi, krogle, spirale - treba je narediti veliko okroglih stvari. Kako lahko vse to izračunate, še posebej, če ste imeli srečo, da ste v šoli izpustili pouk geometrije?..

Najprej poglejmo, katere dele ima krog in kako se imenujejo.

• Krog je črta, ki oklepa krog.
• Lok je del kroga.
• Polmer je segment, ki povezuje središče kroga s katero koli točko na krogu.
• Tetiva je odsek, ki povezuje dve točki na krožnici.
• Odsek je del kroga, ki ga omejujejo tetiva in lok.
• Sektor je del kroga, ki ga omejujejo dva polmera in lok.

Količine, ki nas zanimajo in njihove oznake:

Zdaj pa poglejmo, katere težave, povezane z deli kroga, je treba rešiti.

• Poiščite dolžino razvitosti poljubnega dela prstana (zapestnice). Glede na premer in tetivo (možnost: premer in središčni kot) poiščite dolžino loka.
• Na ravnini je risba, njeno velikost morate ugotoviti v projekciji, potem ko jo upognete v lok. Glede na dolžino in premer loka poiščite dolžino tetive.
• Ugotovite višino dela, ki ga dobite z upogibanjem ravnega obdelovanca v lok. Možnosti izvornih podatkov: dolžina in premer loka, dolžina loka in tetive; poiščite višino segmenta.

Življenje vam bo dalo še druge primere, a te sem navedel samo zato, da pokažem potrebo po nastavitvi dveh parametrov, da bi našli vse ostale. To bomo storili. Vzamemo namreč pet parametrov segmenta: D, L, X, φ in H. Nato jih bomo z izbiro vseh možnih parov iz njih obravnavali kot začetne podatke in z nevihta možganov najdi vse ostale.

Da ne bom po nepotrebnem obremenjeval bralca, ne bom podal podrobnih rešitev, ampak bom predstavil le rezultate v obliki formul (tiste primere, kjer formalne rešitve ni, bom obravnaval spotoma).

In še ena opomba: glede merskih enot. Vse količine, razen središčnega kota, se merijo v istih abstraktnih enotah. To pomeni, da če na primer podate eno vrednost v milimetrih, druge ni treba navesti v centimetrih, dobljene vrednosti pa bodo izmerjene v istih milimetrih (in površinah v kvadratnih milimetrih). Enako lahko rečemo za inče, čevlje in navtične milje.

In samo središčni kot se v vseh primerih meri v stopinjah in nič drugega. Ker praviloma ljudje, ki načrtujejo nekaj okroglega, ne merijo kotov v radianih. Besedna zveza »kot pi za štiri« marsikoga zmede, medtem ko je »kot petinštirideset stopinj« razumljiv vsem, saj je le pet stopinj višji od običajnega. Vendar bo v vseh formulah kot vmesna vrednost prisoten še en kot - α. Po pomenu je to polovica središčnega kota, merjeno v radianih, vendar se v ta pomen lahko varno ne poglobite.

1. Glede na premer D in dolžino loka L

; dolžina tetive ;
višina segmenta ; središčni kot .

2. Podan premer D in dolžina tetive X

; dolžina loka;
višina segmenta ; središčni kot .

Ker tetiva deli krog na dva segmenta, ta problem nima ene, ampak dve rešitvi. Če želite dobiti drugo, morate zamenjati kot α v zgornjih formulah s kotom .

3. Podan premer D in središčni kot φ

; dolžina loka;
dolžina tetive ; višina segmenta .

4. Glede na premer D in višino segmenta H

; dolžina loka;
dolžina tetive ; središčni kot .

6. Podana dolžina loka L in središčni kot φ

; premer ;
dolžina tetive ; višina segmenta .

8. Dana dolžina tetive X in središčni kot φ

; dolžina loka ;
premer ; višina segmenta .

9. Glede na dolžino tetive X in višino segmenta H

; dolžina loka ;
premer ; središčni kot .

10. Glede na središčni kot φ in višino segmenta H

; premer ;
dolžina loka; dolžina tetive .

Pozorni bralec si ni mogel pomagati, da ne bi opazil, da sem zgrešil dve možnosti:

5. Dana dolžina loka L in dolžina tetive X

7. Glede na dolžino loka L in višino segmenta H

To sta samo tista dva neprijetna primera, ko problem nima rešitve, ki bi jo lahko zapisali v obliki formule. In naloga ni tako redka. Na primer, imate ploščat kos dolžine L in ga želite upogniti tako, da njegova dolžina postane X (ali njegova višina postane H). Kakšen premer naj vzamem trn (prečko)?

Ta problem se nanaša na rešitev enačb:
; - pri možnosti 5
; - pri možnosti 7
in čeprav jih ni mogoče rešiti analitično, jih je mogoče enostavno rešiti programsko. In celo vem, kje se dobi tak program: prav na tem mestu, pod imenom . Vse, kar vam tukaj na dolgo in dolgo govorim, naredi v mikrosekundah.

Za popolnost slike dodajmo rezultatom naših izračunov obseg in tri vrednosti površine - krog, sektor in segment. (Površine nam bodo v veliko pomoč pri izračunu mase vseh okroglih in polkrožnih delov, a več o tem v posebnem članku.) Vse te količine izračunamo po enakih formulah:

obseg;
območje kroga ;
področje sektorja ;
področje segmenta ;

In na koncu naj vas še enkrat spomnim na obstoj absolutno brezplačen program, ki izvaja vse zgornje izračune, s čimer vam ni treba zapomniti, kaj je arktangens in kje ga iskati.

Težave pri iskanju ploščine kroga - obvezne del enotnega državnega izpita v matematiki. V certifikacijskem testu je tej temi praviloma dodeljenih več nalog. Vsi srednješolci, ne glede na stopnjo pripravljenosti, bi morali razumeti algoritem za iskanje obsega in površine kroga.

Če vam takšne planimetrične naloge povzročajo težave, vam priporočamo, da se obrnete na izobraževalni portal Shkolkovo. Z nami lahko zapolnite vrzeli v znanju.

Ustrezni razdelek spletnega mesta predstavlja veliko izbiro težav za iskanje obsega in površine kroga, podobnih tistim, ki so vključene v Enotnem državnem izpitu. Ko se jih nauči pravilno izvajati, se bo diplomant lahko uspešno spopadel z izpitom.

Poudarki

Problemi, ki zahtevajo uporabo površinskih formul, so lahko direktni ali inverzni. V prvem primeru so parametri elementov figure znani. V tem primeru je zahtevana količina površina. V drugem primeru je, nasprotno, območje znano in potrebno je najti nek element figure. Algoritem za izračun pravilnega odgovora pri takih nalogah se razlikuje le po vrstnem redu uporabe osnovnih formul. Zato je pri reševanju tovrstnih problemov potrebno ponoviti teoretično snov.

Vklopljeno izobraževalni portal"Školkovo" predstavlja vse osnovne informacije o temi "Iskanje dolžine kroga ali loka in površine kroga", pa tudi o drugih temah, na primer Naši strokovnjaki so ga pripravili in predstavili v najbolj dostopni obliki.

Ko se spomnijo osnovnih formul, lahko učenci začnejo reševati težave za iskanje območja kroga, podobne tistim, ki so vključene v Enotnem državnem izpitu, na spletu. Za vsako vajo na spletnem mestu je predstavljena podrobna rešitev in podan je pravilen odgovor. Po potrebi lahko katero koli nalogo shranite v razdelek »Priljubljene«, da se pozneje vrnete k njej in se o njej pogovorite z učiteljem.

Problem 10 (OGE - 2015)

Na krožnici s središčem O sta označeni točki A in B tako, da je ∠ AOB = 18°. Dolžina manjšega loka AB je 5. Poišči dolžino večjega loka krožnice.

rešitev

∠ AOB = 18°. Celoten krog je 360°. Zato je ∠ AOB 18/360 = 1/20 kroga.

To pomeni, da je manjši lok AB 1/20 celotnega kroga, torej je večji lok preostanek, tj. 19/20 obseg.

1/20 kroga ustreza dolžini loka 5. Potem je dolžina večjega loka 5 * 19 = 95.

Problem 10 (OGE - 2015)

Na krožnici s središčem O sta označeni točki A in B tako, da je ∠ AOB = 40°. Dolžina manjšega loka AB je 50. Poišči dolžino večjega loka kroga.

rešitev

∠ AOB = 40°. Celoten krog je 360°. Zato je ∠ AOB 40/360 = 1/9 kroga.

To pomeni, da je manjši lok AB 1/9 celotnega kroga, torej je večji lok preostanek, tj. 8/9 krog.

1/9 kroga ustreza dolžini loka 50. Potem je dolžina večjega loka 50*8 = 400.

Odgovor: 400.

Naloga 10 (GIA - 2014)

Dolžina tetive kroga je 72, razdalja od središča kroga do te tetive pa 27. Poiščite premer kroga.

rešitev

Po Pitagorovem izreku iz pravokotni trikotnik AOB dobimo:

AO 2 = OB 2 + AB 2,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

Potem je premer 2R = 2*45 = 90.

Naloga 10 (GIA - 2014)

Točka O je središče krožnice, na kateri ležijo točke A, B in C. Vemo, da je ∠ABC = 134° in ∠OAB = 75°. Poiščite kot BCO. Podajte svoj odgovor v stopinjah.