Grafi trigonometričnih funkcij več kotov. Osnovne formule trigonometrije Formule za vsoto in razliko trigonometričnih funkcij

V trigonometriji je veliko formul lažje izpeljati kot si jih zapomniti. Kosinus dvojnega kota je čudovita formula! Omogoča vam pridobivanje formul za zmanjševanje stopinj in formul za polovične kote.

Torej potrebujemo kosinus dvojnega kota in trigonometrično enoto:

Celo podobna sta si: v formuli dvojnega kota kosinusa je to razlika med kvadratoma kosinusa in sinusa, v trigonometrični enoti pa njuna vsota. Če izrazimo kosinus iz trigonometrične enote:

in ga nadomestimo s kosinusom dvojnega kota, dobimo:

To je še ena formula kosinusa dvojnega kota:

Ta formula je ključna za pridobitev formule redukcije:

Torej, formula za zmanjšanje stopnje sinusa je:

Če v njem kot alfa nadomestimo s polovičnim kotom alfa na polovici in dvojni kot dva alfa nadomestimo s kotom alfa, potem dobimo formulo polovičnega kota za sinus:

Zdaj lahko izrazimo sinus iz trigonometrične enote:

Nadomestimo ta izraz v formulo kosinusa dvojnega kota:

Dobili smo še eno formulo za kosinus dvojnega kota:

Ta formula je ključna za iskanje formule za zmanjševanje potence kosinusa in polovičnega kota za kosinus.

Tako je formula za zmanjšanje stopnje kosinusa:

Če α zamenjamo z α/2 in 2α z α, dobimo formulo za pol argumenta za kosinus:

Ker je tangens razmerje med sinusom in kosinusom, je formula za tangens:

Kotangens je razmerje med kosinusom in sinusom. Zato je formula za kotangens:

Seveda v procesu poenostavljanja trigonometričnih izrazov nima smisla vsakič izpeljati formule za pol kota ali zmanjšati stopinjo. Veliko lažje je pred seboj postaviti list papirja s formulami. In poenostavljanje se bo premikalo hitreje, vizualni spomin pa bo vklopil pomnjenje.

Vendar je vseeno vredno večkrat izpeljati te formule. Potem boste popolnoma prepričani, da jih boste med izpitom, ko ni mogoče uporabiti goljufij, brez težav dobili, če se bo pojavila potreba.

Razmerja med osnovnimi trigonometričnimi funkcijami – sinus, kosinus, tangens in kotangens- so vprašani trigonometrične formule. In ker je med trigonometričnimi funkcijami precej povezav, to pojasnjuje obilico trigonometričnih formul. Nekatere formule povezujejo trigonometrične funkcije istega kota, druge - funkcije večkratnega kota, druge - omogočajo zmanjšanje stopnje, četrte - izražajo vse funkcije skozi tangento polovice kota itd.

V tem članku bomo po vrsti našteli vse osnovne trigonometrične formule, ki zadostujejo za rešitev velike večine trigonometričnih problemov. Zaradi lažjega pomnjenja in uporabe jih bomo združili po namenu in vnesli v tabele.

Navigacija po strani.

Osnovne trigonometrične identitete

Osnovno trigonometrične identitete določi razmerje med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota. Izhajajo iz definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ter koncepti enotskega kroga. Omogočajo vam, da izrazite eno trigonometrično funkcijo v smislu katere koli druge.

Za podroben opis teh trigonometričnih formul, njihovo izpeljavo in primere uporabe glejte članek.

Redukcijske formule

Redukcijske formule slediti iz lastnosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa, to pomeni, da odražajo lastnost periodičnosti trigonometrične funkcije, lastnost simetrije, pa tudi lastnost premika za danim kotom. Te trigonometrične formule vam omogočajo prehod z dela s poljubnimi koti na delo s koti v razponu od nič do 90 stopinj.

Utemeljitev teh formul, mnemonično pravilo za njihovo pomnjenje in primere njihove uporabe lahko preučite v članku.

Adicijske formule

Trigonometrične formule dodatek pokazati, kako so trigonometrične funkcije vsote ali razlike dveh kotov izražene s trigonometričnimi funkcijami teh kotov. Te formule služijo kot osnova za izpeljavo naslednjih trigonometričnih formul.

Formule za dvojno, trojno itd. kota

Formule za dvojno, trojno itd. kot (imenujejo jih tudi formule več kotov) prikazujejo, kako trigonometrične funkcije dvojne, trojne itd. koti () so izraženi s trigonometričnimi funkcijami posameznega kota. Njihova izpeljava temelji na adicijskih formulah.

Podrobnejše informacije so zbrane v članku formule za dvojno, trojno itd. kota.

Formule polovičnega kota

Formule polovičnega kota pokažite, kako so trigonometrične funkcije polovičnega kota izražene s kosinusom celega kota. Te trigonometrične formule izhajajo iz formul dvojnega kota.

Njihov zaključek in primere uporabe najdete v članku.

Formule za zmanjšanje stopnje

Trigonometrične formule za zmanjšanje stopinj so namenjene lažjemu prehodu iz naravne stopnje trigonometrične funkcije na sinuse in kosinuse na prvo stopnjo, vendar več kotov. Z drugimi besedami, omogočajo vam zmanjšanje moči trigonometričnih funkcij na prvo.

Formule za vsoto in razliko trigonometričnih funkcij

Glavni namen formule za vsoto in razliko trigonometričnih funkcij je preiti na produkt funkcij, kar je zelo uporabno pri poenostavitvi trigonometričnih izrazov. Te formule se pogosto uporabljajo tudi pri reševanju trigonometričnih enačb, saj omogočajo faktorizacijo vsote in razlike sinusov in kosinusov.

Formule za zmnožek sinusov, kosinusov in sinus za kosinus

Prehod od produkta trigonometričnih funkcij do vsote ali razlike se izvede z uporabo formule za produkt sinusov, kosinusov in sinus za kosinus.

Univerzalna trigonometrična zamenjava

Pregled osnovnih formul trigonometrije zaključimo s formulami, ki izražajo trigonometrične funkcije s tangensom polovičnega kota. Ta zamenjava se je imenovala univerzalni trigonometrična zamenjava . Njegova priročnost je v tem, da so vse trigonometrične funkcije izražene v smislu tangensa pol kota racionalno brez korenin.

Reference.

• Algebra: Učbenik za 9. razred. povpr. šola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.: Izobraževanje, 1990. - 272 str.: ilustr
• Bašmakov M. I. Algebra in začetki analize: Učbenik. za 10-11 razrede. povpr. šola - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 1993. - 351 str .: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. splošno izobraževanje ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Izobraževanje, 2004. - il.
• Gusev V. A., Mordkovič A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.

Avtorske pravice cleverstudents

Vse pravice pridržane.
Zaščiten z zakonom o avtorskih pravicah. Nobenega dela spletnega mesta, vključno z notranjim gradivom in videzom, ni dovoljeno reproducirati v kakršni koli obliki ali uporabljati brez predhodnega pisnega dovoljenja imetnika avtorskih pravic.

Zdaj si bomo ogledali vprašanje, kako narisati trigonometrične funkcije več kotov ωx, Kje ω - neko pozitivno število.

Za graf funkcije y = greh ωx Primerjajmo to funkcijo s funkcijo, ki smo jo že preučevali y = sin x. Predpostavimo, da kdaj x = x 0 funkcijo y = sin x sprejme vrednost enako 0. Potem

y 0 = sin x 0 .

Preoblikujemo to razmerje na naslednji način:

Zato funkcija y = greh ωx pri X = x 0 / ω ima enako vrednost pri 0 , kar je enako funkciji y = sin x pri x = x 0 . To pomeni, da funkcija y = greh ωx ponavlja svoje pomene v ω krat pogosteje kot funkcija y = sin x. Zato je graf funkcije y = greh ωx dobimo s "stiskanjem" grafa funkcije y = sin x V ω krat vzdolž osi x.

Na primer graf funkcije y = sin 2x pridobljen s "stiskanjem" sinusoide y = sin x dvakrat vzdolž osi x.

Graf funkcije y = sin x / 2 se dobi tako, da se sinusoida y = sin x dvakrat "raztegne" (ali jo "stisne" za 1 / 2 krat) vzdolž osi x.

Od funkcije y = greh ωx ponavlja svoje pomene v ω krat pogosteje kot funkcija
y = sin x, potem je njegovo obdobje ω krat manjša od periode funkcije y = sin x. Na primer obdobje funkcije y = sin 2x enako 2π/2 = π , in obdobje funkcije y = sin x / 2 enako π / x/ 2 = 4π .

Zanimivo je preučevati obnašanje funkcije y = sin ax na primeru animacije, ki jo lahko zelo enostavno ustvarimo v programu Javor:

Na podoben način so zgrajeni grafi drugih trigonometričnih funkcij več kotov. Slika prikazuje graf funkcije y = cos 2x, ki ga dobimo s "stiskanjem" kosinusnega vala y = cos x dvakrat vzdolž osi x.

Graf funkcije y = cos x / 2 dobimo z "raztezanjem" kosinusnega vala y = cos x podvojen vzdolž osi x.

Na sliki vidite graf funkcije y = tan 2x, pridobljen s "stiskanjem" tangentoidov y = tan x dvakrat vzdolž osi x.

Graf funkcije y = tg x/ 2 , dobljeno z "raztezanjem" tangentsoidov y = tan x podvojen vzdolž osi x.

In končno, animacija, ki jo izvaja program Javor:

vaje

1. Zgradite grafe teh funkcij in navedite koordinate točk presečišča teh grafov s koordinatnimi osmi. Določite obdobja teh funkcij.

A). y = greh 4x/ 3 G). y = tan 5x/ 6 in). y = cos 2x/ 3

b). y=cos 5x/ 3 d). y = ctg 5x/ 3 h). y=ctg x/ 3

V). y = tan 4x/ 3 e). y = greh 2x/ 3

2. Določite obdobja funkcij y = sin (πх) in y = tg (πх/2).

3. Navedite dva primera funkcij, ki sprejmejo vse vrednosti od -1 do +1 (vključno s tema dvema številkama) in se periodično spreminjajo s periodo 10.

4 *. Navedite dva primera funkcij, ki sprejmejo vse vrednosti od 0 do 1 (vključno s tema dvema številkama) in se periodično spreminjajo s piko π/2.

5. Navedite dva primera funkcij, ki zavzameta vse realne vrednosti in se periodično spreminjata s periodo 1.

6 *. Navedite dva primera funkcij, ki sprejemata vse negativne vrednosti in nič, vendar ne sprejemata pozitivnih vrednosti in se občasno spreminjata z obdobjem 5.