Integracija pravilne racionalne funkcije. Integracija racionalnih funkcij Ulomek - racionalna funkcija Najenostavnejša

Eden najpomembnejših razredov funkcij, katerih integrali so izraženi preko elementarnih funkcij, je razred racionalnih funkcij.

Definicija 1. Funkcija oblike kje
- polinomi stopinjninmimenovano racionalno. Celotna racionalna funkcija, tj. polinom, neposredno integrira. Integral frakcijsko-racionalne funkcije lahko najdemo z razgradnjo na člene, ki jih na standarden način pretvorimo v glavne tabelarične integrale.

Definicija 2. Ulomek
se imenuje pravilna, če je stopnja števcanmanjša od potence imenovalcam.

Ulomek, pri katerem je stopnja števca večja ali enaka stopnji imenovalca, se imenuje nepravi.

Vsak nepravilni ulomek lahko predstavimo kot vsoto polinoma in pravega ulomka. To naredimo tako, da polinom delimo s polinomom, kot pri deljenju števil.

Primer.
Predstavljajmo si ulomek

kot vsota polinoma in pravega ulomka:

3

3

3

x - 1
Prvi mandat
v količniku dobimo kot rezultat deljenja vodilnega člena , deljeno z vodilnim izrazom X
delilnik Nato pomnožimo na delitelj x-1

in dobljeni rezultat se odšteje od dividende; Preostale člene nepopolnega količnika najdemo podobno.

Po razdelitvi polinomov dobimo:

To dejanje se imenuje izbira celega dela.

Definicija 3. Najenostavnejši ulomki so pravilni racionalni ulomki naslednjih vrst:

jaz
II.

(K=2, 3, …).
III.

kje je kvadratni trinom
IV.
kjer je K=2, 3, …; kvadratni trinom

nima pravih korenin.
a) razširi imenovalec
v najenostavnejše realne faktorje (v skladu s temeljnim izrekom algebre lahko ta razširitev vsebuje linearne binome oblike
in kvadratni trinomi

, brez korenin);
b) napišite diagram razgradnje danega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov. Poleg tega vsak dejavnik oblike ustreza k

komponente tipov I in II:
vsakemu dejavniku oblike

Vsak nepravilni ulomek lahko predstavimo kot vsoto polinoma in pravega ulomka. To naredimo tako, da polinom delimo s polinomom, kot pri deljenju števil.

ustreza izrazom tipa III in IV:
Zapišite shemo razširjanja ulomkov

do vsote najpreprostejših.

c) izvedite seštevanje dobljenih najpreprostejših ulomkov.
Zapiši enakost števcev dobljenega in prvotnega ulomka;

d) poiščite koeficiente ustrezne ekspanzije:

Integracija katerega koli pravilnega racionalnega ulomka po razgradnji na njegove najenostavnejše člene se zmanjša na iskanje integralov ene od vrst:

(ustreza in e =2, 3, …).

Izračun integrala reducira na formulo III:

integral - k formuli II:

integral mogoče najti s pravilom, določenim v teoriji integracije funkcij, ki vsebujejo kvadratni trinom; - s transformacijami, prikazanimi spodaj v primeru 4.

Primer 1.

a) razčlenimo imenovalec:

b) napišite diagram za razgradnjo integranda na člene:

c) izvedite seštevanje preprostih ulomkov:

Zapišimo enakost števcev ulomkov:

d) obstajata dve metodi za iskanje neznanih koeficientov A, B, C.

Dva polinoma sta enaka, če in samo če sta njuna koeficienta enaka pri enakih potencah , deljeno z vodilnim izrazom, tako da lahko ustvarite ustrezen sistem enačb. To je ena od metod rešitve.

Koeficienti pri

brezplačni člani (koeficient pri ):4A=8.

Ko rešimo sistem, dobimo A=2, B=1, C= - 10.

Druga metoda - zasebne vrednosti - bo obravnavana v naslednjem primeru;

e) nadomestite najdene vrednosti v shemo razgradnje:

Če nadomestimo dobljeno vsoto pod znakom integrala in integriramo vsak člen posebej, ugotovimo:

Primer 2.

Identiteta je enakost, ki velja za vse vrednosti neznank, ki so vanjo vključene. Na podlagi tega metoda zasebne vrednosti. , deljeno z vodilnim izrazom Lahko se da

kakršne koli vrednosti. Za izračune je bolj priročno vzeti tiste vrednosti, zaradi katerih kateri koli člen na desni strani enakosti izgine. Naj x = 0 . Potem 1 = A 0(0+2)+V (0-1)(0+2).

0 (0-1)+С Podobno za x = - 2 imamo 1= - 2V*(-3 ), pri x = 1 imamo.

1 = 3A

torej

Primer 3.

kakršne koli vrednosti. Za izračune je bolj priročno vzeti tiste vrednosti, zaradi katerih kateri koli člen na desni strani enakosti izgine. Naj d) najprej uporabimo metodo delnih vrednosti. . Potem , Potem.

1, A = 1 pri x = - 2 - x = - 1 1+4+2+1 = - B(1+1+1) oz, 6 = - 3V.

B = - 2 , deljeno z vodilnim izrazomČe želite najti koeficienta C in D, morate ustvariti še dve enačbi. Za to lahko vzamete katero koli drugo vrednost , Na primer x = 1 in x = 2 , deljeno z vodilnim izrazom. Uporabite lahko prvo metodo, tj. enačite koeficiente pri poljubnih enakih potencah , na primer, ko

in.Dobimo

1 = A+B+C in 4 = C + D, - IN. Vedeti A = 1, . = 0 .

B = -2

, bomo našli C = 2

Tako lahko obe metodi kombiniramo pri izračunu koeficientov.
Zadnji integral
najdemo ločeno po pravilu, določenem v metodi določanja nove spremenljivke.

=

Izberimo popoln kvadrat v imenovalcu:

recimo

Potem

Dobimo:

Če zamenjamo prejšnjo enakost, ugotovimo

Primer 4.

Najdi

b)

V tretjem integralu zamenjamo spremenljivko:

(Pri izvedbi transformacij smo uporabili trigonometrično formulo

Poišči integrale:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Vprašanja za samotestiranje.

Kateri od teh racionalnih ulomkov je pravilen:

2. Ali je diagram za razgradnjo ulomka na vsoto enostavnih ulomkov pravilno zapisan?

Racionalna funkcija je ulomek oblike , katerega števec in imenovalec sta polinoma ali produkta polinoma.

Primer 1. 2. korak

.

Nedoločene koeficiente pomnožimo s polinomi, ki niso v tem posameznem ulomku, so pa v drugih nastalih ulomkih:

Odprite oklepaje in izenačite števec prvotnega integranda z nastalim izrazom:

V obeh straneh enakosti iščemo člene z enakimi potencami x in iz njih sestavimo sistem enačb:

.

Prekličemo vse x-e in dobimo enakovreden sistem enačb:

.

Tako je končna razširitev integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 2. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Zdaj začnemo iskati negotove koeficiente. Da bi to naredili, izenačimo števec prvotnega ulomka v funkcijskem izrazu s števcem izraza, dobljenega po zmanjševanju vsote ulomkov na skupni imenovalec:

Zdaj morate sestaviti in rešiti sistem enačb. Da bi to naredili, izenačimo koeficiente spremenljivke z ustrezno stopnjo v števcu prvotnega izraza funkcije in podobne koeficiente v izrazu, pridobljenem v prejšnjem koraku:

Rešimo nastali sistem:

Torej, od tukaj

.

torej 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

Začnemo iskati negotove koeficiente. Da bi to naredili, izenačimo števec prvotnega ulomka v funkcijskem izrazu s števcem izraza, dobljenega po zmanjševanju vsote ulomkov na skupni imenovalec:

Kot v prejšnjih primerih sestavimo sistem enačb:

Zmanjšamo x in dobimo enakovredni sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

recimo 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Iz prejšnjih primerov že vemo, kako enačiti števec prvotnega ulomka z izrazom v števcu, ki ga dobimo, ko ulomek razstavimo na vsoto enostavnih ulomkov in to vsoto spravimo na skupni imenovalec. Zato samo za namene nadzora predstavljamo nastali sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

Primer 5. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

To vsoto neodvisno reduciramo na skupni imenovalec, pri čemer števec tega izraza enačimo s števcem prvotnega ulomka. Rezultat bi moral biti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

.

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 6. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

S to količino izvajamo enaka dejanja kot v prejšnjih primerih. Rezultat bi moral biti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

.

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 7. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Po določenih dejanjih z nastalo količino je treba dobiti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razgradnjo integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 8. 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razgradnjo prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Naredimo nekaj sprememb v dejanjih, ki so bila že avtomatizirana, da dobimo sistem enačb. Obstaja umetna tehnika, ki v nekaterih primerih pomaga preprečiti nepotrebne izračune. Če vsoto ulomkov spravimo na skupni imenovalec, dobimo in izenačimo števec tega izraza s števcem prvotnega ulomka, dobimo.

Integracija racionalnih funkcij Ulomek - racionalna funkcija Najenostavnejši racionalni ulomki Razstavljanje racionalnega ulomka na enostavne ulomke Integracija enostavnih ulomkov Splošno pravilo za integracijo racionalnih ulomkov

polinom stopnje n. Ulomek - racionalna funkcija Ulomek - racionalna funkcija je funkcija, ki je enaka razmerju dveh polinomov: Racionalni ulomek se imenuje pravi, če je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca, to je m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Ulomek – racionalna funkcija Zmanjšaj nepravilni ulomek v pravilno obliko: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Najenostavnejši racionalni ulomki Pravilni racionalni ulomki oblike: Imenujejo se najenostavnejši racionalni ulomki vrst. sekira A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Razčlenitev racionalnega ulomka na enostavne ulomke Izrek: Vsak pravi racionalni ulomek, katerega imenovalec je faktoriziran: lahko poleg tega na edinstven način predstavimo v obliki vsote enostavnih ulomkov: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Razgradnja racionalnega ulomka na enostavne ulomke Razložimo formulacijo izreka na naslednjih primerih: Za iskanje negotovih koeficientov A, B, C, D... uporabljamo dve metodi: metodo primerjanja koeficientov in metodo primerjanja koeficientov. delnih vrednosti spremenljivke. Oglejmo si prvo metodo na primeru. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x)

Razstavljanje racionalnega ulomka na enostavne ulomke Ulomek predstavimo kot vsoto enostavnih ulomkov: Najpreprostejše ulomke spravimo na skupni imenovalec Izenačimo števce dobljenega in prvotnega ulomka Izenačimo koeficiente pri enakih potencah x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integracija najpreprostejših ulomkov Poiščimo integrale najpreprostejših racionalnih ulomkov: Poglejmo integracijo ulomkov tipa 3 na primeru. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integracija enostavnih ulomkovdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Integracija enostavnih ulomkov Integral te vrste z uporabo substitucije: se zmanjša na vsoto dveh integralov: Prvi integral se izračuna tako, da se pod diferencialni predznak uvede t. Drugi integral se izračuna z uporabo rekurenčne formule: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk pri dt N pri dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integracija enostavnih ulomkov a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Splošno pravilo za integracijo racionalnih ulomkov Če je ulomek nepravilen, ga predstavite kot vsoto polinoma in pravega ulomka. Ko faktoriziramo imenovalec pravilnega racionalnega ulomka, ga predstavimo kot vsoto preprostih ulomkov z nedoločenimi koeficienti z metodo primerjave koeficientov ali z metodo delnih vrednosti spremenljivke. Integrirajte polinom in dobljeno vsoto enostavnih ulomkov.

Primer Zapišimo ulomek v pravilno obliko. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x

Primer Faktorizirajmo imenovalec pravega ulomka. Predstavimo ulomek kot vsoto enostavnih ulomkov. Poiščimo nedoločene koeficiente z metodo delnih vrednosti spremenljivke xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Primer dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

»Matematik tako kot umetnik ali pesnik ustvarja vzorce. In če so njegovi vzorci stabilnejši, je to samo zato, ker so sestavljeni iz idej ... Vzorci matematika morajo biti tako kot vzorci umetnika ali pesnika lepi; Ideje, tako kot barve ali besede, morajo ustrezati druga drugi. Lepota je prvi pogoj: na svetu ni mesta za grdo matematiko».

G.H.Hardy

V prvem poglavju je bilo ugotovljeno, da obstajajo protiodvodi dokaj preprostih funkcij, ki jih ni več mogoče izraziti z elementarnimi funkcijami. V zvezi s tem pridobijo tisti razredi funkcij, za katere lahko z gotovostjo rečemo, da so njihovi antiderivati ​​elementarne funkcije, velik praktični pomen. Ta razred funkcij vključuje racionalne funkcije, ki predstavlja razmerje dveh algebraičnih polinomov. Številne težave vodijo do integracije racionalnih ulomkov. Zato je zelo pomembno, da lahko takšne funkcije integriramo.

2.1.1. Ulomke racionalne funkcije

Racionalni ulomek(oz frakcijska racionalna funkcija) imenujemo razmerje dveh algebrskih polinomov:

kjer in sta polinoma.

Naj vas spomnimo, da polinom (polinom, celotno racionalno funkcijo) nth stopnjo imenujemo funkcija oblike

kje – realna števila. na primer

– polinom prve stopnje;

– polinom četrte stopnje itd.

Racionalni ulomek (2.1.1) imenujemo pravilno, če je stopnja nižja od stopnje , tj. n<m, sicer se ulomek imenuje narobe.

Vsak nepravilni ulomek lahko predstavimo kot vsoto polinoma (celo število) in pravega ulomka (ulomek). Ločevanje celega in ulomka nepravilnega ulomka lahko izvedemo po pravilu za deljenje polinomov z »votilom«.

Primer 2.1.1. Določite cele in ulomke naslednjih nepravilnih racionalnih ulomkov:

A) , b) .

rešitev . a) Z algoritmom deljenja »kota« dobimo

Tako dobimo

.

b) Tudi tukaj uporabimo algoritem deljenja »kota«:

Kot rezultat dobimo

.

Naj povzamemo. V splošnem primeru lahko nedoločen integral racionalnega ulomka predstavimo kot vsoto integralov polinoma in pravega racionalnega ulomka. Iskanje protiodvodov polinomov ni težko. Zato bomo v nadaljevanju obravnavali predvsem prave racionalne ulomke.

2.1.2. Najenostavnejši racionalni ulomki in njihova integracija

Med pravimi racionalnimi ulomki obstajajo štiri vrste, ki jih uvrščamo v najpreprostejši (elementarni) racionalni ulomki:

3) ,

4) ,

kje je celo število, , tj. kvadratni trinom nima pravih korenin.

Integracija preprostih ulomkov tipa 1 in tipa 2 ne predstavlja večjih težav:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Oglejmo si zdaj integracijo enostavnih ulomkov 3. vrste, vendar ne bomo obravnavali ulomkov 4. vrste.

Začnimo z integrali oblike

.

Ta integral se običajno izračuna z izolacijo popolnega kvadrata imenovalca. Rezultat je integral tabele naslednje oblike

1+4+2+1 = - B(1+1+1) .

Primer 2.1.2. Poišči integrale:

A) , b) .

rešitev . a) Izberite celoten kvadrat iz kvadratnega trinoma:

Od tu najdemo

b) Z izolacijo celotnega kvadrata iz kvadratnega trinoma dobimo:

torej

.

Najti integral

lahko izolirate odvod imenovalca v števcu in razširite integral v vsoto dveh integralov: prvega z zamenjavo pride do videza

,

in drugi - tistemu, ki je obravnavan zgoraj.

Primer 2.1.3. Poišči integrale:

.

rešitev . Upoštevajte to . Izločimo izpeljanko imenovalca v števcu:

Prvi integral se izračuna s substitucijo :

Pri drugem integralu izberemo popolni kvadrat v imenovalcu

Končno dobimo

2.1.3. Pravilno racionalno širjenje ulomkov
za vsoto enostavnih ulomkov

Vsak pravi racionalni ulomek lahko na edinstven način predstavimo kot vsoto preprostih ulomkov. Da bi to naredili, je treba imenovalec faktorizirati. Iz višje algebre je znano, da vsak polinom z realnimi koeficienti

Tukaj ponujamo podrobne rešitve za tri primere integracije naslednjih racionalnih ulomkov:
, , .

Primer 1

Izračunaj integral:
.

rešitev

Tu je integralni predznak racionalna funkcija, saj je integrand del polinomov. Stopnja polinoma imenovalca ( 3 ) manjša od stopnje polinoma števca ( 4 ). Zato morate najprej izbrati celoten del ulomka.

1. Izberimo cel del ulomka. Razdeli x 4 od x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Od tukaj
.

2. Razložimo imenovalec ulomka na faktorje. Če želite to narediti, morate rešiti kubično enačbo:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Zamenjajmo x = 1 :
.

1 . 1 :

Od tukaj
.
Deli z x -
.
Reševanje kvadratne enačbe.
Koreni enačbe so: , .
.

3. Potem

.

Razčlenimo ulomek na najpreprostejšo obliko.
.
Tako smo ugotovili:

Integrirajmo se.

Odgovori

Izračunaj integral:
.

rešitev

Primer 2 Tukaj je števec ulomka polinom stopnje nič ( 1 = x 0 0 < 3 ). Imenovalec je polinom tretje stopnje. Ker

1. , potem je ulomek pravilen. Razčlenimo ga na preproste frakcije.
.
Razložimo imenovalec ulomka na faktorje. Če želite to narediti, morate rešiti enačbo tretje stopnje: 3 Predpostavimo, da ima vsaj en cel koren. Potem je to delitelj števila
1, 3, -1, -3 .
Zamenjajmo x = 1 :
.

(član brez x). To pomeni, da je celoten koren lahko eno od števil: 1 Torej, našli smo en koren x = . Razdeli x 1 :

3 + 2 x - 3
.

na x -
Torej, Reševanje kvadratne enačbe:.
Poiščite diskriminanco: D = 1 2 - 4 3 = -11.< 0 Ker je D
.

2.
.
, potem enačba nima pravih korenin. Tako smo dobili faktorizacijo imenovalca::
(2.1) .
Zamenjajmo x = 1 (x - 1)(x 2 + x + 3) 1 = 0 ,
.

. (2.1) Potem x - 0 :
Vstavimo se;
.

x = (2.1) 1 = 3 A - C 2 :
;
Izenačimo z;
.

.

3. Tako smo ugotovili:
(2.2) .
koeficienti za x

;
;
.

0 = A + B 2 .


.
Za izračun drugega integrala izberemo odvod imenovalca v števcu in zreduciramo imenovalec na vsoto kvadratov. Reševanje kvadratne enačbe: Izračunaj I Ker je enačba x nima pravih korenin, potem x

2 + x + 3 > 0 (2.2) :
.

Integrirajmo se.

.

Izračunaj integral:
.

rešitev

Zato lahko znak modula izpustimo. 3 Dostavljamo do 4 Primer 3 3 < 4 Tukaj je pod znakom integrala del polinomov. Zato je integrand racionalna funkcija. Stopnja polinoma v števcu je enaka

1. .
.
Razložimo imenovalec ulomka na faktorje. Če želite to narediti, morate rešiti enačbo tretje stopnje: 2 Predpostavimo, da ima vsaj en cel koren. Potem je to delitelj števila
1, 2, -1, -2 .
Zamenjajmo x = -1 :
.

(član brez x). To pomeni, da je celoten koren lahko eno od števil: -1 . Stopnja polinoma imenovalca ulomka je enaka:


3 + 2 x - 3
.

.
.
Ker 2 Predpostavimo, da ima vsaj en cel koren. Potem je to delitelj števila
1, 2, -1, -2 .
Zamenjajmo x = -1 :
.

, potem je ulomek pravilen. Zato ga je mogoče razstaviti na preproste frakcije. Toda za to morate faktorizirati imenovalec. -1 Razložimo imenovalec ulomka na faktorje. Če želite to narediti, morate rešiti enačbo četrte stopnje:
.

(-1) = x + 1 2 + 2 = 0 Zdaj moramo rešiti enačbo tretje stopnje:
.

2. Če predpostavimo, da ima ta enačba celoštevilski koren, potem je delitelj števila
.
Torej smo našli še en koren x = .:
(3.1) .
Zamenjajmo x = -1 Možno bi bilo, kot v prejšnjem primeru, deliti polinom z , vendar bomo člene združili v skupine: 1 = 0 ,
.

Ker je enačba x (3.1) :

;

.
Zamenjajmo x = -1 nima pravih korenin, potem dobimo faktorizacijo imenovalca: 1 = 0 :
;
; .

. (3.1) Potem x - 0 :
Razčlenimo ulomek na najpreprostejšo obliko. Iščemo razširitev v obliki:;
.

x = (3.1) 1 = 3 A - C 3 :
;
Znebimo se imenovalca ulomka, pomnožimo s;
.

(x + 1) 2 (x 2 + 2)
.

3. Tako smo ugotovili:


.