Določanje težišča poljubnega telesa z zaporednim seštevanjem sil, ki delujejo na njegove posamezne dele, je težka naloga; lažje postane le pri telesih razmeroma preproste oblike.

Naj bo telo sestavljeno le iz dveh mas in povezanih s palico (slika 125). Če je masa palice majhna v primerjavi z masama in , jo lahko zanemarimo. Na vsako od mas delujejo gravitacijske sile, ki so enake oz. oba sta usmerjena navpično navzdol, torej vzporedno drug z drugim. Kot vemo, deluje rezultanta dveh vzporednih sil v točki, ki jo določimo iz pogoja

riž. 125. Določitev težišča telesa, sestavljenega iz dveh bremen

Posledično težišče deli razdaljo med dvema bremenoma v razmerju, obratnem razmerju med njunima masama. Če to telo obesimo na točko , bo ostalo v ravnovesju.

Ker imata dve enaki masi skupno težišče v točki, ki razpolavlja razdaljo med tema masama, je takoj jasno, da na primer leži težišče homogene palice na sredini palice (slika 126).

Ker vsak premer homogenega okroglega diska razdeli na dva popolnoma enaka simetrična dela (slika 127), mora težišče ležati na vsakem premeru diska, to je na presečišču premerov - v geometrijskem središču diska. disk. Če sklepamo na podoben način, lahko ugotovimo, da leži težišče homogene žoge v njenem geometrijskem središču, težišče enakomernega pravokotnega paralelepipeda leži v presečišču njegovih diagonal itd. Težišče obroča ali prstan leži v njenem središču. Zadnji primer kaže, da je lahko težišče telesa zunaj telesa.

riž. 126. Težišče homogene palice leži na njeni sredini

riž. 127. Središče homogenega diska leži v njegovem geometrijskem središču

Če ima telo nepravilno obliko ali če je heterogeno (na primer ima praznine), je izračun položaja težišča pogosto težaven in je bolj priročno najti ta položaj s poskusom. Recimo, da želite najti težišče kosa vezanega lesa. Obesimo ga na nit (slika 128). Očitno mora težišče telesa v ravnotežnem položaju ležati na podaljšku niti, sicer bo sila težnosti imela moment glede na točko vzmetenja, ki bi začelo telo vrteti. Če torej na naš kos vezanega lesa narišemo ravno črto, ki predstavlja nadaljevanje niti, lahko rečemo, da leži težišče na tej ravni črti.

Z obešanjem telesa na različnih točkah in risanjem navpičnih črt bomo namreč poskrbeli, da se vse sekajo v eni točki. Ta točka je težišče telesa (saj mora ležati hkrati na vseh takih črtah). Na podoben način lahko določite položaj težišča ne le ravne figure, ampak tudi bolj zapletenega telesa. Položaj težišča letala se določi tako, da se njegova kolesa zakotalijo na ploščad za tehtanje. Rezultanta sil teže, ki delujejo na vsako kolo, bo usmerjena navpično, premica, vzdolž katere deluje, pa je mogoče najti z uporabo zakona seštevanja vzporednih sil.

riž. 128. Točka presečišča navpičnih črt, narisanih skozi obešalne točke, je težišče telesa

Ko se spremeni masa posameznih delov telesa ali ko se spremeni oblika telesa, se spremeni položaj težišča. Tako se težišče letala premakne, ko se gorivo porabi iz rezervoarjev, pri nalaganju prtljage itd. Za vizualni poskus, ki ponazarja gibanje težišča ob spremembi oblike telesa, je priročno vzeti dva enake palice, povezane s tečajem (slika 129). V primeru, ko palice tvorijo nadaljevanje druga druge, leži težišče na osi palic. Če so palice upognjene na tečaju, potem je težišče zunaj palic, na simetrali kota, ki ga tvorijo. Če dodatno obremenite eno od palic, se bo težišče premaknilo proti tej obremenitvi.

riž. 129. a) Težišče palic, povezanih s tečajem, ki se nahajajo na eni ravni črti, leži na osi palic, b) Težišče upognjenega sistema palic leži zunaj palic

81.1. Kje je težišče dveh enakih tankih palic dolžine 12 cm, ki sta pritrjeni v obliki črke T?

81.2. Dokaži, da leži težišče homogene trikotne plošče v presečišču središč.

riž. 130. Za vajo 81.3

81.3. Homogena plošča z maso 60 kg leži na dveh nosilcih, kot je prikazano na sl. 130. Določite sile, ki delujejo na nosilce.

Navodila

Poskusite najti središče gravitacija ravno figure empirično. Vzemite nov, nenabrušen svinčnik in ga postavite navpično. Nanjo položite ravno figuro. Na svinčniku označite točko na sliki, kjer je stabilna. To bo središče gravitacija tvoje figure. Namesto svinčnika preprosto uporabite navzgor iztegnjen kazalec. Toda to je zato, ker morate zagotoviti, da prst stoji naravnost, da ne niha ali trepeta.

Da bi dokazali, da je nastala točka središče mase, vanjo naredite luknjo z iglo. Skozi luknjo napeljite nit in na enem koncu zavežite vozel, da nit ne skoči ven. Držite drugi konec niti in nanj obesite svoje telo. Če center gravitacija Tako je, figura bo postavljena natančno, vzporedno s tlemi. Njene stranice ne bodo nihale.

Poiščite središče gravitacija figure geometrijsko. Če vam je dan trikotnik, sestavite . Ti segmenti povezujejo oglišča trikotnika s sredino nasprotne stranice. Točka bo postala center trikotne mase. Če želite najti sredino stranice, lahko lik celo prepognete na pol, vendar ne pozabite, da bo to porušilo enotnost figure.

Primerjaj dobljene rezultate geometrijsko in eksperimentalno. Poročaj o napredku poskusa. Majhne napake veljajo za normalne. Razlagajo jih nepopolnost figure, netočnost instrumentov, človeški dejavnik (manjše napake pri delu, nepopolnost človeškega očesa itd.).

Viri:

• Izračun koordinat težišča ploščate figure

V enakomernem gravitacijskem polju težišče sovpada s središčem mase. V geometriji sta pojma "težišče" in "središče mase" enakovredna, saj obstoj gravitacijskega polja ni upoštevan. Središče mase imenujemo tudi vztrajnostno središče in barycenter (iz grškega barusa - težek, kentron - središče). Označuje gibanje telesa ali sistema delcev. Tako se telo pri prostem padu vrti okoli svojega vztrajnostnega središča.

Navodila

Naj bo sistem sestavljen iz dveh enakih točk. Potem se očitno nahaja na sredini med njimi. Če imata točki s koordinatama x1 in x2 različni masi m1 in m2, potem je koordinata središča mase x(c)=(m1 x1+m2 x2)/(m1+m2). Glede na izbrano "ničlo" referenčnega sistema so lahko koordinate tudi negativne.

Točke na ravnini imajo dve koordinati: x in y. Ko je določeno v prostoru, se doda tretja koordinata z. Da ne bi opisovali vsake koordinate posebej, je priročno upoštevati vektor polmera točke: r=x i+y j+z· k, Kje i,j,k− enotski vektorji koordinatnih osi.

Naj zdaj sistem sestavljajo tri točke z masami m1, m2 in m3. Njihovi radijski vektorji oz. r1, r2 in r3. Nato radij vektor njihovega težišča r(c)=(m1· r1+m2· r2+m3 r3)/(m1+m2+m3).

Če je sistem sestavljen iz poljubnih točk, se vektor polmera po definiciji najde po formuli:
r(c)=∑m(i) r(i)/∑m(i). Seštevanje se izvede z indeksom i (zapisan pod znakom za vsoto ∑). Tukaj je m(i) nek i-ti sistem, r(i)− njegov polmerni vektor.

Če je telo po masi homogeno, gre vsota v integral. Miselno razbijte telo na neskončno majhne koščke mase dm. Ker je telo homogeno, lahko maso vsakega kosa zapišemo kot dm=ρ·dV, kjer je dV elementarna prostornina tega kosa, ρ je gostota (enaka po vsej prostornini homogenega telesa).

Integralni seštevek mase vseh kosov bo dal maso celotnega telesa: ∑m(i)=∫dm=M. Tako se izkaže r(c)=1/M·∫ρ·dV· dr. Gostoto, konstantno vrednost, lahko vzamemo izpod integralnega znaka: r(c)=ρ/M·∫dV· dr. Za neposredno integracijo boste morali nastaviti posebno funkcijo med dV in dr, kar je odvisno od parametrov figure.

Na primer, težišče segmenta (dolge homogene palice) je na sredini. Središče mase krogle in krogle se nahaja v središču. Baricenter stožca se nahaja na višini osnega segmenta, šteto od baze.

Središče lahko določimo tudi eksperimentalno. Iz lista debelega papirja ali kartona izrežite poljubno obliko (na primer isti trikotnik). Poskusite ga položiti na konico navpično iztegnjenega prsta. Mesto, na katerem je to mogoče storiti, bo središče vztrajnosti telesa.

Viri:

• "Mehanika", D.V. Sivuhin, 2006.
• Določanje koordinat težišča plovila

V običajnem smislu je težišče zaznano kot točka, na katero je mogoče uporabiti rezultanto vseh sil, ki delujejo na telo. Najenostavnejši primer je otroška gugalnica v obliki navadne deske. Brez kakršnih koli izračunov bo vsak otrok izbral oporo deske tako, da bo uravnotežil (in morda celo odtehtal) težkega človeka na gugalnici. Pri kompleksnih telesih in prerezih so nepogrešljivi natančni izračuni in ustrezne formule. Tudi če dobite okorne izraze, je glavna stvar, da se jih ne bojite, ampak da se spomnite, da sprva govorimo o skoraj osnovni nalogi.

Navodila

Razmislite o najpreprostejšem vzvodu (glej sliko 1) v ravnotežnem položaju. Postavite x₁₂ na vodoravno os z absciso in postavite materialne točke z maso m₁ in m₂ na robove. Upoštevajte njihove koordinate vzdolž osi 0x kot znane in enake x₁ in x₂. Ročica je v ravnotežnem položaju, če sta momenta sil teže Р₁=m₁g in P₂=m₂g enaka. Moment je enak zmnožku sile z njenim krakom, ki ga lahko najdemo kot dolžino navpičnice, spuščene iz točke delovanja sile na navpičnico x=x₁₂. Zato je v skladu s sliko 1 m₁gℓ₁= m₂gℓ₂, ℓ₁=х₁₂-х₁, ℓ₂=х₂-х₁₂. Potem je m₁(х₁₂-х₁)=m₂(х₂-х₁₂). Rešite to enačbo in dobite x₁₂=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂).

Če želite izvedeti ordinato y₁₂, uporabite enako sklepanje in izračune kot v koraku 1. Še vedno sledite ilustraciji, prikazani na sliki 1, kjer je m₁gh₁= m₂gh₂, h₁=y₁₂-y₁, h₂=y₂-y₁₂. Potem je m₁(y₁₂-y₁)=m₂(y₂-y₁₂). Rezultat je y₁₂=(m₁у₁+m₂у₂)/(m₁+m₂). Nato upoštevajte, da namesto sistema dveh točk obstaja ena točka M₁₂(x12,у12) skupne mase (m₁+m₂).

Sistemu dveh točk dodajte še eno maso (m₃) s koordinatami (x₃, y₃). Pri izračunu še vedno predpostavljajte, da imate opravka z dvema točkama, pri čemer ima druga maso (m₁+m₂) in koordinate (x12,y12). Če ponovite vsa dejanja korakov 1 in 2 za ti dve točki, boste prišli do središča treh točk x₁x₁+m₂x₂+m₃x₃)/(m₁+m₂+m3), y₁₂₃=(m₁у₁+m₂у₂+m3y₃)/( m₁ +m₂ +m3). Nato dodajte četrto, peto in tako naprej. Po večkratni ponovitvi istega postopka se prepričajte, da so za sistem n točk koordinate težišča izračunane po formuli (glej sliko 2). Upoštevajte dejstvo, da se je med delom gravitacijski pospešek g zmanjšal. Zato koordinate težišča in težišča sovpadajo.

Predstavljajte si, da je v obravnavanem odseku določeno območje D, katerega površinska gostota je ρ=1. Od zgoraj in spodaj je slika omejena z grafoma krivulj y=φ(x) in y=ψ(x), x є [a,b]. Območje D razdelite z navpičnicami x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) na tanke trakove, tako da jih lahko približno obravnavate kot pravokotnike z osnovami ∆хi (glej sliko .3). V tem primeru menimo, da sredina segmenta ∆хi sovpada z absciso središča mase ξi=(1/2). Za višino pravokotnika velja, da je približno enaka [φ(ξi)-ψ(ξi)]. Potem je ordinata središča mase elementarne površine ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)].

Zaradi enakomerne porazdelitve gostote predpostavimo, da bo središče mase traku sovpadalo z njegovim geometrijskim središčem. Ustrezna elementarna masa ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi je skoncentrirana v točki (ξi,ηi). Prišel je trenutek za obratni prehod od mase, predstavljene v diskretni obliki, k kontinuirani. V skladu s formulami za izračun koordinat (glej sliko 2) težišča se oblikujejo integralne vsote, ki jih prikazuje slika 4a. Pri prehodu do meje pri ∆xi→0 (ξi→xi) od vsot do določenih integralov dobimo končni odgovor (slika 4b). V odgovoru ni mase. Enakost S=M je treba razumeti samo kot kvantitativno. Dimenzije se tukaj med seboj razlikujejo.

Kako najti težišče

Avtor: Vzemimo telo poljubne oblike. Ali ga je mogoče obesiti na nit tako, da po obešanju obdrži svoj položaj (tj. se ne začne obračati), ko katerikoli začetna orientacija (slika 27.1)?

Z drugimi besedami, ali obstaja točka, glede na katero bi bila vsota gravitacijskih momentov, ki delujejo na različne dele telesa, enaka nič pri katerikoli orientacijo telesa v prostoru?

Bralec: Mislim, da. Ta točka se imenuje težišče telesa.

Dokaz. Za poenostavitev si predstavljamo telo v obliki ravne plošče poljubne oblike, poljubno usmerjene v prostoru (slika 27.2). Vzemimo koordinatni sistem X 0pri z začetkom v središču mase – točki Z, Potem x C = 0, pri C = 0.

Predstavljajmo si to telo kot zbirko velikega števila točkastih mas m i, od katerih je položaj vsakega od njih določen s polmernim vektorjem.

Po definiciji je središče mase , koordinata pa x C = .

Ker v koordinatnem sistemu, ki smo ga sprejeli x C= 0, potem . Pomnožimo to enakost z g in dobimo

Kot je razvidno iz sl. 27.2, | x i| – to je rama moči. In če x i> 0, potem moment sile M i> 0, in če x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x i moment sile bo enak M i = m i gx i. Potem je enakost (1) enakovredna enakosti , kjer je M i– gravitacijski moment. To pomeni, da bo pri poljubni orientaciji telesa vsota gravitacijskih momentov, ki delujejo na telo, enaka nič glede na njegovo središče mase.

Da bi bilo telo, ki ga obravnavamo, v ravnovesju, je treba nanj nanesti točko Z sila T = mg, usmerjen navpično navzgor. Moment te sile glede na točko Z enako nič.

Ker naše sklepanje ni bilo v ničemer odvisno od tega, kako natančno je telo orientirano v prostoru, smo dokazali, da težišče sovpada s središčem mase, kar smo morali tudi dokazati.

Problem 27.1. Poiščite težišče breztežne palice dolžine l, na koncih katerih sta pritrjeni dve točkovni masi T 1 in T 2 .

T 1 T 2 l	rešitev. Ne bomo iskali težišča, ampak središče mase (ker je to isto). Predstavimo os X(slika 27.3). riž. 27.3
x C =?

Odgovori: v oddaljenosti od mase T 1 .

STOP! Odločite se sami: B1–B3.

Izjava 1 . Če ima homogeno ravno telo simetrijsko os, je težišče na tej osi.

Dejansko za vsako točkovno maso m i, ki se nahaja desno od osi simetrije, obstaja enaka masa točke, ki se nahaja simetrično glede na prvo (slika 27.4). V tem primeru je vsota momentov sil .

Ker lahko celotno telo predstavimo kot razdeljeno na podobne pare točk, je skupni gravitacijski moment glede na katero koli točko, ki leži na simetrični osi, enak nič, kar pomeni, da je težišče telesa na tej osi. . To vodi do pomembnega zaključka: če ima telo več simetrijskih osi, potem je težišče v presečišču teh osi(slika 27.5).

riž. 27.5

Izjava 2. Če imata dve telesi masi T 1 in T 2 povezana v eno, potem bo težišče takega telesa ležalo na odseku ravne črte, ki povezuje težišča prvega in drugega telesa (slika 27.6).

riž. 27.6 riž. 27.7

Dokaz. Postavimo sestavljeno telo tako, da bo segment, ki povezuje težišči teles, navpičen. Nato vsota gravitacijskih momentov prvega telesa glede na točko Z 1 je enaka nič, vsota gravitacijskih momentov drugega telesa glede na točko Z 2 je enak nič (slika 27.7).

Upoštevajte to ramo gravitacijo katere koli točkovne mase t i enako glede na katero koli točko, ki leži na segmentu Z 1 Z 2, in torej gravitacijski moment glede na katero koli točko, ki leži na segmentu Z 1 Z 2, enako. Posledično je gravitacijska sila celotnega telesa enaka nič glede na katero koli točko na segmentu Z 1 Z 2. Tako leži težišče sestavljenega telesa na segmentu Z 1 Z 2 .

Pomemben praktični sklep izhaja iz trditve 2, ki je jasno oblikovana v obliki navodil.

Navodila,

kako najti težišče trdnega telesa, če ga je mogoče zlomiti

na dele, katerih položaji težišč so znani

1. Vsak del je treba nadomestiti z maso, ki se nahaja v težišču tega dela.

2. Najdi središče mase(in to je enako težišču) dobljenega sistema točkovnih mas, pri čemer izberemo primeren koordinatni sistem X 0pri, po formulah:

Pravzaprav uredimo sestavljeno telo tako, da segment Z 1 Z 2 je bil vodoraven in ga na točkah obesite na niti Z 1 in Z 2 (slika 27.8, A). Jasno je, da bo telo v ravnotežju. In to ravnovesje se ne bo porušilo, če vsako telo nadomestimo s točkastimi masami T 1 in T 2 (slika 27.8, b).

riž. 27.8

STOP! Odločite se sami: C3.

Problem 27.2. Kroglice z maso so postavljene na dve oglišči enakostraničnega trikotnika T vsak. V tretje oglišče je postavljena krogla z maso 2 T(slika 27.9, A). Trikotna stran A. Določite težišče tega sistema.

T 2T A	riž. 27.9
x C = ? pri C = ?

rešitev. Predstavimo koordinatni sistem X 0pri(slika 27.9, b). Potem

,

.

Odgovori: x C = A/2; ; težišče leži na polovici višine AD.

Težišče je točka, skozi katero poteka premica delovanja rezultante elementarnih gravitacijskih sil. Ima lastnost središča vzporednih sil (E.M. Nikitin, § 42). zato formule za določanje položaja težišča različnih teles imajo obliko:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i.

Če je telo, katerega težišče je treba določiti, mogoče identificirati s figuro, sestavljeno iz črt (na primer zaprta ali odprta kontura iz žice, kot na sliki 173), potem je teža G i vsakega segmenta l i lahko predstavljamo kot izdelek
G i = l i d,
kjer je d konstantna teža enote dolžine materiala za celotno sliko.

Po zamenjavi njihovih vrednosti l i d v formule (1) namesto G i lahko konstantni faktor d v vsakem členu števca in imenovalca vzamemo iz oklepajev (nad znakom vsote) in zmanjšamo. torej formule za določanje koordinat težišča figure, sestavljene iz segmentov, bo imel obliko:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i ;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i.

Če ima telo obliko figure, sestavljene iz ravnin ali ukrivljenih površin, razporejenih na različne načine (slika 174), potem lahko težo vsake ravnine (površine) predstavimo na naslednji način:
G i = F i p,
kjer je F i površina vsake površine, p pa teža na enoto površine figure.

Po nadomestitvi te vrednosti G i v formule (1) dobimo formule za koordinate težišča figure, sestavljene iz območij:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i.

Če lahko homogeno telo razdelimo na preproste dele določene geometrijske oblike (slika 175), potem je teža vsakega dela
G i = V i γ,
kjer je V i prostornina vsakega dela, γ pa teža na enoto prostornine telesa.

Po zamenjavi vrednosti G i v formule (1) dobimo formule za določanje koordinat težišča telesa, sestavljenega iz homogenih volumnov:
x c = (∑ V i x i) / ∑ V i ;
(4) y c = (∑ V i y i) / ∑ V i ;
z c = (∑ V i z i) / ∑ V i.

Pri reševanju nekaterih problemov določanja položaja težišča teles je včasih treba vedeti, kje se nahaja težišče krožnega loka, krožnega sektorja ali trikotnika.

Če sta znana polmer loka r in središčni kot 2α, ki ga pokriva lok in izražen v radianih, potem je položaj težišča C (slika 176, a) glede na središče loka O določen z formula:
(5) x c = (r sin α)/α.

Če je podana tetiva AB=b loka, lahko v formuli (5) izvedete zamenjavo
sin α = b/(2r)
in potem
(5a) x c = b/(2α).

V posebnem primeru za polkrog bosta obe formuli imeli obliko (slika 176, b):
(5b) x c = OC = 2r/π = d/π.

Položaj težišča krožnega sektorja, če je podan njegov polmer r (slika 176, c), se določi po formuli:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Če je podan sektorski akord, potem:
(6a) x c = b/(3α).

V posebnem primeru za polkrog bosta obe zadnji formuli imeli obliko (slika 176, d)
(6b) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Težišče območja katerega koli trikotnika se nahaja s katere koli strani na razdalji, ki je enaka tretjini ustrezne višine.

V pravokotnem trikotniku se težišče nahaja na presečišču pravokotnic, dvignjenih na noge iz točk, ki se nahajajo na razdalji ene tretjine dolžine nog, šteto od vrha pravega kota (slika 177).

Pri reševanju problemov določanja položaja težišča katerega koli homogenega telesa, sestavljenega iz tankih palic (črt) ali plošč (območij) ali volumnov, je priporočljivo upoštevati naslednji vrstni red:

1) narišite telo, katerega položaj težišča je treba določiti. Ker so običajno znane vse mere telesa, je treba upoštevati merilo;

2) razdelite telo na sestavne dele (odseke linij ali območij ali prostornine), položaj težišč se določi glede na velikost telesa;

3) določi bodisi dolžine bodisi površine ali prostornine sestavnih delov;

4) izberite lokacijo koordinatnih osi;

5) določite koordinate težišč komponent;

6) nadomestiti ugotovljene vrednosti dolžin ali površin ali prostornine posameznih delov, kot tudi koordinate njihovih težišč, v ustrezne formule in izračunati koordinate težišča celotnega telesa;

7) z najdenimi koordinatami na sliki označite položaj težišča telesa.

§ 23. Določitev položaja težišča telesa, sestavljenega iz tankih homogenih palic

§ 24. Določitev položaja težišča figur, sestavljenih iz plošč

Pri zadnji nalogi, kot tudi pri nalogah iz prejšnjega odstavka, delitev figur na njihove sestavne dele ne povzroča posebnih težav. Toda včasih ima figura obliko, ki omogoča, da jo razdelimo na sestavne dele na več načinov, na primer tanko pravokotno ploščo s trikotnim izrezom (slika 183). Pri določanju položaja težišča takšne plošče lahko njeno površino razdelimo na štiri pravokotnike (1, 2, 3 in 4) in en pravokotni trikotnik 5 - na več načinov. Dve možnosti sta prikazani na sl. 183, a in b.

Najbolj racionalen način razdelitve figure na sestavne dele je tisti, pri katerem nastane najmanjše število delov. Če so na sliki izrezi, jih je mogoče vključiti tudi med sestavne dele figure, vendar se površina izrezanega dela šteje za negativno. Zato se ta delitev imenuje metoda negativnih območij.

Plošča na sl. 183, v je s to metodo razdeljen na samo dva dela: pravokotnik 1 s površino celotne plošče, kot da bi bila cela, in trikotnik 2 s površino, ki jo štejemo za negativno.

§ 26. Določitev položaja težišča telesa, sestavljenega iz delov, ki imajo preprosto geometrijsko obliko

Če želite rešiti težave pri določanju položaja težišča telesa, sestavljenega iz delov, ki imajo preprosto geometrijsko obliko, morate imeti veščine za določanje koordinat težišča figur, sestavljenih iz črt ali območij.

V inženirski praksi se zgodi, da je treba izračunati koordinate težišča kompleksne ravne figure, sestavljene iz preprostih elementov, za katere je znana lokacija težišča. Ta naloga je del naloge določanja...

Geometrijske značilnosti sestavljenih prerezov nosilcev in palic. Pogosto se morajo s podobnimi vprašanji soočiti oblikovalci rezalnih orodij pri določanju koordinat središča pritiska, razvijalci nakladalnih shem za različna vozila pri nameščanju tovora, oblikovalci gradbenih kovinskih konstrukcij pri izbiri odsekov elementov in seveda študenti pri študij disciplin "Teoretična mehanika" in "Trdnost materialov" "

Knjižnica osnovnih figur.

Pri simetričnih ravninskih figurah težišče sovpada s središčem simetrije. Simetrična skupina elementarnih predmetov vključuje: krog, pravokotnik (vključno s kvadratom), paralelogram (vključno z rombom), pravilni mnogokotnik.

Od desetih figur, predstavljenih na zgornji sliki, sta samo dve osnovni. To pomeni, da lahko z uporabo trikotnikov in sektorjev krogov kombinirate skoraj vsako figuro, ki ima praktičen interes. Vse poljubne krivulje lahko razdelimo na odseke in jih nadomestimo s krožnimi loki.

Preostalih osem figur je najpogostejših, zato so jih vključili v to edinstveno knjižnico. V naši klasifikaciji ti elementi niso osnovni. Iz dveh trikotnikov je mogoče sestaviti pravokotnik, paralelogram in trapez. Šestkotnik je vsota štirih trikotnikov. Krožni odsek je razlika med odsekom kroga in trikotnikom. Obročasti sektor kroga je razlika med dvema sektorjema. Krog je izsek kroga s kotom α=2*π=360˚. Polkrog je torej izsek kroga s kotom α=π=180˚.

Izračun v Excelu koordinat težišča sestavljene figure.

Vedno je lažje prenesti in zaznati informacije z upoštevanjem primera kot preučiti vprašanje s čisto teoretičnimi izračuni. Razmislimo o rešitvi problema "Kako najti težišče?" z uporabo primera sestavljene figure, prikazane na sliki pod tem besedilom.

Sestavljeni odsek je pravokotnik (z dimenzijami a1 =80 mm, b1 =40 mm), ki mu je levo zgoraj dodan enakokraki trikotnik (z velikostjo osnove a2 =24 mm in viš h2 =42 mm) in iz katerega je bil zgoraj desno izrezan polkrog (s središčem v točki s koordinatami x03 =50 mm in l03 =40 mm, polmer r3 =26 mm).

Pri izračunih vam bomo pomagali s programom MS Excel ali program OOo Izračun . Vsak od njih se bo zlahka spopadel z našo nalogo!

V celicah z rumena ga bomo napolnili pomožni predhodni izračuni .

Rezultate izračunamo v celicah s svetlo rumenim polnilom.

Modra pisava je izvorni podatki .

Črna pisava je vmesni rezultati izračuna .

Rdeča pisava je dokončno rezultati izračuna .

Začnemo reševati problem - začnemo iskati koordinate težišča odseka.

Začetni podatki:

1. V skladu s tem bomo zapisali imena elementarnih figur, ki tvorijo sestavljeni odsek

v celico D3: Pravokotnik

v celico E3: Trikotnik

v celico F3: Polkrog

2. Z uporabo "Knjižnice osnovnih figur", predstavljene v tem članku, bomo določili koordinate težišč elementov kompozitnega odseka xci in yci v mm glede na poljubno izbrani osi 0x in 0y in zapiši

v celico D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

v celico D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

v celico E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

v celico E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

v celico F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

v celico F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = l 03 -4* r3 /3/ π

3. Izračunajmo ploščine elementov F 1 , F 2 , F3 v mm2, ponovno z uporabo formul iz razdelka "Knjižnica elementarnih številk"

v celici D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

v celici E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

v celici F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Območje tretjega elementa - polkroga - je negativno, ker je izrez - prazen prostor!

Izračun koordinat težišča:

4. Določimo skupno površino končne figure F0 v mm2

v združeni celici D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Izračunajmo statične momente sestavljene figure Sx in Sy v mm3 glede na izbrani osi 0x in 0y

v združeni celici D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

v združeni celici D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. In končno, izračunajmo koordinate težišča sestavljenega odseka Xc in Yc v mm v izbranem koordinatnem sistemu 0x - 0y

v združeni celici D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

v združeni celici D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

Problem je rešen, izračun v Excelu je končan - koordinate težišča odseka, sestavljene s tremi preprostimi elementi, so bile najdene!

Zaključek.

Primer v članku je bil izbran kot zelo enostaven, da bi lažje razumeli metodologijo izračuna težišča kompleksnega odseka. Metoda je, da je treba vsako zapleteno figuro razdeliti na preproste elemente z znanimi lokacijami težišč in opraviti končne izračune za celoten odsek.

Če je profil sestavljen iz valjanih profilov - kotnikov in kanalov, jih ni treba deliti na pravokotnike in kvadrate z izrezanimi krožnimi sektorji "π/2". Koordinate težišč teh profilov so podane v tabelah GOST, to pomeni, da bosta kot in kanal osnovna elementa v vaših izračunih sestavljenih odsekov (ni smisla govoriti o I-nosilcih, cevi, palice in šesterokotniki - to so sredinsko simetrični odseki).

Lokacija koordinatnih osi seveda ne vpliva na položaj težišča figure! Zato izberite koordinatni sistem, ki vam poenostavi izračune. Če bi na primer v našem primeru zavrtel koordinatni sistem za 45˚ v smeri urinega kazalca, bi se izračunavanje koordinat težišč pravokotnika, trikotnika in polkroga spremenilo v še eno ločeno in okorno stopnjo izračunov, ki je ni mogoče izvesti. v glavi«.

Spodaj predstavljena Excelova datoteka za izračun v tem primeru ni program. Namesto tega je skica kalkulatorja, algoritem, predloga, ki sledi v vsakem posameznem primeru. ustvarite lastno zaporedje formul za celice s svetlo rumenim polnilom.

Torej, zdaj veste, kako najti težišče katerega koli odseka! Celoten izračun vseh geometrijskih značilnosti poljubno kompleksnih sestavljenih odsekov bo obravnavan v enem od prihodnjih člankov v razdelku "". Spremljajte novice na blogu.

Za prejemanje informacije o izdaji novih člankov in za prenos delovnih programskih datotek Prosim vas, da se naročite na obvestila v oknu na koncu članka ali v oknu na vrhu strani.

Po vnosu vašega e-poštnega naslova in kliku na gumb »Prejemanje obvestil o člankih«. NE POZABITE POTRDI SVOJO NAROČNINO s klikom na povezavo v pismu, ki vam bo takoj prispelo na navedeni e-poštni naslov (včasih v mapi « Neželena pošta » )!

Nekaj ​​besed o kozarcu, kovancu in dveh vilicah, ki so upodobljeni v “ikoni ilustracije” na samem začetku članka. Mnogi med vami zagotovo poznate ta »trik«, ki vzbuja občudujoče poglede otrok in neveščih odraslih. Tema tega članka je težišče. Prav on in oporišče, ki se poigravata z našo zavestjo in izkušnjami, nam preprosto slepita pamet!

Težišče sistema “vilice+kovanec” je vedno na fiksno oddaljenost navpično navzdol od roba kovanca, ki je nato oporišče. To je položaj stabilnega ravnovesja!Če stresete vilice, takoj postane očitno, da si sistem prizadeva zavzeti prejšnji stabilen položaj! Predstavljajte si nihalo - točko pritrditve (=točka opore kovanca na robu kozarca), palico-os nihala (=v našem primeru je os navidezna, saj je masa obeh vilic) je razpršen v različnih smereh v prostoru) in obremenitev na dnu osi (=težišče celotnega sistema "vilice" + kovanec"). Če začnete nihalo odklanjati od navpičnice v katero koli smer (naprej, nazaj, levo, desno), se bo pod vplivom gravitacije neizogibno vrnilo v prvotni položaj. ravnovesno stanje(enako se zgodi z našimi vilicami in kovancem)!

Če ne razumete, a želite razumeti, ugotovite sami. Zelo zanimivo je "priti tja" sam! Dodal bom, da se isto načelo uporabe stabilnega ravnotežja izvaja tudi v igrači Vanka-stand-up. Samo težišče te igrače se nahaja nad oporiščem, vendar pod središčem poloble podporne površine.

Vedno sem vesel vaših komentarjev, dragi bralci!!!

prosim SPOŠTOVANJE avtorsko delo, prenos datoteke PO NAROČNICI za objave člankov.