Formula stranske površine valja na spletu. Primeri, kako izračunati površino valja

Ime vede "geometrija" je prevedeno kot "merjenje zemlje". Nastala je s prizadevanji prvih starodavnih upravljavcev zemlje. In zgodilo se je takole: med poplavami svetega Nila so potoki vode včasih odplaknili meje kmečkih parcel in nove meje morda niso sovpadale s starimi. Davke so kmetje plačevali v zakladnico faraona sorazmerno z velikostjo zemljišča. Pri merjenju površin obdelovalnih površin v novih mejah po razlitju so sodelovali posebni ljudje. Prav zaradi njihovega delovanja so nova znanost, ki je bil razvit v Stara Grčija. Tam je dobil svoje ime in ga praktično pridobil moderen videz. Pozneje je izraz postal mednarodno ime za znanost o ravnih in tridimenzionalnih figurah.

Planimetrija je veja geometrije, ki se ukvarja s študijem ploščate figure. Druga veja znanosti je stereometrija, ki preučuje lastnosti prostorskih (volumetričnih) likov. Takšne številke vključujejo tisto, opisano v tem članku - valj.

Primeri prisotnosti cilindričnih predmetov v vsakdanjem življenju veliko. Skoraj vsi vrtljivi deli - gredi, puše, ležaji, osi itd. - Imajo cilindrično (veliko manj pogosto - stožčasto) obliko. Cilinder se pogosto uporablja tudi v gradbeništvu: stolpi, podporni stebri, okrasni stebri. In tudi jedi, nekatere vrste embalaže, cevi različnih premerov. In končno – slavni klobuki, ki so že dolgo postali simbol moške elegance. Seznam se nadaljuje in nadaljuje.

Opredelitev valja kot geometrijskega lika

Cilinder (krožni valj) se običajno imenuje figura, sestavljena iz dveh krogov, ki se po želji združita z vzporednim prevajanjem. Ti krogi so osnove valja. Toda črte (ravni segmenti), ki povezujejo ustrezne točke, se imenujejo "generatorji".

Pomembno je, da sta osnovici valja vedno enaki (če ta pogoj ni izpolnjen, potem imamo - prisekan stožec, karkoli drugega, razen valja) in sta notri vzporedne ravnine. Odseki, ki povezujejo ustrezne točke na krožnicah, so vzporedni in enaki.

Niz neskončnega števila sestavin ni nič drugega kot stransko površino valj - eden od elementov te geometrijske figure. Njegova druga pomembna sestavina so zgoraj obravnavani krogi. Imenujejo se baze.

Vrste jeklenk

Najenostavnejši in najpogostejši tip cilindra je krožni. Sestavljena je iz dveh pravilnih krogov, ki delujeta kot osnovi. Toda namesto njih so lahko druge številke.

Osnove valjev lahko tvorijo (poleg krogov) elipse in druge sklenjene like. Ni pa nujno, da ima valj zaprto obliko. Na primer, osnova valja je lahko parabola, hiperbola ali druga odprta funkcija. Tak valj bo odprt ali razporejen.

Glede na kot naklona valjev, ki tvorijo baze, so lahko ravni ali nagnjeni. Pri ravnem cilindru so generatrise strogo pravokotne na ravnino baze. Če je ta kot drugačen od 90°, je valj nagnjen.

Kaj je površina revolucije

Ravni krožni valj je nedvomno najpogostejša rotacijska površina, ki se uporablja v tehniki. Včasih se iz tehničnih razlogov uporabljajo stožčaste, sferične in nekatere druge vrste površin, vendar 99% vseh vrtljivih gredi, osi itd. so izdelani v obliki valjev. Da bi bolje razumeli, kaj je vrtilna površina, lahko razmislimo, kako je valj sam oblikovan.

Recimo, da obstaja določena ravna črta a, ki se nahaja navpično. ABCD je pravokotnik, katerega ena od stranic (odsek AB) leži na premici a. Če pravokotnik vrtimo okoli premice, kot je prikazano na sliki, bo prostornina, ki jo bo zavzel med vrtenjem, naše vrtilno telo - pravilen krožni valj z višino H = AB = DC in polmerom R = AD = BC.

V tem primeru se zaradi vrtenja figure - pravokotnika - dobi valj. Z vrtenjem trikotnika lahko dobite stožec, z vrtenjem polkroga - kroglo itd.

Površina cilindra

Da bi izračunali površino navadnega desnega krožnega valja, je treba izračunati ploščine osnovnih in stranskih ploskev.

Najprej si poglejmo, kako se izračuna bočna površina. To je zmnožek obsega valja in višine valja. Obseg pa je enak dvakratnemu produktu univerzalnega števila p s polmerom kroga.

Znano je, da je površina kroga enaka produktu p na kvadratni radij. Torej, z dodajanjem formul za območje določanja stranske ploskve z dvojnim izrazom za območje osnove (dva sta) in preprostimi algebrskimi transformacijami dobimo končni izraz za določanje površine območje cilindra.

Določanje prostornine figure

Prostornina valja je določena po standardni shemi: površina baze se pomnoži z višino.

Tako je končna formula videti takole: želena vrednost je definirana kot zmnožek višine telesa z univerzalnim številom p in s kvadratom polmera osnove.

Treba je reči, da je nastala formula uporabna za reševanje najbolj nepričakovanih problemov. Na enak način kot na primer prostornina valja se določi prostornina električne napeljave. To bo morda potrebno za izračun mase žic.

Edina razlika v formuli je, da je namesto polmera enega valja naveden premer žice, razdeljen na polovico, v izrazu pa je prikazano število niti v žici. n. Prav tako se namesto višine uporablja dolžina žice. Na ta način se prostornina "valja" izračuna ne samo po eni, temveč po številu žic v pletenici.

Takšni izračuni so pogosto potrebni v praksi. Navsezadnje je pomemben del posod za vodo izdelan v obliki cevi. In pogosto je treba izračunati prostornino jeklenke tudi v gospodinjstvu.

Vendar, kot že omenjeno, je oblika valja lahko drugačna. In v nekaterih primerih je treba izračunati, kakšna je prostornina nagnjenega valja.

Razlika je v tem, da se površina baze ne pomnoži z dolžino generatrixa, kot v primeru ravnega valja, temveč z razdaljo med ravninama - pravokotnim segmentom, zgrajenim med njimi.

Kot je razvidno iz slike, tak segment enako zmnožku dolžina generatrise s sinusom naklonskega kota generatrise na ravnino.

Kako zgraditi razvoj cilindra

V nekaterih primerih je potrebno izrezati snop cilindra. Spodnja slika prikazuje pravila, po katerih je izdelan surovec za izdelavo valja z določeno višino in premerom.

Upoštevajte, da je risba prikazana brez šivov.

Razlike med poševnim cilindrom

Predstavljajmo si nek ravni valj, ki ga na eni strani omejuje ravnina, pravokotna na generatorje. Toda ravnina, ki omejuje valj na drugi strani, ni pravokotna na generatorje in ni vzporedna s prvo ravnino.

Slika prikazuje poševni valj. Letalo A pod določenim kotom, ki se razlikuje od 90° glede na generatorje, seka lik.

Takšna geometrijska oblika pogosteje v praksi najdemo v obliki cevovodnih priključkov (kolen). Toda obstajajo celo zgradbe, zgrajene v obliki poševnega valja.

Geometrijske značilnosti poševnega valja

Nagib ene od ravnin poševnega valja nekoliko spremeni postopek za izračun tako površine takšne figure kot njene prostornine.

Površina valja. V tem članku si bomo ogledali naloge, povezane s površino. Blog je že obravnaval naloge z vrtilnim telesom, kot je stožec. Med vrtilna telesa spada tudi valj. Kaj je potrebno in potrebno vedeti o površini valja? Poglejmo razvoj cilindra:

Zgornja in spodnja osnova sta dva enaka kroga:

Stranska površina je pravokotnik. Poleg tega je ena stran tega pravokotnika enaka višini valja, druga pa je enaka obodu osnove. Naj vas spomnim, da je obseg kroga:

Torej, formula za površino valja je:

* Te formule se ni treba naučiti! Dovolj je poznati formule za površino kroga in dolžino njegovega oboda, potem lahko vedno zapišete določeno formulo. Pomembno je razumeti! Razmislimo o nalogah:

Obseg osnove valja je 3. Stranska površina je 6. Poiščite višino in površino valja (predpostavimo, da je Pi 3,14 in rezultat zaokrožite na najbližjo desetino).

Skupna površina cilindra:

Podan je obseg podnožja in stranska površina valja. To pomeni, da nam je dana površina pravokotnika in ena od njegovih strani, najti moramo drugo stran (to je višina valja):

Potreben je polmer in nato lahko najdemo določeno območje.

Obseg osnove je enak trem, potem zapišemo:

torej

Če zaokrožimo na najbližjo desetino, dobimo 7,4.

Odgovor: h = 2; S = 7,4

Stranska površina valja je 72Pi, premer osnove pa 9. Poiščite višino valja.

Pomeni

Odgovor: 8

Bočna površina cilindra je 64Pi, višina pa 8. Poiščite premer baze.

Bočno površino valja najdemo po formuli:

Premer je enak dvema polmeroma, kar pomeni:

Odgovor: 8

27058. Polmer osnove valja je 2, višina pa 3. Poiščite stransko površino valja, deljeno s Pi.

27133. Obseg osnove valja je 3, višina 2. Poiščite površino stranske površine valja.

Vrtilna telesa, ki jih preučujejo v šoli, so valj, stožec in krogla.

Če morate v nalogi na enotnem državnem izpitu iz matematike izračunati prostornino stožca ali površino krogle, menite, da ste srečni.

Uporabite formule za prostornino in površino valja, stožca in krogle. Vsi so v naši tabeli. Naučite se na pamet. Tu se začne poznavanje stereometrije.

Včasih je dobro narisati pogled od zgoraj. Ali, kot v tem problemu, od spodaj.

2. Kolikokrat je prostornina stožca opisana okoli pravilne štirikotna piramida, je večja od prostornine stožca, včrtanega v to piramido?

Preprosto je - narišite pogled od spodaj. Vidimo, da je polmer večjega kroga krat večji od polmera manjšega. Višini obeh stožcev sta enaki. Zato bo prostornina večjega stožca dvakrat večja.

Še ena pomembna točka. Ne pozabite, da je v nalogah dela B Možnosti enotnega državnega izpita v matematiki je odgovor zapisan kot celo število ali končno število decimalno. Zato v vašem odgovoru v delu B ne sme biti nobenega ali. Tudi približne vrednosti števila ni treba zamenjati! Vsekakor se mora skrčiti! V ta namen je v nekaterih težavah naloga oblikovana, na primer, kot sledi: "Poiščite površino stranske površine valja, deljeno s."

Kje drugje se uporabljajo formule za prostornino in površino vrtilnih teles? Seveda v nalogi C2 (16). O tem vam bomo tudi povedali.

obstaja veliko število težave v zvezi s cilindrom. V njih morate najti polmer in višino telesa ali vrsto njegovega odseka. Poleg tega je včasih treba izračunati površino valja in njegovo prostornino.

Katero telo je valj?

Poznavanje šolski kurikulum proučuje se krožni valj, to je tisti na dnu. Izstopa pa tudi eliptični videz te figure. Iz imena je jasno, da bo njegova osnova elipsa ali oval.

Cilinder ima dve podstavki. Med seboj so enake in so povezane z odseki, ki združujejo ustrezne točke baz. Imenujejo se generatorji valja. Vsi generatorji so med seboj vzporedni in enaki. Sestavljajo stransko površino telesa.

Na splošno je valj nagnjeno telo. Če generatorji z osnovami tvorijo pravi kot, govorimo o ravni liku.

Zanimivo je, da je krožni valj vrtilno telo. Dobimo ga z vrtenjem pravokotnika okoli ene od njegovih stranic.

Glavni elementi cilindra

Glavni elementi cilindra izgledajo takole.

1. Višina. Je najkrajša razdalja med osnovama valja. Če je ravna, potem višina sovpada z generatriko.
2. Radij. Sovpada s tistim, ki ga lahko narišemo na dnu.
3. os. To je ravna črta, ki vsebuje središča obeh baz. Os je vedno vzporedna z vsemi generatorji. V ravnem valju je pravokotna na osnove.
4. Aksialni odsek. Nastane, ko valj seka ravnino, ki vsebuje os.
5. Tangentna ravnina. Poteka skozi eno od generatrik in je pravokotna na osni prerez, ki je narisan skozi to generatriso.

Kako je valj povezan s prizmo, ki je vanj včrtana ali okoli njega opisana?

Včasih obstajajo težave, pri katerih morate izračunati površino valja, vendar so nekateri elementi povezane prizme znani. Kako so te številke povezane?

Če je prizma včrtana v valj, potem sta njeni osnovi enaka mnogokotnika. Poleg tega so vpisani v ustrezne osnove valja. Stranski robovi prizme sovpadajo z generatorji.

Opisana prizma ima na dnu pravilne mnogokotnike. Opisane so okoli krogov valja, ki so njegove osnove. Ravnine, ki vsebujejo ploskve prizme, se dotikajo valja po svojih generatorjih.

Na območju stranske površine in osnove za desni krožni valj

Če odvijete stransko površino, boste dobili pravokotnik. Njegove stranice bodo sovpadale z generatriko in obodom baze. zato stransko območje valj bo enak produktu teh dveh količin. Če zapišete formulo, dobite naslednje:

S stran = l * n,

kjer je n generator, l je obseg.

Poleg tega se zadnji parameter izračuna po formuli:

l = 2 π * r,

tukaj je r polmer kroga, π je število "pi", enako 3,14.

Ker je osnova krog, se njegova ploščina izračuna z naslednjim izrazom:

S glavni = π * r 2 .

Na površini celotne površine desnega krožnega valja

Ker je sestavljen iz dveh podstavkov in stranske površine, morate te tri količine sešteti. To pomeni, da bo skupna površina valja izračunana po formuli:

S nadstropje = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Pogosto je zapisano v drugačni obliki:

S nadstropje = 2 π * r (n + r).

Na ploskvah nagnjenega krožnega valja

Kar zadeva baze, so vse formule enake, ker so še vedno krogi. Toda stranska površina ne daje več pravokotnika.

Če želite izračunati površino stranske površine nagnjenega valja, boste morali pomnožiti vrednosti generatrike in oboda odseka, ki bo pravokoten na izbrano generatriko.

Formula izgleda takole:

stran S = x * P,

kjer je x dolžina generatrise valja, P je obseg odseka.

Mimogrede, bolje je izbrati odsek tako, da tvori elipso. Potem bodo izračuni njegovega oboda poenostavljeni. Dolžina elipse se izračuna s formulo, ki daje približen odgovor. Toda za naloge šolskega tečaja pogosto zadostuje:

l = π * (a + b),

kjer sta "a" in "b" pol-osi elipse, to je razdalja od središča do najbližje in najbolj oddaljene točke.

Površino celotne površine je treba izračunati z naslednjim izrazom:

S nadstropje = 2 π * r 2 + x * R.

Kateri so nekateri deli pravilnega krožnega valja?

Ko prerez poteka skozi os, je njegova ploščina določena kot produkt generatrise in premera osnove. To je razloženo z dejstvom, da ima obliko pravokotnika, katerega stranice sovpadajo z označenimi elementi.

Če želite najti površino prečnega prereza valja, ki je vzporedna z osno, boste potrebovali tudi formulo za pravokotnik. V tem primeru bo ena od njegovih strani še vedno sovpadala z višino, druga pa bo enaka tetivi osnove. Slednji sovpada s prerezom vzdolž baze.

Ko je odsek pravokoten na os, je videti kot krog. Poleg tega je njegova površina enaka površini osnove figure.

Možno je tudi sekanje pod določenim kotom na os. Nato iz prereza nastane oval ali njegov del.

Vzorčne težave

Naloga št. 1. Podan je raven valj, katerega osnovna ploščina je 12,56 cm 2 . Treba je izračunati skupno površino valja, če je njegova višina 3 cm.

rešitev. Uporabiti morate formulo za polna površina okrogel ravni valj. Manjkajo pa podatki, in sicer radij baze. Toda območje kroga je znano. Iz tega je enostavno izračunati polmer.

Izkazalo se je, da je enako kvadratnemu korenu količnika, ki ga dobimo tako, da površino osnove delimo s pi. Če 12,56 delimo s 3,14, dobimo 4. Kvadratni koren od 4 je to 2. Zato bo polmer imel točno to vrednost.

Odgovor: S tla = 50,24 cm 2.

Naloga št. 2. Valj s polmerom 5 cm prereže ravnina, ki je vzporedna z osjo. Razdalja od preseka do osi je 4 cm. Najti morate površino prereza.

rešitev. Oblika prečnega prereza je pravokotna. Ena od njegovih stranic sovpada z višino valja, druga pa je enaka tetivi. Če je prva količina znana, je treba najti drugo.

Za to je treba narediti dodatno konstrukcijo. Na dnu narišemo dva segmenta. Oba bosta začela v središču kroga. Prvi se bo končal v središču strune in bo enak znana razdalja do osi. Drugi je na koncu akorda.

Dobili boste pravokotni trikotnik. V njem sta znana hipotenuza in ena od nog. Hipotenuza sovpada s polmerom. Drugi krak je enak polovici tetive. Neznani krak, pomnožen z 2, bo dal želeno dolžino tetive. Izračunajmo njegovo vrednost.

Da bi našli neznani krak, boste morali kvadrirati hipotenuzo in znani krak, odšteti drugi od prvega in vzeti kvadratni koren. Kvadrata sta 25 in 9. Njuna razlika je 16. Ko vzamemo kvadratni koren, ostane 4. To je želeni krak.

Tetiva bo enaka 4 * 2 = 8 (cm). Zdaj lahko izračunate površino prečnega prereza: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Odgovor: S križ je enak 32 cm 2.

Naloga št. 3. Potrebno je izračunati površino osnega prereza valja. Znano je, da je vanjo včrtana kocka z robom 10 cm.

rešitev. Osni odsek valja sovpada s pravokotnikom, ki poteka skozi štiri oglišča kocke in vsebuje diagonale njegovih baz. Stranica kocke je generatriksa valja, diagonala osnove pa sovpada s premerom. Zmnožek teh dveh količin bo dal površino, ki jo morate najti v problemu.

Če želite najti premer, boste morali uporabiti znanje, da je osnova kocke kvadrat, njena diagonala pa tvori enakostranično pravokotni trikotnik. Njegova hipotenuza je želena diagonala figure.

Za izračun boste potrebovali formulo Pitagorovega izreka. Stranico kocke morate kvadrirati, jo pomnožiti z 2 in izvleči kvadratni koren. Deset na drugo potenco je sto. Pomnoženo z 2 je dvesto. Kvadratni koren iz 200 je 10√2.

Odsek je spet pravokotnik s stranicama 10 in 10√2. Njegovo površino je mogoče enostavno izračunati z množenjem teh vrednosti.

Odgovori. S prerez = 100√2 cm 2.

Oglejmo si rotacijski valj s polmerom R in višino h (slika 383). Na dnu tega valja pišemo pravilni mnogokotnik(na sliki 383 - šesterokotnik) in z njegovo pomočjo bomo zgradili pravilno prizmo, vpisano v valj. Na enak način lahko opišete pravilne prizme okoli valja s poljubnimi veliko število stranski robovi.

Po definiciji se šteje, da je površina stranske ploskve valja meja, h kateri težijo površine stranskih ploskev pravilnih prizem, včrtanih in obrobljenih okoli njega, ko se število njihovih stranskih ploskev neskončno podvoji (ali na splošno poveča ).

Zdaj bomo dokazali, da taka meja obstaja. Če za osnovo vzamemo včrtano pravilno prizmo, zgrajeno na pravilnem trikotniku, potem bomo za njeno stransko ploskev imeli izraz , kjer je obseg pravilnega trikotnika, včrtanega v krogu osnove valja. Ob . Povsem enak izračun za opisano prizmo da enak rezultat. Torej je površina stranske površine valja rotacije izražena s formulo

Stranska ploskev valja je enaka zmnožku dolžine generatrise in oboda (t.j. obsega) osnove.

Naloga 1. Odsek, ki povezuje diametralno nasprotni točki A in B zgornje in spodnje osnove valja (slika 384), je dolg 10 cm in je nagnjen na ravnino osnove pod kotom 60°. Poiščite površino stranske površine valja.

rešitev. Skozi odsek L narišimo prečni prerez z ravnino, pravokotno na osnovo valja. Iz trikotnika, ki ga imamo

kjer najdemo za stransko površino valja

Naloga 2. Trikotnik ABC, katerega oglišči A in B sta konci premera spodnje osnove valja, oglišče C pa je konec premera zgornje osnove, ki je pravokotna nanj, enakostranična s stranico a,

Poiščite površino stranske in celotne površine valja. rešitev. Polmer osnove valja je enak Višina trikotnika ABC (slika 385) je enaka in generatrisa valja je izračunana kot

Zato je stranska ploskev valja enaka

in celotna površina (enaka vsoti površine bočne površine in površine obeh baz valja) je enaka

vaje

1. Diagonale stranskih ploskev pravokotni paralelopiped nagnjena na ravnino osnove pod kotoma, ki sta enaka . Poiščite naklonski kot na isto ravnino diagonale paralelopipeda.

2. V pravilnem paralelepipedu je ostri osnovni kot enak a, ena od stranic osnovnega pa je enaka a. Prerez, narisan skozi to stran in nasprotni rob zgornje podlage, ima ploščino Q, njegova ravnina pa je nagnjena na ravnino podnožja pod kotom . Poiščite prostornino in skupno površino paralelepipeda.

3. Osnova nagnjene trikotne prizme je enakokraki pravokotni trikotnik, projekcija enega od stranskih robov na ravnino osnove pa sovpada z mediano m enega od krakov trikotnika. Poiščite kot naklona stranskih reber na ravnino osnove, če je prostornina prizme enaka V.

4. V pravilni šesterokotni prizmi sta skozi stranico osnove narisana dva odseka: 1) ki vsebuje nasprotno stranico zgornje baze, 2) vsebuje središče zgornje baze. Na kateri višini prizme ima kot med prereznima ravninama največjo vrednost in čemu je v tem primeru enak?