Individualni projekt na temo: "Grafična rešitev enačb in neenačb." Grafično reševanje neenačb Grafično reševanje enačb in neenačb

Graf linearne ali kvadratne neenačbe je sestavljen na enak način kot graf katerekoli funkcije (enačbe). Razlika je v tem, da neenakost pomeni več rešitev, zato graf neenakosti ni samo točka na številski premici ali premica na koordinatna ravnina. Z matematičnimi operacijami in znakom neenakosti lahko določite številne rešitve neenačbe.

Koraki

Grafični prikaz linearne neenačbe na številski premici

Reši neenačbo.Če želite to narediti, izolirajte spremenljivko z istimi algebraičnimi tehnikami, ki jih uporabljate za reševanje katere koli enačbe. Ne pozabite, da pri množenju ali deljenju neenakosti s negativno število(ali izraz), obrnite znak neenakosti.

Nariši številsko premico. Na številski premici označite vrednost, ki ste jo našli (spremenljivka je lahko manjša, večja ali enaka tej vrednosti). Nariši številsko premico ustrezne dolžine (dolgo ali kratko).

Narišite krog, ki predstavlja najdeno vrednost.Če je spremenljivka manjša od ( < {\displaystyle <} ) ali več ( > (\displaystyle >)) te vrednosti, krogec ni izpolnjen, ker nabor rešitev ne vključuje te vrednosti. Če je spremenljivka manjša ali enaka ( ≤ (\displaystyle \leq )) ali večje ali enako ( ≥ (\displaystyle \geq )) na to vrednost, je krog izpolnjen, ker nabor rešitev vključuje to vrednost.

Na številski premici zasenčite območje, ki definira množico rešitev.Če je spremenljivka večja od najdene vrednosti, zasenčite območje desno od nje, ker nabor rešitev vključuje vse vrednosti, ki so večje od najdene vrednosti. Če je spremenljivka manjša od najdene vrednosti, zasenčite območje levo od nje, ker nabor rešitev vključuje vse vrednosti, ki so manjše od najdene vrednosti.

Grafični prikaz linearne neenačbe na koordinatni ravnini

1. Rešite neenačbo (poiščite vrednost l (\displaystyle y) ). Če želite dobiti linearno enačbo, izolirajte spremenljivko na levi strani z znanim algebraične metode. Na desni strani mora biti spremenljivka x (\displaystyle x) in morda kakšna konstanta.

   Narišite graf na koordinatni ravnini linearna enačba. Če želite to narediti, neenakost pretvorite v enačbo in jo grafično narišite, kot bi grafično prikazali vsako linearno enačbo. Narišite Y-presek in nato uporabite naklon, da narišete druge točke.

   Narišite ravno črto.Če je neenakost stroga (vključuje znak < {\displaystyle <} oz > (\displaystyle >)), narišite pikčasto črto, ker nabor rešitev ne vključuje vrednosti na črti. Če neenakost ni stroga (vključuje znak ≤ (\displaystyle \leq ) oz ≥ (\displaystyle \geq )), narišite polno črto, ker nabor rešitev vključuje vrednosti, ki ležijo na črti.

   Zasenčite ustrezno območje.Če je neenakost oblike y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), zasenčite območje nad črto. Če je neenakost oblike l< m x + b {\displaystyle y, zasenčite območje pod črto.

Grafični prikaz kvadratne neenačbe na koordinatni ravnini

Ugotovite, da je ta neenakost kvadratna. Kvadratna neenakost ima obliko a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Včasih neenakost ne vsebuje spremenljivke prvega reda ( x (\displaystyle x)) in/ali prosti člen (konstanta), vendar nujno vključuje spremenljivko drugega reda ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Spremenljivke x (\displaystyle x) in y (\displaystyle y) morajo biti izolirani na različnih straneh neenakosti.

Ena najprimernejših metod za reševanje kvadratnih neenakosti je grafična metoda. V tem članku si bomo ogledali, kako se kvadratne neenačbe rešujejo grafično. Najprej se pogovorimo, kaj je bistvo te metode. Nato bomo predstavili algoritem in obravnavali primere grafičnega reševanja kvadratnih neenačb.

Navigacija po strani.

Bistvo grafične metode

sploh grafična metoda za reševanje neenačb z eno spremenljivko se uporablja ne samo za reševanje kvadratnih neenakosti, ampak tudi drugih vrst neenakosti. Bistvo grafične metode reševanja neenačb naslednji: razmislite o funkcijah y=f(x) in y=g(x), ki ustrezata levi in ​​desni strani neenakosti, zgradite njihove grafe v enem pravokotnem koordinatnem sistemu in ugotovite, v kakšnih intervalih je graf enega od so nižje ali višje od drugih. Tisti intervali, kjer

• graf funkcije f nad grafom funkcije g so rešitve neenačbe f(x)>g(x) ;
• graf funkcije f ni nižji od grafa funkcije g so rešitve neenačbe f(x)≥g(x) ;
• graf od f pod grafom od g so rešitve neenačbe f(x)
• graf funkcije f, ki ni višji od grafa funkcije g, so rešitve neenačbe f(x)≤g(x) .

Recimo še, da so abscise presečišč grafov funkcij f in g rešitve enačbe f(x)=g(x) .

Prenesimo te rezultate na naš primer – da rešimo kvadratno neenačbo a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Uvedemo dve funkciji: prvo y=a x 2 +b x+c (z f(x)=a x 2 +b x+c), ki ustreza levi strani kvadratne neenakosti, drugo y=0 (z g ( x)=0 ) ustreza desni strani neenakosti. Urnik kvadratna funkcija f je parabola in graf stalna funkcija g – ravna črta, ki sovpada z abscisno osjo Ox.

Nato je treba glede na grafično metodo reševanja neenačb analizirati, v kakšnih intervalih se graf ene funkcije nahaja nad ali pod drugo, kar nam bo omogočilo, da zapišemo želeno rešitev kvadratne neenakosti. V našem primeru moramo analizirati položaj parabole glede na os Ox.

Glede na vrednosti koeficientov a, b in c je možnih naslednjih šest možnosti (za naše potrebe zadostuje shematski prikaz, osi Oy pa nam ni treba prikazati, saj njen položaj ne vpliva na rešitve neenačbe):

Na tej risbi vidimo parabolo, katere veje so usmerjene navzgor in seka os Ox v dveh točkah, katerih abscisi sta x 1 in x 2. Ta risba ustreza možnosti, ko je koeficient a pozitiven (odgovoren je za smer vej parabole navzgor) in ko je vrednost pozitivna diskriminator kvadratni trinom a x 2 +b x+c (v tem primeru ima trinom dva korena, ki smo ju označili kot x 1 in x 2 in predpostavili, da je x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Zaradi jasnosti z rdečo barvo označimo dele parabole, ki se nahajajo nad osjo x, z modro pa tiste, ki se nahajajo pod osjo x.


Zdaj pa ugotovimo, kateri intervali ustrezajo tem delom. Naslednja risba vam bo pomagala prepoznati jih (v prihodnosti bomo miselno izbrali podobne pravokotnike):


Tako sta bila na abscisni osi rdeče označena dva intervala (−∞, x 1) in (x 2 , +∞), na njih je parabola nad osjo Ox, predstavljata rešitev kvadratne neenačbe a x 2 +b x +c>0 , interval (x 1 , x 2) pa je označen z modro, pod osjo Ox je parabola, ki predstavlja rešitev neenačbe a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

In zdaj na kratko: za a>0 in D=b 2 −4 a c>0 (ali D"=D/4>0 za sodi koeficient b)

• rešitev kvadratne neenačbe a x 2 +b x+c>0 je (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) ali v drugem zapisu x x2;
• rešitev kvadratne neenačbe a x 2 +b x+c≥0 je (−∞, x 1 ]∪ ali v drugem zapisu x 1 ≤x≤x 2,

kjer sta x 1 in x 2 korena kvadratnega trinoma a x 2 +b x+c in x 1


Tu vidimo parabolo, katere veje so usmerjene navzgor in se dotika abscisne osi, to pomeni, da ima z njo eno skupno točko; absciso te točke označimo kot x 0. Predstavljeni primer ustreza a>0 (veje so usmerjene navzgor) in D=0 (kvadratni trinom ima en koren x 0). Na primer, lahko vzamete kvadratno funkcijo y=x 2 −4·x+4, tukaj je a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 in x 0 =2.

Iz risbe je jasno razvidno, da se parabola nahaja nad osjo Ox povsod razen na stični točki, to je na intervalih (−∞, x 0), (x 0, ∞). Zaradi jasnosti označimo področja na risbi po analogiji s prejšnjim odstavkom.


Sklepamo: za a>0 in D=0

• rešitev kvadratne neenačbe a·x 2 +b·x+c>0 je (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) ali v drugem zapisu x≠x 0;
• rešitev kvadratne neenačbe a·x 2 +b·x+c≥0 je (−∞, +∞) ali v drugem zapisu x∈R ;
• kvadratna neenakost a x 2 + b x + c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• kvadratna neenačba a x 2 +b x+c≤0 ima enolično rešitev x=x 0 (podana je s točko dotika),

kjer je x 0 koren kvadratnega trinoma a x 2 + b x + c.


V tem primeru so veje parabole usmerjene navzgor in nimajo skupne točke z abscisno osjo. Tukaj imamo pogoje a>0 (veje so usmerjene navzgor) in D<0 (квадратный трехчлен не имеет prave korenine). Na primer, lahko narišete funkcijo y=2·x 2 +1, tukaj je a=2>0, D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Očitno je, da se parabola po celotni dolžini nahaja nad osjo Ox (ni intervalov, v katerih bi bila pod osjo Ox, ni dotične točke).


Tako za a>0 in D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 in a x 2 +b x+c≥0 je množica vseh realna števila, in neenakosti a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

In ostajajo tri možnosti za lokacijo parabole z vejami, usmerjenimi navzdol, ne navzgor, glede na os Ox. Načeloma jih ni treba upoštevati, saj nam množenje obeh strani neenakosti z −1 omogoča, da pridemo do ekvivalentne neenakosti s pozitivnim koeficientom za x 2. Toda vseeno ne škodi, če si o teh primerih omislite nekaj. Utemeljitev je podobna, zato bomo zapisali le glavne rezultate.

Algoritem rešitve

Rezultat vseh prejšnjih izračunov je algoritem za grafično reševanje kvadratnih neenačb:

Na koordinatni ravnini je izdelana shematska risba, ki prikazuje os Ox (os Oy ni potrebna) in skico parabole, ki ustreza kvadratni funkciji y=a·x 2 +b·x+c. Če želite narisati skico parabole, je dovolj, da ugotovite dve stvari:

• Prvič, z vrednostjo koeficienta a določimo, kam so usmerjene njegove veje (za a>0 - navzgor, za a<0 – вниз).
• In drugič, z vrednostjo diskriminanta kvadratnega trinoma a x 2 + b x + c se določi, ali parabola seka abscisno os v dveh točkah (za D>0), se je dotika v eni točki (za D=0) , ali nima skupnih točk z osjo Ox (pri D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Ko je risba pripravljena, jo uporabite v drugem koraku algoritma

  • pri reševanju kvadratne neenačbe a·x 2 +b·x+c>0 se določijo intervali, pri katerih se parabola nahaja nad absciso;
  • pri reševanju neenačbe a·x 2 +b·x+c≥0 se določijo intervali, v katerih se parabola nahaja nad abscisno osjo, in seštejejo abscise presečišč (ali abscise tangente). njih;
  • pri reševanju neenačbe a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • končno se pri reševanju kvadratne neenačbe oblike a·x 2 +b·x+c≤0 najdejo intervali, v katerih je parabola pod osjo Ox in absciso presečišč (ali absciso tangentne točke ) se jim doda;

  predstavljajo želeno rešitev kvadratne neenačbe in če ni takšnih intervalov in dotičnih točk, potem izvirna kvadratna neenačba nima rešitev.

Vse, kar ostane, je rešiti nekaj kvadratnih neenakosti s tem algoritmom.

Primeri z rešitvami

Primer.

Reši neenačbo .

rešitev.

Rešiti moramo kvadratno neenačbo, uporabimo algoritem iz prejšnjega odstavka. V prvem koraku moramo narisati skico grafa kvadratne funkcije . Koeficient x 2 je enak 2, je pozitiven, zato so veje parabole usmerjene navzgor. Ugotovimo tudi, ali ima parabola skupne točke z osjo x, izračunali bomo diskriminanco kvadratnega trinoma . Imamo . Izkazalo se je, da je diskriminant večji od nič, zato ima trinom dva resnična korena: in , to je x 1 =−3 in x 2 =1/3.

Iz tega je razvidno, da parabola seka os Ox v dveh točkah z abscisama −3 in 1/3. Te točke bomo na risbi prikazali kot navadne točke, saj rešujemo nestrogo neenačbo. Na podlagi razčiščenih podatkov dobimo naslednjo risbo (ustreza prvi predlogi iz prvega odstavka članka):

Preidimo na drugi korak algoritma. Ker rešujemo nestrogo kvadratno neenačbo s predznakom ≤, moramo določiti intervale, v katerih se parabola nahaja pod abscisno osjo in jim dodati abscise presečišč.

Iz risbe je razvidno, da je parabola pod x-osjo na intervalu (−3, 1/3) in ji prištejemo abscisi presečišč, to je števili −3 in 1/3. Kot rezultat pridemo do številskega intervala [−3, 1/3] . To je rešitev, ki jo iščemo. Zapišemo jo lahko kot dvojno neenakost −3≤x≤1/3.

odgovor:

[−3, 1/3] ali −3≤x≤1/3.

Primer.

Poiščite rešitev kvadratne neenačbe −x 2 +16 x−63<0 .

rešitev.

Kot ponavadi začnemo z risbo. Številčni koeficient za kvadrat spremenljivke je negativen, −1, zato so veje parabole usmerjene navzdol. Izračunajmo diskriminanco ali še bolje njen četrti del: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Njegova vrednost je pozitivna, izračunajmo korenine kvadratnega trinoma: in , x 1 =7 in x 2 =9. Parabola torej seka os Ox v dveh točkah z abscisama 7 in 9 (prvotna neenakost je stroga, zato bomo ti točki prikazali s praznim središčem).

Ker rešujemo strogo kvadratno neenakost s predznakom<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Risba kaže, da sta rešitvi prvotne kvadratne neenačbe dva intervala (−∞, 7) , (9, +∞) .

odgovor:

(−∞, 7)∪(9, +∞) ali v drugem zapisu x<7 , x>9 .

Pri reševanju kvadratnih neenačb, ko je diskriminanta kvadratnega trinoma na njegovi levi strani enaka nič, morate paziti, da v odgovor vključite ali izključite absciso tangentne točke. To je odvisno od predznaka neenačbe: če je neenačba stroga, potem ni rešitev neenačbe, če pa ni stroga, potem je.

Primer.

Ali ima kvadratna neenačba 10 x 2 −14 x+4,9≤0 vsaj eno rešitev?

rešitev.

Narišimo funkcijo y=10 x 2 −14 x+4,9. Njegove veje so usmerjene navzgor, saj je koeficient x 2 pozitiven in se dotika abscisne osi v točki z absciso 0,7, saj je D"=(−7) 2 −10 4,9=0, od koder je oz. 0,7 v obliki decimalni ulomek shematično izgleda takole:

Ker rešujemo kvadratno neenačbo z znakom ≤, bodo njena rešitev intervali, na katerih je parabola pod osjo Ox, ter abscisa tangentne točke. Iz risbe je razvidno, da ni niti ene vrzeli, kjer bi bila parabola pod osjo Ox, zato bo njena rešitev le abscisa tangentne točke, to je 0,7.

odgovor:

ta neenakost ima edinstveno rešitev 0,7.

Primer.

Rešite kvadratno neenačbo –x 2 +8 x−16<0 .

rešitev.

Sledimo algoritmu za reševanje kvadratnih neenačb in začnemo z izdelavo grafa. Veje parabole so usmerjene navzdol, saj je koeficient x 2 negativen, −1. Poiščimo diskriminant kvadratnega trinoma –x 2 +8 x−16, imamo D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 in potem x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Torej se parabola dotika osi Ox na abscisni točki 4. Naredimo risbo:

Pogledamo znak prvotne neenakosti, tam je<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

V našem primeru so to odprti žarki (−∞, 4) , (4, +∞) . Ločeno ugotavljamo, da 4 - abscisa stične točke - ni rešitev, saj na stični točki parabola ni nižja od osi Ox.

odgovor:

(−∞, 4)∪(4, +∞) ali v drugem zapisu x≠4 .

Posebno pozornost posvetite primerom, ko je diskriminanta kvadratnega trinoma na levi strani kvadratne neenakosti manjša od nič. Tukaj ni treba hiteti in trditi, da neenačba nima rešitev (takšnega sklepa smo navajeni za kvadratne enačbe z negativno diskriminanto). Bistvo je, da je kvadratna neenakost za D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Primer.

Poiščite rešitev kvadratne neenačbe 3 x 2 +1>0.

rešitev.

Kot ponavadi začnemo z risbo. Koeficient a je 3, je pozitiven, zato so veje parabole usmerjene navzgor. Izračunamo diskriminanco: D=0 2 −4·3·1=−12 . Ker je diskriminanta negativna, parabola nima skupnih točk z osjo Ox. Dobljene informacije zadostujejo za shematski graf:

Strogo kvadratno neenačbo rešujemo z znakom >. Njena rešitev bodo vsi intervali, v katerih je parabola nad osjo Ox. V našem primeru je parabola po vsej dolžini nad osjo x, zato bo želena rešitev množica vseh realnih števil.

Ox , prav tako jim morate dodati absciso presečišč ali absciso tangente. Toda iz risbe je jasno razvidno, da teh intervalov ni (ker je parabola povsod pod abscisno osjo), tako kot ni presečišč, tako kot ni dotikov. Zato izvirna kvadratna neenačba nima rešitev.

odgovor:

brez rešitev ali v drugem vnosu ∅.

Reference.

• Algebra: učbenik za 8. razred. splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. razred: poučna. za splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovič A. G. Algebra. 9. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovič A. G. Algebra in začetki matematične analize. 11. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov (raven profila) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.

Med lekcijo boste lahko samostojno preučevali temo "Grafična rešitev enačb in neenačb." Med lekcijo bo učitelj pregledal grafične metode za reševanje enačb in neenačb. Naučil vas bo graditi grafe, jih analizirati in pridobivati ​​rešitve enačb in neenačb. Lekcija bo zajemala tudi konkretne primere na to temo.

Tema: Številske funkcije

Lekcija: Grafično reševanje enačb, neenačb

1. Tema lekcije, uvod

Ogledali smo si grafe elementarnih funkcij, vključno z grafi potenčnih funkcij z različnimi eksponenti. Ogledali smo si tudi pravila premikanja in preoblikovanja funkcijskih grafov. Vse te veščine je treba uporabiti, kadar je to potrebno grafičnirešitev enačbe ali grafično rešitevneenakosti.

2. Grafično reševanje enačb in neenačb

Primer 1: Grafično rešite enačbo:

Zgradimo grafe funkcij (slika 1).

Graf funkcije je parabola, ki poteka skozi točke

Graf funkcije je ravna črta, zgradimo ga s tabelo.

Grafa se sekata v točki. Drugih presečišč ni, saj funkcija monotono narašča, funkcija monotono pada, zato je njuno presečišče edino.

odgovor:

Primer 2: Rešite neenačbo

a. Da neenakost velja, se mora graf funkcije nahajati nad premico (slika 1). To se naredi, ko

b. V tem primeru, nasprotno, mora biti parabola pod ravno črto. To se naredi, ko

Primer 3. Rešite neenačbo

Zgradimo funkcijske grafe (slika 2).

Poiščimo koren enačbe Ko ni rešitev. Obstaja ena rešitev.

Da bi neenakost veljala, se mora hiperbola nahajati nad črto .

odgovor:

Primer 4. Grafično rešite neenačbo:

Področje uporabe:

Zgradimo funkcijske grafe za (slika 3).

a. Graf funkcije se mora nahajati pod grafom;

b. Graf funkcije se nahaja nad grafom pri A ker ima pogoj šibek predznak, je pomembno, da ne izgubite izoliranega korena

3. Zaključek

Ogledali smo si grafično metodo reševanja enačb in neenačb; Ogledali smo si konkretne primere, katerih rešitev je uporabila lastnosti funkcij, kot sta monotonost in pariteta.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. razred: Učbenik. Za splošno izobrazbo Ustanove.- 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 str .: ilustr.

2. Mordkovič A. G. Algebra 9. razred: Učbenik za učence splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str .: ilustr.

3. Makarychev Yu. Algebra. 9. razred: poučna. za splošnoizobraževalce. ustanove / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. izd., prev. in dodatno - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh., Kolyagin Yu, Sidorov V. Algebra. 9. razred. 16. izd. - M., 2011. - 287 str.

5. Mordkovič A. G. Algebra. 9. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. izd., izbrisano. - M.: 2010. - 224 str.: ilustr.

6. Algebra. 9. razred. V 2 delih 2. del. Problemska knjiga za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina in drugi; Ed. A. G. Mordkovič. - 12. izd., rev. - M.: 2010.-223 str.: ilustr.

1. Višji odsek. ru v matematiki.

2. Internetni projekt »Naloge«.

3. Izobraževalni portal "REŠIL BOM enotni državni izpit".

1. Mordkovič A. G. Algebra 9. razred: Učbenik za učence splošnih izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str .: ilustr. št. 355, 356, 364.

glej tudi Grafično reševanje problema linearnega programiranja, Kanonična oblika problemov linearnega programiranja

Sistem omejitev za tak problem je sestavljen iz neenakosti v dveh spremenljivkah:
in ciljna funkcija ima obliko F = C 1 x + C 2 l ki ga je treba maksimizirati.

Odgovorimo na vprašanje: kateri pari številk ( x; l) so rešitve sistema neenačb, tj. zadovoljujejo vsako od neenačb hkrati? Z drugimi besedami, kaj pomeni grafično rešiti sistem?
Najprej morate razumeti, kaj je rešitev ene linearne neenačbe z dvema neznankama.
Reševanje linearne neenačbe z dvema neznankama pomeni določitev vseh parov neznanih vrednosti, za katere neenakost velja.
Na primer, neenakost 3 x – 5l≥ 42 zadovoljivih parov ( x , l) : (100, 2); (3, –10) itd. Naloga je najti vse take pare.
Oglejmo si dve neenakosti: sekira + avtor≤ c, sekira + avtor≥ c. Naravnost sekira + avtor = c razdeli ravnino na dve polravnini tako, da koordinate točk ene od njiju izpolnjujejo neenakost sekira + avtor >c, in druga neenakost sekira + +avtor <c.
Res, vzemimo točko s koordinato x = x 0 ; potem točka, ki leži na premici in ima absciso x 0, ima ordinato

Naj za gotovost a< 0, b>0, c>0. Vse točke z absciso x 0, ki leži zgoraj p(na primer pika M), imajo y M>l 0 in vse točke pod točko p, z absciso x 0, imeti y N<l 0 . Ker x 0 je poljubna točka, potem bodo na eni strani črte vedno točke, za katere sekira+ avtor > c, ki tvori polravnino, in na drugi strani - točke, za katere sekira + avtor< c.

Slika 1

Predznak neenakosti v polravnini je odvisen od števil a, b , c.
To pomeni naslednjo metodo za grafično reševanje sistemov linearnih neenačb v dveh spremenljivkah. Za rešitev sistema potrebujete:

1. Za vsako neenačbo zapišite enačbo, ki ji ustreza.
2. Konstruirajte ravne črte, ki so grafi funkcij, določenih z enačbami.
3. Za vsako premico določi polravnino, ki jo podaja neenačba. Če želite to narediti, vzemite poljubno točko, ki ne leži na premici, in njene koordinate nadomestite v neenakost. če je neenakost resnična, potem je polravnina, ki vsebuje izbrano točko, rešitev prvotne neenačbe. Če je neenakost napačna, potem je polravnina na drugi strani premice množica rešitev te neenakosti.
4. Za rešitev sistema neenačb je treba najti območje presečišča vseh polravnin, ki so rešitev vsake neenačbe sistema.

Lahko se izkaže, da je to območje prazno, potem sistem neenačb nima rešitev in je neskladen. Sicer pa naj bi bil sistem konsistenten.
Rešitev je lahko končno ali neskončno. Območje je lahko zaprt poligon ali neomejeno.

Poglejmo tri ustrezne primere.

Primer 1. Grafično rešite sistem:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2l + 5 ≤ 0.

• obravnavajte enačbi x+y–1=0 in –2x–2y+5=0, ki ustrezata neenačbam;
• Konstruirajmo ravne črte, podane s temi enačbami.

Slika 2

Določimo polravnine, ki jih določata neenakosti. Vzemimo poljubno točko, naj (0; 0). Razmislimo x+ y– 1 0, nadomestimo točko (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. To pomeni, da v polravnini, kjer leži točka (0; 0), x + l – 1 ≤ 0, tj. polravnina, ki leži pod premico, je rešitev prve neenačbe. Če to točko (0; 0) nadomestimo z drugo, dobimo: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tj. v polravnini, kjer leži točka (0; 0), pa –2 x – 2l+ 5≥ 0 in vprašali so nas, kje je –2 x – 2l+ 5 ≤ 0 torej v drugi polravnini - v tisti nad premico.
Poiščimo presečišče teh dveh polravnin. Premici sta vzporedni, zato se ravnini nikjer ne sekata, kar pomeni, da sistem teh neenačb nima rešitev in je neskladen.

Primer 2. Grafično poiščite rešitve sistema neenačb:

Slika 3
1. Izpišimo enačbe, ki ustrezajo neenačbam, in sestavimo premice.
x + 2l– 2 = 0

x	2	0
l	0	1

l – x – 1 = 0

x	0	2
l	1	3

l + 2 = 0;
l = –2.
2. Po izbiri točke (0; 0) določimo znake neenakosti v polravninah:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, tj. x + 2l– 2 ≤ 0 v polravnini pod premico;
0 – 0 – 1 ≤ 0, tj. l –x– 1 ≤ 0 v polravnini pod premico;
0 + 2 =2 ≥ 0, tj. l+ 2 ≥ 0 v polravnini nad premico.
3. Presečišče teh treh polravnin bo območje, ki je trikotnik. Ni težko najti oglišč regije kot presečišča ustreznih črt


torej A(–3; –2), IN(0; 1), Z(6; –2).

Oglejmo si še en primer, v katerem posledična domena rešitve sistema ni omejena.

Grafična metoda je ena glavnih metod za reševanje kvadratnih neenačb. V članku bomo predstavili algoritem za uporabo grafične metode, nato pa na primerih obravnavali posebne primere.

Bistvo grafične metode

Metoda je uporabna za reševanje vseh neenačb, ne le kvadratnih. Njeno bistvo je naslednje: desna in leva stran neenakosti se obravnavata kot dve ločeni funkciji y = f (x) in y = g (x), njuni grafi se narišejo v pravokotnem koordinatnem sistemu in poglejte, kateri od grafov je ki se nahajajo nad drugim in na katerih intervalih. Intervali so ocenjeni na naslednji način:

Definicija 1

• rešitve neenačbe f (x) > g (x) so intervali, kjer je graf funkcije f višji od grafa funkcije g;
• rešitve neenačbe f (x) ≥ g (x) so intervali, kjer graf funkcije f ni nižji od grafa funkcije g;
• rešitve neenačbe f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• rešitve neenačbe f (x) ≤ g (x) so intervali, kjer graf funkcije f ni višji od grafa funkcije g;
• Abscise presečišč grafov funkcij f in g so rešitve enačbe f (x) = g (x).

Oglejmo si zgornji algoritem na primeru. Če želite to narediti, vzemite kvadratno neenakost a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) in iz njega izpelji dve funkciji. Leva stran neenakosti bo ustrezala y = a · x 2 + b · x + c (v tem primeru f (x) = a · x 2 + b · x + c), desna stran pa y = 0 ( v tem primeru g (x) = 0).

Graf prve funkcije je parabola, druge pa ravna črta, ki sovpada z osjo x O x. Analizirajmo položaj parabole glede na os O x. Če želite to narediti, naredimo shematično risbo.

Veje parabole so usmerjene navzgor. V točkah seka os O x x 1 in x 2. Koeficient a je v tem primeru pozitiven, saj je odgovoren za smer vej parabole. Diskriminanta je pozitivna, kar pomeni, da ima kvadratni trinom dva korena a x 2 + b x + c. Korenine trinoma označimo kot x 1 in x 2, in to je bilo sprejeto x 1< x 2 , saj je na osi O x upodobljena točka z absciso x 1 levo od abscisne točke x 2.

Deli parabole, ki se nahajajo nad osjo O x, bodo označeni z rdečo, spodaj - z modro. To nam bo omogočilo, da bo risba bolj vizualna.

Izberimo presledke, ki ustrezajo tem delom in jih na sliki označimo s polji določene barve.

Z rdečo smo označili intervala (− ∞, x 1) in (x 2, + ∞), na njih je parabola nad osjo O x. So a · x 2 + b · x + c > 0. Z modro smo označili interval (x 1 , x 2), ki je rešitev neenačbe a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Naredimo kratek povzetek rešitve. Za a > 0 in D = b 2 − 4 a c > 0 (ali D " = D 4 > 0 za sodi koeficient b) dobimo:

• rešitev kvadratne neenačbe a x 2 + b x + c > 0 je (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) ali v drugem zapisu x< x 1 , x >x2;
• rešitev kvadratne neenačbe a · x 2 + b · x + c ≥ 0 je (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) ali v drugi obliki x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• reševanje kvadratne neenačbe a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• rešitev kvadratne neenačbe a x 2 + b x + c ≤ 0 je [ x 1 , x 2 ] ali v drugem zapisu x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

kjer sta x 1 in x 2 korena kvadratnega trinoma a · x 2 + b · x + c in x 1< x 2 .

Na tej sliki se parabola dotika osi O x le v eni točki, ki je označena kot x 0 a > 0. D=0, zato ima kvadratni trinom en koren x 0.

Parabola se nahaja nad osjo O x v celoti, razen v kontaktni točki koordinatna os. Pobarvajmo intervale (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Zapišimo rezultate. pri a > 0 in D=0:

• reševanje kvadratne neenačbe a x 2 + b x + c > 0 je (− ∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) ali v drugem zapisu x ≠ x 0;
• reševanje kvadratne neenačbe a x 2 + b x + c ≥ 0 je (− ∞ , + ∞) ali v drugem zapisu x ∈ R;
• kvadratna neenakost a x 2 + b x + c< 0 nima rešitev (ni intervalov, v katerih se parabola nahaja pod osjo O x);
• kvadratna neenakost a x 2 + b x + c ≤ 0 ima edinstveno rešitev x = x 0(poda kontaktna točka),

kje x 0- koren kvadratnega trinoma a x 2 + b x + c.

Razmislimo o tretjem primeru, ko so veje parabole usmerjene navzgor in se ne dotikajo osi O x. Veje parabole so usmerjene navzgor, kar pomeni, da a > 0. Kvadratni trinom nima pravih korenin, ker D< 0 .

Na grafu ni intervalov, v katerih bi bila parabola pod x-osjo. To bomo upoštevali pri izbiri barve za našo risbo.

Izkazalo se je, da ko a > 0 in D< 0 reševanje kvadratnih neenačb a x 2 + b x + c > 0 in a x 2 + b x + c ≥ 0 je množica vseh realnih števil in neenakosti a x 2 + b x + c< 0 in a x 2 + b x + c ≤ 0 nimajo rešitev.

Ko so veje parabole usmerjene navzdol, imamo še tri možnosti, ki jih moramo upoštevati. O teh treh možnostih se ni treba podrobneje ukvarjati, saj ko obe strani neenakosti pomnožimo z −1, dobimo enakovredno neenakost s pozitivnim koeficientom za x 2.

Upoštevanje prejšnjega dela članka nas je pripravilo na zaznavo algoritma za reševanje neenačb z grafično metodo. Za izvedbo izračunov bomo morali vsakič uporabiti risbo, ki bo upodabljala koordinatno črto O x in parabolo, ki ustreza kvadratni funkciji y = a x 2 + b x + c. V večini primerov osi O y ne bomo prikazali, ker ni potrebna za izračune in bo samo preobremenila risbo.

Za sestavo parabole moramo vedeti dve stvari:

Definicija 2

• smer vej, ki je določena z vrednostjo koeficienta a;
• prisotnost točk presečišča parabole in osi abscise, ki so določene z vrednostjo diskriminanta kvadratnega trinoma a · x 2 + b · x + c .

Presečišča in dotikanja bomo označili na običajen način pri reševanju nestrogih neenačb in prazne pri reševanju strogih.

Če imate dokončano risbo, lahko nadaljujete na naslednji korak rešitve. Vključuje določanje intervalov, v katerih se parabola nahaja nad ali pod osjo O x. Intervali in presečišča so rešitev kvadratne neenačbe. Če ni presečišč ali dotikov in ni intervalov, se šteje, da neenakost, navedena v pogojih problema, nima rešitev.

Zdaj pa rešimo več kvadratnih neenakosti z uporabo zgornjega algoritma.

Primer 1

Neenačbo 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 je treba rešiti grafično.

rešitev

Narišimo graf kvadratne funkcije y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Koeficient pri x 2 pozitivno, ker je enako 2 . To pomeni, da bodo veje parabole usmerjene navzgor.

Izračunajmo diskriminanco kvadratnega trinoma 2 x 2 + 5 1 3 x - 2, da ugotovimo, ali ima parabola stične točke z abscisno osjo. Dobimo:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Kot vidimo, je D večji od nič, zato imamo dve presečni točki: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 in x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, tj. x 1 = − 3 in x 2 = 1 3.

Rešujemo nestrogo neenačbo, zato na graf postavimo navadne točke. Narišimo parabolo. Kot lahko vidite, ima risba enak videz kot v prvi predlogi, ki smo jo obravnavali.

Naša neenakost ima predznak ≤. Zato moramo na grafu označiti intervale, kjer se parabola nahaja pod osjo O x in jim dodati presečišča.

Interval, ki ga potrebujemo, je 3, 1 3. Dodamo mu presečišča in dobimo številski odsek − 3, 1 3. To je rešitev našega problema. Odgovor lahko zapišemo kot dvojno neenakost: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

odgovor:− 3 , 1 3 ali − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Primer 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 grafična metoda.

rešitev

Kvadrat spremenljivke ima negativen numerični koeficient, zato bodo veje parabole usmerjene navzdol. Izračunajmo četrti del diskriminante D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Ta rezultat nam pove, da bosta presečišče dve.

Izračunajmo korenine kvadratnega trinoma: x 1 = - 8 + 1 - 1 in x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 in x 2 = 9.

Izkazalo se je, da parabola seka os x v točkah 7 in 9 . Te točke na grafu označimo kot prazne, saj delamo s strogo neenakostjo. Nato nariši parabolo, ki na označenih točkah seka os O x.

Zanimali nas bodo intervali, v katerih se parabola nahaja pod osjo O x. Te intervale označimo z modro.

Dobimo odgovor: rešitev neenačbe so intervali (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

odgovor:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) ali v drugem zapisu x< 7 , x > 9 .

V primerih, ko je diskriminanta kvadratnega trinoma enaka nič, je treba skrbno razmisliti, ali naj se v odgovor vključi abscisa tangentnih točk. Da bi sprejeli prava odločitev, je treba upoštevati znak neenakosti. Pri strogih neenačbah dotična točka x-osi ni rešitev neenačbe, pri nestrogih pa je.

Primer 3

Rešite kvadratno neenačbo 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 grafična metoda.

rešitev

Veje parabole bodo v tem primeru usmerjene navzgor. Dotaknil se bo osi O x v točki 0, 7, saj

Narišimo funkcijo y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Njegove veje so usmerjene navzgor, saj je koeficient pri x 2 pozitivno in se dotika osi x na točki osi x 0 , 7 , ker D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, od koder je x 0 = 7 10 oz 0 , 7 .

Postavimo piko in narišimo parabolo.

Rešimo nestrogo neenačbo z znakom ≤. Zato. Zanimali nas bodo intervali, v katerih se parabola nahaja pod osjo x in točko dotika. Na sliki ni intervalov, ki bi zadostili našim pogojem. Obstaja samo kontaktna točka 0, 7. To je rešitev, ki jo iščemo.

odgovor: Neenačba ima samo eno rešitev 0, 7.

Primer 4

Rešite kvadratno neenačbo – x 2 + 8 x − 16< 0 .

rešitev

Veje parabole so usmerjene navzdol. Diskriminanta je nič. Presečišče x 0 = 4.

Na osi x označimo točko dotika in narišemo parabolo.

Opravka imamo s hudo neenakostjo. Posledično nas zanimajo intervali, v katerih se parabola nahaja pod osjo O x. Označimo jih z modro barvo.

Točka z absciso 4 ni rešitev, saj parabola na njej ne leži pod osjo O x. Posledično dobimo dva intervala (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

odgovor: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) ali v drugem zapisu x ≠ 4 .

Ne vedno, če je diskriminantna vrednost negativna, neenakost ne bo imela rešitev. Obstajajo primeri, ko je rešitev množica vseh realnih števil.

Primer 5

Grafično rešite kvadratno neenačbo 3 x 2 + 1 > 0.

rešitev

Koeficient a je pozitiven. Diskriminant je negativen. Veje parabole bodo usmerjene navzgor. Ni presečišč parabole z osjo O x. Poglejmo risbo.

Delamo s strogo neenakostjo, ki ima znak >. To pomeni, da nas zanimajo intervali, v katerih se parabola nahaja nad osjo x. To je ravno primer, ko je odgovor množica vseh realnih števil.

odgovor:(− ∞, + ∞) ali torej x ∈ R.

Primer 6

Treba je najti rešitev neenakosti − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 grafično.

rešitev

Veje parabole so usmerjene navzdol. Diskriminanta je negativna, zato med parabolo in osjo x ni skupnih točk. Poglejmo risbo.

Delamo z nestrogo neenakostjo z znakom ≥, zato nas zanimajo intervali, v katerih se parabola nahaja nad osjo x. Po grafu sodeč teh vrzeli ni. To pomeni, da neenakost, podana v problemskih pogojih, nima rešitev.

odgovor: Brez rešitev.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter