Robovi so vzporedni s ploskvami. Pravokotni paralelepiped - Hipermarket znanja. Tema: Vzporednost premic in ravnin

Paralelepiped je štirikotna prizma s paralelogrami na dnu. Višina paralelepipeda je razdalja med ravninama njegovih baz. Na sliki je višina prikazana z odsekom . Obstajata dve vrsti paralelopipedov: ravni in nagnjeni. Mentor matematike praviloma najprej poda ustrezne definicije za prizmo in jih nato prenese na paralelepiped. Tudi mi bomo storili enako.

Naj vas spomnim, da se prizma imenuje ravna, če so njeni stranski robovi pravokotni na osnove; če ni pravokotnosti, se prizma imenuje nagnjena. To terminologijo je podedoval tudi paralelopiped. Pravilni paralelepiped ni nič drugega kot vrsta ravne prizme, katere stranski rob sovpada z višino. Ohranjene so definicije pojmov, kot so obraz, rob in vrh, ki so skupni celotni družini poliedrov. Pojavi se koncept nasprotnih obrazov. Paralelepiped ima 3 pare nasprotnih ploskev, 8 oglišč in 12 robov.

Diagonala paralelepipeda (diagonala prizme) je odsek, ki povezuje dve oglišči poliedra in ne leži na nobeni njegovi ploskvi.

Diagonalni odsek - odsek paralelepipeda, ki poteka skozi njegovo diagonalo in diagonalo njegove osnove.

Lastnosti nagnjenega paralelopipeda:
1) Vse njegove ploskve so paralelogrami, nasprotne ploskve pa enaki paralelogrami.
2)Diagonali paralelepipeda se sekata v eni točki in v tej točki razpolovita.
3)Vsak paralelepiped je sestavljen iz šestih trikotnih piramid enake prostornine. Da jih pokaže študentu, mora učitelj matematike odrezati polovico paralelepeda z njegovim diagonalnim prerezom in ga ločeno razdeliti na 3 piramide. Njihove baze morajo ležati na različnih ploskvah prvotnega paralelopipeda. Mentor matematike bo našel uporabo te lastnosti v analitični geometriji. Uporablja se za prikaz volumna piramide skozi mešano delo vektorji.

Formule za prostornino paralelepipeda:
1), kjer je površina osnove, h je višina.
2) Prostornina paralelepipeda enako zmnožku površina prečnega prereza na stransko rebro.
Inštruktorica matematike: Kot veste, je formula skupna vsem prizmam in če jo je mentor že dokazal, nima smisla ponavljati iste stvari za paralelepiped. Pri delu s povprečnim učencem (formula ni uporabna za šibkega učenca) pa je priporočljivo, da učitelj ravna ravno nasprotno. Pustite prizmo pri miru in izvedite skrben dokaz za paralelepiped.
3) , kjer je prostornina ene od šestih trikotnih piramid, ki sestavljajo paralelepiped.
4) Če , potem

Površina stranske ploskve paralelepipeda je vsota površin vseh njegovih ploskev:
Celotna površina paralelepipeda je vsota ploščin vseh njegovih ploskev, to je ploščina + dve ploščini osnove: .

O delu učitelja z nagnjenim paralelepipedom:
Inštruktor matematike se pogosto ne ukvarja s problemi, ki vključujejo nagnjen paralelepiped. Verjetnost, da se bodo pojavili na Enotnem državnem izpitu, je precej majhna, didaktika pa nespodobno slaba. Bolj ali manj spodoben problem prostornine nagnjenega paralelepipeda povzroča resne težave, povezane z določitvijo lokacije točke H - osnove njegove višine. V tem primeru lahko inštruktorju matematike svetujemo, naj paralelepiped odreže na eno od njegovih šestih piramid (približno govorimo o v lastnosti št. 3), poskusite najti njegovo prostornino in jo pomnožite s 6.

Če ima stranski rob paralelopipeda enake kote s stranicami osnove, potem H leži na simetrali kota A osnove ABCD. In če je na primer ABCD romb, potem

Naloge mentorja matematike:
1) Strani paralelepipeda sta med seboj enaki s stranico 2 cm in ostrim kotom. Poiščite prostornino paralelepipeda.
2) V nagnjenem paralelepipedu je stranski rob 5 cm. Nanj pravokoten prerez je štirikotnik z medsebojno pravokotnima diagonalama, ki imata dolžini 6 cm in 8 cm. Izračunaj prostornino paralelepipeda.
3) Pri nagnjenem paralelopipedu je znano, da je , pri ABCD pa je osnova romb s stranico 2 cm in kotom . Določite prostornino paralelepipeda.

Mentor matematike Aleksander Kolpakov

Cilji lekcije:

1. Izobraževalni:

Uvesti pojem paralelopiped in njegove vrste;
- oblikovati (po analogiji s paralelogramom in pravokotnikom) in dokazati lastnosti paralelopipeda in kvadra;
- ponovijo vprašanja v zvezi z vzporednostjo in pravokotnostjo v prostoru.

2. Razvojni:

Še naprej razvijajte takšne veščine pri učencih kognitivni procesi kot zaznavanje, razumevanje, mišljenje, pozornost, spomin;
- spodbujati razvoj elementov pri učencih ustvarjalna dejavnost kot lastnosti mišljenja (intuicija, prostorsko razmišljanje);
- razviti pri študentih sposobnost sklepanja, tudi po analogiji, kar pomaga razumeti znotrajpredmetne povezave v geometriji.

3. Izobraževalni:

Prispevati k razvoju organiziranosti in navad sistematičnega dela;
- prispevajo k oblikovanju estetskih veščin pri zapisovanju in risanju.

Vrsta lekcije: lekcija - učenje novega gradiva (2 uri).

Struktura lekcije:

1. Organizacijski trenutek.
2. Posodabljanje znanja.
3. Študij novega gradiva.
4. Povzemanje in zastavljanje domače naloge.

Oprema: plakati (prosojnice) z dokazi, modeli različnih geometrijskih teles, vključno z vsemi vrstami paralelopipedov, grafični projektor.

Napredek lekcije.

1. Organizacijski trenutek.

2. Posodabljanje znanja.

Sporočanje teme lekcije, oblikovanje ciljev in ciljev skupaj s študenti, prikaz praktičnega pomena študija teme, ponavljanje predhodno preučenih vprašanj, povezanih s to temo.

3. Študij novega gradiva.

3.1. Paralelepiped in njegove vrste.

Prikazani so modeli paralelepipedov, identificirane so njihove lastnosti, kar pomaga oblikovati definicijo paralelepipeda s konceptom prizme.

definicija:

paralelopiped imenujemo prizma, katere osnova je paralelogram.

Narejena je risba paralelepipeda (slika 1), navedeni so elementi paralelepipeda kot posebnega primera prizme. Prikazan je diapozitiv 1.

Shematski zapis definicije:

Sklepi iz definicije so oblikovani:

1) Če je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma in ABCD paralelogram, potem je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelopiped.

2) Če je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelopiped, potem je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma in ABCD je paralelogram.

3) Če ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ni prizma ali ABCD ni paralelogram, potem
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ne paralelopiped.

4). Če je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ne paralelopiped, potem ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ni prizma ali ABCD ni paralelogram.

Nato so obravnavani posebni primeri paralelepipeda s konstrukcijo klasifikacijske sheme (glej sliko 3), prikazani so modeli, poudarjene so značilne lastnosti ravnih in pravokotnih paralelepipedov in oblikovane so njihove definicije.

definicija:

Paralelepiped se imenuje raven, če so njegovi stranski robovi pravokotni na podlago.

definicija:

Paralelepiped se imenuje pravokotne, če so njegovi stranski robovi pravokotni na osnovo, osnova pa je pravokotnik (glej sliko 2).

Po zapisu definicij v shematski obliki se oblikujejo zaključki iz njih.

3.2. Lastnosti paralelopipedov.

Poiščite planimetrične figure, katerih prostorski analogi so paralelopiped in kvader (paralelogram in pravokotnik). V tem primeru imamo opravka z vizualno podobnostjo figur. S pomočjo pravila sklepanja po analogiji izpolnimo tabele.

Pravilo sklepanja po analogiji:

1. Izberite med predhodno preučenimi figure figure, podoben temu.
2. Formulirajte lastnost izbrane figure.
3. Formulirajte podobno lastnost izvirne figure.
4. Dokaži ali ovrži formulirano trditev.

Po formuliranju lastnosti se dokazovanje vsake od njih izvede po naslednji shemi:

• razprava o dokaznem načrtu;
• predstavitev diapozitiva z dokazi (prosojnice 2 – 6);
• učenci dopolnjujejo dokaze v svojih zvezkih.

3.3 Kocka in njene lastnosti.

Definicija: Kocka je pravokoten paralelepiped, v katerem so vse tri dimenzije enake.

Po analogiji s paralelopipedom učenci samostojno shematsko zapišejo definicijo, iz nje izpeljejo posledice in oblikujejo lastnosti kocke.

4. Povzemanje in zastavljanje domače naloge.

domača naloga:

1. Z uporabo zapiskov iz lekcij iz učbenika geometrije za 10.–11. razred je L.S. Atanasyan in drugi, preučite 1. poglavje, §4, 13. odstavek, 2. poglavje, §3, 24. odstavek.
2. Dokažite ali ovrzite lastnost paralelopipeda, 2. točka tabele.
3. Odgovorite na varnostna vprašanja.

Testna vprašanja.

1. Znano je, da sta le dve stranski ploskvi paralelepipeda pravokotni na podlago. Kakšna vrsta paralelepipeda?

2. Koliko stranskih ploskev pravokotne oblike ima lahko paralelepiped?

3. Ali je mogoče imeti paralelepiped samo z eno stransko stranjo:

1) pravokotno na podlago;
2) ima obliko pravokotnika.

4. V pravilnem paralelopipedu so vse diagonale enake. Ali je pravokoten?

5. Ali drži, da so v pravilnem paralelepipedu diagonalni prerezi pravokotni na ravnine osnove?

6. Navedite izrek, nasprotje izreka o kvadratu diagonale pravokotnega paralelepipeda.

7. Katere dodatne lastnosti razlikujejo kocko od pravokotnega paralelepipeda?

8. Ali bo paralelepiped kocka, v kateri so vsi robovi v enem od oglišč enaki?

9. Povejte izrek o kvadratu diagonale kvadra za primer kocke.

V tej lekciji bomo definirali paralelepiped, obravnavali njegovo strukturo in njegove elemente (diagonale paralelepipeda, stranice paralelepipeda in njihove lastnosti). Upoštevali bomo tudi lastnosti ploskev in diagonal paralelograma. Nato bomo rešili tipičen problem konstruiranja odseka v paralelopipedu.

Tema: Vzporednost premic in ravnin

Lekcija: Paralelepiped. Lastnosti ploskev in diagonal paralelepipeda

V tej lekciji bomo definirali paralelepiped, razpravljali o njegovi zgradbi, lastnostih in njegovih elementih (stranice, diagonale).

Paralelepiped je sestavljen iz dveh enakih paralelogramov ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1, ki ležita v vzporednih ravninah. Oznaka: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ali AD 1 (slika 1.).

2. Festival pedagoških idej "Odprta lekcija" ()

1. Geometrija. Razredi 10-11: učbenik za študente izobraževalne ustanove(osnovno in ravni profila) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdaja, popravljena in razširjena - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str .: ilustr.

Naloge 10, 11, 12 str

2. Konstruirajte odsek pravokotnega paralelopipeda ABCDA1B1C1D1 ravnina, ki poteka skozi točke:

a) A, C, B1

b) B1, D1 in sredino rebra AA1.

3. Rob kocke je enak a. Konstruirajte odsek kocke z ravnino, ki poteka skozi središča treh robov, ki izhajajo iz enega oglišča, in izračunajte njen obseg in ploščino.

4. Katere oblike lahko dobimo kot rezultat preseka paralelepipeda z ravnino?

V tej lekciji bo vsakdo lahko preučil temo " Pravokotni paralelopiped" Na začetku lekcije bomo ponovili, kaj so poljubni in ravni paralelopipedi, se spomnili lastnosti njunih nasprotnih ploskev in diagonal paralelepipeda. Nato si bomo ogledali, kaj je kvader, in razpravljali o njegovih osnovnih lastnostih.

Tema: Pravokotnost premic in ravnin

Lekcija: Kvader

Površino, sestavljeno iz dveh enakih paralelogramov ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 ter štirih paralelogramov ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, imenujemo. paralelopiped(Slika 1).

riž. 1 Paralelepiped

Se pravi: imamo dva enaka paralelograma ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 (osnovici), ležita v vzporednih ravninah tako, da so stranski robovi AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 vzporedni. Tako se imenuje površina, sestavljena iz paralelogramov paralelopiped.

Tako je površina paralelepipeda vsota vseh paralelogramov, ki sestavljajo paralelepiped.

1. Nasprotni ploskvi paralelepipeda sta vzporedni in enaki.

(oblike so enake, to pomeni, da jih je mogoče kombinirati s prekrivanjem)

Na primer:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (po definiciji enaka paralelograma),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (ker sta AA 1 B 1 B in DD 1 C 1 C nasprotni strani paralelepipeda),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (ker sta AA 1 D 1 D in BB 1 C 1 C nasprotni ploskvi paralelepipeda).

2. Diagonali paralelepipeda se sekata v eni točki in se s to točko razpolovita.

Diagonale paralelopipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se sekajo v eni točki O in vsako diagonalo s to točko deli na pol (slika 2).

riž. 2 Diagonali paralelopipeda se sekata in ju deli presečišče na pol.

3. Obstajajo tri četverice enakih in vzporednih robov paralelepipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Opredelitev. Paralelepiped se imenuje raven, če so njegovi stranski robovi pravokotni na osnove.

Naj bo stranski rob AA 1 pravokoten na podlago (slika 3). To pomeni, da je premica AA 1 pravokotna na premici AD in AB, ki ležita v ravnini baze. To pomeni, da stranske ploskve vsebujejo pravokotnike. In osnove vsebujejo poljubne paralelograme. Označimo ∠BAD = φ, kot φ je lahko poljuben.

riž. 3 Pravi paralelepiped

Pravilni paralelepiped je torej paralelepiped, pri katerem so stranski robovi pravokotni na osnove paralelopipeda.

Opredelitev. Paralelepiped se imenuje pravokotnik,če so njegovi stranski robovi pravokotni na podlago. Osnove so pravokotniki.

Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je pravokoten (slika 4), če:

1. AA 1 ⊥ ABCD (stranski rob, pravokoten na ravnino osnove, to je ravni paralelopiped).

2. ∠BAD = 90°, t.j. osnova je pravokotnik.

riž. 4 Pravokotni paralelepiped

Pravokotni paralelepiped ima vse lastnosti poljubnega paralelepipeda. Toda obstajajo dodatne lastnosti, ki izhajajo iz definicije kvadra.

Torej, kvader je paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na osnovo. Osnova kvadra je pravokotnik.

1. V pravokotnem paralelepipedu je vseh šest ploskev pravokotnikov.

ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 sta po definiciji pravokotnika.

2. Stranska rebra so pravokotna na podlago. To pomeni, da so vse stranske ploskve pravokotnega paralelepipeda pravokotniki.

3. Vsi diedrski koti pravokotnega paralelepipeda so pravi.

Oglejmo si na primer diedrski kot pravokotnega paralelopipeda z robom AB, to je diedrski kot med ravninama ABC 1 in ABC.

AB je rob, točka A 1 leži v eni ravnini - v ravnini ABB 1, točka D pa v drugi - v ravnini A 1 B 1 C 1 D 1. Potem lahko obravnavani diedrski kot označimo tudi takole: ∠A 1 ABD.

Vzemimo točko A na robu AB. AA 1 je pravokotna na rob AB v ravnini АВВ-1, AD je pravokotna na rob AB v ravnini ABC. To pomeni, da je ∠A 1 AD linearni kot danega diedrskega kota. ∠A 1 AD = 90°, kar pomeni, da je diedrski kot pri robu AB 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Podobno je dokazano, da so vsi diedrski koti pravokotnega paralelepipeda pravi.

Kvadrat diagonale pravokotnega paralelepipeda je enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij.

Opomba. Dolžine treh robov, ki izhajajo iz enega oglišča kvadra, so mere kvadra. Včasih se imenujejo dolžina, širina, višina.

Podano: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravokotni paralelopiped (slika 5).

Dokaži: .

riž. 5 Pravokotni paralelepiped

Dokaz:

Premica CC 1 je pravokotna na ravnino ABC in torej na premico AC. To pomeni, da je trikotnik CC 1 A pravokoten. Po Pitagorovem izreku:

Razmislimo pravokotni trikotnik ABC. Po Pitagorovem izreku:

Toda BC in AD sta nasprotni strani pravokotnika. Torej BC = AD. Nato:

Ker , A , To. Ker je CC 1 = AA 1, je bilo to potrebno dokazati.

Diagonali pravokotnega paralelopipeda sta enaki.

Označimo mere paralelopipeda ABC kot a, b, c (glej sliko 6), nato pa AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Obstaja več vrst paralelepipedov:

· Pravokotni paralelopiped- je paralelepiped, katerega vse ploskve so - pravokotniki;

· Pravi paralelopiped je paralelopiped, ki ima 4 stranske ploskve – paralelograme;

· Nagnjen paralelepiped je paralelepiped, katerega stranske ploskve niso pravokotne na osnovo.

Osnovni elementi

Dve ploskvi paralelepipeda, ki nimata skupnega roba, imenujemo nasprotni, tisti, ki imata skupni rob, pa sosednji. Dve oglišči paralelepipeda, ki ne pripadata isti ploskvi, imenujemo nasprotni. segment, povezovanje nasprotnih vozlišč se imenuje diagonalno paralelopiped. Imenujemo dolžine treh robov pravokotnega paralelepipeda, ki imajo skupno oglišče meritve.

Lastnosti

· Paralelepiped je simetričen glede na sredino svoje diagonale.

· Vsak segment s konci, ki pripadajo površini paralelepipeda in potekajo skozi sredino njegove diagonale, je z njo razdeljen na pol; zlasti se vse diagonale paralelepipeda sekajo v eni točki in se z njo razpolovijo.

· Nasprotni ploskvi paralelepipeda sta vzporedni in enaki.

· Kvadrat dolžine diagonale pravokotnega paralelepipeda je enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij

Osnovne formule

Pravi paralelopiped

· Bočna površina S b =P o *h, kjer je P o obseg osnove, h je višina

· Skupna površina S p =S b +2S o, kjer je S o osnovna ploščina

· Glasnost V=S o *h

Pravokotni paralelopiped

· Bočna površina S b =2c(a+b), kjer sta a, b stranici osnove, c je stranski rob pravokotnega paralelopipeda.

· Skupna površina S p =2(ab+bc+ac)

· Glasnost V=abc, kjer so a, b, c mere pravokotnega paralelopipeda.

· Bočna površina S=6*h 2, kjer je h višina roba kocke

34. Tetraeder - pravilni polieder, ima 4 obrazi, ki so pravilni trikotniki. Oglišča tetraedra 4 , konvergira v vsako točko 3 rebra in skupna rebra 6 . Tudi tetraeder je piramida.

Trikotniki, ki sestavljajo tetraeder, se imenujejo obrazi (AOS, OSV, ACB, AOB), njihove strani --- rebra (AO, OC, OB), in oglišča --- oglišča (A, B, C, O) tetraeder. Dva robova tetraedra, ki nimata skupnih oglišč, imenujemo nasprotje... Včasih je ena od ploskev tetraedra izolirana in imenovana osnova, ostali trije pa --- stranski obrazi.

Tetraeder se imenuje pravilno, če so vsi njegovi obrazi enakostranični trikotniki. V tem primeru pravilni tetraeder in navaden trikotna piramida– to ni isto.

U pravilni tetraeder vsi diedrski koti pri robovih in vsi triedrski koti pri ogliščih so enaki.

35. Pravilna prizma

Prizma je polieder, katerega ploskvi (osnovi) ležita v vzporednih ravninah, vsi robovi zunaj teh ploskev pa so med seboj vzporedni. Ploskve, razen osnov, se imenujejo stranske ploskve, njihove robove pa stranski robovi. Vsi stranski robovi so med seboj enaki kot vzporedni segmenti, omejeni z dvema vzporedne ravnine. Vse stranske ploskve prizme so paralelogrami. Ustrezni stranici osnov prizme sta enaki in vzporedni. Prizma, katere stranski rob je pravokoten na ravnino osnove, se imenuje ravna prizma; druge prizme imenujemo nagnjene. Osnova pravilne prizme je pravilni mnogokotnik. Vse ploskve takšne prizme so enaki pravokotniki.

Površina prizme je sestavljena iz dveh podstavkov in stranske površine. Višina prizme je odsek, ki je skupna pravokotna na ravnine, v katerih ležijo osnovke prizme. Višina prizme je razdalja H med ravninami baz.

Bočna površina S b prizme je vsota ploščin njenih stranskih ploskev. Skupna površina S n prizme je vsota ploščin vseh njenih ploskev. S n = S b + 2 S,Kje S– površina baze prizme, S b – bočna površina.

36. Polieder z eno stranjo, imenovan osnova, – mnogokotnik,
druge ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom, imenovanim piramida .

Obrazi, ki niso osnova, se imenujejo stranski.
Skupno oglišče stranskih ploskev se imenuje vrh piramide.
Imenujejo se robovi, ki povezujejo vrh piramide z oglišči osnove stranski.
Višina piramide se imenuje navpičnica, ki poteka od vrha piramide do njenega vznožja.

Piramida se imenuje pravilno, če je njegova osnova pravilen mnogokotnik in njegova višina poteka skozi središče osnove.

Apothema stranski rob redna piramida višina tega obraza, narisana z vrha piramide, se imenuje.

Ravnina, ki je vzporedna z vznožjem piramide, jo reže v podobno piramido in prisekana piramida.

Lastnosti pravilnih piramid

• Stranska robova pravilne piramide sta enaka.
• Stranske ploskve pravilne piramide so med seboj enaki enakokraki trikotniki.

Če so vsi stranski robovi enaki, potem

·višina je projicirana na sredino načrtovanega kroga;

Stranska rebra tvorijo enake kote z ravnino baze.

Če so stranske ploskve nagnjene na ravnino podnožja pod enakim kotom, potem

·višina je projicirana na sredino včrtanega kroga;

· višine stranskih ploskev so enake;

· površina stranske ploskve je enaka polovici produkta oboda osnove in višine stranske ploskve

37. Funkcija y=f(x), kjer x pripada množici naravna števila, imenujemo funkcija naravnega argumenta oz številčno zaporedje. Označeno je z y=f(n) ali (y n)

Zaporedja je mogoče določiti na različne načine, verbalno, tako je nastavljeno zaporedje praštevila:

2, 3, 5, 7, 11 itd.

Šteje se, da je zaporedje podano analitično, če je podana formula za njegov n-ti člen:

1, 4, 9, 16, …, n 2, …

2) y n = C. Tako zaporedje imenujemo konstantno ali stacionarno. Na primer:

2, 2, 2, 2, …, 2, …

3) y n =2 n . na primer

2, 2 2, 2 3, 2 4, …, 2 n, …

Za zaporedje pravimo, da je zgoraj omejeno, če vsi njegovi členi niso večji od določenega števila. Z drugimi besedami, lahko zaporedje imenujemo omejeno, če obstaja število M tako, da je neenakost y n manjša ali enaka M. Število M imenujemo zgornja meja zaporedja. Na primer zaporedje: -1, -4, -9, -16, ..., - n 2 ; omejeno od zgoraj.

Podobno lahko zaporedje imenujemo spodaj omejeno, če so vsi njegovi členi večji od določenega števila. Če je zaporedje omejeno zgoraj in spodaj, se imenuje omejeno.

Zaporedje se imenuje naraščajoče, če je vsak naslednji člen večji od prejšnjega.

Zaporedje se imenuje padajoče, če je vsak naslednji člen manjši od prejšnjega. Naraščajoča in padajoča zaporedja definiramo z enim izrazom – monotona zaporedja.

Razmislite o dveh zaporedjih:

1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …

2) x n: 1, ½, 1/3, 1/4, …, 1/n, …

Če člene tega zaporedja upodobimo na številski premici, opazimo, da so v drugem primeru členi zaporedja strnjeni okoli ene točke, v prvem primeru pa temu ni tako. V takih primerih pravimo, da zaporedje y n divergira, zaporedje x n pa konvergira.

Število b imenujemo limita zaporedja y n, če katera koli vnaprej izbrana okolica točke b vsebuje vse člene zaporedja, začenši z določeno številko.

V tem primeru lahko zapišemo:

Če je kvocient progresije manjši od ena v modulu, potem je meja tega zaporedja, ko x teži v neskončnost, enaka nič.

Če zaporedje konvergira, potem le do ene meje

Če zaporedje konvergira, je omejeno.

Weierstrassov izrek: če zaporedje konvergira monotono, potem je omejeno.

Limita stacionarnega zaporedja je enaka kateremu koli členu zaporedja.

Lastnosti:

1) Omejitev zneska je enaka vsoti limitov

2) Limit produkta je enak produktu limitov

3) Limit količnika je enak kvocientu mej

4) Konstantni faktor se lahko vzame čez mejni znak

38. vprašanje
vsota neskončne geometrijske progresije

Geometrijsko napredovanje- zaporedje števil b 1, b 2, b 3,.. (členi progresije), v katerem vsako naslednje število, začenši z drugim, dobimo iz prejšnjega tako, da ga pomnožimo z določenim številom q (imenovalec). progresije), kjer je b 1 ≠0, q ≠0.

Vsota neskončne geometrijske progresije je mejno število, h kateremu konvergira zaporedje napredovanja.

Z drugimi besedami, ne glede na to, kako dolgo geometrijsko napredovanje, vsota njegovih članov ni večja od določenega števila in je praktično enaka temu številu. To se imenuje vsota geometrijske progresije.

Vsaka geometrijska progresija nima tako mejne vsote. Lahko je samo za progresijo, katere imenovalec je delno število, manjše od 1.