Rešitev kompleksnejšega sistema neenačb. Neenakosti. Vrste neenakosti. II. Ponavljanje in utrjevanje obravnavane snovi

Kaj morate vedeti o ikonah neenakosti? Neenakosti z ikono več (> ), oz manj (< ) se imenujejo stroga. Z ikonami večji ali enak (≥ ), manj kot ali enako (≤ ) se imenujejo ni stroga. Ikona ni enako (≠ ) stoji ločeno, vendar morate tudi s to ikono ves čas reševati primere. In odločili se bomo.)

Sama ikona nima velikega vpliva na postopek rešitve. Toda na koncu odločitve, ko izberete končni odgovor, se prikaže pomen ikone v polna moč! To bomo videli spodaj na primerih. Tam je nekaj šal ...

Neenakosti, tako kot enakosti, obstajajo zvesti in nezvesti. Tukaj je vse preprosto, brez trikov. Recimo 5 > 2 je prava neenakost. 5 < 2 - nepravilno.

Ta pripravek deluje pri neenakosti kakršne koli in preprosto do groze.) Samo pravilno morate izvesti dve (samo dve!) osnovni dejanji. Ta dejanja so znana vsem. Ampak značilno je, da so napake pri teh dejanjih glavna napaka pri reševanju neenačb, ja... Zato je treba ta dejanja ponoviti. Ta dejanja se imenujejo na naslednji način:

Identične transformacije neenačb.

Identične transformacije neenačb so zelo podobne identičnim transformacijam enačb. Pravzaprav je to glavni problem. Razlike ti gredo čez glavo in... evo ti.) Zato bom te razlike še posebej izpostavil. Torej, prva identična transformacija neenakosti:

1. Enako število ali izraz lahko prištejemo (odštejemo) obema stranema neenakosti. katera koli. To ne bo spremenilo znaka neenakosti.

V praksi se to pravilo uporablja kot prenos izrazov z leve strani neenakosti na desno (in obratno) s spremembo predznaka. S spremembo predznaka člena, ne neenačbe! Pravilo ena proti ena je enako pravilu za enačbe. Toda naslednje identične transformacije v neenačbah se bistveno razlikujejo od tistih v enačbah. Zato jih označujem z rdečo:

2. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z isto stvarjopozitivnoštevilo. Za katero kolipozitivno ne bo spremenila.

3. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z isto stvarjonegativnoštevilo. Za katero kolinegativnoštevilo. Znak neenakosti iz tegase bo spremenilo v nasprotno.

Saj se spomniš (upam...), da se enačba lahko pomnoži/deli s čimer koli. In za poljubno število in za izraz z X. Če le ne bi bila nula. Zaradi tega enačba ni niti vroča niti hladna.) Ne spremeni se. Toda neenakosti so bolj občutljive na množenje/deljenje.

Jasen primer za dolg spomin. Zapišimo neenakost, ki ne vzbuja dvomov:

5 > 2

Pomnožite obe strani s +3, dobimo:

15 > 6

Kakšni ugovori? Ni ugovorov.) In če pomnožimo obe strani prvotne neenakosti z -3, dobimo:

15 > -6

In to je čista laž.) Popolne laži! Zavajanje ljudstva! Toda takoj, ko spremenite znak neenakosti v nasprotno, se vse postavi na svoje mesto:

15 < -6

Ne prisegam le na laži in prevare.) "Pozabil sem spremeniti enačaj ..."- To domov napaka pri reševanju neenačb. To trivialno in preprosto pravilo je prizadelo toliko ljudi! Kar so pozabili ...) Torej prisežem. Mogoče se spomnim ...)

Še posebej pozorni bodo opazili, da neenakosti ni mogoče pomnožiti z izrazom z X. Spoštovanje do tistih, ki so pozorni!) Zakaj ne? Odgovor je preprost. Predznaka tega izraza z X ne poznamo. Lahko je pozitiven, negativen ... Zato ne vemo, kateri znak neenačbe postaviti za množenjem. Naj ga spremenim ali ne? Neznano. Seveda je to omejitev (prepoved množenja/deljenja neenakosti z izrazom z x) možno zaobiti. Če ga res potrebujete. Toda to je tema za druge lekcije.

To so vse identične transformacije neenakosti. Naj vas še enkrat spomnim, da delajo za katerikoli neenakosti Zdaj lahko preidete na določene vrste.

Linearne neenakosti. Rešitev, primeri.

Linearne neenačbe so neenačbe, pri katerih je x na prvi potenci in ni deljenja z x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako se te neenakosti rešujejo? Zelo enostavno jih je rešiti! Namreč: s pomočjo zmanjšamo najbolj zmedeno linearno neenakost naravnost do odgovora. To je rešitev. Izpostavil bom glavne točke sklepa. Da bi se izognili neumnim napakam.)

Rešimo to neenakost:

x+3 > 5x-5

Rešujemo na povsem enak način kot linearna enačba. Z edino razliko:

Skrbno spremljamo znak neenakosti!

Prvi korak je najpogostejši. Z X-ji - v levo, brez X-jev - v desno ... To je prva enaka transformacija, preprosta in brez težav.) Samo ne pozabite spremeniti predznakov prenesenih izrazov.

Znak neenakosti ostane:

x-5x > -5-3

Tukaj so podobni.

Znak neenakosti ostane:

4x > -8

Ostaja še uporaba zadnje enake transformacije: delite obe strani z -4.

Razdeli po negativnoštevilo.

Znak neenakosti se bo spremenil v nasprotno:

X < 2

To je odgovor.

Tako se rešujejo vse linearne neenačbe.

Pozor! Točka 2 je narisana belo, tj. nepobarvan. Notri prazno. To pomeni, da ni vključena v odgovor! Namenoma sem jo narisal tako zdravo. Takšna točka (prazna, ni zdrava!)) se v matematiki imenuje preluknjana točka.

Preostale številke na osi lahko označimo, ni pa nujno. Tuja števila, ki niso povezana z našo neenakostjo, so lahko zmedena, ja ... Zapomniti si morate le, da števila naraščajo v smeri puščice, tj. številke 3, 4, 5 itd. so na desno so dvojke, števila pa 1, 0, -1 itd. - na levo.

Neenakost x < 2 - stroga. X je strogo manjši od dveh. Če ste v dvomih, je preverjanje preprosto. Dvomljivo število nadomestimo v neenakost in pomislimo: "Dva je manj kot dva, seveda!" Tako je prav. Neenakost 2 < 2 nepravilno. Dvojka v zameno ni primerna.

Je ena v redu? Vsekakor. Manj ... In ničla je dobra, pa -17 in 0,34 ... Ja, vse številke, ki so manjše od dve, so dobre! In celo 1,9999.... Vsaj malo, a manj!

Označimo torej vsa ta števila na številski osi. kako Tukaj so možnosti. Prva možnost - senčenje. Z miško se pomaknemo čez sliko (ali se dotaknemo slike na tablici) in vidimo, da je območje vseh x-ov, ki izpolnjujejo pogoj x, zasenčeno < 2 . To je vse.

Oglejmo si drugo možnost z uporabo drugega primera:

X ≥ -0,5

Nariši os in označi število -0,5. takole:

Opazite razliko?) No, ja, težko je ne opaziti ... Ta pika je črna! Prebarvano. To pomeni -0,5 je vključeno v odgovor. Tukaj, mimogrede, lahko preverjanje koga zmede. Zamenjajmo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 ni več kot -0,5! Obstaja še več ikon ...

V redu je. V nestrogi neenakosti je primerno vse, kar ustreza ikoni. IN enako dobro, in več dobro. Zato je v odgovor vključeno -0,5.

Torej, na osi smo označili -0,5; ostane še, da označimo vsa števila, ki so večja od -0,5. Tokrat označujem območje primernih vrednosti x lok(iz besede lok), namesto senčenja. Kazalec premaknemo nad risbo in vidimo ta lok.

Med senčenjem in rokami ni posebne razlike. Naredi, kot pravi učitelj. Če ni učitelja, narišite loke. V več težke naloge senčenje je manj očitno. Lahko se zmedeš.

Tako se na osi narišejo linearne neenačbe. Preidimo na naslednjo značilnost neenakosti.

Pisanje odgovora za neenačbe.

Enačbe so bile dobre.) Poiskali smo x in zapisali odgovor, na primer: x=3. Obstajata dve obliki zapisa odgovorov v neenačbe. Ena je v obliki končne neenakosti. Dobro za preproste primere. Na primer:

X< 2.

To je popoln odgovor.

Včasih morate zapisati isto stvar, vendar v drugačni obliki, v številčnih intervalih. Potem začne posnetek izgledati zelo znanstveno):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikono ∈ beseda je skrita "pripada"

Vpis se glasi takole: x pripada intervalu od minus neskončnosti do dva ne vključuje. Čisto logično. X je lahko katero koli število od vseh možnih števil od minus neskončnosti do dva. Dvojnega X-a ne more biti, kar nam pove beseda "brez".

In kje v odgovoru je to jasno "brez"? To dejstvo je navedeno v odgovoru krog oklepaj takoj za dvema. Če bi bila oba vključena, bi bil oklepaj kvadrat. Tukaj je:]. Naslednji primer uporablja takšen oklepaj.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 v intervalih:

x ∈ [-0,5; +∞)

bere: x pripada intervalu od minus 0,5, vključno z do plus neskončnosti.

Neskončnosti ni mogoče nikoli vklopiti. To ni številka, to je simbol. Zato je v takih zapisih neskončnost vedno poleg oklepaja.

Ta oblika zapisa je primerna za kompleksne odgovore, sestavljene iz več presledkov. Ampak – samo za končne odgovore. Pri vmesnih rezultatih, kjer se pričakuje nadaljnja rešitev, je bolje uporabiti običajno obliko, v obliki preproste neenačbe. To bomo obravnavali v ustreznih temah.

Priljubljene naloge z neenačbami.

Same linearne neenakosti so preproste. Zato naloge pogosto postanejo težje. Treba je bilo torej razmišljati. To, če tega niste vajeni, ni zelo prijetno.) Je pa koristno. Pokazal bom primere takih nalog. Ni za vas, da se jih učite, to je nepotrebno. In da ne bi bilo strah ob srečanju s takimi primeri. Samo malo pomislite - in preprosto je!)

1. Poiščite katerikoli dve rešitvi neenačbe 3x - 3< 0

Če ni jasno, kaj storiti, se spomnite glavnega pravila matematike:

Če ne veste, kaj potrebujete, naredite, kar lahko!)

X < 1

In kaj? Nič posebnega. Kaj nas sprašujejo? Prosimo, da poiščemo dve določeni števili, ki sta rešitev neenačbe. Tisti. ustreza odgovoru. Dva katerikolištevilke. Pravzaprav je to zmedeno.) Primernih je nekaj 0 in 0,5. Par -3 in -8. Teh parov je neskončno veliko! Kateri odgovor je pravilen?!

Odgovorim: vse! Vsak par števil, od katerih je vsako manjše od ena, bo pravilen odgovor. Napišite katero želite. Gremo dalje.

2. Reši neenačbo:

4x - 3 ≠ 0

Naloge v tej obliki so redke. Toda kot pomožne neenakosti se pri iskanju ODZ, na primer, ali pri iskanju domene definicije funkcije, pojavljajo ves čas. Tako linearno neenačbo je mogoče rešiti kot navadno linearno enačbo. Samo povsod razen znaka "=" ( enako) postavite znak " ≠ " (ni enako). Tako pristopite k odgovoru z znakom neenakosti:

X ≠ 0,75

V več zapleteni primeri, je bolje narediti stvari drugače. Iz enakosti naredi neenakost. takole:

4x - 3 = 0

Mirno rešite, kot je naučeno, in dobite odgovor:

x = 0,75

Glavna stvar je, da čisto na koncu, ko zapisujete končni odgovor, ne pozabite, da smo našli x, kar daje enakost. In potrebujemo - neenakost. Zato tega X pravzaprav ne potrebujemo.) In zapisati ga moramo s pravilnim simbolom:

X ≠ 0,75

Ta pristop povzroči manj napak. Tisti, ki avtomatsko rešujejo enačbe. In za tiste, ki ne rešujejo enačb, neenakosti pravzaprav ne koristijo ...) Še en primer priljubljene naloge:

3. Poišči najmanjšo celoštevilsko rešitev neenačbe:

3(x - 1) < 5x + 9

Najprej enostavno rešimo neenačbo. Odpremo oklepaje, jih premaknemo, prinesemo podobne ... Dobimo:

X > - 6

Ali ni šlo tako!? Ste sledili znakom!? In za znaki članov, in za znakom neenakosti ...

Pomislimo še enkrat. Najti moramo točno določeno število, ki ustreza tako odgovoru kot pogoju "najmanjše celo število".Če se vam ne posveti takoj, lahko preprosto vzamete katero koli številko in jo ugotovite. Dva na minus šest? Vsekakor! Ali obstaja primerna manjša številka? seveda Na primer, nič je večja od -6. In še manj? Potrebujemo najmanjšo možno stvar! Minus tri je več kot minus šest! Lahko že ujamete vzorec in nehate neumno iti skozi številke, kajne?)

Vzemimo številko bližje -6. Na primer, -5. Odgovor je izpolnjen, -5 > - 6. Ali je mogoče najti drugo število, manjše od -5, vendar večje od -6? Lahko na primer -5,5... Stop! Rečeno nam je cela rešitev! Ne vrti -5,5! Kaj pa minus šest? Uh-uh! Neenakost je stroga, minus 6 nikakor ni manjše od minus 6!

Zato je pravilen odgovor -5.

Upajmo, da z izbiro vrednosti iz splošna rešitev vse je jasno. Še en primer:

4. Rešite neenačbo:

7 < 3x+1 < 13

Vau! Ta izraz se imenuje trojna neenakost. Strogo gledano je to skrajšana oblika sistema neenakosti. A takšne trojne neenačbe je treba še reševati pri nekaterih nalogah... Rešuje se tudi brez sistemov. Po enakih enakih transformacijah.

To neenakost moramo poenostaviti, prenesti na čisti X. Ampak ... Kaj naj se kam prenese?! Tukaj je čas, da se spomnimo, da je premikanje levo in desno kratka oblika prva transformacija identitete.

A polna oblika zveni takole: Poljubno število ali izraz lahko dodamo/odštejemo obema stranema enačbe (neenakost).

Tukaj so trije deli. Tako bomo uporabili enake transformacije za vse tri dele!

Torej, znebimo se tistega v srednjem delu neenakosti. Od celotnega sredinskega dela odštejmo eno. Da se neenačba ne spremeni, od preostalih dveh delov odštejemo enega. takole:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je bolje, kajne?) Vse, kar ostane, je, da vse tri dele razdelite na tri:

2 < X < 4

To je vse. To je odgovor. X je lahko poljubno število od dve (brez) do štiri (brez). Tudi ta odgovor je zapisan v intervalih; taki vnosi bodo v kvadratnih neenačbah. Tam so najpogostejša stvar.

Na koncu lekcije bom ponovil najpomembnejše. Uspeh pri reševanju linearnih neenačb je odvisen od sposobnosti transformacije in poenostavitve linearnih enačb. Če hkrati pazi na znak neenakosti, ne bo nobenih težav. To ti želim. Brez težav.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Na primer, neenakost je izraz \(x>5\).

Vrste neenakosti:

Če sta \(a\) in \(b\) števili ali , se imenuje neenakost številčno. Pravzaprav gre samo za primerjavo dveh številk. Takšne neenakosti delimo na zvest in nezvest.

Na primer:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) je nepravilna številska neenakost, ker je \(17+3=20\) in \(20\) manjše od \(115\) (in ni večje ali enako) .

Če sta \(a\) in \(b\) izraza, ki vsebujeta spremenljivko, potem imamo neenakost s spremenljivko. Takšne neenakosti so glede na vsebino razdeljene na vrste:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Spremenljivka samo na prvo potenco
\(3x^2-x+5>0\)				Na drugi potenci (kvadrat) je spremenljivka, višjih potenc (tretja, četrta itd.) pa ni.
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... in tako naprej.

Kakšna je rešitev neenakosti?

Če namesto spremenljivke v neenačbo nadomestite število, se bo ta spremenila v številsko.

Če podana vrednost za x spremeni prvotno neenakost v pravo numerično, potem se pokliče rešitev neenakosti. Če ne, potem ta vrednost ni rešitev. In tako to reši neenakost– najti morate vse njegove rešitve (ali pokazati, da jih ni).

na primerče nadomestimo število \(7\) v linearno neenačbo \(x+6>10\), dobimo pravilno številsko neenakost: \(13>10\). In če nadomestimo \(2\), bo prišlo do nepravilne številske neenakosti \(8>10\). To pomeni, da je \(7\) rešitev prvotne neenakosti, vendar \(2\) ni.

Vendar ima neenakost \(x+6>10\) druge rešitve. Dejansko bomo dobili pravilne številske neenakosti, ko zamenjamo \(5\), in \(12\), in \(138\) ... In kako lahko najdemo vse možne rešitve? Za to uporabljajo Za naš primer imamo:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

To pomeni, da nam bo ustrezala katera koli številka, večja od štiri. Zdaj morate zapisati odgovor. Rešitve neenačb običajno zapišemo številčno in jih na številski osi dodatno označimo s senčenjem. Za naš primer imamo:

odgovor: \(x\in(4;+\infty)\)

Kdaj se spremeni predznak neenakosti?

V neenakosti obstaja ena velika past, v katero se učenci zelo radi ujamejo:

Pri množenju (ali deljenju) neenakosti z negativnim številom se obrne (»več« z »manj«, »več ali enako« z »manj kot ali enako« in tako naprej)

Zakaj se to dogaja? Da bi to razumeli, si poglejmo transformacije numerične neenakosti \(3>1\). Res je, tri so res večje od ena. Najprej ga poskusimo pomnožiti s poljubnim pozitivnim številom, na primer z dvema:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Kot lahko vidimo, po množenju neenakost ostane resnična. In ne glede na to, s katerim pozitivnim številom pomnožimo, bomo vedno dobili pravilno neenakost. Zdaj pa poskusimo pomnožiti s negativno število, na primer minus tri:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultat je napačna neenakost, ker je minus devet manj kot minus tri! To pomeni, da bi neenakost postala resnična (in je bila torej pretvorba množenja z negativom "legalna"), morate obrniti primerjalni znak, takole: \(−9<− 3\).
Z delitvijo bo šlo na enak način, lahko preverite sami.

Zgoraj zapisano pravilo velja za vse vrste neenačb, ne le za numerične.

primer: Rešite neenačbo \(2(x+1)-1<7+8x\)
rešitev:

\(2x+2-1<7+8x\)	Premaknimo se \(8x\) v levo in \(2\) in \(-1\) v desno, pri čemer ne pozabimo spremeniti znakov
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Razdelimo obe strani neenakosti z \(-6\), pri čemer ne pozabimo spremeniti iz »manj« v »več«
	Na osi označimo številski interval. Neenakost, zato "izluščimo" samo vrednost \(-1\) in je ne vzamemo kot odgovor
	Zapišimo odgovor kot interval

odgovor: \(x\in(-1;\infty)\)

Neenakosti in invalidnost

Neenakosti, tako kot enačbe, imajo lahko omejitve na , to je na vrednosti x. Skladno s tem je treba iz nabora rešitev izločiti tiste vrednosti, ki so po DZ nesprejemljive.

primer: Rešite neenačbo \(\sqrt(x+1)<3\)

rešitev: Jasno je, da mora biti radikalni izraz manjši od \(9\), da bi bila leva stran manjša od \(3\) (navsezadnje iz \(9\) samo \(3\)). Dobimo:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Vsi? Nam bo ustrezala katera koli vrednost x, manjša od \(8\)? ne! Kajti če vzamemo na primer vrednost \(-5\), za katero se zdi, da ustreza zahtevi, to ne bo rešitev prvotne neenakosti, saj nas bo vodila do izračuna korena negativnega števila.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Zato moramo upoštevati tudi omejitve glede vrednosti X – ne more biti tako, da bi bilo pod korenom negativno število. Tako imamo drugo zahtevo za x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

In da je x končna rešitev, mora izpolnjevati obe zahtevi hkrati: biti mora manjši od \(8\) (da je rešitev) in večji od \(-1\) (da je načeloma dopusten). Če ga narišemo na številsko premico, dobimo končni odgovor:

odgovor: \(\levo[-1;8\desno)\)

Med vso raznolikostjo logaritemskih neenakosti se neenačbe s spremenljivo osnovo proučujejo posebej. Rešujejo se s posebno formulo, ki se iz nekega razloga redko poučuje v šoli:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Namesto potrditvenega polja “∨” lahko postavite poljuben znak neenakosti: več ali manj. Glavna stvar je, da so v obeh neenakostih znaki enaki.

Tako se znebimo logaritmov in zmanjšamo problem na racionalno neenakost. Slednje je veliko lažje rešiti, vendar se lahko pri zavrženju logaritmov pojavijo dodatni koreni. Da bi jih odrezali, je dovolj najti obseg sprejemljivih vrednosti. Če ste pozabili ODZ logaritma, toplo priporočam, da ga ponovite - glejte "Kaj je logaritem".

Vse, kar je povezano z območjem sprejemljivih vrednosti, je treba posebej zapisati in rešiti:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Te štiri neenakosti sestavljajo sistem in morajo biti izpolnjene hkrati. Ko je razpon sprejemljivih vrednosti najden, ostane le še, da ga presekamo z rešitvijo racionalne neenakosti - in odgovor je pripravljen.

Naloga. Reši neenačbo:

Najprej zapišimo ODZ logaritma:

Prvi dve neenakosti sta izpolnjeni samodejno, zadnjo pa bo treba izpisati. Ker je kvadrat števila nič, če in samo če je število samo nič, imamo:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Izkaže se, da so ODZ logaritma vsa števila razen nič: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Zdaj rešimo glavno neenakost:

Naredimo prehod iz logaritemske neenakosti v racionalno. Prvotna neenakost ima predznak "manj kot", kar pomeni, da mora imeti tudi nastala neenakost predznak "manj kot". Imamo:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Ničle tega izraza so: x = 3; x = −3; x = 0. Poleg tega je x = 0 koren druge mnogokratnosti, kar pomeni, da se predznak funkcije pri prehodu skozi njega ne spremeni. Imamo:

Dobimo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ta niz je v celoti vsebovan v ODZ logaritma, kar pomeni, da je to odgovor.

Pretvarjanje logaritemskih neenakosti

Pogosto se prvotna neenakost razlikuje od zgornje. To je mogoče enostavno popraviti s standardnimi pravili za delo z logaritmi - glejte "Osnovne lastnosti logaritmov". namreč:

1. Vsako število je mogoče predstaviti kot logaritem z dano osnovo;
2. Vsoto in razliko logaritmov z enakimi osnovami lahko nadomestimo z enim logaritmom.

Ločeno bi vas rad spomnil na obseg sprejemljivih vrednosti. Ker je lahko v izvirni neenakosti več logaritmov, je treba najti VA vsakega izmed njih. Tako je splošna shema za reševanje logaritemskih neenakosti naslednja:

1. Poiščite VA vsakega logaritma, vključenega v neenačbo;
2. Zmanjšaj neenakost na standardno z uporabo formul za seštevanje in odštevanje logaritmov;
3. Rešite nastalo neenačbo z uporabo zgornje sheme.

Naloga. Reši neenačbo:

Poiščimo definicijsko domeno (DO) prvega logaritma:

Rešujemo z intervalno metodo. Iskanje ničel števca:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Nato - ničle imenovalca:

x − 1 = 0;
x = 1.

Na koordinatni puščici označimo ničle in znake:

Dobimo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritem bo imel enak VA. Če ne verjamete, lahko preverite. Zdaj transformiramo drugi logaritem tako, da je osnova dve:

Kot lahko vidite, so bile trojke na dnu in pred logaritmom zmanjšane. Dobili smo dva logaritma z isto osnovo. Seštejmo jih:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Dobili smo standardno logaritemsko neenakost. Logaritmov se znebimo s formulo. Ker izvirna neenakost vsebuje znak "manj kot", mora biti tudi dobljeni racionalni izraz manjši od nič. Imamo:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Imamo dva kompleta:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Odgovor kandidata: x ∈ (−1; 3).

Ostaja še presekati te nize - dobili bomo pravi odgovor:

Zanima nas presečišče množic, zato izberemo intervale, ki so zasenčeni na obeh puščicah. Dobimo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - vse točke so preluknjane.

Cilj lekcije: razmislite o reševanju kompleksnejših neenačb.

Napredek lekcije

I. Izjava o temi in namenu lekcije.

II. Ponavljanje in utrjevanje obravnavane snovi.

1. Odgovori na vprašanja o domači nalogi (analiza nerešenih problemov).

2. Spremljanje asimilacije snovi (test).

III. Učenje nove snovi.

Reševanje kompleksnih neenačb z moduli ali parametri v njih.

Rešimo neenačbo |x – 1| < 3.

Najprej rešimo to neenakost analitično z upoštevanjem dveh primerov:

a) Če je x – 1 > 0, tj. x > 1, potem velja |x – 1| = x – 1 in neenakost je videti kot x – 1< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х >1, v tem primeru dobimo rešitev 1< х < 4 или х [ 1; 4).

b) Če je x – 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

Poiščemo unijo dobljenih rešitev.

Ker je pisanje odgovora pri nalogah s parametri zelo pomembno (odgovor je zapisan v naraščajočem vrstnem redu parametra), podajamo popoln odgovor:

Ko a< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а >1 x (-; a + 1].

Zdaj pa si poglejmo linearne neenakosti v dveh spremenljivkah. Praviloma se takšni problemi zmanjšajo na upodobitev množice točk, katerih koordinate zadoščajo neenakosti na koordinatni ravnini.

Vklopljeno koordinatna ravnina Upodabljajmo množico točk, katerih koordinate zadoščajo neenakosti y-2 > x-3.

Zapišimo to neenakost v obliki y > x-1. Najprej narišimo linearno funkcijo y = x-1 (ravna črta). Ta premica deli vse točke koordinatne ravnine na točke, ki se nahajajo na tej premici, in točke, ki se nahajajo pod to premico. Preverimo, katere točke izpolnjujejo to neenakost.

Iz prvega področja vzemimo na primer kontrolno točko A (0; 0) – izhodišče koordinat. Preprosto preverimo, da takrat velja neenakost y > -1. Iz drugega območja izberemo npr. kontrolno točko B (1; -1). Za tako točko neenakost y > x-1 ne velja. Posledično tej neenakosti zadostijo točke, ki se nahajajo nad in na premici y = x-1 (tj. točke, podobne točki A). Te točke so zasenčene.

Za katere vrednosti parametra a enačba ax 2 + x – 1 = 0 nima rešitev?

Ker je vodilni koeficient enačbe odvisen od parametra a, je potrebno upoštevati dva primera.

a) Če je a 0, potem je enačba ax 2 + x – 1 = 0 kvadratna. Takšna enačba nima rešitev, če je njena diskriminanta D< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

b) Če je a = 0, je enačba ax 2 + x – 1 = 0 linearna in ima obliko x – 1 = 0. Očitno ima enačba enolično rešitev x = 1.

Torej, za (-; -) podana enačba nima rešitev.

Rešimo neenačbo |x – 1| + x 2 + 2 x + 1< 0.

Neenakost zapišimo v obliki |x – 1| + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >0 in a 2 > 0 za vse vrednosti a, nato vsota

|a| + a 2 > 0 za vse a. Zato velja neenakost, |a| + a 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

Podobne vrste neenakosti obstajajo z dvema spremenljivkama.

Na koordinatni ravnini upodabljamo množico točk, katerih koordinate zadoščajo neenakosti y-1< х 2 .

Zapišimo neenakost v obliki y< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

IV. Naloge v razredu in doma.

1. Analitično reši neenačbo:

2. Za vse vrednosti a rešite neenakost:

3. Pri katerih vrednostih parametra a velja enačba

a) 3x 2 – 2x + a = 0 nima korenin;
b) 2x 2 – 3x + 5a = 0 ima dva različna korena;
c) 3akh 2 – 4х + 1 = 0 ima dva različna korena;
d) ax 2 – 3x + 2 = 0 ima vsaj en koren.

4. Analitično (in če je mogoče, grafično) rešite neenačbe:

V članku bomo razmislili reševanje neenačb. Jasno vam bomo povedali o kako sestaviti rešitev neenakosti, z jasnimi primeri!

Preden si ogledamo reševanje neenačb s primeri, poglejmo osnovne pojme.

Splošne informacije o neenakosti

Neenakost je izraz, v katerem so funkcije povezane z relacijskimi znaki >, . Neenakosti so lahko numerične in dobesedne.
Neenakosti z dvema znakoma razmerja se imenujejo dvojne, s tremi - trojne itd. Na primer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Neenačbe, ki vsebujejo znak > ali ali - niso stroge.
Reševanje neenačbe je katera koli vrednost spremenljivke, za katero bo ta neenakost resnična.
"Reši neenačbo" pomeni, da moramo najti nabor vseh njegovih rešitev. Obstajajo različne metode za reševanje neenačb. Za rešitve neenakosti Uporabljajo številsko premico, ki je neskončna. na primer rešitev neenakosti x > 3 je interval od 3 do +, število 3 pa ni vključeno v ta interval, zato je točka na premici označena s praznim krogom, ker neenakost je stroga.
+
Odgovor bo: x (3; +).
Vrednost x=3 ni vključena v nabor rešitev, zato je oklepaj okrogel. Znak neskončnosti je vedno označen z oklepajem. Znak pomeni "pripadnost".
Poglejmo, kako rešiti neenakosti na drugem primeru z znakom:
x 2
-+
Vrednost x=2 je vključena v množico rešitev, zato je oklepaj kvadraten, točka na črti pa označena s polnim krogom.
Odgovor bo: x)