Izpeljava formule dolgega logaritma. Kaj je logaritem? Reševanje logaritmov. Primeri. Lastnosti logaritmov. Pogoji za uporabo serije Taylor

Tabela protiizpeljank.

Lastnosti nedoločenega integrala omogočajo, da poiščemo njegov protiodvod z uporabo znanega diferenciala funkcije. Tako z uporabo enakosti in je mogoče iz tabele izpeljank glavnih elementarne funkcije naredi tabelo protiizpeljank.

Naj vas spomnimo tabela izpeljank, zapišimo v obliki diferencialov.

Na primer, poiščimo nedoločen integral funkcija moči.

Uporaba diferencialne tabele , torej iz lastnosti nedoločenega integrala imamo . zato ali v drugi objavi

Poiščimo množico protiodvodov potenčne funkcije za p = -1. Imamo . Za naravni logaritem se sklicujemo na tabelo diferencialov , torej, . zato .

Upam, da razumete načelo.

Tabela protiodvodov (nedoločenih integralov).

Formule iz levega stolpca tabele imenujemo osnovne antiizpeljave. Formule v desnem stolpcu niso osnovne, vendar se zelo pogosto uporabljajo pri iskanju nedoločenih integralov. Lahko jih preverimo z razlikovanjem.

Neposredna integracija.

Neposredna integracija temelji na uporabi lastnosti nedoločenih integralov , , pravila integracije in tabele antiizpeljank.

Običajno je treba integrand najprej rahlo transformirati, da lahko uporabimo tabelo osnovnih integralov in lastnosti integralov.

Primer.

Poišči integral .

rešitev.

Koeficient 3 lahko vzamemo izpod integralnega znaka na podlagi lastnosti:

Transformirajmo funkcijo integranda (z uporabo trigonometričnih formul):

Ker je integral vsote enak vsoti integralov, potem

Čas je, da se obrnemo na tabelo protiizpeljank:

odgovor:

.

Primer.

Poiščite množico protiodvodov funkcije

rešitev.

Sklicujemo se na tabelo antiizpeljank za eksponentna funkcija: . to je .

Če uporabimo integracijsko pravilo , potem imamo:

Tako tabela protiodvodov skupaj z lastnostmi in pravilom integracije omogoča najti veliko nedoločenih integralov. Vendar ni vedno mogoče preoblikovati funkcije integranda, da bi lahko uporabili tabelo protiodvodov.

Na primer, v tabeli protiodvodov ni integrala logaritemske funkcije, arkusina, arkosinusa, arktangensa in arkotangensa, tangensa in kotangensa. Za njihovo iskanje se uporabljajo posebne metode. Toda več o tem v naslednjem razdelku:

Kaj je logaritem?

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Kaj je logaritem? Kako rešiti logaritme? Ta vprašanja begajo mnoge diplomante. Tradicionalno velja, da je tema logaritmov zapletena, nerazumljiva in strašljiva. Še posebej enačbe z logaritmi.

To absolutno ni res. Vsekakor! ne verjameš? V redu. Zdaj v samo 10-20 minutah:

1. Razumeli boste kaj je logaritem.

2. Naučite se rešiti cel razred eksponentne enačbe. Tudi če o njih še niste slišali.

3. Naučite se računati preproste logaritme.

Še več, za to boste morali poznati samo tabelo množenja in kako povečati število na potenco ...

Zdi se mi, da dvomite ... No, v redu, označite čas! Gremo!

Najprej reši to enačbo v svoji glavi:

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Tabela protiodvodov (»integralov«). Tabela integralov. Tabelarno ne določeni integrali. (Najenostavnejši integrali in integrali s parametrom). Formule za integracijo po delih. Newton-Leibnizova formula.

Tabela protiodvodov (»integralov«).
Tabelarni nedoločeni integrali.	Tabelarni nedoločeni integrali.
(Najenostavnejši integrali in integrali s parametrom).
	Integral potenčne funkcije.
Integral, ki se reducira na integral potenčne funkcije, če je x gnan pod diferencialnim predznakom.	Integral eksponente, kjer je a konstantno število.
Integral kompleksne eksponentne funkcije.	Integral eksponentne funkcije.
	Integral eksponentne funkcije.
Integral, ki je enak naravnemu logaritmu.	Integral: "Dolgi logaritem".
Integral, ki je enak naravnemu logaritmu.
Integral: "Visoki logaritem".	Integral, pri katerem je x v števcu postavljen pod diferencialni predznak (konstanto pod predznakom lahko seštejemo ali odštejemo), je v končni fazi podoben integralu, ki je enak naravnemu logaritmu.
Kosinusni integral.	Sinusni integral.
Integral je enak tangenti.
Integral je enak kotangensu.	Integral, ki je enak arksinusu in arkosinusu
Integral, ki je enak arksinusu in arkosinusu.	Integral je enak sekansu.
Integral je enak arcsekansu.	Integral je enak arkokosekansu.
Integral je enak arcsekansu.	Integral je enak arcsekansu.
Integral je enak hiperboličnemu sinusu.	Integral je enak hiperboličnemu kosinusu.
Integral je enak hiperboličnemu sinusu, kjer je sinhx hiperbolični sinus v angleški različici.	Integral je enak hiperboličnemu kosinusu, kjer je sinhx hiperbolični sinus v angleški različici.
Integral je enak hiperboličnemu tangensu.	Integral je enak hiperboličnemu kotangensu.
Integral je enak hiperboličnemu sekansu.	Integral je enak hiperboličnemu kosekanu.

Formule za integracijo po delih. Pravila integracije.

Formule za integracijo po delih. Newton-Leibnizova formula.
Integracija produkta (funkcije) s konstanto:
Integracija vsote funkcij:
nedoločeni integrali:
Formula za integracijo po delih določeni integrali:
Newton-Leibnizova formula določeni integrali:	Kjer so F(a),F(b) vrednosti antiizpeljank v točkah b oziroma a.

Tabela izpeljank. Tabularne izpeljanke. Izpeljanka izdelka. Izpeljanka količnika. Odvod kompleksne funkcije.

Če je x neodvisna spremenljivka, potem:

Tabela izpeljank. Tabularne izpeljanke."tabelne izpeljanke" - ​​da, na žalost, točno tako se iščejo na internetu
	Odvod potenčne funkcije
	Izpeljanka eksponenta
Odvod kompleksne eksponentne funkcije	Odvod eksponentne funkcije
Odvod logaritemske funkcije	Izpeljanka naravnega logaritma
	Odvod naravnega logaritma funkcije
Izpeljanka sinusa	Odvod kosinusa
Izpeljanka kosekansa	Izpeljanka sekante
Odvod arkusina	Odvod ark kosinusa
Odvod arkusina	Odvod ark kosinusa
Tangentni odvod	Odvod kotangensa
Izpeljanka arktangensa	Odvod ark kotangensa
Izpeljanka arktangensa	Odvod ark kotangensa
Izpeljanka arcsekansa	Izpeljanka arkokosekansa
Izpeljanka arcsekansa	Izpeljanka arkokosekansa
Izpeljanka hiperbolični sinus Izpeljanka hiperboličnega sinusa v angleški različici	Odvod hiperboličnega kosinusa Izpeljanka hiperboličnega kosinusa v angleški različici
Odvod hiperboličnega tangensa	Odvod hiperboličnega kotangensa
Izpeljanka hiperboličnega sekansa	Odvod hiperboličnega kosekansa

Pravila razlikovanja. Izpeljanka izdelka. Izpeljanka količnika.
Odvod kompleksne funkcije.
Odvod produkta (funkcije) po konstanti:
Odvod vsote (funkcije):
Izpeljanka produkta (funkcije):
Odvod količnika (funkcij):

Lastnosti logaritmov. Osnovne formule za logaritme. Decimalni (lg) in naravni logaritmi (ln).

Osnove logaritemska identiteta
Pokažimo, kako lahko katero koli funkcijo oblike a b naredimo eksponentno. Ker se funkcija oblike e x imenuje eksponentna, potem
Vsako funkcijo oblike a b lahko predstavimo kot potenco števila deset

Naravni logaritem ln (logaritem na osnovo e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Serija Taylor. Razširitev funkcije v Taylorjev niz.

Izkazalo se je, da večina praktično srečal matematične funkcije je mogoče predstaviti s poljubno natančnostjo v bližini določene točke v obliki potencnih vrst, ki vsebujejo potence spremenljivke v naraščajočem vrstnem redu. Na primer, v bližini točke x=1:

Pri uporabi serije imenovane Taylorjeve vrstice mešane funkcije, ki vsebujejo, recimo, algebraične, trigonometrične in eksponentne funkcije, se lahko izrazijo kot čisto algebraične funkcije. Z uporabo serije lahko pogosto hitro izvedete diferenciacijo in integracijo.

Taylorjeva vrsta v okolici točke a ima obliko:

1) , kjer je f(x) funkcija, ki ima odvode vseh vrst pri x = a. R n - preostali člen v Taylorjevi vrsti je določen z izrazom

2)

K-ti koeficient (pri x k) serije je določen s formulo

3) Poseben primer serije Taylor je serija Maclaurin (=McLaren). (razširitev se pojavi okoli točke a=0)

pri a=0

člani niza so določeni s formulo

Pogoji za uporabo serije Taylor.

1. Da se funkcija f(x) razširi v Taylorjev niz na intervalu (-R;R), je nujno in zadostno, da ostanek v Taylorjevi (Maclaurin (=McLaren)) formuli za to funkcija teži k ničli pri k →∞ na podanem intervalu (-R;R).

2. Nujno je, da obstajajo odvodi za dano funkcijo v točki, v bližini katere bomo zgradili Taylorjevo vrsto.

Lastnosti Taylorjevih serij.

Če je f analitična funkcija, potem njena Taylorjeva vrsta v kateri koli točki a v domeni definicije f konvergira k f v neki okolici a.

Obstajajo neskončno diferencibilne funkcije, katerih Taylorjeva vrsta konvergira, vendar se hkrati razlikuje od funkcije v kateri koli okolici a. Na primer:

Taylorjeve serije se uporabljajo za aproksimacijo (aproksimacija - znanstvena metoda, ki je sestavljen iz zamenjave nekaterih predmetov z drugimi, v enem ali drugem smislu blizu prvotnim, vendar enostavnejšimi) funkcijami s polinomi. Zlasti linearizacija ((iz linearis - linearen), ena od metod približne predstavitve zaprtih nelinearnih sistemov, v kateri se študija nelinearnega sistema nadomesti z analizo linearnega sistema, v nekem smislu enakovrednega prvotnemu .) enačbe nastanejo z razširitvijo v Taylorjevo vrsto in odrezovanjem vseh členov nad prvim vrstnim redom.

Tako je skoraj vsako funkcijo mogoče predstaviti kot polinom z določeno natančnostjo.

Primeri nekaterih pogostih razširitev potenčnih funkcij v Maclaurinove vrste (=McLaren, Taylor v bližini točke 0) in Taylor v bližini točke 1. Prvi členi razširitev glavnih funkcij v Taylorjevo in McLarnovo vrsto.

Primeri nekaterih pogostih razširitev potenčnih funkcij v Maclaurinove vrste (=McLaren, Taylor v bližini točke 0)

Primeri nekaterih pogostih razširitev Taylorjevega niza v bližini točke 1