Lastnosti premice v evklidski geometriji.

Skozi vsako točko lahko narišemo neskončno število ravnih črt.

Skozi poljubni dve točki, ki se ne ujemata, lahko narišemo eno samo premico.

Dve divergentni premici v ravnini se sekata v eni točki ali pa sta

vzporedno (izhaja iz prejšnjega).

IN tridimenzionalni prostor Obstajajo tri možnosti za relativni položaj dveh črt:

• črte se sekajo;

• črte so vzporedne;

• ravne črte se sekajo.

Naravnost linija— algebraična krivulja prvega reda: premica v kartezičnem koordinatnem sistemu

je na ravnini podana z enačbo prve stopnje (linearna enačba).

Splošna enačba premice.

Opredelitev. Vsako premico na ravnini je mogoče določiti z enačbo prvega reda

Ax + Wu + C = 0,

in stalna A, B niso enake nič hkrati. Ta enačba prvega reda se imenuje splošno

enačba premice. Odvisno od vrednosti konstant A, B in Z Možni so naslednji posebni primeri:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- premica poteka skozi izhodišče

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ravna črta, vzporedna z osjo Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ravna črta, vzporedna z osjo Oh

. B = C = 0, A ≠0- ravna črta sovpada z osjo Oh

. A = C = 0, B ≠0- ravna črta sovpada z osjo Oh

Enačbo ravne črte je mogoče predstaviti v različnih oblikah, odvisno od katere koli danosti

začetni pogoji.

Enačba premice iz točke in normalnega vektorja.

Opredelitev. V kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu vektor s komponentami (A, B)

pravokotno na ravno črto, podana z enačbo

Ax + Wu + C = 0.

Primer. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi točko A (1, 2) pravokotno na vektor (3, -1).

rešitev. Z A = 3 in B = -1 sestavimo enačbo premice: 3x - y + C = 0. Da bi našli koeficient C

Zamenjajmo koordinate dane točke A v dobljeni izraz, torej dobimo: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Skupaj: zahtevana enačba: 3x - y - 1 = 0.

Enačba premice, ki poteka skozi dve točki.

V prostoru naj bosta podani dve točki M 1 (x 1, y 1, z 1) in M2 (x 2, y 2, z 2), Potem enačba premice,

skozi te točke:

Če je kateri od imenovalcev enak nič, mora biti ustrezni števec enak nič. Vklopljeno

ravnini, je zgoraj zapisana enačba premice poenostavljena:

če x 1 ≠ x 2 in x = x 1, Če x 1 = x 2 .

Ulomek = k klical pobočje neposredno.

Primer. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi točki A(1, 2) in B(3, 4).

rešitev. Z uporabo zgoraj zapisane formule dobimo:

Enačba ravne črte z uporabo točke in naklona.

če splošna enačba neposredno Ax + Wu + C = 0 vodi do:

in določiti , potem se pokliče nastala enačba

enačba premice z naklonom k.

Enačba premice iz točke in smernega vektorja.

Po analogiji s točko, ki upošteva enačbo ravne črte skozi normalni vektor, lahko vnesete nalogo

premica skozi točko in usmerjevalni vektor premice.

Opredelitev. Vsak neničelni vektor (α 1, α 2), katerih komponente izpolnjujejo pogoj

Aα 1 + Bα 2 = 0 klical usmerjevalni vektor premice.

Ax + Wu + C = 0.

Primer. Poiščite enačbo premice s smernim vektorjem (1, -1) in poteka skozi točko A(1, 2).

rešitev. Enačbo iskane premice bomo iskali v obliki: Ax + By + C = 0. Po definiciji je

koeficienti morajo izpolnjevati naslednje pogoje:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Potem ima enačba premice obliko: Ax + Ay + C = 0, oz x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dobimo C/A = -3, tj. zahtevana enačba:

x + y - 3 = 0

Enačba ravne črte v segmentih.

Če je v splošni enačbi ravne črte Ах + Ву + С = 0 С≠0, potem z deljenjem z -С dobimo:

ali kje

Geometrijski pomen koeficientov je, da je koeficient a koordinata presečišča

ravna z osjo Oh, A b- koordinata presečišča črte z osjo Oh.

Primer. Podana je splošna enačba premice x - y + 1 = 0. Poiščite enačbo te premice v segmentih.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalna enačba neposredno.

Če obe strani enačbe Ax + Wu + C = 0 deli s številom ki se imenuje

normalizacijski faktor, potem dobimo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna enačba premice.

Predznak ± normalizacijskega faktorja je treba izbrati tako, da μ*C< 0.

r- dolžina navpičnice, spuščene iz izhodišča na premico,

A φ - kot, ki ga tvori ta navpičnica s pozitivno smerjo osi Oh.

Primer. Podana je splošna enačba premice 12x - 5y - 65 = 0. Potrebno je napisati različne vrste enačb

ta ravna črta.

Enačba te premice v segmentih:

Enačba te premice z naklonom: (deli s 5)

Enačba premice:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Upoštevati je treba, da vsake ravne črte ni mogoče predstaviti z enačbo v segmentih, na primer ravne črte,

vzporedno z osema ali poteka skozi izhodišče.

Kot med premicami na ravnini.

Opredelitev. Če sta podani dve vrstici y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, nato pa ostri kot med tema črtama

bo definiran kot

Dve premici sta vzporedni, če k 1 = k 2. Dve črti sta pravokotni

če k 1 = -1/ k 2 .

Izrek.

Neposredno Ax + Wu + C = 0 in A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 vzporedno, ko so koeficienti sorazmerni

A 1 = λA, B 1 = λB. Če tudi С 1 = λС, potem črte sovpadajo. Koordinate presečišča dveh črt

najdemo kot rešitev sistema enačb teh premic.

Enačba premice, ki poteka skozi to točko pravokotno na to premico.

Opredelitev. Premica, ki poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1) in pravokotno na premico y = kx + b

predstavljen z enačbo:

Razdalja od točke do črte.

Izrek. Če je podana točka M(x 0, y 0), potem razdalja do premice Ax + Wu + C = 0 opredeljeno kot:

Dokaz. Naj bistvo M 1 (x 1, y 1)- osnova navpičnice, spuščene iz točke M za dano

neposredno. Nato razdalja med točkami M in M 1:

(1)

Koordinate x 1 in ob 1 lahko najdemo kot rešitev sistema enačb:

Druga enačba sistema je enačba premice, ki poteka skozi dano točko M 0 pravokotno

dana ravna črta. Če pretvorimo prvo enačbo sistema v obliko:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potem z reševanjem dobimo:

Če nadomestimo te izraze v enačbo (1), ugotovimo:

Izrek je dokazan.

Ali ste iskali, kako napisati enačbo? . Podrobna rešitev z opisi in razlagami vam bo pomagala razumeti tudi največ zahtevna naloga in naredite enačbo, brez izjeme. Pomagali vam bomo pri pripravi na domače naloge, teste, olimpijade, pa tudi na vpis na univerzo.

In ne glede na primer, ne glede na to, katero matematično poizvedbo vnesete, že imamo rešitev. Na primer, "kako napisati enačbo." Uporaba različnih

matematične težave

Na naši spletni strani lahko rešite problem, kako sestaviti enačbo. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil, da v nekaj sekundah rešite spletni problem katere koli zapletenosti. Vse kar morate storiti je, da preprosto vnesete svoje podatke v reševalec. Ogledate si lahko tudi video navodila in se naučite, kako pravilno vnesti nalogo na naši spletni strani. In če imate še vedno vprašanja, jih lahko postavite v klepetu v spodnjem levem kotu strani kalkulatorja.

Oglejmo si, kako na primerih ustvarimo enačbo za premico, ki poteka skozi dve točki.

Primer 1.

Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točki A(-3; 9) in B(2;-1).

1. način - ustvarite enačbo ravne črte s kotnim koeficientom.

Enačba premice s kotnim koeficientom ima obliko . Če nadomestimo koordinate točk A in B v enačbo premice (x= -3 in y=9 - v prvem primeru, x=2 in y= -1 - v drugem), dobimo sistem enačb iz katerega najdemo vrednosti k in b:

Če seštejemo 1. in 2. enačbo člen za členom, dobimo: -10=5k, od koder je k= -2. Če nadomestimo k= -2 v drugo enačbo, dobimo b: -1=2·(-2)+b, b=3.

Tako je y= -2x+3 zahtevana enačba.

2. način - ustvarimo splošno enačbo ravne črte.

Splošna enačba premice ima obliko . Če nadomestimo koordinate točk A in B v enačbo, dobimo sistem:

Ker je število neznank večje od števila enačb, sistem ni rešljiv. Toda vse spremenljivke je mogoče izraziti skozi eno. Na primer prek b.

Z množenjem prve enačbe sistema z -1 in seštevanjem člena za členom z drugo:

dobimo: 5a-10b=0. Zato je a=2b.

Zamenjajmo dobljeni izraz v drugo enačbo: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Nadomestite a=2b, c= -3b v enačbo ax+by+c=0:

2bx+z-3b=0. Ostaja še deliti obe strani z b:

Splošno enačbo ravne črte lahko zlahka zmanjšamo na enačbo ravne črte z naklonom:

3. način - ustvarite enačbo ravne črte, ki poteka skozi 2 točki.

Enačba premice, ki poteka skozi dve točki, je:

V to enačbo nadomestimo koordinate točk A(-3; 9) in B(2;-1).

(to je x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

in poenostavite:

od koder je 2x+y-3=0.

IN šolski tečaj Najpogosteje se uporablja enačba premice s koeficientom naklona. Toda najlažji način je izpeljati in uporabiti formulo za enačbo premice, ki poteka skozi dve točki.

Komentiraj.

Če pri zamenjavi koordinat danih točk enega od imenovalcev enačbe

izkaže, da je enak nič, potem zahtevano enačbo dobimo z enačenjem ustreznega števca z nič.

Primer 2.

Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi dve točki C(5; -2) in D(7;-2).

Koordinati točk C in D nadomestimo v enačbo premice, ki poteka skozi 2 točki.

Enačba premice na ravnini.
Smerni vektor je raven. Normalni vektor

Ravna črta na ravnini je ena najpreprostejših geometrijske oblike, ki vam je znan od mlajši razredi, danes pa se bomo naučili, kako se z njim soočiti z metodami analitične geometrije. Če želite obvladati gradivo, morate biti sposobni zgraditi ravno črto; vedeti, katera enačba določa premico, zlasti premico, ki poteka skozi koordinatno izhodišče, in premice, vzporedne s koordinatnimi osemi. Te informacije najdete v priročniku Grafi in lastnosti elementarnih funkcij, ustvaril sem ga za matana, toda razdelek o linearna funkcija Izkazalo se je zelo uspešno in podrobno. Zato se, dragi čajniki, najprej ogrejte tam. Poleg tega morate imeti osnovno znanje o vektorji, sicer bo razumevanje gradiva nepopolno.

V tej lekciji si bomo ogledali načine, kako lahko sestavite enačbo premice na ravnini. Priporočam, da ne zanemarite praktičnih primerov (tudi če se zdijo zelo preprosti), saj jim bom posredoval osnovna in pomembna dejstva, tehnične metode, ki bo v prihodnosti potrebna tudi v drugih oddelkih višje matematike.

• Kako zapisati enačbo ravne črte s kotnim koeficientom?
• Kako?
• Kako najti smerni vektor z uporabo splošne enačbe ravne črte?
• Kako napisati enačbo ravne črte glede na točko in normalni vektor?

in začnemo:

Enačba premice z naklonom

Dobro znana "šolska" oblika enačbe ravne črte se imenuje enačba premice z naklonom. Na primer, če je ravna črta podana z enačbo, potem je njen naklon: . Razmislimo geometrijski pomen tega koeficienta in kako njegova vrednost vpliva na lokacijo črte:

Pri tečaju geometrije je to dokazano naklon premice je enak tangens kota med pozitivno smerjo osiin ta vrstica: , in kot se "odvije" v nasprotni smeri urinega kazalca.

Da ne bi risal v nered, sem kote narisal samo za dve ravni črti. Poglejmo "rdečo" črto in njen naklon. Glede na zgoraj: (kot "alfa" je označen z zelenim lokom). Za "modro" premico s kotnim koeficientom velja enakost ("beta" kot je označen z rjavim lokom). In če je tangens kota znan, ga je po potrebi enostavno najti in sam vogal z uporabo inverzna funkcija– arktangens. Kot pravijo, trigonometrična tabela ali mikrokalkulator v vaših rokah. torej kotni koeficient označuje stopnjo naklona ravne črte na os abscise.

Možni so naslednji primeri:

1) Če je naklon negativen: potem črta, grobo rečeno, poteka od zgoraj navzdol. Primeri so "modre" in "maline" ravne črte na risbi.

2) Če je naklon pozitiven: , gre premica od spodaj navzgor. Primeri - "črne" in "rdeče" ravne črte na risbi.

3) Če je naklon enak nič: , ima enačba obliko , ustrezna premica pa je vzporedna z osjo. Primer je "rumena" ravna črta.

4) Za družino črt, vzporednih z osjo (na risbi ni primera, razen same osi), kotni koeficient ne obstaja (tangenta 90 stopinj ni definirana).

Večji kot je koeficient naklona v absolutni vrednosti, bolj strm je graf ravne črte..

Na primer, razmislite o dveh ravnih črtah. Tu ima torej ravna črta večji naklon. Naj vas spomnim, da modul omogoča ignoriranje znaka, ki nas zanima samo absolutne vrednosti kotni koeficienti.

Po drugi strani pa je ravna črta bolj strma od ravnih črt .

Nasprotno: manjši kot je koeficient naklona v absolutni vrednosti, bolj položna je ravna črta.

Za ravne črte neenakost je resnična, zato je premica bolj položna. Otroški tobogan, da si ne naredite modric in udarcev.

Zakaj je to potrebno?

Podaljšajte svoje muke Poznavanje zgornjih dejstev vam omogoča, da takoj vidite svoje napake, zlasti napake pri gradnji grafov - če se izkaže, da je risba "očitno nekaj narobe." Priporočljivo je, da takoj jasno je bilo, da je na primer ravna črta zelo strma in gre od spodaj navzgor, ravna črta pa je zelo ravna, pritisnjena blizu osi in gre od zgoraj navzdol.

IN geometrijske težave Pogosto se pojavi več ravnih črt, zato jih je priročno nekako označiti.

Poimenovanja: ravne črte so označene kot majhne z latinskimi črkami: . Priljubljena možnost je, da jih označite z isto črko z naravnimi indeksi. Na primer, pet vrstic, ki smo si jih pravkar ogledali, lahko označimo z .

Ker je vsaka ravna črta enolično določena z dvema točkama, jo lahko označimo s temi točkami: itd. Oznaka jasno nakazuje, da točke pripadajo premici.

Čas je, da se malo ogrejemo:

Kako zapisati enačbo ravne črte s kotnim koeficientom?

Če sta znana točka, ki pripada določeni premici, in kotni koeficient te premice, potem je enačba te premice izražena s formulo:

Primer 1

Napiši enačbo za premico z naklonom, če je znano, da točka pripada dani premici.

rešitev: Sestavimo enačbo premice po formuli . V tem primeru:

Odgovori:

Pregled se naredi preprosto. Najprej pogledamo nastalo enačbo in se prepričamo, da je naš naklon pravilen. Drugič, koordinate točke morajo zadostiti tej enačbi. Vključimo jih v enačbo:

Prejeto prava enakost, kar pomeni, da točka izpolnjuje nastalo enačbo.

Zaključek: Enačba je bila pravilno ugotovljena.

Bolj kočljiv primer za neodvisna odločitev:

Primer 2

Napiši enačbo za premico, če je znano, da je njen naklonski kot na pozitivno smer osi , točka pa pripada tej premici.

Če imate kakršne koli težave, ponovno preberite teoretično gradivo. Natančneje, bolj praktično, preskočim veliko dokazov.

Zazvonilo je zadnji klic, maturantska zabava je zamrla, pred vrati naše domače šole pa nas čaka sama analitična geometrija. šale je konec... Ali pa se šele začenjajo =)

Nostalgično pomahamo s peresom znanemu in se seznanimo s splošno enačbo premice. Ker se v analitični geometriji uporablja točno to:

Splošna enačba premice ima obliko: , kje so številke. Hkrati so koeficienti istočasno niso enake nič, saj enačba izgubi pomen.

Oblecimo se v obleko in povežimo enačbo s koeficientom naklona. Najprej premaknimo vse izraze na levo stran:

Izraz z "X" mora biti postavljen na prvo mesto:

Načeloma ima enačba že obliko , vendar mora biti po pravilih matematičnega bontona koeficient prvega člena (v tem primeru) pozitiven. Spreminjanje znakov:

Zapomnite si to tehnično lastnost! Prvi koeficient naredimo (najpogosteje) pozitiven!

V analitični geometriji bo enačba ravne črte skoraj vedno podana v splošni obliki. No, če je potrebno, ga je mogoče enostavno zmanjšati na "šolsko" obliko s kotnim koeficientom (z izjemo ravnih črt, vzporednih z ordinatno osjo).

Vprašajmo se kaj dovolj znate sestaviti premico? Dve točki. Toda več o tem dogodku iz otroštva, zdaj velja pravilo s puščicami. Vsaka ravna črta ima zelo specifičen naklon, ki se mu zlahka »prilagodi«. vektor.

Vektor, ki je vzporeden s premico, imenujemo smerni vektor te premice. Očitno je, da ima vsaka ravna črta neskončno veliko smernih vektorjev in vsi bodo kolinearni (sosmerni ali ne - ni pomembno).

Smerni vektor bom označil takole: .

Toda en vektor ni dovolj za konstrukcijo ravne črte; vektor je prost in ni vezan na nobeno točko na ravnini. Zato je dodatno potrebno poznati še kakšno točko, ki pripada premici.

Kako napisati enačbo ravne črte z uporabo točke in smernega vektorja?

Če sta znana določena točka, ki pripada premici, in smerni vektor te premice, potem lahko enačbo te premice sestavimo s formulo:

Včasih se imenuje kanonična enačba premice .

Kaj storiti, ko eno od koordinat enaka nič, bomo razumeli v spodnjih praktičnih primerih. Mimogrede, upoštevajte - obe naenkrat koordinate ne morejo biti enake nič, saj ničelni vektor ne določa določene smeri.

Primer 3

Napišite enačbo za ravno črto z uporabo točke in smernega vektorja

rešitev: Sestavimo enačbo premice po formuli. V tem primeru:

Z uporabo lastnosti razmerja se znebimo ulomkov:

In enačbo pripeljemo do splošni videz:

Odgovori:

Praviloma v takih primerih ni treba narediti risbe, ampak zaradi razumevanja:

Na risbi vidimo začetno točko, prvotni smerni vektor (lahko ga izrišemo iz katerekoli točke na ravnini) in zgrajeno premico. Mimogrede, v mnogih primerih je najbolj priročno zgraditi ravno črto z uporabo enačbe s kotnim koeficientom. Našo enačbo je mogoče enostavno pretvoriti v obliko in brez težav izbrati drugo točko za sestavo ravne črte.

Kot smo omenili na začetku odstavka, ima ravna črta neskončno veliko smernih vektorjev in vsi so kolinearni. Na primer, narisal sem tri takšne vektorje: . Ne glede na smerni vektor, ki ga izberemo, bo rezultat vedno enaka enačba ravne črte.

Ustvarimo enačbo ravne črte z uporabo točke in vektorja smeri:

Rešitev razmerja:

Obe strani delite z –2 in dobite znano enačbo:

Zainteresirani lahko na enak način testirajo vektorje ali kateri koli drug kolinearni vektor.

Zdaj pa rešimo obratni problem:

Kako najti smerni vektor z uporabo splošne enačbe ravne črte?

Zelo preprosto:

Če je premica podana s splošno enačbo v pravokotnem koordinatnem sistemu, potem je vektor smerni vektor te premice.

Primeri iskanja smernih vektorjev ravnih črt:

Stavek nam omogoča, da najdemo samo en smerni vektor od neskončnega števila, vendar jih ne potrebujemo več. Čeprav je v nekaterih primerih priporočljivo zmanjšati koordinate vektorjev smeri:

Tako enačba podaja ravno črto, ki je vzporedna z osjo, koordinate dobljenega smernega vektorja pa so priročno deljene z –2, s čimer dobimo točno osnovni vektor kot smerni vektor. Logično.

Podobno enačba podaja ravno črto, vzporedno z osjo, in z deljenjem koordinat vektorja s 5 dobimo ort vektor kot smerni vektor.

Zdaj pa naredimo to preverjanje primera 3. Primer se je povečal, zato vas spomnim, da smo v njem sestavili enačbo ravne črte s točko in smernim vektorjem

Prvič, z uporabo enačbe premice rekonstruiramo njen smerni vektor: – vse je v redu, prejeli smo izvirni vektor (v nekaterih primerih je lahko rezultat kolinearen vektor izvirnemu, kar je običajno enostavno opaziti po sorazmernosti ustreznih koordinat).

Drugič, morajo koordinate točke zadoščati enačbi. Zamenjamo jih v enačbo:

Dosežena je pravilna enakost, česar smo zelo veseli.

Zaključek: Naloga je bila pravilno opravljena.

Primer 4

Napišite enačbo za ravno črto z uporabo točke in smernega vektorja

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije. Zelo priporočljivo je, da preverite z algoritmom, o katerem smo pravkar razpravljali. Poskusite vedno (če je mogoče) preveriti osnutek. Neumno je delati napake, kjer se jim je mogoče 100% izogniti.

V primeru, da je ena od koordinat smernega vektorja enaka nič, postopajte zelo preprosto:

Primer 5

rešitev: Formula ni primerna, ker je imenovalec na desni strani nič. Obstaja izhod! Z uporabo lastnosti sorazmerja prepišemo formulo v obliki, ostalo pa valjamo po globoki ruti:

Odgovori:

Pregled:

1) Obnovite usmerjevalni vektor premice:
– dobljeni vektor je kolinearen prvotnemu smernemu vektorju.

2) Nadomestite koordinate točke v enačbo:

Dobljena je pravilna enakost

Zaključek: naloga opravljena pravilno

Postavlja se vprašanje, zakaj bi se mučili s formulo, če obstaja univerzalna različica, ki bo delovala v vsakem primeru? Razloga sta dva. Prvič, formula je v obliki ulomka veliko bolje zapomniti. In drugič, pomanjkljivost univerzalna formula je to tveganje za zmedo se znatno poveča pri zamenjavi koordinat.

Primer 6

Napišite enačbo za ravno črto z uporabo točke in smernega vektorja.

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

Vrnimo se k vseprisotnim dvema točkama:

Kako zapisati enačbo ravne črte z uporabo dveh točk?

Če sta znani dve točki, lahko enačbo ravne črte, ki poteka skozi ti točki, sestavimo s formulo:

Pravzaprav je to vrsta formule in tukaj je razlog: če sta znani dve točki, bo vektor smerni vektor dane črte. V razredu Vektorji za lutke smo upoštevali najpreprostejša naloga– kako najti koordinate vektorja iz dveh točk. V skladu s tem problemom so koordinate vektorja smeri:

Opomba : točke lahko "zamenjamo" in uporabimo formulo . Takšna rešitev bo enakovredna.

Primer 7

Napišite enačbo premice z dvema točkama .

rešitev: Uporabljamo formulo:

Česanje imenovalcev:

In premešaj krov:

Trenutno je priročno, da se znebite ulomkov. V tem primeru morate obe strani pomnožiti s 6:

Odprite oklepaje in si opomnite enačbo:

Odgovori:

Pregled je očitno - koordinate začetnih točk morajo izpolnjevati nastalo enačbo:

1) Zamenjajte koordinate točke:

Prava enakost.

2) Zamenjajte koordinate točke:

Prava enakost.

Zaključek: Enačba premice je pravilno zapisana.

če vsaj enega točk ne zadošča enačbi, poiščite napako.

Omeniti velja, da je grafično preverjanje v tem primeru težavno, saj je treba zgraditi ravno črto in ugotoviti, ali ji točke pripadajo , ni tako preprosto.

Omenil bom še nekaj tehničnih vidikov rešitve. Morda je pri tej težavi bolj donosno uporabiti zrcalno formulo in na istih točkah naredi enačbo:

Manj frakcij. Če želite, lahko rešitev izvedete do konca, rezultat mora biti enaka enačba.

Druga točka je pogledati končni odgovor in ugotoviti, ali bi ga bilo mogoče še poenostaviti? Na primer, če dobite enačbo , je priporočljivo, da jo zmanjšate za dve: – enačba bo definirala isto ravno črto. Vendar je to že tema pogovora relativni položaj črt.

Po prejemu odgovora v primeru 7 sem za vsak slučaj preveril, ali so VSI koeficienti enačbe deljivi z 2, 3 ali 7. Čeprav se najpogosteje takšna zmanjšanja izvajajo med reševanjem.

Primer 8

Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točke .

To je primer neodvisne rešitve, ki vam bo omogočila boljše razumevanje in vadbo računskih tehnik.

Podobno kot v prejšnjem odstavku: če je v formuli eden od imenovalcev (koordinata smernega vektorja) postane nič, potem ga prepišemo v obliki . Spet opazite, kako nerodno in zmedeno je videti. Ne vidim velikega smisla v prinašanju praktični primeri, saj smo takšno težavo že dejansko rešili (glej št. 5, 6).

Neposredni normalni vektor (normalni vektor)

Kaj je normalno? Z enostavnimi besedami, normala je pravokotna. To pomeni, da je normalni vektor premice pravokoten na dano premico. Očitno jih ima vsaka premica neskončno število (kot tudi smernih vektorjev) in vsi normalni vektorji premice bodo kolinearni (sosmerni ali ne, ni razlike).

Ukvarjanje z njimi bo še lažje kot z vodilnimi vektorji:

Če je premica podana s splošno enačbo v pravokotnem koordinatnem sistemu, potem je vektor normalni vektor te premice.

Če je treba koordinate smernega vektorja previdno "izvleči" iz enačbe, lahko koordinate normalnega vektorja preprosto "odstranimo".

Normalni vektor je vedno pravokoten na smerni vektor premice. Preverimo ortogonalnost teh vektorjev z uporabo pikasti izdelek:

Podal bom primere z enakimi enačbami kot za vektor smeri:

Ali je mogoče sestaviti enačbo premice z eno točko in normalnim vektorjem? Čutim v črevesju, možno je. Če je normalni vektor znan, je smer same ravne črte jasno določena - to je "toga struktura" s kotom 90 stopinj.

Kako napisati enačbo ravne črte glede na točko in normalni vektor?

Če sta znana določena točka, ki pripada premici, in normalni vektor te premice, potem je enačba te premice izražena s formulo:

Tu se je vse izšlo brez ulomkov in drugih presenečenj. To je naš normalni vektor. Ljubi ga. In spoštovanje =)

Primer 9

Napiši enačbo premice, dani točki in normalnemu vektorju. Poiščite smerni vektor premice.

rešitev: Uporabljamo formulo:

Splošna enačba premice je bila pridobljena, preverimo:

1) "Odstranite" koordinate normalnega vektorja iz enačbe: – ja, res, originalni vektor je bil dobljen iz pogoja (oz. bi moral biti pridobljen kolinearni vektor).

2) Preverimo, ali točka ustreza enačbi:

Prava enakost.

Ko se prepričamo, da je enačba pravilno sestavljena, opravimo drugi, lažji del naloge. Izvzamemo usmerjevalni vektor premice:

Odgovori:

Na risbi je situacija videti takole:

Za namene usposabljanja podobna naloga za samostojno reševanje:

Primer 10

Napišite enačbo premice iz točke in normalni vektor. Poiščite smerni vektor premice.

Zadnji del lekcije bo posvečen manj pogostim, a tudi pomembnim vrstam enačb premice na ravnini

Enačba ravne črte v segmentih.
Enačba premice v parametrični obliki

Enačba premice v segmentih ima obliko , kjer so konstante, ki niso nič. Nekaterih vrst enačb ni mogoče predstaviti v tej obliki, na primer neposredne sorazmernosti (ker je prosti člen enak nič in ga ni mogoče dobiti na desni strani).

To je, figurativno rečeno, »tehnična« vrsta enačbe. Pogosta naloga je predstaviti splošno enačbo premice kot enačbo premice v segmentih. Kako je priročno? Enačba črte v segmentih vam omogoča, da hitro najdete točke presečišča črte z koordinatne osi, kar je lahko zelo pomembno pri nekaterih problemih višje matematike.

Poiščimo presečišče premice z osjo. Ponastavimo »y« na nič in enačba ima obliko . Želena točka se pridobi samodejno: .

Enako z osjo – točka, v kateri premica seka ordinatno os.

Sestaviti enačbo pomeni v matematični obliki izraziti razmerje med podatki (znanimi) problema in njegovimi želenimi (neznanimi) količinami. Včasih je ta povezava tako jasno vsebovana v formulaciji problema, da je sestavljanje enačbe preprosto dobesedno ponavljanje problema v jeziku matematičnih simbolov.

Primer 1. Petrov je prejel 160 rubljev za delo. več kot polovico zneska, ki ga je prejel Ivanov. Skupaj so prejeli 1120 rubljev. Koliko sta za svoje delo prejela Petrov in Ivanov? Ivanov zaslužek označimo z x. Polovica njegovega zaslužka je 0,5x; Mesečni zaslužek Petrov je 0,5x + 160; skupaj zaslužijo 1120 rubljev; matematični zapis zadnje fraze bo

(0,5x + 160) + x = 1120.

Enačba je popolna. Če ga rešimo po nekoč uveljavljenih pravilih, ugotovimo, da je Ivanov zaslužek x = 640 rubljev; Petrov zaslužek je 0,5x + 160 = 480 (rub.).

Pogosteje se zgodi, da povezava med podatki in zahtevanimi količinami v nalogi ni neposredno navedena; treba ga je vzpostaviti na podlagi pogojev problema. V praktičnih problemih se to skoraj vedno zgodi. Pravkar navedeni primer je namišljen; v življenju se skoraj nikoli ne srečamo s takšnimi težavami.

Zato ni mogoče podati povsem izčrpnih navodil za sestavo enačbe. Vendar je na začetku koristno voditi naslednje. Za vrednost želene količine (ali več količin) vzemimo neko naključno izbrano število (ali več števil) in si zadajmo nalogo, da preverimo, ali smo pravilno uganili. prava odločitev nalog ali ne. Če nam je uspelo opraviti to preverjanje in ugotoviti, ali je naše ugibanje pravilno ali pa napačno (slednje se seveda najverjetneje zgodi), potem lahko takoj ustvarimo potrebno enačbo (ali več enačb). Zapisali bomo namreč prav tista dejanja, ki smo jih izvedli za preverjanje, le namesto naključno vzetega števila bomo vnesli abecedni znak neznane vrednosti. Dobili bomo zahtevano enačbo.

Primer 2. Kos zlitine bakra in cinka s prostornino 1 dm3 tehta 8,14 kg. Koliko bakra je v zlitini? (specifična teža bakra 8,9 kg/dm3; cinka - 7,0 kg/dm3).

Vzemimo naključno število, ki izraža potrebno prostornino bakra, na primer 0,3 dm3. Preverimo, ali smo to številko uspešno dobili. Ker 1 kg/dm3 bakra tehta 8,9 kg, potem tehta 0,3 dm3 8,9 * 0,3 = 2,67 (kg). Prostornina cinka v zlitini je 1 - 0,3 = 0,7 (dm3). Njegova teža je 7,0 0,7 = 4,9 (kg). Skupna teža cinka in bakra je 2,67 + + 4,9 = 7,57 (kg). Medtem je teža našega kosa, glede na pogoje problema, 8,14 kg. Naše ugibanje je neutemeljeno. Toda takrat bomo takoj dobili enačbo, katere rešitev bo dala pravilen odgovor. Namesto naključno izbranega števila 0,3 dm3 označimo prostornino bakra (v dm3) z x. Namesto zmnožka 8,9 0,3 = 2,67 vzamemo zmnožke 8,9 x. To je teža bakra v zlitini. Namesto 1 - 0,3 = 0,7 vzamemo 1 - x; to je prostornina cinka. Namesto 7,0 0,7 = 4,9 vzamemo 7,0 (1 - x); to je teža cinka. Namesto 2,67 + 4,9 vzamemo 8,9 x + 7,0 (1 - x); to je skupna teža cinka in bakra. Glede na stanje je enako 8,14 kg; to pomeni 8,9 x + 7,0 (1 - x) = 8,14.

Rešitev te enačbe daje x = 0,6. Preverjanje naključne odločitve je možno na različne načine; v skladu s tem lahko dobimo za isti problem različne vrste enačbe; vse pa bodo dale enako rešitev za želeno količino; takšne enačbe imenujemo enakovredne.

Seveda po pridobitvi spretnosti pri sestavljanju enačb ni treba preverjati naključno vzetega števila: za vrednost želene količine lahko vzamete ne številko, ampak črko (x, y itd.) in ukrepate kot da bi bila ta črka (neznana) številka, ki jo bomo preverili.