Skupna površina krogle. Kako najti površino in prostornino krogle. Sekanta, tetiva, sekana ravnina krogle in njihove lastnosti

Tukaj podajamo zelo preprosto, čeprav ne povsem strogo izpeljavo formule za površino sferične površine; po svoji ideji je zelo blizu metodam integralnega računa. Torej nam je dana določena krogla s polmerom R. Izberimo nekaj majhnega območja na njeni površini (sl. 412) in razmislimo o piramidi ali stožcu z vrhom v središču krogle O, ki ima to območje za osnovo ; strogo gledano, o stožcu ali piramidi govorimo le pogojno, saj osnova ni ravna, temveč kroglasta. Če pa je velikost baze majhna v primerjavi s polmerom krogle, se bo le-ta zelo malo razlikovala od ploščate (na primer, ko merijo majhno zemljišče, zanemarjajo dejstvo, da ne leži na ravnina, ampak na kroglo).

Potem, ko označujemo osnovo "piramide" skozi območje tega odseka, najdemo njegovo prostornino kot produkt ene tretjine višine s površino osnove (višina je polmer krogle) :

Če je zdaj celotna površina žoge razgrajena na zelo veliko število N tako majhnih površin, torej prostornina krogle z N prostorninami "piramid", ki imajo te površine kot svoje osnove, potem bo celotna prostornina predstavljena z vsoto

kjer je zadnja vsota enaka celotni površini žoge:

Torej je prostornina krogle enaka tretjini zmnožka njenega polmera in površine. Zato imamo za površino formulo

Zadnji rezultat je oblikovan na naslednji način:

Površina krogle je enaka štirikratni površini njenega velikega kroga.

Zgornji sklep je primeren tudi za površino sektorja krogle (mislimo samo na osnovo, t.j. sferično površino ali "kapo"; glej sliko 409). In v tem primeru je prostornina sektorja enaka eni tretjini produkta polmera krogle in površine njene sferične osnove:

kjer najdemo formulo za površino kapice

Sferična površina sferične plasti se imenuje sferični pas (glej sliko 408). Za izračun površine sferičnega pasu najdemo razliko med površinama dveh sferičnih pokrovčkov:

kjer je višina plasti. Torej je površina sferičnega pasu za določeno kroglo odvisna le od višine ustrezne plasti, ne pa tudi od njenega položaja na krogli.

Naloga. Bočna površina stožec, obkrožen okoli krogle, ima površino, ki je enaka eni in pol kratni površini krogle. Poiščite višino stožca, če je polmer krogle .

rešitev. Za udobje uvedimo kot a med višino in generatriko stožca (slika 413). Poiščimo izraze za višino, osnovni radij in generatriso stožca

Tukaj podajamo zelo preprosto, čeprav ne povsem strogo izpeljavo formule za površino sferične površine; po svoji ideji je zelo blizu metodam integralnega računa. Torej nam je dana določena krogla s polmerom R. Izberimo nekaj majhnega območja na njeni površini (sl. 412) in razmislimo o piramidi ali stožcu z vrhom v središču krogle O, ki ima to območje za osnovo ; strogo gledano, o stožcu ali piramidi govorimo le pogojno, saj osnova ni ravna, temveč kroglasta. Če pa je velikost baze majhna v primerjavi s polmerom krogle, se bo le-ta zelo malo razlikovala od ploščate (na primer, ko merijo majhno zemljišče, zanemarjajo dejstvo, da ne leži na ravnina, ampak na kroglo).

Potem, ko označujemo osnovo "piramide" skozi območje tega odseka, najdemo njegovo prostornino kot produkt ene tretjine višine s površino osnove (višina je polmer krogle) :

Če zdaj razčlenimo celotno površino krogle na zelo veliko število N tako majhnih območij, s tem prostornino krogle v N volumnov "piramid", ki imajo te površine kot svoje osnove, potem bo celoten volumen predstavljen z vsota

kjer je zadnja vsota enaka celotni površini žoge:

Torej je prostornina krogle enaka tretjini zmnožka njenega polmera in površine. Zato imamo za površino formulo

Zadnji rezultat je oblikovan na naslednji način:

Površina krogle je enaka štirikratni površini njenega velikega kroga.

Zgornji sklep je primeren tudi za površino sektorja krogle (mislimo samo na osnovo, t.j. sferično površino ali "kapo"; glej sliko 409). In v tem primeru je prostornina sektorja enaka eni tretjini produkta polmera krogle in površine njene sferične osnove:

kjer najdemo formulo za površino kapice

Sferična površina sferične plasti se imenuje sferični pas (glej sliko 408). Za izračun površine sferičnega pasu najdemo razliko med površinama dveh sferičnih pokrovčkov:

kjer je višina plasti. Torej je površina sferičnega pasu za določeno kroglo odvisna le od višine ustrezne plasti, ne pa tudi od njenega položaja na krogli.

Naloga. Stranska ploskev stožca, ki je obkrožen okrog krogle, ima površino, ki je enaka eni in pol površine krogle. Poiščite višino stožca, če je polmer krogle .

rešitev. Za udobje uvedimo kot a med višino in generatriko stožca (slika 413). Poiščimo izraze za višino, osnovni radij in generatriso stožca

Če imate samo eno formulo in na začetku veste, kakšen je premer ali polmer, lahko preprosto izračunate površino krogle. Formula bo videti takole S = 4πR2, kjer je pi pomnožen s 4, nato s polmerom krogle na kvadratno potenco. Toda pred neposrednimi izračuni morate takoj razumeti pogoje.

Razlaga pomenov

To bi morali vedeti:

• Žoga- geometrijski predmet, ki nastane zaradi rotacijskih polkrožnih gibov okoli središča. Vsaka točka na površini krogle je enako oddaljena od središča.
• krogla- ni isto kot žoga. Če je volumetričen predmet in vključuje notranji prostor, potem je krogla le površina tega predmeta in ima samo svoje območje. Z drugimi besedami, ni mogoče reči, da ima krogla takšno in takšno prostornino, za razliko od krogle.
• Pi je konstantno število enako razmerju obseg kroga na njegov premer. V skrajšani obliki je običajno označena s številko, ki je enaka 3,14. A v resnici je za tremi več kot tisoč številk!
• Polmer krogle je enak ½ njenega premera. Natančen premer je mogoče izračunati z uporabo več ravnih in ravnih predmetov. Žogo morate le vpeti med te predmete, ki vpnejo kroglo in se nahajajo pravokotno drug na drugega, nato pa izmeriti nastali premer.
• Kvadratna stopinja označeno kot dvojka in pomeni, da je treba to število enkrat pomnožiti samo s seboj. Če bi bila potenca števila v obliki tri, bi morali dvakrat pomnožiti samo s seboj. Če izraz zapišete na papir, lahko razumete, zakaj sta uporabljena dva in tri, in ne ena in dva.
• Glasnost– količina, ki označuje velikost v prostoru, ki ga predmet zaseda. Prostornina žoge je odvisna od premera. Formula bo enaka štirim tretjinam, pomnoženim s pi, in ponovno pomnoženim s kubiranim polmerom.
• kvadrat– količina, ki označuje velikost površine predmeta, ne pa notranjega prostora.

Zanimiva dejstva

To je zanimivo:

1. Število "pi" ima svoje klube oboževalcev po vsem svetu. Člani družbe si skušajo zapomniti čim več znamenj iz tega števila, poskušajo pa tudi razvozlati univerzalne skrivnosti, ki se skrivajo v številu.
2. Zemljino kopno obsega le 29,2 % površine Zemlje skupna površina. Točna številka Območje je težko poimenovati zaradi neenakomerne topografije Zemlje, kot so depresije in gore.
3. Znanje o formuli za območje krogle je mogoče uporabiti v vsakdanjem življenju. Prav tako lahko s tem znanjem zatrete nasprotnika v sporu.

Z izkazovanjem obsega svojega znanja na področju geometrije si lahko na začetku pridobite spoštovanje, serviserjem in prodajalcem pa daste jasno vedeti, da vas preprosto ni mogoče pretentati.

Uporaba formule

Poglejmo primer, kako izračunati površino okrogla žoga , katerega premer je 50 cm. Po formuli morate 50 razdeliti na dva (da dobite polmer), dobljeno številko kvadrirate in vse skupaj najprej pomnožite s 4, nato s 3,14. Kot rezultat dobimo število 7.850 kvadratnih centimetrov.

Formula za izračun površine Uporabljajo ga ne le učitelji v šoli in raziskovalci v laboratoriju. Ta formula je lahko uporabna za povprečnega slikarja. Konec koncev, če je krogla velika in ni dovolj barve, se postavlja vprašanje: ali bo ta mešanica dovolj za barvanje celotnega predmeta? In to še zdaleč ni edini vsakdanji primer, ko je lahko formula uporabna.

Formula za izračun volumna Lahko je koristno tudi za gradbeno ekipo, ki izvaja popravila. In ni pomembno, kakšen objekt je - industrijska stavba, majhna hiša ali navadno stanovanje. To je tisto, kar odlikuje profesionalce – svoje znanje znajo uporabiti v praksi.

Ampak kaj storiti če predmeta ni mogoče izmeriti? To vprašanje se lahko pojavi v primeru ogromne velikosti predmeta ali njegove nedostopnosti. V tem primeru lahko pomagajo elektronske tehnologije, katerih delovanje temelji na skeniranju prostora z določenimi frekvencami in laserji. Z sodobne tehnologije Ni nujno, da poznate vse formule na pamet. Dovolj je imeti internetno povezavo in obiskati kateri koli spletni kalkulator.

Splošno sprejeto je, da prva oseba, ki najde in izpelje formulo za prostornino in površino krogle , je bil Arhimed. To je največji starogrški znanstvenik, ki je živel 300 let pr. Ni bil samo matematik, ampak tudi fizik in inženir. Je eden prvih, ki je poskušal "digitalizirati" svet okoli nas. Njegovi izreki in dela se uporabljajo še danes.

Arhimed je določil meje števila "pi" in jih identificirali brez kakršnih koli sodobnih pripomočkov. Sam Arhimed je bil zelo ponosen na formulo, ki jo je našel, s pomočjo katere se izračuna prostornina krogle. V čast tega so njegovi potomci na njegovem nagrobniku upodobili valj in kroglo.

Če bi se po nekem čudežu ponovno rodil v našem času, bi lahko takoj preobrazil ta svet in ga dvignil na novo raven.

Video

Če uporabite ta video kot primer, boste zlahka razumeli, kako najti površino žoge.

Opredelitev.

krogla (površina kroglice) je zbirka vseh točk v tridimenzionalnem prostoru, ki so enako oddaljene od ene točke, imenovane središče krogle(O).

Kroglo lahko opišemo kot tridimenzionalno figuro, ki nastane z vrtenjem kroga okoli njenega premera za 180° ali polkroga okoli njenega premera za 360°.

Opredelitev.

Žoga je zbirka vseh točk v tridimenzionalnem prostoru, katerih razdalja ne presega določene razdalje do točke, imenovane središče žoge(O) (množica vseh točk tridimenzionalni prostor omejen s sfero).

Žogo lahko opišemo kot tridimenzionalno figuro, ki nastane z vrtenjem kroga okoli njenega premera za 180° ali polkroga okoli njenega premera za 360°.

Opredelitev. Polmer krogle (krogla)(R) je razdalja od središča krogle (krogle) O na katero koli točko na krogli (površini krogle).

Opredelitev. Premer krogle (krogle).(D) je segment, ki povezuje dve točki krogle (površino krogle) in poteka skozi njeno središče.

Formula. Prostornina krogle:

V=	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Formula. Površina krogle skozi polmer ali premer:

S = 4π R 2 = π D 2

Enačba krogle

1. Enačba krogle s polmerom R in središčem v izhodišču kartezičnega koordinatnega sistema:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Enačba krogle s polmerom R in središčem v točki s koordinatami (x 0, y 0, z 0) v kartezičnem koordinatnem sistemu:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Opredelitev. Diametralno nasprotne točke sta poljubni dve točki na površini krogle (krogle), ki sta povezani s premerom.

Osnovne lastnosti krogle in krogle

1. Vse točke krogle so enako oddaljene od središča.

2. Vsak odsek krogle z ravnino je krog.

3. Vsak odsek krogle z ravnino je krog.

4. Krogla ima največjo prostornino med vsemi prostorskimi liki z enako površino.

5. Skozi poljubni dve diametralno nasprotni točki lahko narišete veliko velikih krogov za kroglo ali krogov za žogo.

6. Skozi poljubni dve točki, razen diametralno nasprotnih točk, lahko narišete le en velik krog za kroglo ali velik krog za kroglo.

7. Vsaka dva velika kroga ene krogle se sekata vzdolž premice, ki poteka skozi središče krogle, kroga pa se sekata v dveh diametralno nasprotnih točkah.

8. Če je razdalja med središči poljubnih dveh kroglic manjša od vsote njunih polmerov in večja od modula razlike njunih polmerov, potem sta taki krogli sekajo, v presečni ravnini pa se oblikuje krog.

Sekanta, tetiva, sekana ravnina krogle in njihove lastnosti

Opredelitev. Sekant krogle je premica, ki seka kroglo v dveh točkah. Presečišča se imenujejo piercing točke površine oziroma vstopne in izstopne točke na površini.

Opredelitev. Tetiva krogle (krogle)- to je segment, ki povezuje dve točki na krogli (površina krogle).

Opredelitev. Rezalna ravnina je ravnina, ki seka sfero.

Opredelitev. Diametralna ravnina- to je sekantna ravnina, ki poteka skozi središče krogle ali krogle, odsek se oblikuje v skladu s tem velik krog in velik krog. Velik krog in velik krog imajo središče, ki sovpada s središčem krogle (krogle).

Vsaka tetiva, ki poteka skozi središče krogle (krogle), je premer.

Tetiva je odsek sekante.

Razdalja d od središča krogle do sekante je vedno manjša od polmera krogle:

d< R

Razdalja m med rezalno ravnino in središčem krogle je vedno manjša od polmera R:

m< R

Lokacija odseka rezalne ravnine na krogli bo vedno enaka majhen krog, na žogi pa bo razdelek majhen krog. Mali krog in mali krog imata svoja središča, ki ne sovpadata s središčem krogle (krogle). Polmer r takšnega kroga je mogoče najti po formuli:

r = √R 2 - m 2,

Kjer je R polmer krogle (krogle), je m razdalja od središča krogle do rezalne ravnine.

Opredelitev. Hemisfera (hemisfera)- to je polovica krogle (krogle), ki nastane, ko jo prereže diametralna ravnina.

Tangenta, tangentna ravnina na kroglo in njune lastnosti

Opredelitev. Tangenta na kroglo je premica, ki se krogle dotika le v eni točki.

Opredelitev. Tangentna ravnina na kroglo je ravnina, ki se krogle dotika samo v eni točki.

Tangenta (ravnina) je vedno pravokotna na polmer krogle, narisan na točko dotika

Razdalja od središča krogle do tangente (ravnine) je enaka polmeru krogle.

Opredelitev. Segment žoge- to je del žoge, ki je od krogle odrezan z rezalno ravnino. Osnova segmenta imenovan krog, ki je nastal na mestu odseka. Višina segmenta h je dolžina navpičnice, ki poteka od sredine osnove segmenta do površine segmenta.

Formula. Zunanja površina segmenta krogle z višino h skozi polmer krogle R:

S = 2πRh