Praktična lekcija na temo inverznih trigonometričnih funkcij. “inverzne trigonometrične funkcije” - dokument. Oblike izobraževalnih dejavnosti

Zvezna agencija za izobraževanje Ruske federacije

Državna izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje "Mari State University"

Oddelek za matematiko in MPM

Tečajna naloga

Inverzne trigonometrične funkcije

Dokončano:

študent

33 skupine JNF

Jašmetova L.N.

Znanstveni mentor:

dr. izredni profesor

Borodina M.V.

Yoshkar-Ola

Uvod………………………………………………………………………………………...3

Poglavje I. Definicija inverznih trigonometričnih funkcij.

1.1. funkcija y =arcsin x……………………………………………………........4

1.2. funkcija y =arccos x…………………………………………………….......5

1.3. funkcija y =arctg x………………………………………………………….6

1.4. funkcija y =arcctg x…………………………………………………….......7

Poglavje II. Reševanje enačb z inverznimi trigonometričnimi funkcijami.

Osnovne relacije za inverzne trigonometrične funkcije....8

Reševanje enačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije…………………………………………………………………………………..11

Računanje vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij .............21

Zaključek…………………………………………………………………………………….25

Seznam referenc………………………………………………………………...26

Uvod

Pri mnogih težavah je treba najti ne le vrednosti trigonometričnih funkcij iz danega kota, ampak tudi, nasprotno, kot ali lok iz dane vrednosti neke trigonometrične funkcije.

Težave z inverznimi trigonometričnimi funkcijami so vsebovane v nalogah enotnega državnega izpita (še posebej veliko v delih B in C). Na primer, v delu B enotnega državnega izpita je bilo treba uporabiti vrednost sinusa (kosinusa), da bi našli ustrezno vrednost tangente ali izračunali vrednost izraza, ki vsebuje tabelarične vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij. Glede tovrstnih nalog ugotavljamo, da takšne naloge v šolskih učbenikih niso dovolj za razvoj močne spretnosti njihovega izvajanja.

to. Namen predmeta je obravnavati inverzne trigonometrične funkcije in njihove lastnosti ter se naučiti reševati probleme z inverznimi trigonometričnimi funkcijami.

Za dosego cilja bomo morali rešiti naslednje naloge:

Preučite teoretične osnove inverznih trigonometričnih funkcij,

Prikaz uporabe teoretičnega znanja v praksi.

poglavjejaz. Definicija inverznih trigonometričnih funkcij

1.1. Funkcija y =arcsinx

Upoštevajte funkcijo,
. (1)

V tem intervalu je funkcija monotona (narašča od -1 do 1), zato obstaja inverzna funkcija

,
. (2)

Vsaka dana vrednost pri(sinusna vrednost) iz intervala [-1,1] ustreza eni točno določeni vrednosti X(veličina loka) iz intervala
. Če preidemo na splošno sprejet zapis, dobimo

kje
. (3)

To je analitična specifikacija funkcije, inverzne funkciji (1). Pokliče se funkcija (3). arcsinus argument . Graf te funkcije je krivulja, simetrična grafu funkcije, kjer je , glede na simetralo koordinatnih kotov I in III.

Predstavimo lastnosti funkcije, kjer je .

Lastnost 1. Območje spremembe vrednosti funkcije: .

Lastnost 2. Funkcija je neparna, tj.

Nepremičnina 3. Funkcija, kjer je , ima en sam koren
.

Lastnina 4.Če, potem
; če , To.

Lastnina 5. Funkcija je monotona: ko se argument poveča od -1 do 1, se vrednost funkcije poveča od
do
.

1.2. funkcijal = arzcosx

Upoštevajte funkcijo
, . (4)

V tem intervalu je funkcija monotona (pada od +1 do -1), kar pomeni, da zanjo obstaja inverzna funkcija

, , (5)

tiste. vsako vrednost (vrednosti kosinusa) iz intervala [-1,1] ustreza eni točno določeni vrednosti (vrednosti loka) iz intervala . Če preidemo na splošno sprejet zapis, dobimo

, . (6)

To je analitična specifikacija funkcije, inverzne funkciji (4). Pokliče se funkcija (6). ark kosinus argument X. Graf te funkcije je mogoče sestaviti na podlagi lastnosti grafov medsebojno inverznih funkcij.

Funkcija , kjer , ima naslednje lastnosti.

Lastnost 1. Območje spremembe vrednosti funkcije:
.

Lastnost 2. Količine
in
povezano z relacijo

Nepremičnina 3. Funkcija ima en sam koren
.

Lastnina 4. Funkcija ne sprejema negativnih vrednosti.

Lastnina 5. Funkcija je monotona: ko se argument poveča od -1 do +1, se vrednosti funkcije zmanjšajo od do 0.

1.3. funkcijal = arctgx

Upoštevajte funkcijo
,
. (7)

Upoštevajte, da je ta funkcija definirana za vse vrednosti, ki ležijo strogo v intervalu od do ; na koncih tega intervala ne obstaja, saj vrednosti

- tangentne prelomne točke.

Vmes
funkcija je monotona (narašča od -
do
), torej za funkcijo (1) obstaja inverzna funkcija:

,
, (8)

tiste. vsaka dana vrednost (tangentna vrednost) iz intervala
ustreza eni zelo specifični vrednosti (velikosti loka) iz intervala .

Če preidemo na splošno sprejet zapis, dobimo

,
. (9)

To je analitična specifikacija inverzne funkcije (7). Pokliče se funkcija (9). arktangens argument X. Upoštevajte, da ko
vrednost funkcije
, in kdaj

, tj. graf funkcije ima dve asimptoti:
in.

Funkcija , , ima naslednje lastnosti.

Lastnost 1. Območje spreminjanja vrednosti funkcije
.

Lastnost 2. Funkcija je neparna, tj. .

Nepremičnina 3. Funkcija ima en sam koren.

Lastnina 4.če
, To

; če , To
.

Lastnina 5. Funkcija je monotona: ko argument narašča od do, vrednost funkcije narašča od do +.

1.4. funkcijal = arcctgx

Upoštevajte funkcijo
,
. (10)

Ta funkcija je definirana za vse vrednosti, ki ležijo v območju od 0 do ; na koncih tega intervala ne obstaja, saj sta vrednosti in prelomni točki kotangensa. V intervalu (0,) je funkcija monotona (pada od do), zato za funkcijo (1) obstaja inverzna funkcija

, (11)

tiste. na vsako dano vrednost (vrednost kotangensa) iz intervala (
) ustreza eni točno določeni vrednosti (velikosti loka) iz intervala (0,). Če preidemo na splošno sprejete zapise, dobimo naslednjo relacijo: Povzetek >> Matematika trigonometrija funkcije. TO vzvratno trigonometrična funkcije običajno imenovani šest funkcije: arkussin...

Dialektika razvoja koncepta funkcije pri šolskem tečaju matematike

Diplomsko delo >> Pedagogika

... . Vzvratno trigonometrična funkcije. Glavni cilj je preučevanje lastnosti trigonometrična funkcije, učence naučijo sestavljati svoje grafe. najprej trigonometrična funkcijo ...

Kako je koncept nastal in se razvijal funkcije

Povzetek >> Matematika

Kako se ujema ta enačba? vzvratno trigonometrična funkcijo, cikloida ni algebrska... in tudi zapis trigonometrični) vzvratno trigonometrična, eksponentno in logaritemsko funkcije. Takšna funkcije imenovano osnovno. kmalu ...

Cilj:

Naloga: Ustvarite test "Inverzne trigonometrične funkcije"

Internetni viri

Rok dobave - po tehničnih specifikacijah

Samostojno delo št. 14 (2 uri)

Na temo: "Raztezanje in stiskanje vzdolž koordinatnih osi"

Cilj: sistematizacija in utrjevanje pridobljenega teoretičnega znanja in praktičnih spretnosti študentov;

Naloga: Povzetek na temo: "Raztezanje in stiskanje vzdolž koordinatnih osi"

Literatura: A.G. Mordkovich "Algebra in začetki matematične analize" 10. razred

Internetni viri

Rok dobave - po tehničnih specifikacijah

Samostojno delo št. 15 (1 ura)

Na temo: "Raztezanje in stiskanje vzdolž koordinatnih osi"

Cilj: oblikovanje neodvisnega mišljenja, sposobnosti za samorazvoj, samoizboljšanje in samouresničevanje

Naloga: predstavitev: "Raztezanje in stiskanje vzdolž koordinatnih osi"

Literatura: A.G. Mordkovich "Algebra in začetki matematične analize" 10. razred

Internetni viri

Rok dobave - po tehničnih specifikacijah

Samostojno delo št. 16 (2 uri)

Na temo: "Inverzne trigonometrične funkcije, njihove lastnosti in grafi"

Cilj: sistematizacija in utrjevanje pridobljenega teoretičnega znanja in praktičnih spretnosti študentov

Obrazec za dokončanje naloge: raziskovalno delo.

Literatura: A.G. Mordkovich "Algebra in začetki matematične analize" 10. razred

Internetni viri

Rok dobave - po tehničnih specifikacijah

Samostojno delo št. 18 (6 ur)

Na temo: “Formule pol argumentov”

Cilj: poglabljanje in širjenje teoretičnega znanja

Naloga: Napišite sporočilo na temo "Formule polovice argumenta." Ustvarite referenčno tabelo za trigonometrične formule

Literatura: A.G. Mordkovich "Algebra in začetki matematične analize" 10. razred

Internetni viri

Rok dobave - po tehničnih specifikacijah

Prva stran.

Načrt dela je sestavljen z naslovom »Kazalo«; lokacija - v centru.

Seznam bibliografskih virov je pod rubriko Literatura. Bibliografija mora vsebovati vse uporabljene vire: podatki o knjigah (monografije, učbeniki, priročniki, referenčna literatura itd.) morajo vsebovati: priimek in začetnice avtorja, naslov knjige, kraj izdaje, založbo, leto izida. Če so avtorji trije ali več, je dovoljeno navesti priimek in začetnice samo prvega od njih z besedami »itd.«. Ime kraja objave mora biti navedeno v celoti v nominativu: dovoljena je okrajšava imen samo dveh mest: Moskva (M.) in Sankt Peterburg (SPb.). Navedeni bibliografski viri naj bodo razvrščeni po abecednem vrstnem redu v naraščajočem vrstnem redu. Seznam mora biti sestavljen iz najmanj treh virov.

Vsak nov del dela, novo poglavje, nov odstavek se začne na naslednji strani.

Vloga je sestavljena na ločenih listih, vsaka vloga ima zaporedno številko in tematski naslov. V zgornjem desnem kotu je napis »Priloga« 1 (2.3...). Naslov aplikacije je oblikovan kot naslov odstavka.

Obseg dela je najmanj 10 listov strani, natisnjenih na računalniku (pisalni stroj); kazalo, literatura in priloge niso zajeti v navedenem številu strani.

Besedilo rokopisa je natisnjeno v pisavi št. 14, z intervalom 1,5.

Robovi: levo - 3 cm, desno - 1 cm, zgoraj in spodaj - 2 cm.

Rdeča črta - 1,5 cm razmika med odstavki - 1,8.

Za citatom v besedilu dela se uporabljajo naslednji znaki: »...«, kjer je številka bibliografskega vira vzeta iz seznama referenc.

Pritožba na besedilo vloge je oblikovana na naslednji način: (glej Dodatek 1).

Oblikovanje algoritemskih diagramov, tabel in formul. Ilustracije (grafi, grafikoni, diagrami) so lahko v glavnem besedilu povzetka in v delu prilog. Vse ilustracije imenujemo risbe. Vse slike, tabele in formule so oštevilčene z arabskimi številkami in imajo v aplikaciji neprekinjeno oštevilčenje. Vsaka risba mora imeti podpis. Na primer:

Slika 12. Oblika glavnega okna aplikacije.

Vse slike, tabele in formule v delu morajo imeti povezave v obliki: »obrazec glavnega okna aplikacije je prikazan na sl. 12."

Slike in tabele je treba postaviti takoj za stranjo, na kateri je prvič omenjeno v besedilu opombe. Če prostor dopušča, lahko sliko (tabelo) umestimo v besedilo na isto stran, kjer je navedena prva povezava do nje.

Če risba obsega več kot eno stran, so vse strani razen prve označene s številko risbe in besedo »Nadaljevanje«. Na primer:

riž. 12. Nadaljevanje

Risbe morajo biti nameščene tako, da jih je mogoče gledati brez obračanja bankovca. Če taka postavitev ni mogoča, naj bodo risbe nameščene tako, da bi jih morali za ogled obrniti v smeri urinega kazalca.

Diagrami algoritmov morajo biti izdelani v skladu s standardom ESPD. Debelina polne črte pri risanju diagramov algoritmov mora biti v območju od 0,6 do 1,5 mm. Napisi na diagramih morajo biti izdelani v risarski pisavi. Višina črk in številk mora biti najmanj 3,5 mm.

Številka tabele se nahaja v zgornjem desnem kotu nad naslovom tabele, če ta obstaja. Naslov, razen prve črke, pišemo z malimi tiskanimi črkami. Okrajšave uporabljajo samo velike tiskane črke. Na primer: PC.

Številka formule je na desni strani strani v oklepaju na ravni formule. Na primer: z:=sin(x)+cos(y); (12).

Na primer: vrednosti se izračunajo po formuli (12).

Oštevilčite strani dela glede na knjižno različico: v tiskanih številkah v spodnjem desnem kotu strani, začenši z besedilom »Uvoda« (str. 3). Delo je zaporedno oštevilčeno, do zadnje strani.

Napisana je beseda »poglavje«, poglavja so oštevilčena z rimskimi številkami, odstavki so oštevilčeni z arabščino, znak; ni napisano; del dela "Uvod". »Zaključek« in »Literatura« nista oštevilčena.

Naslovi poglavij in odstavkov so zapisani na rdeči črti.

Naslovi »Uvod«, »Zaključek«, »Literatura« so zapisani na sredini, na vrhu lista, brez narekovajev, brez pike.

Obseg uvoda in zaključka dela je 1,5-2 strani tiskanega besedila.

Delo mora biti zašito.

V delu se uporabljajo tri vrste pisav: 1 - za označevanje naslovov poglavij, naslovov "Kazalo", "Literatura", "Uvod", "Zaključek"; 2 - za označevanje naslovov odstavkov; 3 - za besedilo

Predstavitvene zahteve

Prvi diapozitiv vsebuje:

ü naslov predstavitve;

Drugi diapozitiv označuje vsebino dela, ki jo je najbolje predstaviti v obliki hiperpovezav (zaradi interaktivnosti predstavitve).

Na zadnji prosojnici je seznam uporabljene literature v skladu z zahtevami, internetni viri so navedeni nazadnje.

Oblikovanje diapozitivov
Slog	8 potrebno je ohraniti enoten slog oblikovanja;
8 izogibati se morate slogom, ki bodo odvrnili pozornost od same predstavitve;	Za ozadje je izbranih 8 hladnejših tonov (modra ali zelena).
Uporaba barve	8 na enem diapozitivu je priporočljivo uporabiti največ tri barve: eno za ozadje, eno za naslove, eno za besedilo;
Za ozadje in besedilo je uporabljenih 8 kontrastnih barv;	8 posebno pozornost je treba nameniti barvi hiperpovezav (pred in po uporabi)
Učinki animacije
8 za predstavitev informacij na prosojnici morate uporabiti zmožnosti računalniške animacije;	8 ne smete pretiravati z različnimi animacijskimi učinki; učinki animacije ne smejo odvrniti pozornosti od vsebine informacij na prosojnici
Predstavitev informacij	Vsebina informacij
Uporabiti je treba 8 kratkih besed in stavkov;	8 glagolskih časov naj bo povsod enakih;
8 uporabljajte najmanj predlogov, prislovov, pridevnikov;	8 naslovov bi moralo pritegniti pozornost občinstva
Lokacija informacij na strani	8 po možnosti vodoravna razporeditev informacij;
8 najpomembnejše informacije naj bodo na sredini zaslona;	8 če je na prosojnici slika, naj bo napis pod njo.

Pisave

8 za naslove najmanj 24;

8 za druge informacije ne manj kot 18;

8 Sans serifne pisave je lažje brati na daljavo;

8 v eni predstavitvi ne morete mešati različnih vrst pisav;

8 Za poudarjanje informacij je treba uporabiti krepko, ležečo pisavo ali podčrtaje iste vrste;

8 Ne smete pretiravati z velikimi črkami (so slabše berljive kot male).

Prisotnost "praznih" (neizpolnjenih celic) v mreži križanke ni dovoljena;

Naključne kombinacije črk in križišča niso dovoljena;

Skrite besede morajo biti samostalniki v imenovalniku ednine;

Dvočrkovne besede morajo imeti dve presečišči;

Besede s tremi črkami morajo imeti vsaj dve presečišči;

Okrajšave (ZiL ipd.), okrajšave (sirotišnica ipd.) niso dovoljene;

Vsa besedila morajo biti napisana čitljivo, po možnosti tiskana.

Zahteve za oblikovanje:

Zasnova križanke mora biti jasna;

Vse križanke morajo biti izpolnjene v dveh izvodih:

1. izvod - z napolnjenimi besedami;

2. izvod - samo s številkami pozicij.

Odgovori so objavljeni posebej. Odgovori so namenjeni preverjanju pravilnosti rešitve križanke in priložnosti, da se seznanite s pravilnimi odgovori na nerešene položaje pogojev, kar pomaga rešiti eno od glavnih nalog reševanja križank - povečanje erudicije in povečanje besednega zaklada. .

Kriteriji za ocenjevanje rešenih križank:

1. Jasnost predstavitve gradiva, popolnost raziskave teme;

2. Izvirnost križanke;

3. Praktični pomen dela;

4. Stopnja slogovne predstavitve gradiva, odsotnost slogovnih napak;

5. Stopnja oblikovanja dela, prisotnost ali odsotnost slovničnih in ločilnih napak;

6. Število vprašanj v križanki, njihova pravilna predstavitev.

Da bi praktični pouk prinesel največjo korist, se je treba zavedati, da se vaja in reševanje situacijskih problemov izvajata na podlagi gradiva, prebranega na predavanjih, in je praviloma povezano s podrobno analizo posameznih vprašanj. tečaj predavanja. Pri tem je treba poudariti, da se šele ob obvladovanju učne snovi z določenega zornega kota (in sicer s tistega, s katerega je predstavljena na predavanjih) le-ta utrjuje pri praktičnem pouku, tako kot rezultat razprave in analize gradivo predavanj, ter z reševanjem situacijskih problemov. Študent pod temi pogoji ne bo le dobro obvladal snovi, ampak se jo bo tudi naučil uporabljati v praksi, prejel pa bo tudi dodatno spodbudo (in to je zelo pomembno) za aktivno učenje predavanja.

Pri samostojnem reševanju zadanih problemov morate vsako fazo ukrepanja utemeljiti na podlagi teoretičnih načel predmeta. Če študent vidi več načinov za rešitev problema (naloge), jih mora primerjati in izbrati najbolj racionalnega. Koristno je sestaviti kratek načrt reševanja problema (naloge), preden se lotite reševanja problemov. Rešitev problematičnih problemov ali primerov naj bo podrobno predstavljena, opremljena s komentarji, diagrami, risbami in risbami ter navodili za izvedbo.

Ne smemo pozabiti, da je treba rešitev vsakega izobraževalnega problema pripeljati do končnega logičnega odgovora, ki ga zahteva pogoj, in po možnosti s sklepom. Dobljeni rezultat je treba preveriti na načine, ki izhajajo iz bistva dane naloge.

· Glavni pojmi testne naloge morajo biti jasno in eksplicitno opredeljeni.

· Preizkusne naloge morajo biti pragmatično pravilne in oblikovane tako, da ocenjujejo raven učnih dosežkov učencev na določenem področju znanja.

· Testne naloge naj bodo oblikovane v obliki zgoščenih kratkih sodb.

· Izogibati se morate testnim postavkam, ki od testiranca zahtevajo podrobne sklepe o zahtevah testnih postavk.

· Pri izdelavi testnih situacij lahko uporabite različne oblike njihove predstavitve, pa tudi grafične in multimedijske komponente, da racionalno predstavite vsebino učnega gradiva.

Število besed v testni nalogi ne sme presegati 10-12, razen če to izkrivlja konceptualno strukturo testne situacije. Glavna stvar je jasen in ekspliciten odraz vsebine fragmenta predmetnega področja.

Povprečni čas, ki ga študent porabi za testno nalogo, ne sme presegati 1,5 minute.

Priprava na enotni državni izpit iz matematike

Eksperimentirajte

Lekcija 9. Inverzne trigonometrične funkcije.

Vadite

Povzetek lekcije

Potrebovali bomo predvsem sposobnost dela z ločnimi funkcijami pri reševanju trigonometričnih enačb in neenačb.

Naloge, ki jih bomo zdaj obravnavali, so razdeljene na dve vrsti: izračun vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij in njihove transformacije z uporabo osnovnih lastnosti.

Izračun vrednosti ločnih funkcij

Začnimo z izračunom vrednosti ločnih funkcij.

Naloga št. 1. Izračunaj.

Kot vidimo, so vsi argumenti ločnih funkcij pozitivni in tabelarični, kar pomeni, da lahko obnovimo vrednost kotov iz prvega dela tabele vrednosti trigonometričnih funkcij za kote od do . Ta obseg kotov je vključen v obseg vrednosti vsake od ločnih funkcij, zato preprosto uporabimo tabelo, v njej poiščemo vrednost trigonometrične funkcije in obnovimo, kateremu kotu ustreza.

A)

b)

V)

G)

Odgovori. .

Naloga št. 2. Izračunaj

.

V tem primeru že vidimo negativne argumente. Tipična napaka v tem primeru je, da enostavno odstranimo minus izpod funkcije in nalogo enostavno zmanjšamo na prejšnjo. Vendar tega ni mogoče storiti v vseh primerih. Spomnimo se, kako smo v teoretičnem delu lekcije obravnavali pariteto vseh ločnih funkcij. Lihe so arcsinus in arktangens, tj. minus je odvzet iz njih, arccosinus in arccotangens pa sta funkciji splošne oblike; za poenostavitev minusa v argumentu imata posebne formule. Po izračunu v izogib napakam preverimo, ali je rezultat znotraj območja vrednosti.

Ko so argumenti funkcije poenostavljeni v pozitivno obliko, iz tabele izpišemo ustrezne vrednosti kotov.

Lahko se pojavi vprašanje: zakaj ne bi zapisali vrednosti kota, ki ustreza, na primer, neposredno iz tabele? Prvič, ker si je prejšnjo tabelo težje zapomniti kot prej, in drugič, ker v njej ni negativnih vrednosti sinusa, negativne vrednosti tangente pa bodo glede na tabelo dale napačen kot. Bolje je imeti univerzalen pristop k rešitvi, kot da vas zmede veliko različnih pristopov.

Naloga št. 3. Izračunaj.

a) Tipična napaka v tem primeru je, da začnete črtati minus in nekaj poenostaviti. Prva stvar, ki jo je treba opaziti, je, da argument arcsinusa ni v obsegu

Zato ta vnos nima pomena in arksinusa ni mogoče izračunati.

b) Standardna napaka v tem primeru je, da zamenjajo vrednosti argumenta in funkcije ter podajo odgovor. To ni res! Seveda se pojavi misel, da v tabeli vrednost ustreza kosinusu, toda v tem primeru je zmedeno, da se funkcije loka izračunajo ne iz kotov, temveč iz vrednosti trigonometričnih funkcij. Se pravi, ne.

Poleg tega, ker smo ugotovili, kaj točno je argument ark kosinusa, je treba preveriti, ali je vključen v domeno definicije. Da bi to naredili, si zapomnimo to , tj., kar pomeni, da arkosinus nima smisla in ga ni mogoče izračunati.

Mimogrede, na primer, izraz je smiseln, ker , toda ker vrednost kosinusa enaka ni tabelarična, je nemogoče izračunati ark kosinus s tabelo.

Odgovori. Izrazi nimajo smisla.

V tem primeru ne upoštevamo arktangensa in arkotangensa, ker njuna definicijska domena ni omejena in bodo vrednosti funkcije za vse argumente.

Naloga št. 4. Izračunaj .

V bistvu se naloga zmanjša na prvo, le ločeno moramo izračunati vrednosti obeh funkcij in jih nato nadomestiti v prvotni izraz.

Argument arktangensa je tabelarni in rezultat pripada območju vrednosti.

Arkukosinus ni tabelarni, vendar nas to ne sme prestrašiti, saj ne glede na to, čemu je arkosinus enak, bo njegova vrednost, ko jo pomnožimo z nič, enaka nič. Ostane pa še ena pomembna opomba: preveriti je treba, ali argument arkosinus spada v domeno definicije, saj če temu ni tako, potem celoten izraz ne bo imel smisla, ne glede na to, da vsebuje množenje z ničlo . Ampak zato lahko rečemo, da je smiselno in v odgovoru dobimo ničlo.

Naj navedemo še en primer, v katerem je potrebno znati izračunati eno obločno funkcijo, če poznamo vrednost druge.

Problem #5. Izračunaj, če je znano, da .

Morda se zdi, da je treba najprej izračunati vrednost x iz navedene enačbe in jo nato nadomestiti v želeni izraz, tj. v inverzni tangens, vendar to ni potrebno.

Spomnimo se formule, s katero so te funkcije povezane med seboj:

In iz tega izrazimo, kaj potrebujemo:

Če želite biti prepričani, lahko preverite, ali je rezultat v območju ark kotangensa.

Transformacije ločnih funkcij z uporabo njihovih osnovnih lastnosti

Zdaj pa preidimo na niz nalog, v katerih bomo morali uporabiti transformacije ločnih funkcij z uporabo njihovih osnovnih lastnosti.

Problem št. 6. Izračunaj .

Za rešitev bomo uporabili osnovne lastnosti navedenih ločnih funkcij, le preverili bomo ustrezne omejitve.

A)

b) .

Odgovori. A) ; b) .

Problem št. 7. Izračunaj.

Tipična napaka v tem primeru je, da v odgovor takoj napišemo 4. Kot smo navedli v prejšnjem primeru, je za uporabo osnovnih lastnosti ločnih funkcij potrebno preveriti ustrezne omejitve njihovega argumenta. Ukvarjamo se z nepremičnino:

pri

Ampak . Glavna stvar na tej stopnji odločitve je, da ne mislite, da navedeni izraz nima smisla in ga ni mogoče izračunati. Navsezadnje lahko zmanjšamo štirico, ki je argument tangente, tako da odštejemo periodo tangente, in to ne bo vplivalo na vrednost izraza. Ko izvedemo te korake, bomo imeli možnost zmanjšati argument, tako da bo sodil v podani obseg.

Ker ker torej , ker .

Problem št. 8. Izračunaj.

V zgornjem primeru imamo opravka z izrazom, ki je podoben osnovni lastnosti arkusina, le da vsebuje kofunkcije. Zmanjšati ga je treba na obliko sinus iz arkusina ali kosinus iz arkosinusa. Ker je lažje preoblikovati direktne trigonometrične funkcije kot inverzne, se premaknimo od sinusa k kosinusu s formulo "trigonometrične enote".

Kot že vemo:

V našem primeru v vlogi. Za udobje najprej izračunajmo .

Preden ga nadomestimo v formulo, ugotovimo njegov znak, to je znak prvotnega sinusa. Sinus moramo izračunati iz vrednosti arkosinusa, ne glede na to, kakšna je ta vrednost, vemo, da je v območju. To območje ustreza kotoma prve in druge četrtine, v katerih je sinus pozitiven (to preverite sami s trigonometričnim krogom).

V današnji praktični lekciji smo si ogledali izračun in transformacijo izrazov, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije

Utrdite snov z vadbenimi napravami

Trener 1 Trener 2 Trener 3 Trener 4 Trener 5

Mestna izobraževalna ustanova Gimnazija št. 2

Učiteljica matematike

Gabrielyan Zhasmena Artushovna

Pojasnilo.

Predlagani program izbirnega predmeta je razvit za študente specializiranih (10-11.) razredov fizike in matematike in je zasnovan za 17 ur; od tega je 9 ur namenjenih študiju teoretičnega gradiva, 8 ur je namenjenih praktičnemu pouku. Ob koncu študija tega učnega predmeta študentje opravijo testno delo, sestavljeno iz teoretičnega in praktičnega dela. Program je namenjen študentom, ki so izbrali posebnost, kjer ima matematika vlogo glavnega aparata, posebnega sredstva za preučevanje zakonov okoliškega sveta in vprašanj, povezanih z gospodarsko dejavnostjo.

Namen predmeta: posploševanje in sistematizacija, razširitev in poglobitev znanja splošnega izobraževalnega programa matematike na temo »Inverzne trigonometrične funkcije«, pridobivanje praktičnih veščin pri izvajanju nalog z inverznimi trigonometričnimi funkcijami, povečanje ravni matematičnega usposabljanja šolarjev.

Cilji predmeta:

Razviti miselne in ustvarjalne sposobnosti učencev;

Uvesti študente v uporabo teoretičnega znanja pri reševanju tekmovalnih in olimpiadnih nalog;

Vključevanje študentov v samostojno delo;

Naučiti študente delati z referenčno in znanstveno literaturo;

Naučiti se pripraviti testno nalogo z uporabo računalniške tehnologije;

Spodbujati razvoj algoritemskega mišljenja učencev;

Spodbujati oblikovanje kognitivnega zanimanja za matematiko.

Zahteve za stopnjo obvladovanja učnega gradiva.

Kot rezultat študija programa izbirnega predmeta "Inverzne trigonometrične funkcije" študentje:

bi moral vedeti : definicije inverznih trigonometričnih funkcij; osnovne lastnosti in formule inverznih trigonometričnih funkcij; metode za reševanje enačb in neenačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije;

mora biti sposoben : uporablja definicije, lastnosti inverznih trigonometričnih funkcij pri reševanju tekmovalnih in olimpiadnih nalog; berejo in gradijo grafe funkcij, katerih analitični izraz vsebuje pojme arksinus, arkosinus, arktangens; reševanje enačb, neenačb, sistemov enačb in neenačb, ki vsebujejo arkusin, arkosinus, arktangens.

Inverzna funkcija. Graf inverzne funkcije. Definicije inverznih trigonometričnih funkcij: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

Vrednosti funkcij y=arcsinx in y=arccosx v točkah

Vrednosti funkcije y=arctgx v točkah Iskanje številskih vrednosti y=arctgx, y=arcsinx, y=arccosx z uporabo računalniške tehnologije.

Področje definicije, množica vrednosti, monotonost funkcij y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, zveznost, omejenost, maksimalne in minimalne vrednosti, ekstremi.

Grafi funkcij y=arcsinx, y=arсosх, y=arctgх in z njimi povezane funkcije Identitete za inverzne trigonometrične funkcije. Transformacije izrazov, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije, iz njihovih inverzov. Enačbe in neenačbe, sistemi enačb in sistemi neenačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije. Odvodi in antiodvodi inverznih trigonometričnih funkcij. Študij funkcij, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije, in izdelava njihovih grafov.

Tematsko načrtovanje učnih ur

"Inverzne trigonometrične funkcije"

	Tema lekcije	Število ur
	Inverzna funkcija. Graf inverzne funkcije
	Definicija funkcij, inverznih osnovnim trigonometričnim funkcijam: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx
	Vrednosti funkcij y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx v danih točkah
	Iskanje numeričnih vrednosti arkusina, arkkosinusa in arktangensa z uporabo računalniške tehnologije
	Lastnosti funkcij y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx
	Grafi funkcij y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx
	Osnovni odnosi med inverznimi trigonometričnimi funkcijami
	Izračunavanje vrednosti trigonometričnih funkcij iz vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij
	Dokaz identitet na množici, ki vsebuje inverzne trigonometrične funkcije
	Pretvarjanje izrazov, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije
	Reševanje enačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije
	Reševanje sistemov enačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije
	Reševanje neenačb, ki vključujejo inverzne trigonometrične funkcije
	Reševanje sistemov neenačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije
	Odvodi in antiodvodi inverznih trigonometričnih funkcij
	Študij funkcij, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije in risanje njihovih grafov
	Testno delo

Literatura

1. Veresova E.E., Denisova N.S., Polyakova T.P. Delavnica o reševanju matematičnih problemov - Moskva "Razsvetljenje", 1979.

2. Ishkhanovich Yu.A. Uvod v sodobno matematiko. Moskva "Znanost", 1965

3. Kuščenko V.S. Zbirka tekmovalnih nalog iz matematike. Moskva "Razsvetljenje", 1979

4. Nikolsky S.M. Elementi matematične analize. Moskva "Znanost", 1989

5. Pontryagin L.S. Matematična analiza za šolarje. Moskva "Znanost", 1983

6. Tsypkin A.G. Priročnik za matematiko. Moskva "Znanost", 1983

7. Tsypkin A.G., Pinsky A.I. Referenčni priročnik o metodah za reševanje problemov v matematiki. Moskva "Znanost", 1984

vzvratno funkcije tabela 3 Argument funkcija sin  cos ... , potem morate uporabiti lastnosti ustreznega vzvratnotrigonometričnafunkcije, potem: Ko je a = 1; ...

Oddelki: Matematika

Inverzne trigonometrične funkcije se pogosto uporabljajo v matematični analizi.

Problemi, povezani z inverznimi trigonometričnimi funkcijami, srednješolcem pogosto povzročajo precejšnje težave. To je predvsem posledica dejstva, da sedanji učbeniki in učni pripomočki takšnim problemom ne posvečajo preveč pozornosti, in če se učenci še nekako spopadajo s problemi računanja vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij, potem enačbe in neenakosti, ki vsebujejo te funkcije, jih pogosto pustijo v zadregi. Slednje ni presenetljivo, saj praktično noben učbenik (vključno z učbeniki za razrede s poglobljenim študijem matematike) ne podaja metode za reševanje še tako preprostih tovrstnih enačb in neenačb. Predlagani program je posvečen metodam reševanja enačb in neenačb ter preoblikovanju izrazov, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije.

Uporabna bo za učitelje, ki delajo na srednjih šolah - tako splošnoizobraževalnih in matematičnih, kot tudi za dijake, ki jih zanima matematika.

Ta tečaj razširja osnovni tečaj matematike in ponuja priložnost, da se seznanite z zanimivimi vprašanji matematike. Zadeve, ki jih obravnava predmet, presegajo obvezni predmet matematike. Hkrati so tesno povezani z glavno jedjo. Zato bo ta izbirni predmet prispeval k izboljšanju in razvoju matematičnih znanj in spretnosti dijakov.

Pri izvajanju pouka je treba uporabiti tradicionalne oblike, kot so predavanja in seminarji, v prvi vrsti pa je treba prinesti takšne organizacijske oblike, kot so diskusije, debate, predstavitve in pisanje povzetkov.

Možnosti za končno spričevalo so lahko naslednje: testiranje, testi, pisanje esejev o temah, ki jih predlaga učitelj; individualne naloge, pri katerih je potrebno samostojno raziskovanje, tematski testi.

Cilji predmeta so ustvariti pogoje za izvajanje specializiranega usposabljanja; oblikovanje celovitega sistema matematičnega znanja in osnove za nadaljevanje matematičnega izobraževanja na univerzah različnih profilov.

Cilji tečaja:

• razširiti obseg matematičnega znanja učencev;
• razširiti učenčevo razumevanje inverznih trigonometričnih funkcij;
• posplošiti osnovne metode reševanja enačb in neenačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije;
• razmislite o metodah za gradnjo grafov inverznih trigonometričnih funkcij.

Zahteve za stopnjo pripravljenosti študentov.

• Študenti bi morali vedeti:
  – definicija inverznih trigonometričnih funkcij, njihove lastnosti;
  – osnovne formule;
  – metode reševanja enačb in neenačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije;
  – metode izdelave funkcijskih grafov: y=arcsinx, y= arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
• Učenci morajo biti sposobni:
  – uporabljajo lastnosti in osnovne formule inverznih trigonometričnih funkcij;
  – rešujejo preproste enačbe in neenačbe;
  – izvajajo transformacije izrazov, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije;
  – uporabljajo različne metode za reševanje enačb in neenačb;
  – rešujejo enačbe in neenačbe s parametri, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije;
  – gradijo grafe inverznih trigonometričnih funkcij.

Predloženo tematsko načrtovanje tečaja je okvirno. Učitelj lahko spreminja število ur, namenjenih študiju posameznih tem, ob upoštevanju stopnje pripravljenosti študentov.

Tematsko načrtovanje

	Predmet	Število ur	Oblike izobraževalnih dejavnosti
	Inverzne trigonometrične funkcije in njihove lastnosti. Vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij.		Samostojno delo z učno literaturo, seminarska lekcija.
	Grafi inverznih trigonometričnih funkcij.		Praktično delo.
	Pretvarjanje izrazov, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije.		Analiza in analiza rešitev. Testiranje.
	Reševanje preprostih trigonometričnih enačb in neenačb.		Seminarska lekcija.
	Metode reševanja enačb in neenačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije.		Analiza in analiza rešitev. Spor. Test.
	Reševanje enačb in neenačb s parametri.		Analiza in analiza rešitev. Razprava.
	Posplošujoče ponavljanje		Razvoj in zaščita projekta.
	Končna kontrola tečaja.		Test. Zagovor abstrakta.

“Inverzne trigonometrične funkcije, njihovi grafi. Vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij."

Definicija inverznih trigonometričnih funkcij, njihove lastnosti. Iskanje vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij.

"Grafi inverznih trigonometričnih funkcij."

Funkcijel= arcsinx, l= arccosx, l= arctgx, l= arcctgx, njihove grafe.

"Transformacija izrazov, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije."

Izračunavanje vrednosti trigonometričnih funkcij iz vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij. Preverjanje veljavnosti enačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije. Poenostavitev izrazov, ki vsebujejo slikekompleksne trigonometrične funkcije» .

"Reševanje najenostavnejših trigonometričnih enačb in neenačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije."

Enačbe:arcsinx=a,arccosx=a,arctgx=a,arcctgx=a.
neenakosti:arcsinx>ah,arccosx>ah,arctgx>ah,arcctgx>ah,arcsinx<а, arccosx<а, arctgx<а, arcctgx<а.

"Metode reševanja enačb in neenačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije."

Enačbe in neenačbe, katerih leva in desna stran sta enaki inverzni trigonometrični funkciji. Enačbe in neenačbe, katerih leva in desna stran sta nasprotni inverzni trigonometrični funkciji. Spremenljiva zamenjava. Uporaba monotonosti in omejenosti inverznih trigonometričnih funkcij.

"Reševanje enačb in neenačb, ki vsebujejo parametre."

Metode reševanja enačb in neenačb, ki vsebujejo parametre.

"Ponavljanje posploševanja."

Reševanje enačb in neenačb različnih stopenj.

Končna kontrola tečaja (2 uri).

Kontrolno delo lahko predstavimo v oblikiteste v več različicah in različnih težavnostnih stopnjah. Zagovor povzetkov na podane teme.

Literatura za študente:

1. Kramor V.S., Mikhailov P.A. Trigonometrične funkcije. – M.: Izobraževanje, 1983.
2. Litvinenko V. N., Mordkovich A. G. Delavnica reševanja matematičnih problemov. – M.: Izobraževanje, 1984.
3. Tsypkin A. G., Pinsky A. I. Referenčni priročnik o metodah reševanja problemov za srednjo šolo. – M.: Nauka, 1983.
4. CD disk 1C: Tutor. Matematika. 1. del
5. Internetni viri: Zbirka povzetkov.

Literatura za učitelje:

1. Ershov V., Raichmist R.B. Risanje funkcijskih grafov. – M.: Izobraževanje, 1984.
2. Vasilyeva V. A., Kudrina T. D., Molodozhnikova R. N. Metodološki priročnik za matematiko za kandidate na univerzah. – M.: MAI, 1992.
3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Algebra. Začetek analize. – M.: ILEKSA, 2003.
4. Zbirka nalog iz matematike za tekmovalne izpite na višjih in visokih šolah / ur. M. I. Scanavi. – M.: Višja šola, 2003.
5. Revije "Matematika v šoli".