Fibonaccijeva serija. Fibonaccijeva števila: iskanje skrivnosti vesolja. Matematično zaporedje in vesolje

Že pred časom sem obljubil, da bom komentiral izjavo Tolkačova, da je Sankt Peterburg zgrajen po principu zlatega reza, Moskva pa po principu simetrije in da so zato razlike v dojemanju teh dveh mest. so tako opazne in zato Peterburžana, ko pride v Moskvo, »zaboli glava«, Moskovčana pa »zaboli glava«, ko pride v Sankt Peterburg. Potrebuje nekaj časa, da se prilagodite mestu (kot pri letu v zvezne države - potrebujete nekaj časa, da se prilagodite).

Dejstvo je, da naše oko gleda – čuti prostor s pomočjo določenih očesnih gibov – sakad (v prevodu – ploskanje jadra). Oko "zaploska" in pošlje signal možganom "prišlo je do oprijema na površino". Vse je v redu. Informacije takšne in drugačne." In tekom življenja se oko navadi na določen ritem teh sakad. In ko se ta ritem korenito spremeni (iz mestne pokrajine v gozd, iz zlatega reza v simetrijo), je potrebno nekaj možganskega dela za preoblikovanje.

Zdaj podrobnosti:
Definicija GS je razdelitev segmenta na dva dela v takšnem razmerju, da se večji del nanaša na manjšega, kot je njuna vsota (celoten segment) na večjega.

To pomeni, da če vzamemo celoten segment c kot 1, potem bo segment a enak 0,618, segment b - 0,382. Tako, če vzamemo stavbo, na primer tempelj, zgrajen po principu 3S, potem bo s svojo višino, recimo 10 metrov, višina bobna s kupolo 3,82 cm, višina baze pa struktura bo 6,18 cm (jasno je, da sem številke vzel ravno zaradi jasnosti)

Kakšna je povezava med ZS in Fibonaccijevimi števili?

Fibonaccijeva zaporedna števila so:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Vzorec števil je, da je vsako naslednje število enako vsoti dveh prejšnjih števil.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 itd.,

razmerje sosednjih števil pa se približa razmerju ZS.
Torej, 21: 34 = 0,617 in 34: 55 = 0,618.

To pomeni, da GS temelji na številkah Fibonaccijevega zaporedja.
Ta video še enkrat jasno prikazuje to povezavo med GS in Fibonaccijevimi števili

Kje še najdemo princip 3S in Fibonaccijeva zaporedna števila?

Liste rastlin opisuje Fibonaccijevo zaporedje. Sončnična zrna, borovi storži, cvetni listi in ananasove celice so prav tako razvrščeni po Fibonaccijevem zaporedju.

ptičje jajce

Dolžine falang človeških prstov so približno enake Fibonaccijevim številom. Zlati rez je viden v proporcih obraza.

Emil Rosenov je študiral GS v glasbi baroka in klasike na zgledih del Bacha, Mozarta in Beethovna.

Znano je, da je Sergej Eisenstein umetno sestavil film "Bojna ladja Potemkin" v skladu s pravili zakonodajalca. Trak je razdelil na pet delov. V prvih treh se dogajanje odvija na ladji. V zadnjih dveh - v Odesi, kjer se odvija upor. Ta prehod v mesto se zgodi točno na točki zlatega reza. In vsak del ima svoj prelom, ki se zgodi po zakonu zlatega reza. V okvirju, sceni, epizodi je določen preskok v razvoju teme: zaplet, razpoloženje. Eisenstein je verjel, da je tak prehod blizu točke zlatega reza, zato ga dojemamo kot najbolj logičnega in naravnega.

Številni okrasni elementi, pa tudi pisave so bili ustvarjeni s pomočjo ZS. Na primer, pisava A. Durer (na sliki je črka "A")

Verjame se, da je izraz "zlati rez" uvedel Leonardo Da Vinci, ki je rekel, "naj si nihče, ki ni matematik, ne upa brati mojih del" in prikazal proporce človeškega telesa na svoji znameniti risbi "Vitruvijev človek". ”. »Če človeško figuro - najpopolnejšo stvaritev vesolja - zavežemo s pasom in nato izmerimo razdaljo od pasu do nog, potem se bo ta vrednost nanašala na razdaljo od istega pasu do vrha glave, tako kot se celotna višina človeka nanaša na dolžino od pasu do stopal.”

Znameniti portret Mona Lise ali Gioconde (1503) je nastal po principu zlatih trikotnikov.

Strogo gledano je sama zvezda ali pentakle konstrukcija Zemlje.

Niz Fibonaccijevih števil je vizualno modeliran (materializiran) v obliki spirale

In v naravi spirala GS izgleda takole:

Hkrati se spirala opazi povsod(v naravi in ​​ne samo):
- Semena pri večini rastlin so razporejena spiralno
- Pajek plete mrežo v spiralo
- Orkan se vrti kot spirala
- Prestrašena čreda severnih jelenov se razkropi v spirali.
- Molekula DNK je zavita v dvojno vijačnico. Molekula DNK je sestavljena iz dveh navpično prepletenih vijačnic, dolgih 34 angstromov in širokih 21 angstromov. V Fibonaccijevem zaporedju si sledita števili 21 in 34.
- Zarodek se razvija spiralno
- Kohlearna spirala v notranjem ušesu
- Voda teče v odtok v spirali
- Spiralna dinamika prikazuje razvoj človekove osebnosti in njegovih vrednot v spirali.
- In seveda, Galaksija sama ima obliko spirale

Tako lahko trdimo, da je narava sama zgrajena po principu zlatega reza, zato to razmerje bolj harmonično zaznava človeško oko. Ne zahteva "popravljanja" ali dodajanja nastale slike sveta.

Zdaj pa o zlatem rezu v arhitekturi

Keopsova piramida predstavlja proporce Zemlje. (Všeč mi je fotografija - s Sfingo, prekrito s peskom).

Po Le Corbusierju na reliefu iz templja faraona Setija I. v Abidosu in na reliefu faraona Ramzesa razmerja figur ustrezajo zlatemu rezu. Tudi pročelje starogrškega templja Partenona ima zlate proporce.

Katedrala Notredame de Paris v Parizu, Francija.

Ena od izjemnih zgradb, narejenih po principu GS, je katedrala Smolni v Sankt Peterburgu. Do katedrale vodita dve poti ob robovih, in če se katedrali približaš po njima, se zdi, kot da se dvigne v zrak.

V Moskvi so tudi zgradbe z ZS. Na primer, katedrala sv. Bazilija

Vendar prevladuje razvoj po načelih simetrije.
Na primer Kremelj in Spasskaya stolp.

Tudi višina obzidja Kremlja nikjer ne odraža načela ZS glede višine stolpov npr. Ali vzemite hotel Rusija ali hotel Cosmos.

Hkrati stavbe, zgrajene po principu GS, v Sankt Peterburgu predstavljajo večji odstotek in to so ulične stavbe. Avenija Liteiny.

Zlati rez torej uporablja razmerje 1,68, simetrija pa je 50/50.
To pomeni, da so simetrične zgradbe zgrajene po načelu enakosti strani.

Druga pomembna značilnost ES je njegova dinamičnost in nagnjenost k razpletu zaradi zaporedja Fibonaccijevih števil. Medtem ko simetrija, nasprotno, predstavlja stabilnost, stabilnost in nepremičnost.

Poleg tega dodatni WS vnaša v načrt Sankt Peterburga obilico vodnih površin, ki so razpršene po mestu in narekujejo podrejenost mesta njihovim ovinkom. In Petrov diagram je hkrati podoben spirali ali zarodku.

Papež pa je izrazil drugačno različico, zakaj imajo Moskovčani in prebivalci Sankt Peterburga "glavoboli" ob obisku prestolnic. Oče to povezuje z energijami mest:
Sankt Peterburg – ima moški in s tem moške energije,
No, Moskva - torej - je ženstvena in ima ženske energije.

Prebivalci prestolnic, ki so uglašeni s svojim specifičnim ravnovesjem ženskega in moškega v svojem telesu, se je ob obisku sosednjega mesta težko prilagoditi, nekdo pa ima lahko težave z zaznavanjem ene ali druge energije in zato sosednje mesto morda sploh ni ljubezen!

To različico potrjuje dejstvo, da vse Ruske carice vladal v Sankt Peterburgu, medtem ko je Moskva videla samo moške kralje!

Uporabljeni viri.

Besedilo dela je objavljeno brez slik in formul.
Polna različica delo je na voljo v zavihku "Delovne datoteke" v formatu PDF

Uvod

NAJVIŠJI NAMEN MATEMATIKE JE NAJDATI SKRITI RED V KAOSU, KI NAS OBDAJA.

Viner N.

Človek si vse življenje prizadeva za znanje, poskuša preučiti svet okoli sebe. In v procesu opazovanja ima vprašanja, na katera je treba odgovoriti. Odgovori so najdeni, vendar se porajajo nova vprašanja. V arheoloških najdbah, v sledovih civilizacije, oddaljenih drug od drugega v času in prostoru, najdemo en in isti element - vzorec v obliki spirale. Nekateri ga imajo za simbol sonca in ga povezujejo z legendarna Atlantida, vendar njegov pravi pomen ni znan. Kaj imajo skupnega oblika galaksije in atmosferskega ciklona, ​​razporeditev listov na steblu in razporeditev semen pri sončnici? Ti vzorci se spustijo do tako imenovane "zlate" spirale, neverjetnega Fibonaccijevega zaporedja, ki ga je odkril veliki italijanski matematik iz 13. stoletja.

Zgodovina Fibonaccijevih števil

O tem, kaj so Fibonaccijeva števila, sem prvič slišal od učitelja matematike. Ampak poleg tega nisem vedel, kako se zaporedje teh številk sestavlja. To je tisto, po čemer je ta sekvenca pravzaprav znana, kako vpliva na človeka, vam želim povedati. O Leonardu Fibonacciju je malo znanega. Ne obstaja niti natančen datum njegovega rojstva. Znano je, da se je rodil leta 1170 v trgovski družini v mestu Pisa v Italiji. Fibonaccijev oče je zaradi trgovskih zadev pogosto obiskoval Alžirijo in Leonardo je tam študiral matematiko pri arabskih učiteljih. Kasneje je napisal več matematičnih del, od katerih je najbolj znana "Knjiga o abaku", ki vsebuje skoraj vse aritmetične in algebraične informacije tistega časa. 2

Fibonaccijeva števila so zaporedje števil, ki imajo številne lastnosti. Fibonacci je to številsko zaporedje odkril po naključju, ko je leta 1202 poskušal rešiti praktični problem o zajcih. »Nekdo je postavil par zajcev na določeno mesto, z vseh strani ograjeno z zidom, da bi ugotovil, koliko parov zajcev se bo skotilo čez leto, če je narava zajcev taka, da po enem mesecu par zajcev skoti še en par, zajci pa skotijo ​​od drugega meseca po vašem rojstvu." Pri reševanju problema je upošteval, da vsak par zajcev skozi življenje skoti še dva para, nato pa pogine. Tako je nastalo zaporedje števil: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... V tem zaporedju je vsako naslednje število enako vsoti prejšnjih dveh. Imenovali so ga Fibonaccijevo zaporedje. Matematične lastnosti zaporedja

Želel sem raziskati to zaporedje in odkril sem nekaj njegovih lastnosti. Ta vzorec ima velika vrednost. Zaporedje se počasi približuje določenemu konstantnemu razmerju približno 1,618, razmerje poljubnega števila do naslednjega pa je približno 0,618.

Opazite lahko številne zanimive lastnosti Fibonaccijevih števil: dve sosednji števili sta relativno praštevili; vsako tretje število je sodo; vsak petnajsti se konča na ničlo; vsak četrti je večkratnik treh. Če izberete poljubnih 10 sosednjih števil iz Fibonaccijevega zaporedja in jih seštejete, boste vedno dobili število, ki je večkratnik 11. Vendar to še ni vse. Vsaka vsota je enaka številu 11, pomnoženemu s sedmim členom danega zaporedja. Tukaj je še ena zanimiva funkcija. Za vsak n bo vsota prvih n členov zaporedja vedno enaka razliki med (n + 2)-tim in prvim členom zaporedja. To dejstvo lahko izrazimo s formulo: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Sedaj imamo na voljo naslednji trik: najti vsoto vseh členov

zaporedje med dvema danima členoma, je dovolj, da poiščemo razliko ustreznih (n+2)-x členov. Na primer, a 26 +…+a 40 = a 42 - a 27. Zdaj pa poiščimo povezavo med Fibonaccijem, Pitagoro in »zlatim rezom«. Najbolj znan dokaz matematične genialnosti človeštva je Pitagorov izrek: v vsakem pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov njegovih katet: c 2 =b 2 +a 2. Z geometrijska točka pogled lahko gledamo na vse strani pravokotni trikotnik, kot na njih zgrajene stranice treh kvadratov. To pravi Pitagorov izrek skupna površina kvadratov, zgrajenih na straneh pravokotnega trikotnika, je enaka površini kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi. Če so dolžine strani pravokotnega trikotnika cela števila, potem tvorijo skupino treh števil, imenovanih Pitagorejski trojčki. Z uporabo Fibonaccijevega zaporedja lahko najdete takšne trojčke. Vzamemo poljubna štiri zaporedna števila iz zaporedja, na primer 2, 3, 5 in 8, in sestavimo še tri števila, kot sledi: 1) produkt dveh skrajnih števil: 2*8=16; 2) dvojni produkt dveh števil na sredini: 2* (3*5)=30;3) vsota kvadratov dveh povprečnih števil: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2. Ta metoda deluje za katera koli štiri zaporedna Fibonaccijeva števila. Katera koli tri zaporedna števila v Fibonaccijevem nizu se obnašajo predvidljivo. Če dva skrajna pomnožite in rezultat primerjate s kvadratom povprečnega števila, se bo rezultat vedno razlikoval za ena. Na primer, za števila 5, 8 in 13 dobimo: 5*13=8 2 +1. Če na to lastnost pogledate z geometrijskega vidika, boste opazili nekaj čudnega. Razdeli kvadrat

8x8 velikosti (skupaj 64 majhnih kvadratov) na štiri dele, pri čemer so dolžine stranic enake Fibonaccijevim številom. Zdaj bomo iz teh delov zgradili pravokotnik, ki meri 5x13. Njegova površina je 65 majhnih kvadratov. Od kod prihaja dodaten kvadrat? Stvar je v tem, da idealni pravokotnik ne nastane, ampak ostanejo drobne vrzeli, ki skupaj dajo to dodatno enoto površine. Pascalov trikotnik je povezan tudi s Fibonaccijevim zaporedjem. Eno pod drugo morate napisati črte Pascalovega trikotnika in nato diagonalno dodati elemente. Rezultat je Fibonaccijevo zaporedje.

Zdaj razmislite o zlatem pravokotniku, katerega ena stranica je 1,618-krat daljša od druge. Na prvi pogled se nam lahko zdi kot navaden pravokotnik. Vendar pa naredimo preprost poskus z dvema običajnima bančnima karticama. Eno od njiju postavimo vodoravno, drugo pa navpično, tako da sta njuni spodnji stranici na isti liniji. Če na vodoravnem zemljevidu narišemo diagonalno črto in jo podaljšamo, bomo videli, da bo potekala točno skozi desni zgornji kot navpičnega zemljevida – prijetno presenečenje. Morda je to nesreča, ali pa ti pravokotniki in drugi geometrijske oblike, z uporabo " zlati rez«, so še posebej prijetni za oko. Je Leonardo da Vinci med ustvarjanjem svoje mojstrovine razmišljal o zlatem rezu? To se zdi malo verjetno. Lahko pa trdimo, da je pripisoval velik pomen povezavi med estetiko in matematiko.

Fibonaccijeva števila v naravi

Povezava zlatega reza z lepoto ni le stvar človeškega dojemanja. Zdi se, da je narava sama izločila F posebno vlogo. Če kvadrate zaporedno vpišete v "zlati" pravokotnik, nato v vsak kvadrat narišete lok, boste dobili elegantno krivuljo, imenovano logaritemska spirala. To sploh ni matematična zanimivost. 5

Nasprotno, to izjemno linijo pogosto najdemo v fizični svet: od lupine nautilusa do rokavov galaksij in v elegantni spirali cvetnih listov cvetoče vrtnice. Povezave med zlatim rezom in Fibonaccijevimi števili so številne in presenetljive. Oglejmo si rožo, ki se na videz zelo razlikuje od vrtnice – sončnico s semeni. Prva stvar, ki jo opazimo, je, da so semena razporejena v dveh vrstah spiral: v smeri urinega kazalca in nasprotni smeri urinega kazalca. Če preštejemo spirale v smeri urinega kazalca, dobimo dve na videz običajni števili: 21 in 34. To pa ni edini primer, kjer Fibonaccijeva števila najdemo v zgradbi rastlin.

Narava nam daje številni primeri lokacije homogenih objektov, opisanih s Fibonaccijevimi števili. V različnih spiralnih razporeditvah majhnih rastlinskih delov je običajno mogoče razbrati dve družini spiral. V eni od teh družin se spirale zvijajo v smeri urinega kazalca, v drugi pa v nasprotni smeri urinega kazalca. Števila spiral ene in druge vrste se pogosto izkažejo za sosednja Fibonaccijeva števila. Torej, če vzamemo mlado borovo vejico, zlahka opazimo, da iglice tvorijo dve spirali, ki gredo od spodnje leve proti zgornji desni. Na mnogih storžkih so semena razporejena v treh spiralah, ki se nežno vijejo okoli stebla storža. Nahajajo se v petih spiralah, ki se strmo vijejo v nasprotno smer. V velikih stožcih je mogoče opaziti 5 in 8 ter celo 8 in 13 spiral. Na ananasu so dobro vidne tudi Fibonaccijeve spirale: običajno jih je 8 in 13.

Poganjek radiča naredi močan izmet v prostor, se ustavi, sprosti list, vendar je ta čas krajši od prvega, spet naredi izmet v prostor, vendar z manjšo silo, sprosti še manjši list in se ponovno izvrže. . Impulzi njegove rasti se postopoma zmanjšujejo sorazmerno z "zlatim" rezom. Da bi cenili ogromno vlogo Fibonaccijevih števil, morate samo pogledati lepoto narave okoli nas. Fibonaccijeva števila je mogoče najti v količinah

vej na steblu vsake rastoče rastline in v številu cvetnih listov.

Preštejmo venčne liste nekaterih rož – perunika s svojimi 3 venčnimi listi, jeglič s 5 venčnimi listi, ambrozija s 13 venčnimi listi, koruznica s 34 venčnimi listi, astra s 55 venčnimi listi itd. Je to naključje ali je naravni zakon? Poglejte stebla in cvetove rmana. Tako lahko celotno Fibonaccijevo zaporedje zlahka interpretira vzorec manifestacij "zlatih" števil, ki jih najdemo v naravi. Ti zakoni delujejo ne glede na našo zavest in željo, da jih sprejmemo ali ne. Vzorci »zlate« simetrije se kažejo v energijskih prehodih elementarni delci, v strukturi nekaterih kemične spojine, v planetarni in vesoljski sistemi, v genskih strukturah živih organizmov, v zgradbi posameznih človeških organov in telesa kot celote, kažejo pa se tudi v bioritmih in delovanju možganov ter vidnem zaznavanju.

Fibonaccijeva števila v arhitekturi

"Zlati rez" je očiten tudi v številnih izjemnih arhitekturnih stvaritvah skozi človeško zgodovino. Izkazalo se je, da so starogrški in staroegipčanski matematiki poznali te koeficiente že dolgo pred Fibonaccijem in jih poimenovali "zlati rez". Grki so pri gradnji Partenona uporabili načelo »zlatega reza«, Egipčani pa Veliko piramido v Gizi. Napredek v gradbeni tehnologiji in razvoj novih materialov sta arhitektom dvajsetega stoletja odprla nove priložnosti. Američan Frank Lloyd Wright je bil eden glavnih zagovornikov organske arhitekture. Malo pred smrtjo je zasnoval muzej Solomona Guggenheima v New Yorku, ki je obrnjena spirala, notranjost muzeja pa spominja na školjko nautilusa. Poljsko-izraelski arhitekt Zvi Hecker je spiralne strukture uporabil tudi pri svojem načrtovanju za šolo Heinza Galinskega v Berlinu, dokončano leta 1995. Hecker je začel z idejo o sončnici s središčnim krogom, od koder

Vsi arhitekturni elementi se razlikujejo. Stavba je kombinacija

ortogonalne in koncentrične spirale, ki simbolizirajo interakcijo omejenega človeškega znanja in nadzorovanega kaosa narave. Njegova arhitektura posnema rastlino, ki sledi gibanju Sonca, zato so učilnice osvetljene ves dan.

V parku Quincy, ki se nahaja v Cambridgeu v Massachusettsu (ZDA), je pogosto mogoče najti "zlato" spiralo. Park je leta 1997 zasnoval umetnik David Phillips in se nahaja v bližini Matematični inštitut Glina. Ta ustanova je znano središče za matematične raziskave. V Quincy Parku se lahko sprehodite med »zlatimi« spiralami in kovinskimi krivuljami, reliefi dveh školjk in skalo s simbolom kvadratni koren. Znak vsebuje podatke o "zlatem" razmerju. Tudi parkirišča za kolesa uporabljajo simbol F.

Fibonaccijeva števila v psihologiji

V psihologiji opozoriti prelomnice, krize, revolucije, ki zaznamujejo preobrazbe v strukturi in funkcijah duše na človekovi življenjski poti. Če človek te krize uspešno premaga, potem postane sposoben reševati probleme novega razreda, o katerih prej sploh ni razmišljal.

Prisotnost temeljnih sprememb daje razloge, da se življenjska doba obravnava kot odločilni dejavnik razvoj duhovnih kvalitet. Navsezadnje nam narava ne odmeri velikodušno časa, »koliko ga bo, toliko ga bo«, ampak ravno toliko, da se razvojni proces uresniči:

v telesnih strukturah;

v občutkih, mišljenju in psihomotoriki – dokler ne pridobijo harmonija potrebnih za nastanek in zagon mehanizma

ustvarjalnost;

v strukturi človekovega energetskega potenciala.

Razvoja telesa ni mogoče ustaviti: otrok postane odrasel. Z mehanizmom ustvarjalnosti ni vse tako preprosto. Njegov razvoj je mogoče ustaviti in spremeniti njegovo smer.

Ali obstaja možnost, da dohitimo čas? Nedvomno. Toda za to morate veliko delati na sebi. Kar se svobodno razvija, seveda ne zahteva posebnih naporov: otrok se razvija svobodno in ne opazi tega ogromnega dela, saj se proces svobodnega razvoja ustvarja brez nasilja nad samim seboj.

Kako se razume pomen? življenjska pot v vsakdanji zavesti? Povprečen človek to vidi takole: na dnu je rojstvo, na vrhu je cvet življenja, potem pa gre vse navzdol.

Modrec bo rekel: vse je veliko bolj zapleteno. Vzpon razdeli na stopnje: otroštvo, mladost, mladost ... Zakaj je tako? Malokdo zna odgovoriti, čeprav so vsi prepričani, da gre za zaprta, sestavna obdobja življenja.

Da bi ugotovil, kako se razvija mehanizem ustvarjalnosti, je V.V. Klimenko je uporabil matematiko, in sicer zakone Fibonaccijevih števil in delež "zlatega reza" - zakone narave in človeškega življenja.

Fibonaccijeva števila delijo naše življenje na stopnje glede na število preživetih let: 0 - začetek odštevanja - otrok se rodi. Manjkajo mu še ne samo psihomotorične sposobnosti, mišljenje, občutki, domišljija, ampak tudi operativni energijski potencial. On je začetek novega življenja, nove harmonije;

1 - otrok je obvladal hojo in obvladuje svoje neposredno okolje;

2 - razume govor in deluje po besednih navodilih;

3 - deluje z besedami, postavlja vprašanja;

5 - »doba milosti« - harmonija psihomotorike, spomina, domišljije in občutkov, ki otroku že omogočajo, da zajame svet v vsej njegovi celovitosti;

8 - čustva pridejo v ospredje. Služi jim domišljija, mišljenje pa je s svojo kritičnostjo usmerjeno v podpiranje notranje in zunanje harmonije življenja;

13 - začne delovati mehanizem nadarjenosti, katerega cilj je preoblikovanje materiala, pridobljenega v procesu dedovanja, razvoj lastnega talenta;

21 - mehanizem ustvarjalnosti se je približal stanju harmonije in poskušajo se izvajati nadarjena dela;

34 - harmonija mišljenja, čustev, domišljije in psihomotoričnih sposobnosti: rojena je sposobnost genialnega dela;

55 - v tej starosti, če je ohranjena harmonija duše in telesa, je človek pripravljen postati ustvarjalec. In tako naprej …

Kaj so serifi Fibonaccijevih števil? Lahko jih primerjamo z jezovi na poti življenja. Ti jezovi čakajo vsakega od nas. Najprej morate premagati vsakega od njih, nato pa potrpežljivo dvigovati svojo stopnjo razvoja, dokler nekega lepega dne ne razpade in odpre pot naslednjemu za prost pretok.

Zdaj, ko razumemo pomen teh vozlišč starostni razvoj, poskusimo razvozlati, kako se vse to zgodi.

B1 leto otrok obvlada hojo. Pred tem je svet doživljal s sprednjo stranjo glave. Zdaj spoznava svet z rokami - izjemen človeški privilegij. Žival se giblje v prostoru, ona pa z učenjem obvladuje prostor in obvladuje teritorij, na katerem živi.

2 leti- razume besedo in ravna v skladu z njo. To pomeni, da:

otrok se uči minimalna količina besede – pomeni in načini delovanja;

še ni ločil od okolju in se zliva v celovitost z okolico,

zato ravna po navodilih nekoga drugega. V tej starosti je staršem najbolj ubogljiv in prijeten. Iz čutne osebe se otrok spremeni v kognitivno osebo.

3 leta- dejanje z uporabo lastne besede. Do ločitve te osebe od okolja je že prišlo - in nauči se biti samostojna oseba. Od tod on:

zavestno nasprotuje okolju ter staršem, vzgojiteljem v vrtec itd.;

uresničuje svojo suverenost in se bori za neodvisnost;

poskuša podrediti bližnje in znane ljudi svoji volji.

Zdaj je za otroka beseda dejanje. Tu se začne aktivna oseba.

5 let- "doba milosti." Je poosebljenje harmonije. Igre, ples, spretni gibi - vse je prežeto s harmonijo, ki jo človek poskuša obvladati z lastno močjo. Harmonično psihomotorično vedenje pomaga do novega stanja. Zato je otrok osredotočen na psihomotorično aktivnost in si prizadeva za najbolj aktivna dejanja.

Materializacija produktov občutljivega dela se izvaja preko:

sposobnost prikazovanja okolja in sebe kot del tega sveta (slišimo, vidimo, tipamo, vohamo itd. – za ta proces delujejo vsi čuti);

sposobnost oblikovanja zunanjega sveta, vključno s samim seboj

(ustvarjanje druge narave, hipoteze - naredi to in to jutri, zgradi nov stroj, reši problem), s silami kritičnega mišljenja, občutkov in domišljije;

sposobnost ustvarjanja druge, umetne narave, proizvodov dejavnosti (uresničevanje načrtov, specifičnih duševnih ali psihomotoričnih dejanj s specifičnimi predmeti in procesi).

Po 5 letih se mehanizem domišljije pojavi in ​​začne prevladovati nad ostalimi. Otrok opravlja ogromno dela, ustvarja fantastične podobe in živi v svetu pravljic in mitov. Hipertrofirana otrokova domišljija pri odraslih povzroča presenečenje, saj domišljija ne ustreza resničnosti.

8 let— čustva pridejo v ospredje in se pojavijo lastna čustvena merila (kognitivna, moralna, estetska), ko otrok nedvomno:

ocenjuje znano in neznano;

loči moralno od nemoralnega, moralno od nemoralnega;

lepoto od tega, kar ogroža življenje, harmonijo od kaosa.

star 13 let— začne delovati mehanizem ustvarjalnosti. Vendar to ne pomeni, da deluje s polno zmogljivostjo. Eden od elementov mehanizma pride v ospredje, vsi ostali pa prispevajo k njegovemu delu. Če se v tem starostnem obdobju ohrani razvojna harmonija, ki skoraj nenehno obnavlja svojo strukturo, potem bo mladost neboleče dosegla naslednji jez, ga neopazno premagala in živela v dobi revolucionarja. V dobi revolucionarja mora mladina narediti nov korak naprej: ločiti se od najbližje družbe in v njej živeti harmonično življenje in delovanje. Vsakdo ne more rešiti te težave, ki se pojavi pred vsakim od nas.

star 21 let.Če je revolucionar uspešno premagal prvi harmonični vrh življenja, potem je njegov mehanizem nadarjenosti sposoben izvesti nadarjene

delo. Občutki (kognitivni, moralni ali estetski) včasih zasenčijo mišljenje, a na splošno vsi elementi delujejo usklajeno: občutki so odprti svetu, logično razmišljanje sposoben imenovati in iskati mere stvari s tega vrha.

Mehanizem ustvarjalnosti, ki se normalno razvija, doseže stanje, ki mu omogoča prejemanje določenih sadov. Začne delati. V tej starosti se pojavi mehanizem čustev. Ko domišljijo in njene produkte ovrednotijo ​​čuti in um, se med njima pojavi nasprotje. Občutki zmagajo. Ta sposobnost postopoma pridobiva moč in deček jo začne uporabljati.

star 34 let- ravnovesje in harmonija, produktivna učinkovitost talenta. Harmonija mišljenja, občutkov in domišljije, psihomotoričnih sposobnosti, ki se polnijo z optimalnim energetskim potencialom, in mehanizma kot celote - rojena je priložnost za opravljanje briljantnega dela.

star 55 let- človek lahko postane ustvarjalec. Tretji harmoničen vrh življenja: mišljenje si podredi moč občutkov.

Fibonaccijeva števila se nanašajo na stopnje človeškega razvoja. Ali bo človek prehodil to pot brez ustavljanja, je odvisno od staršev in učiteljev, izobraževalni sistem, nato pa - od sebe in od tega, kako se bo človek naučil in premagal samega sebe.

Na življenjski poti človek odkrije 7 predmetov odnosa:

Od rojstnega dne do 2. leta - odkrivanje fizičnega in predmetnega sveta bližnjega okolja.

Od 2 do 3 let - samoodkrivanje: "Jaz sem sam."

Od 3 do 5 let - govor, aktivni svet besed, harmonija in sistem "jaz - ti".

Od 5 do 8 let - odkrivanje sveta misli, občutkov in podob drugih ljudi - sistem "Jaz - Mi".

Od 8 do 13 let - odkrivanje sveta nalog in problemov, ki jih rešujejo geniji in talenti človeštva - sistem "Jaz - duhovnost".

Od 13 do 21 let - odkritje sposobnosti samostojnega reševanja znanih problemov, ko misli, občutki in domišljija začnejo aktivno delovati, se pojavi sistem "I - Noosphere".

Od 21 do 34 let - odkritje sposobnosti ustvarjanja nov svet ali njegovih drobcev - zavedanje samopodobe "Jaz sem Stvarnik".

Življenjska pot ima prostorsko-časovno strukturo. Sestavljen je iz starostnih in posameznih faz, ki jih določajo številni življenjski parametri. Človek do neke mere obvlada okoliščine svojega življenja, postane ustvarjalec svoje zgodovine in ustvarjalec zgodovine družbe. Resnično ustvarjalen odnos do življenja pa se ne pojavi takoj in niti ne pri vsakem človeku. Med fazami življenjske poti je genetske povezave, kar določa njegov naravni značaj. Iz tega sledi, da je načeloma možno napovedati prihodnji razvoj na podlagi poznavanja njegovih zgodnjih faz.

Fibonaccijeva števila v astronomiji

Iz zgodovine astronomije je znano, da je I. Titius, nemški astronom iz 18. stoletja, s pomočjo Fibonaccijeve serije našel vzorec in red v razdaljah med planeti. sončni sistem. Toda en primer je bil v nasprotju z zakonom: med Marsom in Jupitrom ni bilo nobenega planeta. Toda po Titijevi smrti v začetku XIX V. zgoščeno opazovanje tega dela neba je privedlo do odkritja asteroidnega pasu.

Zaključek

Med raziskovanjem sem ugotovil, da se Fibonaccijeva števila pogosto uporabljajo v tehnični analizi tečajev delnic. Eden najpreprostejših načinov uporabe Fibonaccijevih števil v praksi je določitev časovnih intervalov, po katerih se bo zgodil določen dogodek, na primer sprememba cene. Analitik prešteje določeno število Fibonaccijevih dni ali tednov (13,21,34,55 itd.) od prejšnjega podobnega dogodka in naredi napoved. Ampak to je še vedno pretežko, da bi ugotovil. Čeprav je bil Fibonacci največji matematik srednjega veka, sta edina spomenika Fibonacciju kip pred poševnim stolpom v Pisi in dve ulici, ki nosita njegovo ime: ena v Pisi in druga v Firencah. Pa vendar se ob vsem videnem in prebranem porajajo povsem naravna vprašanja. Od kod te številke? Kdo je ta arhitekt vesolja, ki ga je poskušal narediti idealnega? Kaj bo potem? Ko boste našli odgovor na eno vprašanje, boste dobili naslednjega. Če jo rešiš, boš dobil dve novi. Ko se spopadete z njimi, se bodo pojavili še trije. Ko boste rešili tudi njih, boste imeli pet nerešenih. Potem osem, trinajst itd. Ne pozabite, da imata dve roki pet prstov, od katerih sta dva sestavljena iz dveh falang, osem pa iz treh.

Literatura:

Voloshinov A.V. "Matematika in umetnost", M., Izobraževanje, 1992.

Vorobjov N.N. "Fibonaccijeva števila", M., Nauka, 1984.

Stakhov A.P. "Da Vincijeva šifra in Fibonaccijeva serija", format Sankt Peterburg, 2006

F. Corvalan »Zlati rez. Matematični jezik lepote", M., De Agostini, 2014.

Maksimenko S.D. "Občutljiva obdobja življenja in njihove šifre."

"Fibonaccijeva števila". Wikipedia

Fibonaccijeva števila... v naravi in ​​življenju

Leonardo Fibonacci je eden največjih matematikov srednjega veka. V enem od svojih del, "Knjiga izračunov", je Fibonacci opisal indo-arabski sistem računanja in prednosti njegove uporabe pred rimskim.

Opredelitev
Fibonaccijeva števila ali Fibonaccijevo zaporedje – številčno zaporedje, ki ima številne lastnosti. Na primer, vsota dveh sosednjih števil v zaporedju da vrednost naslednjega (npr. 1+1=2; 2+3=5 itd.), kar potrjuje obstoj tako imenovanih Fibonaccijevih koeficientov. , tj. konstantna razmerja.

Fibonaccijevo zaporedje se začne takole: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

2.

Popolna definicija Fibonaccijevih števil

3.


Lastnosti Fibonaccijevega zaporedja

4.

1. Razmerje med vsako številko in naslednjo se vedno bolj nagiba k 0,618, ko se serijska številka povečuje. Razmerje med vsakim številom in prejšnjim se nagiba k 1,618 (obratno od 0,618). Število 0,618 imenujemo (FI).

2. Pri deljenju vsakega števila s tistim, ki mu sledi, je število za ena 0,382; nasprotno – oziroma 2.618.

3. Če na ta način izberemo razmerja, dobimo glavni niz Fibonaccijevih razmerij: ... 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.


Povezava med Fibonaccijevim zaporedjem in "zlatim rezom"

6.

Fibonaccijevo zaporedje asimptotično (čedalje počasneje se približuje) teži k nekemu konstantnemu odnosu. Vendar je to razmerje iracionalno, to pomeni, da predstavlja število z neskončnim, nepredvidljivim zaporedjem decimalnih števk v ulomku. Nemogoče je natančno izraziti.

Če katerikoli člen Fibonaccijevega zaporedja delimo z njegovim predhodnikom (na primer 13:8), bo rezultat vrednost, ki niha okoli iracionalne vrednosti 1,61803398875 ... in jo včasih preseže, včasih pa je ne doseže. Toda tudi po tem, ko smo za to porabili večnost, je nemogoče ugotoviti razmerje natančno, do zadnje decimalne številke. Zaradi jedrnatosti ga bomo predstavili v obliki 1.618. To razmerje so začeli dobivati ​​posebna imena, še preden ga je Luca Pacioli (srednjeveški matematik) poimenoval božansko razmerje. Med njegovimi sodobnimi imeni so zlati rez, zlato povprečje in razmerje vrtečih se kvadratov. Kepler je to razmerje poimenoval eden od »zakladov geometrije«. V algebri je splošno sprejeto, da se označuje z grško črko fi

Predstavljajmo si zlati rez na primeru segmenta.

Razmislite o odseku s koncema A in B. Naj točka C deli odsek AB tako, da

AC/CB = CB/AB oz

AB/CB = CB/AC.

Lahko si predstavljate nekako takole: A-–C--–B

7.

Zlati rez je taka sorazmerna razdelitev odseka na neenake dele, pri kateri je ves odsek v razmerju do večjega dela, kakor je sam večji del v razmerju do manjšega; ali z drugimi besedami, manjši segment je večjemu tako kot večji celotnemu.

8.

Odseki zlatega deleža so izraženi kot neskončni iracionalni ulomek 0,618..., če AB vzamemo kot ena, AC = 0,382.. Kot že vemo, sta števili 0,618 in 0,382 koeficienta Fibonaccijevega zaporedja.

9.

Fibonaccijeva razmerja in zlati rez v naravi in ​​zgodovini

10.


Pomembno je omeniti, da je Fibonacci spominjal človeštvo na njegovo zaporedje. Poznali so ga že stari Grki in Egipčani. In res, od takrat so bili v naravi, arhitekturi, likovni umetnosti, matematiki, fiziki, astronomiji, biologiji in mnogih drugih področjih najdeni vzorci, ki jih opisujejo Fibonaccijeva razmerja. Neverjetno je, koliko konstant je mogoče izračunati s Fibonaccijevim zaporedjem in kako se njegovi členi pojavljajo v ogromnem številu kombinacij. Vendar ne bi bilo pretirano reči, da to ni le igra s številkami, ampak najpomembnejši matematični izraz naravni pojavi vseh kdaj odprtih.

11.

Spodnji primeri prikazujejo nekaj zanimivih aplikacij tega matematičnega zaporedja.

12.

1. Umivalnik je spiralno zvit. Če jo razgrnete, dobite dolžino, ki je nekoliko krajša od dolžine kače. Majhna desetcentimetrska školjka ima spiralno obliko spiralno zvite školjke, ki je pritegnila pozornost Arhimeda. Dejstvo je, da je razmerje dimenzij lupinskih kodrov konstantno in enako 1,618. Arhimed je proučeval spiralo lupin in izpeljal enačbo spirale. Spirala, narisana po tej enačbi, se imenuje po njegovem imenu. Povečanje njenega koraka je vedno enakomerno. Trenutno se Arhimedova spirala pogosto uporablja v tehnologiji.

2. Rastline in živali. Tudi Goethe je poudarjal težnjo narave k spiralnosti. Spiralno in spiralno razporeditev listov na drevesnih vejah so opazili že davno. Spirala je bila vidna v aranžmaju sončničnih semen, borovih storžev, ananasa, kaktusov itd. Skupno delo botanikov in matematikov je osvetlilo te osupljive naravne pojave. Izkazalo se je, da se Fibonaccijeva serija kaže v razporeditvi listov na veji sončničnih semen in borovih storžkov, zato se kaže zakon zlatega reza. Pajek svojo mrežo plete v obliki spirale. Orkan se vrti kot spirala. Prestrašena čreda severnih jelenov se razkropi v spirali. Molekula DNK je zavita v dvojno vijačnico. Goethe je spiralo imenoval "krivulja življenja".

Med obcestnimi zelišči raste nenavadna rastlina - radič. Oglejmo si ga pobližje. Iz glavnega stebla je nastal poganjek. Prvi list se je nahajal prav tam. Poganjek naredi močan izmet v prostor, se ustavi, sprosti list, vendar je tokrat krajši od prvega, spet naredi izmet v prostor, vendar z manjšo silo, sprosti še manjši list in se ponovno izvrže . Če prvo emisijo vzamemo za 100 enot, potem je druga enaka 62 enot, tretja 38, četrta 24 itd. Tudi dolžina cvetnih listov je odvisna od zlatega deleža. Pri rasti in osvajanju prostora je rastlina ohranjala določene proporce. Impulzi njene rasti so se postopoma zmanjševali sorazmerno z zlatim rezom.

Kuščarica je živorodna. Na prvi pogled ima kuščar razsežnosti, ki so všeč našim očem – dolžina njegovega repa se glede na dolžino preostalega telesa nanaša v razmerju 62 proti 38.

Tako v rastlinskem kot živalskem svetu se vztrajno prebija oblikovalna težnja narave - simetrija glede smeri rasti in gibanja. Tu se pojavi zlati rez v razmerju delov pravokotno na smer rasti. Narava je izvedla delitev na simetrične dele in zlate proporce. Deli razkrivajo ponavljanje strukture celote.

Pierre Curie je v začetku tega stoletja oblikoval številne globoke ideje o simetriji. Trdil je, da ni mogoče upoštevati simetrije katerega koli telesa, ne da bi upoštevali simetrijo okolja. Zakoni zlate simetrije se kažejo v energijskih prehodih osnovnih delcev, v strukturi nekaterih kemičnih spojin, v planetarnih in kozmičnih sistemih, v genskih strukturah živih organizmov. Ti vzorci, kot je navedeno zgoraj, obstajajo v strukturi posameznih človeških organov in telesa kot celote, kažejo pa se tudi v bioritmih in delovanju možganov ter vizualnem zaznavanju.

3. Vesolje. Iz zgodovine astronomije je znano, da je I. Titius, nemški astronom iz 18. stoletja, s pomočjo te serije (Fibonacci) našel vzorec in red v razdaljah med planeti sončnega sistema.

Vendar en primer, ki se je zdel v nasprotju z zakonom: med Marsom in Jupitrom ni bilo nobenega planeta. Osredotočeno opazovanje tega dela neba je vodilo do odkritja asteroidnega pasu. To se je zgodilo po Titijevi smrti v začetku 19. stoletja.

Fibonaccijeva serija se pogosto uporablja: uporablja se za predstavitev arhitektonike živih bitij, struktur, ki jih je ustvaril človek, in strukture galaksij. Ta dejstva so dokaz neodvisnosti številske serije od pogojev njene manifestacije, kar je eden od znakov njene univerzalnosti.

4. Piramide. Mnogi so poskušali razvozlati skrivnosti piramide v Gizi. Za razliko od drugih Egipčanske piramide To ni grobnica, temveč nerešljiva uganka številskih kombinacij. Izjemna iznajdljivost, spretnost, čas in delo, ki so ga arhitekti piramide vložili v gradnjo večnega simbola, kažejo na izjemno pomembnost sporočila, ki so ga želeli prenesti prihodnjim generacijam. Njihovo obdobje je bilo predpismeno, predhieroglifsko in simboli so bili edino sredstvo za beleženje odkritij. Ključ do geometrijsko-matematične skrivnosti piramide v Gizi, ki je bila tako dolgo skrivnost človeštva, so Herodotu pravzaprav dali tempeljski svečeniki, ki so mu sporočili, da je bila piramida zgrajena tako, da območje vsaka njegova ploskev je bila enaka kvadratu njene višine.

Območje trikotnika

356 x 440 / 2 = 78320

Kvadratno območje

280 x 280 = 78400

Dolžina roba baze piramide v Gizi je 783,3 čevljev (238,7 m), višina piramide je 484,4 čevljev (147,6 m). Dolžina osnovnega roba deljena z višino daje razmerje F=1,618. Višina 484,4 čevljev ustreza 5813 palcem (5-8-13) - to so številke iz Fibonaccijevega zaporedja. Ta zanimiva opažanja kažejo, da zasnova piramide temelji na razmerju F=1,618. Nekateri sodobni učenjaki se nagibajo k razlagi, da so jo stari Egipčani zgradili zgolj z namenom prenašanja znanja, ki so ga želeli ohraniti za prihodnje generacije. Intenzivne študije piramide v Gizi so pokazale, kako obsežno je bilo znanje matematike in astrologije v tistem času. V vseh notranjih in zunanjih proporcih piramide ima število 1,618 osrednjo vlogo.

Piramide v Mehiki. Ne samo, da so bile egipčanske piramide zgrajene v skladu s popolnimi razmerji zlatega reza, enak pojav so našli tudi v mehiških piramidah. Pojavlja se zamisel, da so tako egipčanske kot mehiške piramide približno ob istem času postavili ljudje skupnega izvora.

Kanalieva Dana

V tem delu smo preučevali in analizirali manifestacijo Fibonaccijevih zaporednih števil v realnosti okoli nas. Odkrili smo neverjetno matematično povezavo med številom spiral v rastlinah, številom vej v kateri koli vodoravni ravnini in številkami Fibonaccijevega zaporedja. V človeški zgradbi smo videli tudi strogo matematiko. Molekula človeške DNK, v kateri je zakodiran celoten razvojni program človeka, dihala, zgradba ušesa - vse se podreja določenim numeričnim razmerjem.

Prepričani smo, da ima narava svoje zakone, izražene z matematiko.

In matematika je zelo pomembno orodje spoznavanja skrivnosti Narave.

Prenos:

Predogled:

MBOU "Pervomaiskaya Srednja šola"

Okrožje Orenburg, regija Orenburg

RAZISKOVALNO DELO

"Skrivnost števil"

Fibonacci"

Izpolnila: Kanalieva Dana

Učenka 6. razreda

Znanstveni mentor:

Gazizova Valeria Valerievna

Učitelj matematike najvišje kategorije

n. Eksperimentalno

2012

Pojasnilo ……………………………………………………………………………………... 3.

Uvod. Zgodovina Fibonaccijevih števil.……………………………………………………………………………………………………………………………….

1. poglavje. Fibonaccijeva števila v živi naravi.........……. …………………………………... 5.

Poglavje 2. Fibonaccijeva spirala............................................. ....... ..........……………..... 9.

Poglavje 3. Fibonaccijeva števila v človeških izumih .................................................................................................. 13

Poglavje 4. Naše raziskave……………………………………………………………….. 16.

Poglavje 5. Zaključek, sklepi……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Seznam uporabljene literature in internetnih strani………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Predmet študija:

Človek, matematične abstrakcije, ki jih je ustvaril človek, človeški izumi, okoliška flora in favna.

Predmet raziskave:

oblika in struktura preučevanih predmetov in pojavov.

Namen študije:

preučevanje manifestacije Fibonaccijevih števil in z njim povezanega zakona zlatega reza v strukturi živih in neživih teles,

poiščite primere uporabe Fibonaccijevih števil.

Delovni cilji:

Opišite metodo za konstruiranje Fibonaccijeve vrste in Fibonaccijeve spirale.

Oglejte si matematične vzorce v človeški strukturi, flora in nežive narave z vidika fenomena zlatega reza.

Novost raziskave:

Odkrivanje Fibonaccijevih števil v realnosti okoli nas.

Praktični pomen:

Uporaba pridobljenega znanja in veščin raziskovalno delo pri študiju drugih šolskih predmetov.

Spretnosti in sposobnosti:

Organizacija in izvedba poskusa.

Uporaba strokovne literature.

Pridobivanje sposobnosti pregledovanja zbranega gradiva (poročilo, predstavitev)

Oblikovanje dela z risbami, diagrami, fotografijami.

Aktivno sodelovanje v razpravah o vašem delu.

Raziskovalne metode:

empirično (opazovanje, poskus, merjenje).

teoretična (logična stopnja spoznanja).

Pojasnilo.

»Številke vladajo svetu! Število je moč, ki vlada nad bogovi in ​​smrtniki!« - tako so rekli stari pitagorejci. Ali je ta osnova Pitagorovega nauka še danes aktualna? Pri študiju znanosti o številih v šoli se želimo prepričati, da so pojavi celotnega vesolja res podvrženi določenim numeričnim razmerjem, da bi našli to nevidno povezavo med matematiko in življenjem!

Je res v vsaki roži,

Tako v molekuli kot v galaksiji,

Številčni vzorci

Ta stroga »suhoparna« matematika?

Obrnili smo se na sodoben vir informacij - internet in brali o Fibonaccijevih številih, o magičnih številih, ki so polna velike skrivnosti. Izkazalo se je, da te številke najdemo v sončnicah in borovih storžkih, v krilih kačjih pastirjev in morska zvezda, v ritmih človeškega srca in v glasbenih ritmih...

Zakaj je to zaporedje številk tako pogosto v našem svetu?

Želeli smo vedeti o skrivnostih Fibonaccijevih števil. To raziskovalno delo je bilo rezultat naših aktivnosti.

Hipoteza:

v realnosti okoli nas je vse zgrajeno po osupljivo harmoničnih zakonih z matematično natančnostjo.

Vse na svetu je premišljeno in izračunano s strani našega najpomembnejšega oblikovalca - Narave!

Uvod. Zgodovina Fibonaccijeve serije.

Neverjetna števila je odkril italijanski srednjeveški matematik Leonardo iz Pise, bolj znan kot Fibonacci. Na potovanju po vzhodu se je seznanil z dosežki arabske matematike in prispeval k njihovemu prenosu na zahod. V enem od svojih del z naslovom »Knjiga izračunov« je Evropi predstavil eno od največja odkritja vseh časov in ljudstev – decimalni številski sistem.

Nekega dne si je razbijal glavo ob reševanju matematične težave. Poskušal je ustvariti formulo za opis vzrejnega zaporedja kuncev.

Rešitev je bila številska vrsta, katere vsako naslednje število je vsota prejšnjih dveh:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Števila, ki tvorijo to zaporedje, se imenujejo "Fibonaccijeva števila", samo zaporedje pa se imenuje Fibonaccijevo zaporedje.

"Pa kaj?" - rečete: "Ali res lahko sami pridemo do podobnih številskih nizov, ki se povečujejo glede na dano napredovanje?" Ko se je pojavil Fibonaccijev niz, namreč nihče, vključno z njim samim, ni vedel, kako blizu mu je uspelo rešiti eno največjih skrivnosti vesolja!

Fibonacci je vodil osamljen način življenja, veliko časa je preživel v naravi, med sprehodom po gozdu pa je opazil, da so ga te številke začele dobesedno preganjati. Povsod v naravi se je vedno znova srečeval s temi številkami. Na primer, cvetni listi in listi rastlin se strogo prilegajo določeni številski seriji.

V Fibonaccijevih številih obstaja zanimiva lastnost: količnik deljenja naslednjega Fibonaccijevega števila s prejšnjim, ko številke same rastejo, se nagiba k 1,618. V srednjem veku se je imenovala ta stalna številka deljenja Božansko razmerje, in se zdaj imenuje zlati rez ali zlati rez.

V algebri je to število označeno z grško črko fi (Ф)

Torej, φ = 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Ne glede na to, kolikokrat delimo eno z naslednjim številom, bomo vedno dobili 1,618. Če pa naredimo obratno, to je, da manjše število delimo z večjim, bomo dobili 0,618, to je obratno od 1,618. imenovan tudi zlati rez.

Fibonaccijeva serija bi lahko ostala le matematični incident, če ne bi vsi raziskovalci zlate delitve v rastlinskem in živalskem svetu, da ne omenjamo umetnosti, vedno prihajali do te serije kot aritmetičnega izraza zlatega zakona. delitev.

Znanstveniki, ki so analizirali nadaljnjo uporabo te serije številk v naravnih pojavih in procesih, so ugotovili, da so te številke vsebovane v dobesedno vseh predmetih žive narave, v rastlinah, živalih in ljudeh.

Izkazalo se je, da ima neverjetna matematična igrača v vse vgrajeno edinstveno kodo naravni predmeti sam Stvarnik vesolja.

Poglejmo si primere, kjer se Fibonaccijeva števila pojavljajo v živi in ​​neživi naravi.

Fibonaccijeva števila v živi naravi.

Če pogledate rastline in drevesa okoli nas, lahko vidite, koliko listov je na vsakem od njih. Od daleč se zdi, da so veje in listi na rastlinah nameščeni naključno, brez posebnega reda. Pri vseh rastlinah pa na čudežen, matematično natančen način, katera veja bo iz kje zrasla, kako bodo veje in listi nameščeni ob steblu ali deblu. Od prvega dne svojega pojava rastlina natančno sledi tem zakonitostim v svojem razvoju, to je, da se niti en list, niti en cvet ne pojavi po naključju. Že pred svojim nastopom je rastlina že natančno programirana. Koliko vej bo na bodočem drevesu, kam bodo veje rasle, koliko listov bo na posamezni veji ter kako in v kakšnem vrstnem redu bodo listi razporejeni. Sodelovanje Botaniki in matematiki osvetljujejo te osupljive naravne pojave. Izkazalo se je, da se Fibonaccijeva vrsta kaže v razporeditvi listov na veji (filotaksija), v številu obratov na steblu, v številu listov v ciklu, zato se kaže tudi zakon zlatega reza. sama.

Če se boste lotili iskanja numeričnih vzorcev v živi naravi, boste opazili, da se ta števila pogosto nahajajo v različnih spiralnih oblikah, ki jih je rastlinski svet tako bogat. Na primer, potaknjenci listov mejijo na steblo v spirali, ki poteka med njimidva sosednja lista:polni obrat - pri leski,- ob hrastu, - pri topolih in hruškah,- pri vrbi.

Semena sončnic, škrlatnega ehinaceje in mnogih drugih rastlin so razporejena v spirale, število spiral v vsako smer pa je Fibonaccijevo število.

Sončnica, 21 in 34 spiral. Echinacea, 34 in 55 spirale.

Jasna, simetrična oblika cvetov je prav tako podvržena strogemu zakonu.

Za mnoge rože je število cvetnih listov ravno število iz Fibonaccijevega niza. Na primer:

iris, 3p. maslenica, 5 lep. zlata roža, 8 lep. delfinij,

13 lep.

cikorija, 21lep. astra, 34 lep. marjetice, 55 lep.

Fibonaccijev niz označuje strukturno organizacijo mnogih živih sistemov.

Rekli smo že, da je razmerje sosednjih števil v Fibonaccijevem nizu število φ = 1,618. Izkazalo se je, da je človek sam preprosto skladišče števil phi.

Razmerja različnih delov našega telesa so številka, ki je zelo blizu zlatemu rezu. Če ta razmerja sovpadajo s formulo zlatega reza, se videz ali telo osebe šteje za idealno proporcionalno. Načelo izračuna zlate mere na človeškem telesu lahko prikažemo v obliki diagrama.

M/m=1,618

Prvi primer zlatega reza v zgradbi človeškega telesa:

Če za središče človeškega telesa vzamemo točko popka, za mersko enoto pa razdaljo med človekovim stopalom in točko popka, potem je višina človeka enaka številu 1,618.

Človeška roka

Dovolj je le približati dlan in pozorno pogledati kazalec, pa boste v njem takoj našli formulo zlatega reza. Vsak prst naše roke je sestavljen iz treh falang.
Vsota prvih dveh falang prsta glede na celotno dolžino prsta daje število zlatega reza (z izjemo palca).

Poleg tega je tudi razmerje med sredincem in mezincem enako zlatemu rezu.

Človek ima 2 roki, prsti na vsaki roki so sestavljeni iz 3 falang (razen palca). Na vsaki roki je 5 prstov, torej skupaj 10, vendar je z izjemo dveh dvofalangnih palcev le 8 prstov ustvarjenih po principu zlatega reza. Medtem ko so vsa ta števila 2, 3, 5 in 8 števila Fibonaccijevega zaporedja.

Zlati rez v strukturi človeških pljuč

Ameriški fizik B.D. West in dr. A.L. Goldberger je med fizikalnimi in anatomskimi študijami ugotovil, da zlati rez obstaja tudi v zgradbi človeških pljuč.

Posebnost bronhijev, ki sestavljajo človeška pljuča, je njihova asimetrija. Bronhi so sestavljeni iz dveh glavnih dihalnih poti, od katerih je ena (leva) daljša, druga (desna) pa krajša.

Ugotovljeno je bilo, da se ta asimetrija nadaljuje v vejah bronhijev, v vseh manjših dihalnih poteh. Poleg tega je razmerje med dolžino kratkih in dolgih bronhijev tudi zlati rez in je enako 1:1,618.

Umetniki, znanstveniki, modni oblikovalci, oblikovalci izdelujejo svoje izračune, risbe ali skice na podlagi razmerja zlatega reza. Uporabljajo meritve človeškega telesa, ki je prav tako ustvarjeno po principu zlatega reza. Leonardo Da Vinci in Le Corbusier sta pred ustvarjanjem svojih mojstrovin vzela parametre človeškega telesa, ustvarjenega po zakonu zlatega razmerja.
Obstaja še ena, bolj prozaična uporaba razmerij človeškega telesa. Z uporabo teh odnosov kriminalistični analitiki in arheologi na primer uporabljajo fragmente delov človeškega telesa, da rekonstruirajo videz celote.

Zlata razmerja v strukturi molekule DNA.

Vse informacije o fizioloških lastnostih živih bitij, pa naj gre za rastlino, žival ali človeka, so shranjene v mikroskopsko majhni molekuli DNK, katere zgradba vsebuje tudi zakon zlatega deleža. Molekula DNK je sestavljena iz dveh navpično prepletenih vijačnic. Dolžina vsake od teh spiral je 34 angstromov, širina pa 21 angstromov. (1 angstrom je stomilijontina centimetra).

Torej sta 21 in 34 števili, ki si sledita v zaporedju Fibonaccijevih števil, to pomeni, da razmerje med dolžino in širino logaritemske spirale molekule DNK nosi formulo zlatega reza 1:1,618.

Ne samo pokončni sprehajalci, tudi vsa plavajoča, plazeča se, leteča in skakajoča bitja niso ušla usodi podvrženosti številu phi. Človeška srčna mišica se skrči na 0,618 svojega volumna. Struktura polžje hišice ustreza Fibonaccijevemu razmerju. In takih primerov je mogoče najti v izobilju - če bi obstajala želja po raziskovanju naravnih predmetov in procesov. Svet je tako prežet s Fibonaccijevimi števili, da se včasih zdi, da je vesolje mogoče razložiti le z njimi.

Fibonaccijeva spirala.

V matematiki ne obstaja nobena druga oblika, ki bi imela enake edinstvene lastnosti kot spirala, ker
Struktura spirale temelji na pravilu zlatega reza!

Da bi razumeli matematično konstrukcijo spirale, ponovimo, kaj je zlati rez.

Zlati rez je taka sorazmerna razdelitev odseka na neenake dele, pri kateri je celoten odsek v razmerju do večjega dela, kot je sam večji del v razmerju do manjšega, ali z drugimi besedami, manjši odsek se nanaša na večji kot je večji za celoto.

To je (a+b) /a = a / b

Pravokotnik s točno takim razmerjem stranic so poimenovali zlati pravokotnik. Njegove dolge stranice so v razmerju do njegovih kratkih stranic v razmerju 1,168:1.
Zlati pravokotnik ima veliko nenavadnih lastnosti. Rezanje kvadrata iz zlatega pravokotnika, katerega stranica je enaka manjši stranici pravokotnika,

spet bomo dobili manjši zlat pravokotnik.

Ta proces se lahko nadaljuje v nedogled. Ko nadaljujemo z rezanjem kvadratov, bomo na koncu dobili vedno manjše zlate pravokotnike. Poleg tega se bodo nahajali v logaritemski spirali, kar je pomembno pri matematičnih modelih naravnih objektov.

Spiralno obliko lahko na primer opazimo pri razporeditvi sončničnih semen, pri ananasu, kaktusih, strukturi cvetnih listov vrtnice itd.

Preseneti in razveseli nas spiralna struktura školjk.

Pri večini polžev, ki imajo lupine, lupina raste spiralno. Nobenega dvoma pa ni, da ta nerazumna bitja ne samo da nimajo pojma o spirali, ampak nimajo niti najpreprostejšega matematičnega znanja, da bi si ustvarila spiralno lupino.
Toda kako so potem ta nerazumna bitja lahko sama določila in izbrala idealno obliko rasti in obstoja v obliki spiralne lupine? Ali bi lahko ta živa bitja, ki jih znanstveni svet imenuje primitivne oblike življenja, izračunala, da bi bila spiralna oblika lupine idealna za njihov obstoj?

Poskušati razložiti nastanek takšne, še tako primitivne oblike življenja z naključno kombinacijo določenih naravnih okoliščin, je milo rečeno absurdno. Jasno je, da je ta projekt zavestna stvaritev.

Spirale obstajajo tudi pri ljudeh. S pomočjo spiral slišimo:

Tudi v človeškem notranjem ušesu je organ, imenovan polž (»polž«), ki opravlja funkcijo prenosa zvočnih vibracij. Ta kostna struktura je napolnjena s tekočino in oblikovana v obliki polža z zlatimi proporci.

Na naših dlaneh in prstih so spirale:

Tudi v živalskem kraljestvu najdemo veliko primerov spiral.

Rogovi in ​​okli se razvijejo v obliki spirale, kremplji levov in kljuni papagajev so podobni obliki osi, ki se nagiba k spirali.

Zanimivo je, da se oblaki orkana in ciklona zvijajo kot spirala, kar je dobro vidno iz vesolja:

V oceanskih in morskih valovih lahko spiralo matematično predstavimo na grafu s točkami 1,1,2,3,5,8,13,21,34 in 55.

Tudi takšno »vsakdanjo« in »prozaično« spiralo bo vsak prepoznal.

Navsezadnje voda uhaja iz kopalnice v spirali:

Da, in živimo v spirali, ker je galaksija spirala, ki ustreza formuli zlatega reza!

Tako smo ugotovili, da če vzamemo zlati pravokotnik in ga razdelimo na manjše pravokotnikev natančnem Fibonaccijevem zaporedju, nato pa vsakega od njih znova in znova razdelite v takih razmerjih, dobite sistem, imenovan Fibonaccijeva spirala.

To spiralo smo odkrili v najbolj nepričakovanih predmetih in pojavih. Zdaj je jasno, zakaj se spirala imenuje tudi "krivulja življenja".
Spirala je postala simbol evolucije, saj se vse razvija v spirali.

Fibonaccijeva števila v človeških izumih.

Znanstveniki in umetniki, ki so opazili zakonitost v naravi, izraženo z zaporedjem Fibonaccijevih števil, jo poskušajo posnemati in to zakonitost utelešati v svojih stvaritvah.

Razmerje phi vam omogoča ustvarjanje mojstrovin slikarstva in pravilno prileganje arhitekturnih struktur v prostor.

Ne le znanstveniki, tudi arhitekti, oblikovalci in umetniki so navdušeni nad to popolno spiralo lupine nautilusa,

zavzemajo najmanj prostora in zagotavljajo najmanjše toplotne izgube. Ameriški in tajski arhitekti, navdihnjeni s primerom "nautilusa s komorami" pri postavljanju maksimuma v najmanjši prostor, so zaposleni z razvojem ustreznih projektov.

Zlati rez že od nekdaj velja za največji delež popolnosti, harmonije in celo božanskosti. Zlata drža najdemo v kiparstvu in celo v glasbi. Primer so Mozartova glasbena dela. Tudi borzni tečaji in hebrejska abeceda vsebujejo zlati rez.

Vendar se želimo osredotočiti na edinstven primer ustvarjanja učinkovite solarne instalacije. Ameriški šolar iz New Yorka Aidan Dwyer je strnil svoje znanje o drevesih in ugotovil, da je učinkovitost sončnih elektrarn mogoče povečati z uporabo matematike. Med zimskim sprehodom se je Dwyer spraševal, zakaj drevesa potrebujejo tak "vzorec" vej in listov. Vedel je, da so veje na drevesih razporejene po Fibonaccijevem zaporedju, listi pa izvajajo fotosintezo.

V nekem trenutku se je pametni fant odločil preveriti, ali ta položaj vej pripomore k večjemu nabiranju sončna svetloba. Aidan je na svojem dvorišču zgradil pilotno tovarno z uporabo majhnih sončnih kolektorjev namesto listja in jo preizkusil v akciji. Izkazalo se je, da v primerjavi s konvencionalno ploščato sončno ploščo njeno »drevo« zbere 20 % več energije in učinkovito deluje 2,5 ure dlje.

Dwyerjev model sončnega drevesa in grafi, ki jih je naredil študent.

»Ta instalacija zavzame tudi manj prostora kot ravna plošča, pozimi zbere 50 % več sonca, tudi če ni obrnjena proti jugu, poleg tega pa je zasnova v obliki drevesa veliko bolj primerna urbano pokrajino,« ugotavlja mladi izumitelj.

Aidan je bil prepoznan eden najboljših mladih naravoslovcev leta 2011. Tekmovanje Young Naturalist 2011 je gostil Newyorški muzej naravne zgodovine. Aidan je vložil začasno patentno prijavo za svoj izum.

Znanstveniki še naprej aktivno razvijajo teorijo Fibonaccijevih števil in zlatega reza.

Yu. Matiyasevich rešuje Hilbertov 10. problem z uporabo Fibonaccijevih števil.

Pojavljajo se elegantne metode za reševanje številnih kibernetičnih problemov (teorija iskanja, igre, programiranje) z uporabo Fibonaccijevih števil in zlatega reza.

V ZDA nastaja celo Mathematical Fibonacci Association, ki od leta 1963 izdaja posebno revijo.

Vidimo torej, da je obseg Fibonaccijevega zaporedja števil zelo večplasten:

Z opazovanjem pojavov, ki se dogajajo v naravi, so znanstveniki prišli do osupljivih zaključkov, da celotno zaporedje dogodkov v življenju, revolucije, zlomi, bankroti, obdobja blaginje, zakonitosti in valovi razvoja na delniških in deviznih trgih, cikli družinsko življenje, in tako naprej, so organizirani na časovni lestvici v obliki ciklov, valov. Ti cikli in valovi so tudi porazdeljeni v skladu z številske serije Fibonacci!

Na podlagi tega znanja se bo človek naučil predvidevati in upravljati različne dogodke v prihodnosti.

4. Naše raziskave.

Nadaljevali smo z opazovanji in proučevali zgradbo

borov storž

rman

komar

oseba

In bili smo prepričani, da so v teh na prvi pogled tako različnih predmetih nevidno prisotna enaka števila Fibonaccijevega zaporedja.

Torej, 1. korak.

Vzemimo storž bora:

Oglejmo si ga podrobneje:

Opazimo dve seriji Fibonaccijevih spiral: ena - v smeri urinega kazalca, druga - v nasprotni smeri urinega kazalca, njihovo število 8 in 13.

2. korak

Vzemimo rman:

Pazljivo preučimo strukturo stebel in cvetov:

Upoštevajte, da vsaka nova veja rmana raste iz pazduhe, nove veje pa rastejo iz nove veje. S seštevanjem stare in nove veje smo našli Fibonaccijevo število v vsaki vodoravni ravnini.

3. korak

Ali se Fibonaccijeva števila pojavljajo v morfologiji različnih organizmov? Razmislite o znanem komarju:

Vidimo: 3 pari nog, glava 5 antene, trebuh je razdeljen na 8 segmentov.

Zaključek:

V naših raziskavah smo videli, da se v rastlinah okoli nas, živih organizmih in celo v človeški strukturi manifestirajo števila iz Fibonaccijevega zaporedja, kar odraža skladnost njihove zgradbe.

Z matematično natančnostjo so razvrščeni storž, rman, komar in človek.

Iskali smo odgovor na vprašanje: kako se Fibonaccijev niz kaže v realnosti okoli nas? Toda ob odgovarjanju nanj smo dobivali vedno več vprašanj.

Od kod te številke? Kdo je ta arhitekt vesolja, ki ga je poskušal narediti idealnega? Se spirala zvija ali odvija?

Kako neverjetno je, da človek doživi ta svet!!!

Ko najde odgovor na eno vprašanje, dobi naslednjega. Če ga reši, dobi dva nova. Ko bo opravil z njimi, se bodo pojavili še trije. Ko bo rešil tudi njih, bo imel še pet nerešenih. Potem osem, nato trinajst, 21, 34, 55 ...

prepoznaš

Zaključek.

s strani ustvarjalca samega v vse predmete

Na voljo je edinstvena koda

In tisti, ki je prijatelj z matematiko,

Vedel in razumel bo!

Preučevali in analizirali smo manifestacijo Fibonaccijevih zaporednih števil v realnosti okoli nas. Izvedeli smo tudi, da se vzorci tega številskega niza, vključno z vzorci »zlate« simetrije, kažejo v energijskih prehodih osnovnih delcev, v planetarnih in kozmičnih sistemih, v genskih strukturah živih organizmov.

Odkrili smo presenetljivo matematično razmerje med številom spiral v rastlinah, številom vej v kateri koli vodoravni ravnini in števili v Fibonaccijevem zaporedju. Videli smo, kako se tudi morfologija različnih organizmov podreja temu skrivnostnemu zakonu. V človeški zgradbi smo videli tudi strogo matematiko. Molekula človeške DNK, v kateri je zakodiran celoten razvojni program človeka, dihala, zgradba ušesa - vse se podreja določenim numeričnim razmerjem.

Izvedeli smo, da borovi storži, polžje hišice, oceanski valovi, živalski rogovi, ciklonski oblaki in galaksije tvorijo logaritemske spirale. Tudi človeški prst, ki je med seboj sestavljen iz treh falang v zlatem rezu, ob stisku dobi spiralno obliko.

Večnost časa in svetlobna leta prostor je ločen s stožcem in spiralno galaksijo, vendar struktura ostaja enaka: koeficient 1,618 ! Morda je to primarni zakon, ki ureja naravne pojave.

Tako je naša hipoteza o obstoju posebnih numeričnih vzorcev, ki so odgovorni za harmonijo, potrjena.

Dejansko je vse na svetu premišljeno in izračunano s strani našega najpomembnejšega oblikovalca - Narave!

Prepričani smo, da ima narava svoje zakonitosti, izražene z uporabo matematika. In matematika je zelo pomembno orodje

spoznavati skrivnosti narave.

Seznam literature in internetnih strani:

1. Vorobiev N. N. Fibonaccijeva števila. - M., Nauka, 1984.
2. Ghika M. Estetika proporcev v naravi in ​​umetnosti. - M., 1936.

3. Dmitriev A. Kaos, fraktali in informacije. // Znanost in življenje, št. 5, 2001.
4. Kashnitsky S. E. Harmonija, tkana iz paradoksov // Kultura in

življenje. - 1982.- št. 10.
5. Malay G. Harmonija - identiteta paradoksov // MN. - 1982.- št. 19.
6. Sokolov A. Skrivnosti zlatega odseka // Mladinska tehnologija. - 1978.- št. 5.
7. Stakhov A.P. Kode zlatega deleža. - M., 1984.
8. Urmantsev Yu A. Simetrija narave in narava simetrije. - M., 1974.
9. Urmantsev Yu. Zlati rez // Narava. - 1968.- št. 11.

10. Shevelev I.Sh., Marutaev M.A., Shmelev I.P. Zlati rez/Tri

Pogled na naravo harmonije.-M., 1990.

11. Shubnikov A. V., Koptsik V. A. Simetrija v znanosti in umetnosti. -M.:

Leonardo iz Pise (lat. Leonardus Pisanus, ital. Leonardo Pisano, okoli 1170, Pisa - okoli 1250, ibid.) - prvi večji matematik srednjeveška Evropa. Najbolj znan je pod vzdevkom Fibonacci.
Več podrobnosti tukaj: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%E8%E1%EE%ED%E0%F7%F7%E8

Fibonaccijevo zaporedje, ki ga vsi poznamo iz filma Da Vincijeva šifra, je niz števil, ki ga je v obliki uganke opisal italijanski matematik Leonardo iz Pise, bolj znan kot Fibonacci, v 13. stoletju. Na kratko bistvo uganke:

Nekdo je postavil par zajcev v določen ograjen prostor, da bi ugotovil, koliko parov zajcev se bo skotilo v letu, če je narava zajcev taka, da vsak mesec en par zajcev skoti nov par in postanejo sposobni. rodijo potomce, ko dopolnijo dva meseca starosti.

Fibonaccijevo zaporedje in zajci
Rezultat je naslednji niz številk: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, kjer je prikazano število parov zajcev v vsakem od dvanajstih mesecev, ločeno z vejicami. Lahko se nadaljuje v nedogled. Njegovo bistvo je, da je vsako naslednje število vsota prejšnjih dveh.

Ta serija ima več matematičnih značilnosti, ki se jih je vsekakor treba dotakniti. Asimptotično (čedalje počasneje se približuje) teži k nekemu konstantnemu razmerju. Vendar je to razmerje iracionalno, to je število z neskončnim, nepredvidljivim zaporedjem decimalnih števk v ulomku. Nemogoče je natančno izraziti.

Tako se razmerje katerega koli člana niza s tistim pred njim giblje okoli števila 1,618, včasih ga preseže, včasih pa ga ne doseže. Razmerje do naslednjega se podobno približuje številu 0,618, ki je obratno sorazmerno z 1,618. Če elemente razdelimo skozi ena, dobimo števili 2,618 in 0,382, ki sta tudi obratno sorazmerni. To so tako imenovana Fibonaccijeva razmerja.

Čemu je vse to namenjeno?

Tako se približujemo eni izmed najbolj skrivnostni pojavi narave. Preudarni Leonardo v bistvu ni odkril ničesar novega, le spomnil je svet na pojav, kot je zlati rez, ki po pomembnosti ni slabši od Pitagorejskega izreka.

Vse predmete okoli sebe ločimo po obliki. Nekateri so nam bolj všeč, nekateri manj, nekateri so povsem odštekani. Včasih se lahko narekuje zanimanje življenjska situacija, včasih pa tudi lepoto opazovanega predmeta. Simetrična in proporcionalna oblika spodbuja najboljše vizualna percepcija in vzbuja občutek lepote in harmonije. Celovita podoba je vedno sestavljena iz delov različnih velikosti, ki so v določenem razmerju med seboj in celoto. Zlati rez je najvišja manifestacija popolnosti celote in njenih delov v znanosti, umetnosti in naravi.

Če je vklopljen preprost primer, potem je zlati rez delitev odseka na dva dela v takem razmerju, da se večji del nanaša na manjšega, kot je njuna vsota (celoten odsek) na večjega.

Zlati rez - segment
Če vzamemo celoten segment c za 1, bo segment a enak 0,618, segment b pa 0,382, le tako bo izpolnjen pogoj zlatega reza (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618) . Razmerje c proti a je 1,618, c proti b pa 2,618. To so ista Fibonaccijeva razmerja, ki so nam že znana.

Seveda obstajajo zlati pravokotnik, zlati trikotnik in celo zlati kvader. Razmerja človeškega telesa so v mnogih pogledih blizu zlatemu rezu.

Zlati rez in človeško telo


Slika: marcus-frings.de

Fibonaccijevo zaporedje - animacija

A zabava se začne, ko združimo pridobljeno znanje. Slika jasno prikazuje razmerje med Fibonaccijevim zaporedjem in zlatim rezom. Začnemo z dvema kvadratoma prve velikosti. Na vrhu dodajte kvadrat druge velikosti. Zraven narišite kvadrat s stranico, ki je enaka vsoti stranic prejšnjih dveh, tretje velikosti. Po analogiji se pojavi kvadrat velikosti pet. In tako naprej, dokler se ne naveličaš, glavno je, da je dolžina stranice vsakega naslednjega kvadrata enaka vsoti dolžin stranic prejšnjih dveh. Vidimo vrsto pravokotnikov, katerih dolžine stranic so Fibonaccijeva števila, in, nenavadno, se imenujejo Fibonaccijevi pravokotniki.

Če skozi vogale naših kvadratov narišemo gladke črte, ne bomo dobili nič drugega kot Arhimedovo spiralo, katere prirast je vedno enakomeren.

Fibonaccijeva spirala

Vas ne spominja na nič?

Fotografija: ethanhein na Flickr

In ne le v lupini mehkužca lahko najdete Arhimedove spirale, ampak v mnogih rožah in rastlinah preprosto niso tako očitne.

Aloe multifolia:


Fotografija: brewbooks na Flickr

Brokoli Romanesco:


Foto: beart.org.uk

sončnica:


Fotografija: esdrascalderan na Flickr

Borov stožec:


Fotografija: mandj98 na Flickr

In zdaj je čas, da se spomnimo Zlatega reza! Ali so na teh fotografijah upodobljene nekatere najlepše in najbolj harmonične stvaritve narave? In to še ni vse. Če natančno pogledate, lahko najdete podobne vzorce v številnih oblikah.

Seveda se izjava, da vsi ti pojavi temeljijo na Fibonaccijevem zaporedju, sliši preglasno, a trend je očiten. In poleg tega sama še zdaleč ni popolna, kot vse na tem svetu.

Obstaja domneva, da je Fibonaccijeva serija poskus narave, da se prilagodi bolj temeljnemu in popolnemu logaritemskemu zaporedju zlatega reza, ki je skoraj enako, le da se začne od nikoder in gre nikamor. Narava vsekakor potrebuje nekakšen celovit začetek, iz katerega lahko izhaja, ne more ustvariti nečesa iz nič. Razmerja prvih členov Fibonaccijevega zaporedja so daleč od zlatega reza. Toda dlje ko se premikamo po njej, bolj se ta odstopanja zgladijo. Za opredelitev katere koli serije je dovolj, da poznamo njene tri izraze, ki se vrstijo drug za drugim. A ne za zlato zaporedje, zanj sta dovolj dva, je geometrijsko in aritmetična progresija istočasno. Lahko bi mislili, da je osnova za vsa druga zaporedja.

Vsak člen zlatega logaritemskega zaporedja je potenca zlatega deleža (z). Del serije izgleda nekako takole: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Če vrednost zlatega razmerja zaokrožimo na tri mesta, dobimo z = 1,618, potem je niz videti takole: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Vsak naslednji člen lahko dobimo ne le tako, da prejšnjega pomnožimo z 1,618, ampak tudi tako, da seštejemo prejšnja dva. Tako se eksponentna rast doseže s preprostim dodajanjem dveh sosednjih elementov. To je niz brez začetka ali konca in takšno skuša biti Fibonaccijevo zaporedje. Ker ima zelo jasen začetek, stremi k idealu, a ga nikoli ne doseže. To je življenje.

Pa vendar se ob vsem videnem in prebranem postavljajo povsem logična vprašanja:
Od kod te številke? Kdo je ta arhitekt vesolja, ki ga je poskušal narediti idealnega? Je bilo kdaj vse tako, kot je želel? In če je tako, zakaj je šlo narobe? Mutacije? Prosta izbira? Kaj bo potem? Se spirala zvija ali odvija?

Ko boste našli odgovor na eno vprašanje, boste dobili naslednjega. Če jo rešiš, boš dobil dve novi. Ko se spopadete z njimi, se bodo pojavili še trije. Ko boste rešili tudi njih, boste imeli pet nerešenih. Potem osem, nato trinajst, 21, 34, 55 ...