Normalni vektor je raven (normalni vektor). Naravnost na letalu. Linearnost enačbe premice in njena obratna enačba. Smer in normalni vektorji Enačba normalnega vektorja

Obstajajo številne naloge, ki zahtevajo normalni vektor na letalu kot samo letalo. Zato bomo v tem članku dobili odgovor na vprašanje določanja normalnega vektorja s primeri in vizualnimi risbami. Z enačbami določimo vektorja tridimenzionalnega prostora in ravnine.

Da se snov zlahka absorbira, je treba najprej preučiti teorijo premice v prostoru in njeno predstavitev na ravninah in vektorjih.

Definicija 1

Normalni vektor ravnine Upoštevan je vsak neničelni vektor, ki leži na premici, pravokotni na dano ravnino.

Iz tega sledi, da obstaja velike količine normalni vektorji v določeni ravnini. Poglejmo spodnjo sliko.

Normalni vektorji ležijo na vzporednih premicah, zato so vsi kolinearni. To pomeni, da je normalni vektor n → v ravnini γ vektor t · n →, ki ima vrednost parametra t različno od nič, tudi normalni vektor ravnine γ. Vsak vektor lahko obravnavamo kot smerni vektor premice, ki je pravokotna na to ravnino.

Obstajajo primeri sovpadanja normalnih vektorjev ravnin zaradi pravokotnosti ene od vzporedne ravnine, saj je premica pravokotna na drugo ravnino. Iz tega sledi, da normalni vektorji pravokotne ravnine mora biti pravokotna.

Poglejmo primer normalnega vektorja na ravnini.

Podan je pravokotni koordinatni sistem O x y z in tridimenzionalni prostor. Koordinatni vektorji i →, j →, k → veljajo za normalne vektorje ravnin O y z, O x z in O x y. Ta presoja je pravilna, saj so i → , j → , k → različni od nič in se nahajajo na koordinatnih premicah O x , O y in O z . Te črte so pravokotne koordinatne ravnine O y z, O x z in O x y.

Koordinate normalnega vektorja ravnine - iskanje koordinat normalnega vektorja ravnine iz enačbe ravnine

Članek je namenjen učenju iskanja koordinat normalnega vektorja ravnine z znano ravninsko enačbo pravokotnega koordinatnega sistema O x y z. Za določitev normalnega vektorja n → = (A, B, C) v ravnini je potrebna splošna enačba ravnine, ki ima obliko A x + B y + C z + D = 0. To pomeni, da je dovolj, da imamo enačbo ravnine, potem bo mogoče najti koordinate normalnega vektorja.

Primer 1

Poiščite koordinate normalnega vektorja, ki pripada ravnini 2 x - 3 y + 7 z - 11 = 0.

rešitev

Po pogoju imamo enačbo ravnine. Treba je paziti na koeficiente, saj so koordinate normalnega vektorja dane ravnine. Od tu dobimo, da je n → = (2, - 3, 7) normalni vektor ravnine. Vsi ravninski vektorji so podani s formulo t · n → = 2 · t, - 3 · t, 7 · t, t je poljubno realno število, ki ni enako nič.

Odgovor: n → = (2, - 3, 7) .

Primer 2

Določite koordinate smernih vektorjev dane ravnine x + 2 z - 7 = 0.

rešitev

Po pogoju imamo to dano nepopolna enačba letalo. Če si želite ogledati koordinate, morate enačbo x + 2 z - 7 = 0 pretvoriti v 1 x + 0 y + 2 z - 7 = 0. Od tod dobimo, da so koordinate vektorja normale te ravnine enake (1, 0, 2). Potem bo imela množica vektorjev naslednjo obliko (t, 0, 2 · t), t ∈ R, t ≠ 0.

Odgovor: (t, 0, 2 · t), t ∈ R, t ≠ 0.

S pomočjo enačbe ravnine v segmentih, ki ima obliko x a + y b + z c = 1, in splošne enačbe ravnine je mogoče zapisati normalni vektor te ravnine, kjer so koordinate 1 a, 1 b , 1 c.

Poznavanje normalnega vektorja vam omogoča enostavno reševanje problemov. Pogoste težave so naloge z dokazovanjem vzporednosti ali pravokotnosti ravnin. Reševanje problemov sestavljanja enačb za dano ravnino je opazno poenostavljeno. Če obstaja vprašanje o iskanju kota med ravninami ali med črto in ravnino, vam bodo pri tem pomagale formule za normalni vektor in iskanje njegovih koordinat.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Metode za definiranje ravnine.

Medsebojna razporeditev ravnin.

Dve ravnini v prostoru lahko sovpadata. V tem primeru imata vsaj tri skupne točke.

Dve ravnini v prostoru se lahko sekata. Presek dveh ravnin je premica, kar določa aksiom: če imata ravnini skupno točko, potem imata skupno premico, na kateri ležijo vse skupne točke teh ravnin.

V tem primeru se pojavi koncept kota med sekajočima se ravninama. Posebej zanimiv je primer, ko je kot med ravninama devetdeset stopinj. Take ravnine imenujemo pravokotne.

Končno sta lahko dve ravnini v prostoru vzporedni, torej nimata skupnih točk.

Zanimivi so tudi primeri, ko se več ravnin seka vzdolž ene premice in se več ravnin seka v eni točki.

Naštejmo glavne načine za določitev določene ravnine v prostoru.

Prvič, ravnino lahko definiramo tako, da določimo tri točke v prostoru, ki ne ležijo na isti premici. Ta metoda temelji na aksiomu: skozi vse tri točke, ki ne ležijo na isti premici, poteka ena sama ravnina.

Če je pravokotni koordinatni sistem fiksiran v tridimenzionalnem prostoru in je ravnina določena z določitvijo koordinat njenih treh različnih točk, ki ne ležijo na isti premici, potem lahko zapišemo enačbo ravnine, ki poteka skozi tri dane točke.

Naslednja dva načina definiranja ravnine sta posledica prejšnjega. Temeljijo na posledicah aksioma o ravnini, ki poteka skozi tri točke:

· ravnina, in to samo ena, poteka skozi premico in točko, ki na njej ne leži;

Ena sama ravnina poteka skozi dve sekajoči se premici.

Četrti način določanja ravnine v prostoru temelji na določanju vzporednih premic. Spomnimo se, da se dve premici v prostoru imenujeta vzporedni, če ležita v isti ravnini in se ne sekata. Tako bomo z navedbo dveh vzporednih premic v prostoru določili edino ravnino, v kateri ti premici ležita.

Če je v tridimenzionalnem prostoru glede na pravokotni koordinatni sistem določena ravnina na naveden način, potem lahko sestavimo enačbo za ravnino, ki poteka skozi dve vzporedni premici.

Znak vzporednosti dveh ravnin nam daje še en način za določitev ravnine. Spomnimo se formulacije te lastnosti: če sta dve sekajoči se premici ene ravnine vzporedni z dvema premicama druge ravnine, potem sta ti ravnini vzporedni. Zato lahko določeno ravnino določimo, če določimo točko, skozi katero poteka, in ravnino, s katero je vzporedna.

Poznavanje srednja šola Pri pouku geometrije se dokazuje naslednji izrek: skozi fiksno točko v prostoru poteka ena sama ravnina, pravokotna na dano premico. Tako lahko določimo ravnino, če določimo točko, skozi katero poteka, in nanjo pravokotno premico.

Če je pravokotni koordinatni sistem fiksiran v tridimenzionalnem prostoru in je ravnina določena na naveden način, potem je mogoče ustvariti enačbo za ravnino, ki poteka skozi dano točko pravokotno na dano premico.

Namesto premice, pravokotne na ravnino, lahko določite enega od normalnih vektorjev te ravnine. V tem primeru je mogoče pisati splošna enačba letalo.

Dobro razumevanje ravne črte se začne od trenutka, ko se poleg njene podobe hkrati pojavijo slike njenega vodila in normalnih vektorjev. Podobno mora biti, ko se nanašamo na ravnino v prostoru, predstavljena skupaj z normalnim vektorjem. Zakaj je temu tako? Da, ker je v mnogih primerih bolj priročno uporabiti normalni vektor ravnine kot samo ravnino.

Najprej podamo definicijo normalnega vektorja ravnine, podamo primere normalnih vektorjev in potrebne grafične ponazoritve. Nato bomo ravnino postavili v pravokotni koordinatni sistem v tridimenzionalnem prostoru in se iz njene enačbe naučili določiti koordinate normalnega vektorja ravnine.

2.1. Normalni ravninski vektor - definicija, primeri, ilustracije.

Opredelitev. Vektor normalne ravnine je vsak neničelni vektor, ki leži na premici, pravokotni na dano ravnino.

Iz definicije sledi, da obstaja neskončno število normalnih vektorjev dane ravnine.

Ker vsi normalni vektorji dane ravnine ležijo na vzporednih premicah, so vsi normalni vektorji ravnine kolinearni. Z drugimi besedami, če je normalni vektor ravnine, potem je vektor za neko različno realno vrednost t tudi normalni vektor ravnine.

Upoštevati je treba tudi, da lahko vsak normalni vektor ravnine obravnavamo kot smerni vektor premice, pravokotne na to ravnino.

Množici normalnih vektorjev vzporednih ravnin sovpadata, saj je premica, pravokotna na eno od vzporednih ravnin, pravokotna tudi na drugo ravnino.

Iz definicije pravokotnih ravnin in definicije normalnega vektorja ravnine sledi, da so normalni vektorji pravokotnih ravnin pravokotni.

Primer normalnega ravninskega vektorja. Naj bo pravokotni koordinatni sistem Oxyz fiksiran v tridimenzionalnem prostoru. Koordinatni vektorji so normalni vektorji ravnin Oyz, Oxz in Oxy. To drži, ker so vektorji različni od nič in ležijo na koordinatnih premicah Ox, Oy oziroma Oz, ki so pravokotne na koordinatne ravnine Oyz, Oxz oziroma Oxy.

2.2. Koordinate normalnega vektorja ravnine - iskanje koordinat normalnega vektorja ravnine z uporabo enačbe ravnine.

Poiščimo koordinate normalnega vektorja ravnine, če je znana enačba ravnine v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz.

Splošna enačba ravnine oblike določa v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz ravnino, katere normalni vektor je vektor . Torej, da bi našli koordinate normalnega vektorja ravnine, je dovolj, da imamo pred očmi splošno enačbo te ravnine.

Primer. Poiščite koordinate poljubnega normalnega vektorja ravnine.

rešitev. Podana nam je splošna enačba ravnine, koeficienti spremenljivk x, y in z predstavljajo ustrezne koordinate vektorja normale te ravnine. Zato je eden od normalnih vektorjev dane ravnine. Množico vseh normalnih vektorjev te ravnine lahko podamo kot , kjer je t poljuben realno število, drugačen od nič.

Primer. Ravnina je podana z enačbo. Določite koordinate njegovih smernih vektorjev.

rešitev. Dobili smo nepopolno enačbo ravnine. Da bi bile koordinate njegovega smernega vektorja vidne, enačbo prepišemo v obliki . Tako ima normalni vektor te ravnine koordinate , množica vseh normalnih vektorjev pa bo zapisana kot .

Enačba ravnine v segmentih oblike , tako kot splošna enačba ravnine, vam omogoča, da takoj zapišete enega od normalnih vektorjev te ravnine - ima koordinate.

Za zaključek povejmo, da je s pomočjo normalnega vektorja mogoče rešiti ravnine razne naloge. Najpogostejše so naloge dokazovanja vzporednosti ali pravokotnosti ravnin, naloge sestavljanja enačbe ravnine ter naloge iskanja kota med ravninama in iskanja kota med premico in ravnino.

Ravninski normalni vektor je vektor, ki je pravokoten na dano ravnino. Očitno je, da ima vsaka ravnina neskončno veliko normalnih vektorjev. Toda za reševanje težav bomo potrebovali samo enega.

Če je ravnina podana s splošno enačbo , nato vektor je normalni vektor dane ravnine. To je preprosto nezaslišano. Vse kar morate storiti je, da "odstranite" koeficiente iz enačbe ravnine.

Trije zasloni čakajo na obljubljenega, vrnimo se k primeru št. 1 in ga preverimo. Naj vas spomnim, da je bilo treba sestaviti enačbo ravnine z uporabo točke in dveh vektorjev. Kot rezultat rešitve smo dobili enačbo. Preverjamo:

Najprej nadomestimo koordinate točke v nastalo enačbo:

Dobljena je pravilna enakost, kar pomeni, da točka res leži v tej ravnini.

Drugič, odstranimo normalni vektor iz enačbe ravnine: . Ker sta vektorja vzporedna z ravnino, vektor pa je pravokoten na ravnino, se morajo zgoditi naslednja dejstva: . Pravokotnost vektorjev je mogoče enostavno preveriti z uporabo pikasti izdelek:

Zaključek: enačba ravnine je bila najdena pravilno.

Med testom sem dejansko citiral naslednjo teoretično izjavo: vektor vzporedno z ravnino če in samo če .

Odločimo se pomembna naloga, ki je prav tako pomembna za lekcijo:

Primer 5

Poiščite enotski normalni vektor ravnine .

rešitev: Enotski vektor je vektor, katerega dolžina je ena. Označimo dani vektor skozi. V bistvu je pokrajina videti takole:

Popolnoma jasno je, da so vektorji kolinearni.

Najprej odstranimo normalni vektor iz enačbe ravnine: .

Kako najti enotski vektor? Da bi našli enotski vektor , treba vsak vektorska koordinata delimo z dolžino vektorja .

Prepišimo normalni vektor v obliki in poiščimo njegovo dolžino:

Glede na zgoraj navedeno:

Odgovori:

Preverjanje: kaj je bilo potrebno preveriti.

Bralci, ki so natančno preučili zadnji odstavek lekcije Točkovni produkt vektorjev, verjetno ste to opazili koordinate enotskega vektorja so točno smerni kosinus vektorja :

Oddahnimo si od obravnavane težave: ko vam je dan poljuben vektor, ki ni nič, glede na pogoj pa je potrebno najti njegove smerne kosinuse (zadnje naloge lekcije Točkovni produkt vektorjev), potem dejansko najdete enotski vektor, kolinearen temu.

Pravzaprav dve nalogi v eni steklenici.

Potreba po iskanju enotskega normalnega vektorja se pojavi pri nekaterih problemih matematične analize.

Ugotovili smo, kako najti normalni vektor, zdaj pa odgovorimo na nasprotno vprašanje.

Pri proučevanju enačb premice na ravnini in v tridimenzionalnem prostoru se opiramo na vektorsko algebro. Pri tem sta še posebej pomembna usmerjevalni vektor premice in normalni vektor premice. V tem članku si bomo podrobneje ogledali vektor normalne črte. Začnimo z definicijo normalnega vektorja premice in navedimo primere in grafične ponazoritve. Nato nadaljujemo z iskanjem koordinat normalnega vektorja ravne črte z uporabo znanih enačb ravne črte in bomo pokazali podrobne rešitve naloge.

Navigacija po strani.

Vektor normalne črte - definicija, primeri, ilustracije.

Za razumevanje gradiva morate jasno razumeti premico, ravnino in poznati osnovne definicije, povezane z vektorji. Zato priporočamo, da si najprej osvežite spomin na snov v člankih: premica na ravnini, premica v prostoru, ideja o ravnini in.

Dajmo definicijo vektorja normalne črte.

Opredelitev.

Vektor normalne črte je vsak neničelni vektor, ki leži na katerikoli premici, pravokotni na dano.

Iz definicije normalnega vektorja premice je razvidno, da obstaja neskončno število normalnih vektorjev dane premice.

Definicija normalnega vektorja premice in definicija smernega vektorja premice nam omogočata sklepati, da je vsak normalni vektor dane premice pravokoten na kateri koli smerni vektor te premice.

Navedimo primer vektorja normalne črte.

Naj Oxyja dajo na letalo. Eden od niza normalnih vektorjev koordinatne premice Ox je koordinatni vektor. Dejansko vektor ni nič in leži na koordinatni premici Oy, ki je pravokotna na os Ox. Množico vseh normalnih vektorjev koordinatne premice Ox v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy lahko podamo kot .

V pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz v tridimenzionalnem prostoru je vektor normale premice Oz vektor . Koordinatni vektor je tudi normalni vektor premice Oz. Očitno bo vsak neničelni vektor, ki leži v kateri koli ravnini, pravokotni na os Oz, normalni vektor premice Oz.

Koordinate normalnega vektorja premice - iskanje koordinat normalnega vektorja premice z uporabo znanih enačb te premice.

Če upoštevamo črto v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy, potem bo ustrezala enačbi črte na ravnini neke vrste, normalni vektorji črte pa bodo določeni z njihovimi koordinatami (glej članek). To postavlja vprašanje: "kako najti koordinate normalnega vektorja črte, ko poznamo enačbo te črte"?

Poiščimo odgovor na vprašanje, zastavljeno za premice, določene na ravnini z enačbami različnih vrst.

Če je premica na ravnini določena s splošno enačbo premice oblike , potem koeficienta A in B predstavljata ustrezni koordinati normalnega vektorja te premice.

Primer.

Poiščite koordinate nekega vektorja normalne črte .

rešitev.

Ker je premica podana s splošno enačbo, lahko takoj zapišemo koordinate njenega normalnega vektorja - to sta ustrezna koeficienta pred spremenljivkama x in y. To pomeni, da ima normalni vektor črte koordinate.

odgovor:

Eno od števil A ali B v splošni enačbi premice je lahko enako nič. To te ne bi smelo motiti. Poglejmo si primer.

Primer.

Določite poljuben vektor normalne črte.

rešitev.

Dobili smo nepopolno splošno enačbo premice. Lahko se prepiše v obliki , od koder so takoj vidne koordinate vektorja normale te premice: .

odgovor:

Enačbo premice v odsekih oblike ali enačbo premice s kotnim koeficientom zlahka reduciramo na splošno enačbo premice, od koder najdemo koordinate normalnega vektorja te premice.

Primer.

Poiščite koordinate normalnega vektorja premice.

rešitev.

Zelo enostavno je preiti iz enačbe premice v segmentih na splošno enačbo premice: . Posledično ima normalni vektor te premice koordinate .

odgovor:

Če je premica določena s kanonično enačbo premice na ravnini oblike ali parametričnimi enačbami premice na ravnini oblike , potem je koordinate normalnega vektorja nekoliko težje dobiti. Iz teh enačb se takoj vidijo koordinate usmerjevalnega vektorja premice - . In vam omogoča, da najdete koordinate normalnega vektorja te črte.

Koordinate normalnega vektorja premice lahko dobite tudi tako, da kanonično enačbo premice ali parametrične enačbe premice reducirate na splošno enačbo. Če želite to narediti, naredite naslednje transformacije:

Na vas je, da se odločite, kateri način vam je ljubši.

Pokažimo rešitve na primerih.

Primer.

Poiščite vektor normalne črte .

rešitev.

Smerni vektor je raven je vektor. Vektor normalne črte je pravokoten na vektor, potem je enak nič: . Iz te enakosti, ki daje n x poljubno različno realno vrednost, najdemo n y. Naj bo torej n x =1 , zato ima normalni vektor prvotne premice koordinate .

Druga rešitev.

Preidimo s kanonične enačbe premice na splošno enačbo: . Zdaj so postale vidne koordinate normalnega vektorja te premice.

odgovor:

Naravnost na letalu.

Splošna enačba premice.

Preden uvedemo splošno enačbo premice na ravnini, uvedimo splošna definicija vrstice.

Opredelitev. Enačba oblike

F (x,y )=0 (1)

imenovana enačba črte L v danem koordinatnem sistemu, če koordinate temu ustrezajo X in pri katera koli točka, ki leži na premici L, in ne izpolnjujejo koordinat katere koli točke, ki ne leži na tej premici.

Stopnja enačbe (1) določa vrstni red. Rekli bomo, da enačba (1) določa (nastavlja) premico L.

Opredelitev. Enačba oblike

Ah+Bu+C=0 (2)

za poljubne koeficiente A, IN, Z (A in IN niso hkrati enake nič) določajo določeno premico v pravokotnem koordinatnem sistemu. Ta enačba klical splošna enačba premice.

Enačba (2) je enačba prve stopnje, torej je vsaka premica premica prvega reda in obratno, vsaka premica prvega reda je premica.

Oglejmo si tri posebne primere, ko je enačba (2) nepopolna, tj. nekateri koeficienti so nič.

1) Če С=0, potem ima enačba obliko Ah+Wu=0 in določa premico, ki poteka skozi izhodišče koordinat, ker koordinate (0,0) zadovoljiti to enačbo.

2) Če B=0 (A≠0), potem ima enačba obliko Ах+С=0 in določa premico, vzporedno z ordinatno osjo. Reševanje te enačbe za spremenljivko X dobimo enačbo oblike x=a, Kje a=-C/A, A- velikost segmenta, ki ga odseka ravna črta na abscisni osi. če a=0 (С=0 Oh(slika 1a). Tako naravnost x=0 določa ordinatno os.

3) Če A=0 (B≠0), potem ima enačba obliko Wu+C=0 in določa ravno črto, vzporedno z osjo x. Reševanje te enačbe za spremenljivko pri dobimo enačbo oblike y=b, Kje b = -С/В, b- velikost segmenta, ki odreže ravno črto na ordinatni osi. če b =0 (С=0), potem premica sovpada z osjo Oh(slika 1b). Tako naravnost y=0 definira os x.

A) b)

Enačba premice v segmentih.

Naj bo podana enačba Ah+Bu+C=0 pod pogojem, da nobeden od koeficientov ni nič. Prenesimo koeficient Z V desna stran in delite z -Z oba dela.

Z uporabo zapisa, uvedenega v prvem odstavku, dobimo enačbo ravne črte " v segmentih»:

To ime ima zaradi številk A in b so vrednosti segmentov, ki jih ravna črta odreže na koordinatnih oseh.

Primer 2х-3у+6=0. Sestavite enačbo »v segmentih« za to premico in sestavite to premico.

rešitev

Da bi zgradili to ravno črto, narišite na os Oh segment a=-3, in na osi Oh segment b =2. Skozi dobljene točke narišemo premico (slika 2).

Enačba premice s kotnim koeficientom.

Naj bo podana enačba Ah+Bu+C=0 pod pogojem, da koeficient IN ni enako nič. Izvedimo naslednje transformacije

Enačba (4), kjer k =-A/B, se imenuje enačba ravne črte z naklonom k.

Opredelitev. Kot nagiba dano neposredno do osi Oh pokličimo kot α , na katero naj se zavrti os Oh tako da njena pozitivna smer sovpada z eno od smeri premice.

Tangens kota naklona premice na os Oh enaka naklonu, tj. k =tgα. Dokažimo to –A/B res enakovredni k. Od pravokotni trikotnik ΔOAV(slika 3) izražamo tgα, Izvedimo potrebne transformacije in dobimo:

Q.E.D.

če k =0, potem je premica vzporedna z osjo Oh, njegova enačba pa ima obliko y=b.

Primer. Ravna črta je podana s splošno enačbo 4x+2y-2=0. Napišite enačbo z naklonom za to premico.

rešitev. Izvedimo transformacije, podobne zgoraj opisanim, dobimo:

kje k=-2, b=1.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko z danim naklonom.

Naj bo podana točka M 0 (x 0,y 0) ravna črta in njen naklon k. Zapišimo enačbo premice v obliki (4), kjer je b— še neznana številka. Od točke M 0 pripada dani premici, potem njegove koordinate zadoščajo enačbi (4): . Zamenjava izraza za b v (4) dobimo zahtevano enačbo premice:

Primer. Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točko M(1,2) in je nagnjena na os Oh pod kotom 450.

rešitev. k =tgα =tg 45 0 =1. Od tukaj: .

Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki.

Naj bosta podani dve točki M 1 (x 1,y 1) in M 2 (x 2, y 2). Zapišimo enačbo premice v obliki (5), kjer je kše neznan koeficient:

Od točke M 2 pripada dani premici, potem njegove koordinate zadoščajo enačbi (5): . Če izrazimo od tod in jo nadomestimo v enačbo (5), dobimo zahtevano enačbo:

Če je to enačbo mogoče prepisati v obliki, ki je primernejša za pomnjenje:

Primer. Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točki M 1 (1,2) in M ​​2 (-2,3)

rešitev. . Z uporabo lastnosti sorazmernosti in izvedemo potrebne transformacije dobimo splošno enačbo ravne črte:

Kot med dvema ravnima črtama

Razmislite o dveh ravnih črtah l 1 in l 2:

l 1: , , In

l 2: , ,

φ je kot med njima (). Iz slike 4 je razvidno: .

Od tod, oz

l 2 sta torej vzporedna φ=0 in tgφ =0. iz formule (7) sledi , od koder je k 2 =k 1. Tako je pogoj za vzporednost dveh premic enakost njunih kotnih koeficientov.

Če naravnost l 1 in l 2 so pravokotni, torej φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 .. Tako je pogoj za pravokotnost dveh ravnih črt ta, da sta njuna kotna koeficienta inverzna po velikosti in nasprotna po predznaku.

Linearnost enačbe premice in njena obratna enačba.


Direktni in normalni vektorji.

Vektor normalne črteje vsak neničelni vektor, ki leži na katerikoli premici, pravokotni na dano.

Neposredni vektorje vsak neničelni vektor, ki leži na dani premici ali na njej vzporedni premici.