Metoda harmonične linearizacije: Navodila za laboratorijsko delo. Metoda harmonične linearizacije: Navodila za laboratorijske vaje. Metoda harmonične linearizacije za regulacijske sisteme

Ko je harmonični signal uporabljen na vhodu linearnega sistema

Tudi na izhodu sistema se vzpostavi harmonični signal, vendar z drugačno amplitudo in faznim zamikom glede na vhod. Če se na vhod nelinearnega elementa uporabi sinusoidni signal, se na njegovem izhodu oblikujejo periodična nihanja, vendar se njihova oblika bistveno razlikuje od sinusoidnih. Kot primer na sl. Slika 8.17 prikazuje naravo spremembe izhodne spremenljivke nelinearnega elementa z relejno karakteristiko (8.14), ko na njegov vhod pridejo sinusna nihanja (8.18).

Če periodični signal na izhodu nelinearnega elementa razširimo v Fourierjev niz, ga predstavimo kot vsoto konstantne komponente in neskončnega števila harmoničnih komponent:

, (8.19)

kje – konstantni koeficienti Fourierove vrste; – frekvenca nihanj prvega harmonika (osnovna frekvenca), enaka frekvenci vhodnih sinusnih nihanj; T -

perioda nihanja prvega harmonika, enaka periodi vhodnih sinusnih nihanj.

Izhodni signal nelinearnega elementa se napaja na vhod linearnega dela ACS (glej sliko 8.1), ki ima praviloma veliko vztrajnost. V tem primeru visokofrekvenčne komponente signala (8.19) praktično ne prehajajo na izhod sistema, tj. linearni del je filter glede na visokofrekvenčne harmonične komponente. V zvezi s tem in ob upoštevanju, da se amplitude harmonskih komponent z naraščajočo harmonsko frekvenco zmanjšujejo, je za približno oceno izhodne vrednosti nelinearnega elementa v velikem številu primerov dovolj, da se upošteva samo prva harmonična komponenta v.

Posledično lahko v odsotnosti konstantne komponente v izhodnih nihanjih izraz (8.19) približno zapišemo kot: Izražanje funkcije iz formule (8.20) in iz odvoda – funkcija

. (8.21)

transformiramo izraz (8.20) na naslednji način:

Tako se nelinearna odvisnost izhodne veličine od vhodne veličine v nelinearnem elementu približno nadomesti z linearno odvisnostjo, ki jo opisuje izraz (8.21).

Po izvedbi Laplaceove transformacije v izrazu (8.21) dobimo: prenosna funkcija nelinearnega harmonično lineariziranega elementa , kot razmerje med sliko izhodne količine in sliko vhodne količine:

. (8.22)

Tabela 8.1

Harmonični linearizacijski koeficienti za tipične nelinearnosti

Statična karakteristika nelinearnega elementa
Linearna karakteristika z mrtvim pasom
Linearna karakteristika z omejitvijo
Linearna karakteristika z mrtvim pasom in omejitvijo
Značilnost zračnosti
Idealna karakteristika releja
Nedvoumna relejska karakteristika z mrtvim pasom
Dvoumna karakteristika releja z mrtvim območjem
Kubična parabola:
Značilna "histerezna zanka"

Prenosna funkcija nelinearnega elementa se bistveno razlikuje od prenosne funkcije linearnega sistema, saj je odvisna od amplitude in frekvence vhodnega signala.

Izraz (8.22) zapišemo v obliki:

q(A) + q 1 (A), (8.23)

kje q(A),q 1 (A)– harmonični linearizacijski koeficienti, definirani kot razmerje med koeficienti Fourierjeve vrste za prvi harmonik izhodnih nihanj in amplitudo vhodnih nihanj:

q(A) = q 1 (A) = . (8.24)

Zamenjava v izrazu (8.23) r na , dobimo izraz za kompleksni prenosni koeficient nelinearnega elementa :

q(A) +j q 1 (A), (8.25)

ki je analog AFC za linearno povezavo.

Kot primer definirajmo izraz za kompleksni prenosni koeficient nelinearnega elementa z relejno statično karakteristiko (8.14). Fourierjevi koeficienti A 1 in B 1 za navedeno nelinearnost so enake:

B 1 .

Očitno je koeficient B 1 bo enaka nič za kateri koli nelinearni element z liho simetrično statično nelinearnostjo.

kje - prenosna funkcija linearnega dela sistema; - prenosna funkcija nelinearnega elementa po njegovi linearizaciji.

če , potem lahko izraz (8.26) zapišemo kot:

Zamenjava v izrazu (8.27) r na , dobimo kompleksen izraz, v katerem je treba ločiti realne in imaginarne dele:

[ q(A) +j q 1 (A) ] . (8.28)

V tem primeru zapišemo pogoj za pojav periodičnih nihanj v sistemu s frekvenco in amplitudo:

(8.29)

Če so rešitve sistema (8.29) kompleksne ali negativne, je režim samonihanja v sistemu nemogoč. Prisotnost pozitivnih realnih rešitev za in kaže na prisotnost samonihanja v sistemu, katerega stabilnost je treba preveriti.

Kot primer bomo našli pogoje za pojav lastnih nihanj v avtomatskem krmilnem sistemu, če je prenosna funkcija njegovega linearnega dela enaka:

(8.30)

in nelinearni element tipa "histerezne zanke".

Prenosna funkcija harmonično lineariziranega nelinearnega elementa (glej tabelo 8.1) ima obliko:

. (8.31)

Zamenjava izrazov (8.30) in (8.31) v izraz (8.26) in zamenjava r na , najdemo izraz za:

Od tu v skladu z izrazom (8.29) dobimo naslednje pogoje za pojav samonihanja v sistemu:

Reševanje sistema enačb (8.29) je običajno težavno, saj so harmonični linearizacijski koeficienti kompleksno odvisni od amplitude vhodnega signala. Poleg tega je treba poleg določitve amplitude in frekvence oceniti stabilnost lastnih nihanj v sistemu.

Pogoje za pojav lastnih nihanj v nelinearnem sistemu in parametre mejnih ciklov lahko preučujemo z uporabo meril stabilnosti frekvence, na primer Nyquistovega kriterija stabilnosti. V skladu s tem kriterijem je v prisotnosti avtonihanja amplitudno-fazna karakteristika odprtozančnega harmonično lineariziranega sistema enaka

poteka skozi točko (-1, j0). Zato za in velja naslednja enakost:

. (8.32)

Rešitev enačbe (8.32) glede frekvence in amplitude lastnih nihanj lahko dobimo grafično. Da bi to naredili, je treba na kompleksni ravnini s spremembo frekvence od 0 do zgraditi hodograf AFC linearnega dela sistema in s spremembo amplitude A od 0 do sestavite hodograf inverzne karakteristike nelinearnega dela, vzetega z znakom minus. Če se ti hodografi ne sekajo, potem v proučevanem sistemu ne obstaja način lastnega nihanja (slika 8.18, b).

Ko se hodografi sekajo (slika 8.18, a), se v sistemu pojavijo lastna nihanja, katerih frekvenca in amplituda sta določeni z vrednostmi in na presečišču.

Če se in - sekata na več točkah (slika 8.18, a), potem to kaže na prisotnost več mejnih ciklov v sistemu. V tem primeru so lahko nihanja v sistemu stabilna in nestabilna.

Stabilnost samooscilacijskega načina je ocenjena na naslednji način. Način lastnega nihanja je stabilen, če točka na hodografu nelinearnega dela, ki ustreza amplitudi, večji od vrednosti na presečišču hodografov, ni pokrita s hodografom frekvenčnega odziva linearnega dela sistem. V nasprotnem primeru je samooscilacijski način nestabilen.

Na sl. 8.18, hodografa pa se sekata v točkah 1 in 2. Točka 1 določa nestabilen način samonihanja, saj je točka hodografa, ki ustreza povečani amplitudi, pokrita s hodografom frekvenčnega odziva linearnega dela sistema. Točka 2 ustreza stabilnemu načinu samonihanja, katerega amplituda je določena s hodografom, frekvenca pa s hodografom.

Kot primer ocenimo stabilnost lastnih nihanj v dveh nelinearnih sistemih. Predpostavili bomo, da prenosne funkcije linearnih delov teh sistemov sovpadajo in so enake:

,

vendar so nelinearni elementi, vključeni v njih, drugačni. Naj prvi sistem vključuje nelinearni element »idealni rele«, ki ga opisuje sistem (8.14), drugi sistem pa naj vključuje nelinearni element s statično značilnostjo »kubična parabola«. S pomočjo podatkov iz tabele 8.1 dobimo:

Na sl. 8.19 prikazuje hodografe teh sistemov skupaj s hodografom AFC linearnega dela sistema. Na podlagi zgoraj navedenega je mogoče trditi, da v prvem sistemu nastanejo stabilna lastna nihanja s frekvenco in amplitudo, v drugem sistemu pa so samonihanja nestabilna.

Ponazorimo izračun harmoničnih linearizacijskih koeficientov z več primeri: najprej za simetrična nihanja, nato pa še za asimetrična. Najprej opazimo, da če je liho-simetrična nelinearnost F(x) enovrednostna, potem v skladu z (4.11) in (4.10) dobimo

in pri izračunu q(4.11) se lahko omejimo na integracijo v četrtinskem obdobju in rezultat štirikratimo, in sicer

Za nelinearnost zanke F(x) (liho-simetrično) bo veljal polni izraz (4.10).

in lahko uporabite formule

tj. podvojitev rezultata integracije v polciklu.

Primer 1. Preučimo kubično nelinearnost (slika 4.4, i):

Zasvojenost q(a) prikazano na sl. 4.4, b. Iz sl. 4.4, A jasno je, da sem za dano amplitudo ravna q(a)x povpreči krivuljično odvisnost F(x) od danega

parcela -a£ X£ . A. Seveda je kul q(a) naklon te črte povprečenja q(a)x narašča z amplitudo A(za kubično karakteristiko se to povečanje zgodi po kvadratnem zakonu).

Primer 2. Preučimo karakteristiko releja zanke (slika 4.5, a). Na sl. 4.5,6 je predstavljena funkcija integranda F(a sin y) za formule (4.21). Preklop releja poteka pri ½ X½ = b , Zato je v trenutku preklopa vrednost y1 določena z izrazom sin y1= b /A. Z uporabo formul (4.21) dobimo (za a³b)

Na sl. 4.5, b prikazuje grafe q(a) in q"(a). Prva od njih prikazuje spremembo naklona povprečne premice q( A)x s sprememba A(glej sliko 4.5, a). Seveda, q( a)à0 pri аа¥ pri, ker izhodni signal ostane konstanten (F( x)=c) za vsako neomejeno povečanje vhodnega signala X. Iz fizičnih razlogov je tudi jasno, zakaj q" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сиг­нала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что q" < 0. Абсолют­ное значение q" zmanjšuje z naraščajočo amplitudo a, saj je jasno, da bo zanka zasedla manjši del "delovnega odseka" karakteristike F( x), večja je amplituda nihanj spremenljivke X.

Amplitudno-fazna značilnost takšne nelinearnosti (sl. 4.5, a), v skladu z (4.13). predstavljeno v obliki

Poleg tega imata amplituda in faza prvega harmonika na nelinearnem izhodu obliko oz

kje q in q" definirano zgoraj (slika 4.5, b). Posledično harmonična linearizacija pretvori nelinearni koordinatni zamik (histerezno zanko) v enakovreden fazni zamik, značilen za linearne sisteme, vendar z bistveno razliko - odvisnostjo faznega zamika od amplitude vhodnih nihanj, ki je v linearnih sistemih ni. .

Primer 3. Preučujemo nedvoumne značilnosti releja (slika 4.6, a, V). Podobno kot prejšnji dobimo oz

kar je prikazano na sl. 4.6, b, a.

Primer 4. Preučimo karakteristiko z mrtvim območjem, linearnim odsekom in nasičenostjo (slika 4.7, a). Tukaj q"= 0, in koeficient q(a) ima dve različici vrednosti v skladu s sl. 4.7, b, kjer je zanje konstruiran F (a sin y):

1) za b1 £ a £ b2 po (4.19) velja

da ob upoštevanju razmerja a sin y1 = b 1 daje

2) za a ³ b2

ki ob upoštevanju razmerja a sin y2 = b2 daje

Rezultat je grafično predstavljen na sl. 4.7, a.

Primer 5. Kot posebni primeri ustrezni koeficienti q(a) za dve značilnosti (sl. 4.8, a, b) sta enaki

kar je grafično prikazano na sl. 4,8, b, d.Še več, za karakteristiko z nasičenostjo (slika 4.8, a) imamo q= k po 0 £ a£ b.

Pokažimo zdaj primere izračuna harmoničnih linearizacijskih koeficientov za asimetrične vibracije z enakimi nelinearnostmi.

Primer 6. Za primer kubične nelinearnosti F( x) =kx 3 po formuli (4.16) imamo

in po formulah (4.17)

Primer 7. Za karakteristiko releja zanke (slika 4.5, A) z uporabo istih formul, ki jih imamo

Primer 8. Za karakteristiko z mrtvim območjem (slika 4.1:1) bodo veljali isti izrazi F° in q. Njihovi grafi so predstavljeni na sl. 4.9, a, b. Ob istem času q"== 0. Za idealno karakteristiko releja (slika 4.10) dobimo

kar je prikazano na sl. 4.10, a in b.

Primer 9. Za karakteristiko z linearnim odsekom q nasičenost (slika 4.11, a) za a ³ b+½ x 0 ½ imamo

Te odvisnosti so predstavljene v obliki grafov na sl. 4.11, b, V.

Primer 10. Za asimetrično karakteristiko

(Sl. 4. 12, a) z uporabo formule (4.l6) najdemo

in po formulah (4.17)

Rezultati so grafično prikazani na sl. 4.12, b in V.

Izrazi in grafi harmoničnih linearizacijskih koeficientov, dobljeni v teh primerih, bodo uporabljeni v nadaljevanju pri reševanju raziskovalnih problemov

lastna nihanja, prisilna nihanja in krmilni procesi.

Na podlagi lastnosti filtra linearnega dela sistema (predavanje 12) iščemo periodično rešitev nelinearnega sistema (sl. 4.21) na vhodu nelinearnega elementa približno v obliki

x = a greh w t (4.50)

z neznanimi ljudmi A in w. Določena je oblika nelinearnosti = F( x) in prenosna funkcija linearnega dela

Izvedena je harmonična linearizacija nelinearnosti

kar vodi do prenosne funkcije

Amplitudno-fazni frekvenčni odziv sistema odprtega vezja ima obliko

Periodično rešitev lineariziranega sistema (4.50) dobimo, če je v karakteristični enačbi zaprtega sistema par čisto namišljenih korenin.

In po Nyquistovem kriteriju to ustreza prehodu W(j w) skozi točko -1. Posledično je periodična rešitev (4.50) določena z enačbo

Enačba (4.51) določa zahtevano amplitudo A in frekvenco w periodične rešitve. To enačbo je mogoče grafično rešiti na naslednji način. Na kompleksni ravnini (U, V) je amplitudno-fazni frekvenčni odziv linearnega dela Wl( j w) (sl. 4.22), kot tudi obratno amplitudno-fazno karakteristiko nelinearnosti z nasprotnim znakom -1 / Wн( a). Pika IN njihovo presečišče (sl. 4.22) in določa vrednosti A in w ter vrednost Ašteto po krivulji -1 / Wн (a) , vrednost w pa po krivulji Wл (jw).

Namesto tega lahko uporabimo dve skalarni enačbi, ki izhajata iz (4.51) in (4.52):

ki tudi določata obe iskani količini A in w.

Bolj priročno je uporabiti zadnji dve enačbi na logaritemski lestvici z uporabo logaritemske

frekvenčne značilnosti linearnega dela. Potem bomo namesto (4.53) in (4.54) imeli naslednji dve enačbi:

Na sl. 4.23 na levi sta grafa levih strani enačb (4.55) in (4.56), na desni pa sta desni strani teh enačb. V tem primeru je vzdolž abscisne osi na levi narisana frekvenca w, kot običajno, v logaritemskem merilu, na desni pa je amplituda A v naravnem merilu. Rešitev teh enačb bodo naslednje vrednosti A in w, tako da sta obe enakosti (4.55) in (4.56) upoštevani hkrati. Ta rešitev je prikazana na sl. 4.23 s tankimi črtami v obliki pravokotnika.

Očitno te rešitve ne bo mogoče uganiti takoj. Zato so narejeni poskusi, prikazani s črtkanimi črtami. Zadnji točki teh poskusnih pravokotnikov M1 in M2 ne spadata na fazno karakteristiko nelinearnosti. Če pa se nahajajo na obeh straneh značilnosti, kot na sl. 4.23, potem rešitev najdemo z interpolacijo - z risanjem premice MM1 .

Iskanje periodične rešitve je poenostavljeno v primeru nedvoumne nelinearnosti F( X). Potem q"= 0 in imata enačbi (4.55) in (4.56) obliko

Rešitev je prikazana na sl. 4.24.

riž . 4.24.

Po določitvi periodične rešitve je treba raziskati njeno stabilnost. Kot že omenjeno, se periodična rešitev pojavi v primeru, ko je amplitudno-fazna značilnost odprtega vezja

poteka skozi točko -1. Dajmo amplitudi odstopanje D A. Sistem se bo vrnil k periodični rešitvi, če je pri D A> 0 nihanja zamrejo, pri D A < 0 - расходятся. Следовательно, при DA> 0 značilnost W(jw, A) je treba deformirati (sl. 4.25), tako da pri D A> 0 je bil izpolnjen Nyquistov kriterij stabilnosti in za D A < 0 - нарушался.

Zato je potrebno, da pri dani frekvenci obstaja w

Iz tega sledi, da je na sl. 4.22 pozitivni odčitek amplitude A po krivulji -1/Wн ( A) morajo biti usmerjene od znotraj navzven skozi krivuljo Wл (jw) , kot prikazuje puščica. V nasprotnem primeru je periodična rešitev nestabilna.

Poglejmo si primere.

Naj ima ojačevalnik v sistemu za sledenje (slika 4.13, a). karakteristika releja(Sl. 4.17, A). pa sl. 4.17, b graf harmoničnega linearizacijskega koeficienta q( A) in q’( A) =0. Za določitev periodične rešitve s frekvenčno metodo, v skladu s sl. 4.22 moramo preučiti izraz

Iz formule (4.24) dobimo za to nelinearnost

Graf te funkcije je prikazan na sl. 4.26.

Prenosna funkcija linearnega dela ima obliko

Amplitudno-fazna karakteristika zanj je prikazana na sl. 4.27. Funkcija -1 / Wн ( A), ki je v tem primeru realna (slika 4.26), se v celoti prilega negativnemu delu realne osi (slika 4.27). V tem primeru na območju spremembe amplitude b £ a£ b amplituda se meri od leve od zunaj v krivuljo Wл(jw) in v odseku A>b - v nasprotni smeri. Zato je prvo presečišče ( A 1) daje nestabilno periodično rešitev, druga ( A 2) - stabilna (samonihanja). To je skladno s prejšnjo rešitvijo (primer 2 predavanje 15, 16).

Poglejmo še primer značilnosti releja zanke(Sl. 4.28, a) v istem sistemu sledenja (Sl. 4.13, a). Amplitudno-fazni frekvenčni odziv linearnega dela je enak (slika 4.28, b). Izraz za krivuljo –1/Wн( A), glede na (4.52) in (4.23), dobi obliko

To je ravna črta, vzporedna z osjo abscise (slika 4.28, b), z odčitavanjem amplitude A od desne proti levi. Presečišče bo dalo stabilno periodično rešitev (samonihanja). Za pridobitev grafov amplitude in frekvence

od k l , predstavljeno na sl. 4.20, potreben na sl. 4.28 sestavite niz krivulj Wл(jw) za vsako vrednost k l in poiščite njihove točke presečišča s premico –1/Wн( A) ustrezne vrednosti A in w.

Kot že omenjeno, v nelinearnih in zlasti relejnih ASR, stabilna periodična nihanja konstantna amplituda in frekvenca, ti samonihanja. Poleg tega lahko lastna nihanja vztrajajo tudi pri znatnih spremembah sistemskih parametrov. Praksa je pokazala, da so v mnogih primerih nihanja krmiljene spremenljivke (slika 3) blizu harmoničnim.

Bližina lastnih nihanj harmoničnim nam omogoča uporabo metode harmonične linearizacije za določitev njihovih parametrov - amplitude A in frekvence w 0. Metoda temelji na predpostavki, da je linearni del sistema nizkopasovni filter (hipoteza filtra). Določimo pogoje, pod katerimi so lahko lastna nihanja v sistemu blizu harmoničnim. Omejimo se na sisteme, ki kot na sl. 3 se lahko zmanjša na zaporedno povezavo nelinearnega elementa in linearnega dela. Predpostavimo, da je referenčni signal konstantna vrednost, zaradi poenostavitve ga vzamemo enakega nič. In signal napake (slika 3) je harmoničen:

Izhodni signal nelinearnega elementa, tako kot vsak periodični signal - na sliki 3 so to pravokotna nihanja - lahko predstavimo kot vsoto harmonikov Fourierjevega niza.

Predpostavimo, da je linearni del sistema nizkopasovni filter (slika 4) in prepušča samo prvi harmonik s frekvenco w 0. Drugi s frekvenco 2w 0 in višje harmonike filtrira linearni del. V tem primeru na linearni izhod deli bodo obstajali praktično samo prvi harmonik , vpliv višjih harmonikov pa lahko zanemarimo

Torej, če je linearni del sistema nizkopasovni filter in frekvenca samonihanja w 0 izpolnjuje pogoje

, (4)

Imenuje se predpostavka, da je linearni del sistema nizkopasovni filter hipoteza filtra . Hipoteza filtra je vedno izpolnjena, če je razlika v stopnjah polinomov imenovalca in števca prenosne funkcije linearnega dela

vsaj dva

Pogoj (6) je izpolnjen za veliko realnih sistemov. Primer je aperiodična povezava drugega reda in realna integracija

Pri preučevanju lastnih nihanj, ki so blizu harmoničnim, se upošteva samo prvi harmonik periodičnih nihanj na izhodu nelinearnega elementa, saj so višji harmoniki še vedno praktično filtrirani z linearnim delom. V načinu samooscilacije se izvaja harmonična linearizacija nelinearni element. Nelinearni element se nadomesti z enakovrednim linearnim kompleksni dobiček (opisna funkcija) odvisno od amplitude vhodnega harmoničnega signala:

kje in so resnični in namišljeni deli,

– argument,

– modul.

V splošnem primeru je odvisno tako od amplitude in frekvence samonihanja kot od konstantne komponente. Fizično kompleksen dobiček nelinearnega elementa, bolj pogosto imenovan harmonični linearizacijski koeficient , Obstaja kompleksno ojačanje nelinearnega elementa pri prvem harmoniku. Modul harmoničnega linearizacijskega koeficienta

je številčno enaka razmerju amplitude prvega harmonika na izhodu nelinearnega elementa do amplitude vhodnega harmoničnega signala.

Argument

označuje fazni zamik med prvim harmonikom izhodnih nihanj in vhodnim harmoničnim signalom. Za nedvoumne nelinearnosti, kot je na primer na sl. 2,a in 2,b, realni izraz in

Za dvoumne nelinearnosti, sl. 2,c, 2,d, določeno s formulo

kjer je S območje histerezne zanke. Območje S je vzeto s predznakom plus, če je histerezna zanka obvozena v pozitivni smeri (slika 2, c) in z znakom minus sicer (slika 2, d).

V splošnem primeru in se izračunajo po formulah

kjer je , nelinearna funkcija (značilnost nelinearnega elementa).

Ob upoštevanju zgoraj navedenega se pri proučevanju lastnih nihanj, ki so blizu harmoničnim, nelinearni ASR (slika 3) nadomesti z enakovrednim s harmoničnim linearizacijskim koeficientom namesto nelinearnega elementa (slika 5). Izhodni signal nelinearnega elementa na sl. 5 je označen kot , to je

Poudarja, da nelinearni element samo generira

prvi harmonik nihanj. Formule za harmonične linearizacijske koeficiente za tipične nelinearnosti lahko najdete v literaturi, na primer v. Tabela B v dodatku prikazuje značilnosti proučevanih relejnih elementov, formule za in njihove hodografe. Formule in hodografi za inverzni harmonski linearizacijski koeficient, definiran z izrazom

kjer sta tako realni kot imaginarni del. Hodografa in sta zgrajena v koordinatah , oziroma .

Zapišimo zdaj pogoje za obstoj samonihanja. Sistem na sl. 5 je enakovredno linearnemu. V linearnem sistemu obstajajo nedušena nihanja, če je na meji stabilnosti. Uporabimo pogoj stabilnostne meje po Nyquistovem kriteriju: . Na sl. 6,a – dve presečni točki, kar kaže na prisotnost dveh mejnih ciklov.

Uvod

Relejni sistemi so postali razširjeni v praksi avtomatskega krmiljenja. Prednost relejnih sistemov je njihova enostavnost zasnove, zanesljivost, enostavnost vzdrževanja in konfiguracije. Relejni sistemi predstavljajo poseben razred nelinearnih avtomatskih krmilnih sistemov.

Za razliko od neprekinjenih v relejnih sistemih se regulatorni ukrep nenadoma spremeni vsakič, ko krmilni signal releja (najpogosteje je to krmilna napaka) prehaja skozi določene fiksne (pražne) vrednosti, na primer skozi nič.

Relejni sistemi imajo praviloma visoko zmogljivost zaradi dejstva, da se krmilno delovanje v njih skoraj takoj spremeni, aktuator pa je izpostavljen delno konstantnemu signalu največje amplitude. Hkrati se v relejnih sistemih pogosto pojavljajo lastna nihanja, kar je v mnogih primerih pomanjkljivost. V tem prispevku je preučen relejni sistem s štirimi različnimi zakoni krmiljenja.

Struktura proučevanega sistema

Preučevani sistem (slika) 1 vključuje primerjalni element ES, relejni element RE, aktuator (idealni integrator z ojačenjem = 1), krmilni objekt (aperiodična povezava s tremi časovnimi konstantami , , in ojačenje). Vrednosti sistemskih parametrov so podane v tabeli. 1 Dodatek A.

Statične značilnosti (vhodno-izhodne značilnosti) proučevanih relejnih elementov so prikazane na sl. 2.

Na sl. 2a prikazuje značilnosti idealnega releja z dvema položajema, sl. 2b značilnost tripozicijskega releja z mrtvim območjem. Na sl. 2,c in 2,d prikazujeta značilnosti dvopozicijskega releja s pozitivno oziroma negativno histerezo.

Preiskovano ASR je mogoče modelirati z uporabo dobro znanih paketov za modeliranje, na primer SIAM ali VisSim.

Komentiraj. V nekaterih simulacijskih paketih je izhodna vrednost

signal releja lahko sprejme le vrednosti ±1 namesto ±B, kjer je B poljubno število. V takih primerih je potrebno vzeti dobiček integratorja enak .

Delovni nalog

Za dokončanje dela vsak študent od učitelja prejme različico začetnih podatkov (glej razdelek 2).

Delo poteka v dveh fazah.

Prva stopnja je računsko-raziskovalna (lahko izven laboratorija).

Druga stopnja je eksperimentalna (izvaja se v laboratoriju). Na tej stopnji se z uporabo enega od paketov simulirajo prehodni procesi v proučevanem sistemu za načine, izračunane na prvi stopnji, in preveri točnost teoretičnih metod.

Potrebno teoretično gradivo je predstavljeno v poglavju 4; Razdelek 5 vsebuje testna vprašanja.

3.1. Računsko-raziskovalni del

1. Pridobite izraze za amplitudno-frekvenčne in fazno-frekvenčne, realne in imaginarne karakteristike linearnega dela sistema.

2. Izračunajte in sestavite amplitudno-fazno karakteristiko linearnega dela sistema. Za izračune uporabite programe iz paketa TAU. Nujno natisniti realne in namišljene vrednosti frekvenčnega odziva(ustrezno 10 – 15 točk tretji in drugi kvadrantih).

4. Z Goldfarbovo grafično analitično metodo določite amplitudo in frekvenco lastnih nihanj ter njihovo stabilnost za vse štiri releje. Parametre samonihanja lahko izračunamo tudi analitično. Za vsak primer kvalitativno prikažite fazni portret sistema.

5. Za tripoložajni rele določite eno vrednost ojačenja linearnega dela, pri kateri ni lastnih nihanj, in mejno vrednost, pri kateri lastna nihanja odpovejo.

Eksperimentalni del

1. Z enim od razpoložljivih paketov za modeliranje sestavite shemo modeliranja za proučevani AKP. Z dovoljenjem učitelja lahko uporabite že pripravljen diagram. Konfigurirajte parametre vezja v skladu z nalogo.

2. Raziščite prehodni proces v sistemu z idealnim relejem (natisnite ga), pri čemer na vhod uporabite postopno delovanje x(t)=40*1(t). Izmerite amplitudo in frekvenco lastnih nihanj in jih primerjajte z izračunanimi vrednostmi. Ponovite poskus in nastavite neničelne začetne pogoje (na primer y(0)=10, y(1) (0)=-5).

3. Raziščite prehodni proces v sistemu s tripozicijskim relejem za dve različni vrednosti amplitude vhodnega signala x(t)= 40*1(t) in x(t)=15*1(t). Izpišite prehodne procese, izmerite amplitudo in frekvenco lastnih nihanj (če obstajajo), jih primerjajte z izračunanimi vrednostmi in sklepajte.

4. Raziščite prehodne procese v sistemu s tripozicijskim relejem za druge vrednosti ojačenja linearnega dela (glejte odstavek 5, razdelek 3.1).

5. Raziščite prehodne procese v sistemu z dvopoložajnimi releji s histerezo pri ničelnih in neničelnih začetnih pogojih ter x(t)=40*1(t). Izpišite prehodne procese, izmerite amplitudo in frekvenco lastnih nihanj (če obstajajo), jih primerjajte z izračunanimi vrednostmi in sklepajte.

Teoretični del

Široko uporabljena metoda za izračun nelinearnih sistemov je metoda harmonične linearizacije (opisovanje funkcij).

Metoda omogoča določanje parametrov lastnega nihanja (amplitude in frekvence), stabilnosti lastnega nihanja in stabilnosti ravnotežnega položaja nelinearne ASR. Na podlagi metode harmonične linearizacije so bile razvite metode za konstruiranje prehodnih procesov, analizo in sintezo nelinearnih ASR.

Metoda harmonične linearizacije

Kot že omenjeno, v nelinearnih in zlasti relejnih ASR, stabilna periodična nihanja konstantna amplituda in frekvenca, ti samonihanja. Poleg tega lahko lastna nihanja vztrajajo tudi pri znatnih spremembah sistemskih parametrov. Praksa je pokazala, da so v mnogih primerih nihanja krmiljene spremenljivke (slika 3) blizu harmoničnim.

Bližina lastnih nihanj harmoničnim nam omogoča uporabo metode harmonične linearizacije za določitev njihovih parametrov - amplitude A in frekvence w 0. Metoda temelji na predpostavki, da je linearni del sistema nizkopasovni filter (hipoteza filtra). Določimo pogoje, pod katerimi so lahko lastna nihanja v sistemu blizu harmoničnim. Omejimo se na sisteme, ki kot na sl. 3 se lahko zmanjša na zaporedno povezavo nelinearnega elementa in linearnega dela. Predpostavimo, da je referenčni signal konstantna vrednost, zaradi poenostavitve ga vzamemo enakega nič. In signal napake (slika 3) je harmoničen:

(1)

Izhodni signal nelinearnega elementa, tako kot vsak periodični signal - na sliki 3 so to pravokotna nihanja - lahko predstavimo kot vsoto harmonikov Fourierjevega niza.

Predpostavimo, da je linearni del sistema nizkopasovni filter (slika 4) in prepušča samo prvi harmonik s frekvenco w 0. Drugi s frekvenco 2w 0 in višje harmonike filtrira linearni del. V tem primeru na linearni izhod deli bodo obstajali praktično samo prvi harmonik , vpliv višjih harmonikov pa lahko zanemarimo

Torej, če je linearni del sistema nizkopasovni filter in frekvenca samonihanja w 0 izpolnjuje pogoje

, (4)

Imenuje se predpostavka, da je linearni del sistema nizkopasovni filter hipoteza filtra . Hipoteza filtra je vedno izpolnjena, če je razlika v stopnjah polinomov imenovalca in števca prenosne funkcije linearnega dela

(5)

vsaj dva

Pogoj (6) je izpolnjen za veliko realnih sistemov. Primer je aperiodična povezava drugega reda in realna integracija

,

. (7)

Pri preučevanju lastnih nihanj, ki so blizu harmoničnim, se upošteva samo prvi harmonik periodičnih nihanj na izhodu nelinearnega elementa, saj so višji harmoniki še vedno praktično filtrirani z linearnim delom. V načinu samooscilacije se izvaja harmonična linearizacija nelinearni element. Nelinearni element se nadomesti z enakovrednim linearnim kompleksni dobiček (opisna funkcija) odvisno od amplitude vhodnega harmoničnega signala:

kje in so resnični in namišljeni deli,

– argument,

– modul.

V splošnem primeru je odvisno tako od amplitude in frekvence samonihanja kot od konstantne komponente. Fizično kompleksen dobiček nelinearnega elementa, bolj pogosto imenovan harmonični linearizacijski koeficient , Obstaja kompleksno ojačanje nelinearnega elementa pri prvem harmoniku. Modul harmoničnega linearizacijskega koeficienta

(9)

je številčno enaka razmerju amplitude prvega harmonika na izhodu nelinearnega elementa do amplitude vhodnega harmoničnega signala.

Argument

(10)

označuje fazni zamik med prvim harmonikom izhodnih nihanj in vhodnim harmoničnim signalom. Za nedvoumne nelinearnosti, kot je na primer na sl. 2,a in 2,b, realni izraz in

Za dvoumne nelinearnosti, sl. 2,c, 2,d, določeno s formulo

kjer je S območje histerezne zanke. Območje S je vzeto s predznakom plus, če je histerezna zanka obvozena v pozitivni smeri (slika 2, c) in z znakom minus sicer (slika 2, d).

V splošnem primeru in se izračunajo po formulah

,

, (12)

kjer je , nelinearna funkcija (značilnost nelinearnega elementa).

Ob upoštevanju zgoraj navedenega se pri proučevanju lastnih nihanj, ki so blizu harmoničnim, nelinearni ASR (slika 3) nadomesti z enakovrednim s harmoničnim linearizacijskim koeficientom namesto nelinearnega elementa (slika 5). Izhodni signal nelinearnega elementa na sl. 5 je označen kot , to je

poudarja, da nelinearni element generira le

prvi harmonik nihanj. Formule za harmonične linearizacijske koeficiente za tipične nelinearnosti lahko najdete v literaturi, na primer v. Tabela B v dodatku prikazuje značilnosti proučevanih relejnih elementov, formule za in njihove hodografe. Formule in hodografi za inverzni harmonski linearizacijski koeficient, definiran z izrazom

, (13)

kjer sta tako realni kot imaginarni del. Hodografa in sta zgrajena v koordinatah , oziroma .

Zapišimo zdaj pogoje za obstoj samonihanja. Sistem na sl. 5 je enakovredno linearnemu. V linearnem sistemu obstajajo nedušena nihanja, če je na meji stabilnosti. Uporabimo pogoj stabilnostne meje po Nyquistovem kriteriju:

. (14)

Enačba (14) Obstaja pogoj za obstoj samonihanja, blizu harmoničnemu. Če obstajajo resnično pozitivno rešitvi A in w 0 enačbe (14), potem v nelinearnem ASR obstajajo samonihanja, ki so blizu harmoničnim. V nasprotnem primeru so lastna nihanja odsotna ali niso harmonična. Enačba (14) se razdeli na dvoje – glede na realni in imaginarni del:

;

;

Če delimo obe strani enačbe (14) z in upoštevamo formulo (13), dobimo pogoj za obstoj lastnih nihanj v obliki L.S. Goldfarba:

. (17)

Enačba (17) se prav tako razdeli na dvoje:

,

(18)

in v nekaterih primerih jih je bolj priročno uporabiti za določanje parametrov samonihanja.

Goldfarb je predlagal grafično-analitično metodo za reševanje sistema (17) in določanje stabilnosti samonihanja.

V koordinatah in so zgrajeni hodografi in (slika 6, a). Če se hodografa sekata, potem obstajajo lastna nihanja. Parametri lastnih nihanj - A in w 0 se določijo v presečiščih - frekvenca w 0 po hodografu, amplituda po hodografu. Na sl. 6,a – dve presečni točki, kar kaže na prisotnost dveh mejnih ciklov.

	b)

Za določitev stabilnosti samonihanja je po Goldfarbu leva stran AFC linearnega dela zasenčena, ko se premika vzdolž AFC v smeri naraščajoče frekvence (slika 6).

Samonihanja so stabilna, če v presečišču hodograf nelinearnega elementa prehaja iz neosenčenega območja v osenčeno območje, ko se premika v smeri naraščajoče amplitude A.

Če pride do prehoda iz osenčenega območja v neosenčeno območje, potem lastna nihanja niso stabilna.

Na sl. Slika 6b kvalitativno prikazuje fazni portret, ki ustreza dvema mejnima cikloma na sl. 6, a. Točka presečišča s parametri in na sl. 6a ustreza nestabilnemu mejnemu ciklu na sl. 6b, točka s parametri in in za doseganje motenj lastnih nihanj, v tem primeru hodografov in se ne sekata. Enak učinek je mogoče doseči s povečanjem mrtve cone d ali zmanjšanjem amplitude izhodnega signala releja B. Obstaja določena mejna vrednost K l, pri kateri se AFC linearnega dela dotika Napaka! Komunikacijska napaka. hkrati , vrednost amplitude pa je . Seveda to vodi do kvalitativne spremembe faznega portreta sistema.

Namen metode harmonične linearizacije.

Zamisel o metodi harmonične linearizacije je bila predlagana leta 1934. N. M. Krylov in N. N. Bogolyubov. V zvezi s sistemi avtomatskega krmiljenja sta to metodo razvila L. S. Goldfarb in E. P. Popov. Druga imena za to metodo in njene modifikacije so metoda harmoničnega ravnovesja, metoda opisovanja funkcij in metoda ekvivalentne linearizacije.

Metoda harmonične linearizacije je metoda za preučevanje lastnih nihanj. Omogoča vam določitev pogojev obstoja in parametrov možnih samonihanja v nelinearnih sistemih.

Poznavanje parametrov samonihanja nam omogoča, da predstavimo sliko možnih procesov v sistemu in predvsem določimo pogoje stabilnosti. Recimo, da smo kot rezultat preučevanja lastnih nihanj v nekem nelinearnem sistemu dobili odvisnost amplitude teh lastnih nihanj A od prenosnega koeficienta k linearnega dela sistema, prikazanega na sliki 12.1, in vemo, da so lastna nihanja stabilna.

Iz grafa sledi, da pri veliki vrednosti prenosnega koeficienta k, kdaj k > k kr, so v sistemu samonihanja. Njihova amplituda se zmanjša na nič, ko se zmanjša prenosni koeficient k do k kr. Na sliki 12.1 puščice običajno prikazujejo naravo prehodnih procesov pri različnih vrednostih k: pri k > k kr se prehodni proces, ki ga povzroči začetni odklon, skrči v samonihanja. Iz slike je razvidno, da kdaj k< k cr, se izkaže, da je sistem stabilen. torej k kr je kritična vrednost prenosnega koeficienta glede na pogoj stabilnosti. Preseganje vodi do dejstva, da začetni način sistema postane nestabilen in v njem nastanejo lastna nihanja. Posledično nam poznavanje pogojev za obstoj samonihanja v sistemu omogoča določitev pogojev stabilnosti.

Ideja harmonične linearizacije.

Razmislimo o nelinearnem sistemu, katerega diagram je prikazan na sliki 12.2, in . Sistem je sestavljen iz linearnega dela s prenosno funkcijo W l ( s) in nelinearna povezava NL s posebno lastnostjo . Povezava s koeficientom - 1 kaže, da je povratna informacija v sistemu negativna. Menimo, da v sistemu obstajajo lastna nihanja, katerih amplitudo in frekvenco želimo ugotoviti. V obravnavanem načinu je vhodna količina X nelinearna povezava in izhod Y so periodične funkcije časa.

Metoda harmonične linearizacije temelji na predpostavki, da so nihanja na vhodu nelinearne povezave sinusna, tj. e

, (12.1)

kjeA– amplituda in je frekvenca teh lastnih nihanj in je možna konstantna komponenta v splošnem primeru, ko so lastna nihanja nesimetrična.

V resnici so lastna nihanja v nelinearnih sistemih vedno nesinusna zaradi popačenja njihove oblike zaradi nelinearne povezave. Zato navedena začetna predpostavka pomeni, da je metoda harmonične linearizacije bistveno blizu in njegov obseg uporabe je omejen na primere, kjer so lastna nihanja na vhodu nelinearne povezave precej blizu sinusoidnim. Da bi se to zgodilo, linearni del sistema ne sme prepuščati višjih harmonikov lastnih nihanj, tj. nizkoprepustni filter. Slednje je prikazano na sl. 12.2, b . Če je na primer frekvenca samonihanja enaka , potem linearni del, prikazan na sl. 12.2, b Frekvenčni odziv bo imel vlogo nizkopasovnega filtra za ta nihanja, saj drugi harmonik, katerega frekvenca je enaka 2, praktično ne bo prešel na vhod nelinearne povezave. Zato je v tem primeru uporabna metoda harmonične linearizacije.

Če je frekvenca samonihanja enaka , bo linearni del prosto prehajal drugi, tretji in druge harmonike lastnih nihanj. V tem primeru ni mogoče reči, da bodo nihanja na vhodu nelinearne povezave precej blizu sinusoidnim, tj. predpogoj, potreben za uporabo metode harmonične linearizacije, ni izpolnjen.

Da bi ugotovili, ali je linearni del sistema nizkopasovni filter in s tem ugotovili uporabnost metode harmonične linearizacije, je potrebno poznati frekvenco lastnih nihanj. Vendar ga je mogoče spoznati le s to metodo. torej Uporabnost metode harmonične linearizacije je treba določiti na koncu študije kot preizkus.

Naj opozorimo, da če se kot rezultat tega testa ne potrdi hipoteza, da linearni del sistema igra vlogo nizkopasovnega filtra, to ne pomeni, da so dobljeni rezultati napačni, čeprav seveda , vzbuja dvom o njih in zahteva dodatno preverjanje na nek drug način.

Torej, ob predpostavki, da je linearni del sistema nizkopasovni filter, predpostavimo, da so lastna nihanja na vhodu nelinearne povezave sinusna, to je, da imajo obliko (12.1). Nihanja na izhodu te povezave ne bodo več sinusna zaradi njihovega popačenja zaradi nelinearnosti. Kot primer na sl. 12.3 je na izhodu nelinearne povezave narisana krivulja za določeno amplitudo vhodnega čisto sinusoidnega signala glede na tam podano karakteristiko povezave.

Slika 12.3. Prehod harmoničnega nihanja skozi nelinearno povezavo.

Ker pa menimo, da linearni del sistema prepušča le osnovni harmonik lastnih nihanj, je smiselno, da nas na izhodu nelinearnega odseka zanima samo ta harmonik. Zato bomo izhodna nihanja razširili v Fourierjev niz in zavrgli višje harmonike. Kot rezultat dobimo:

;

; (12.3)

;

.

Prepišimo izraz (12.2) v obliki, ki je primernejša za nadaljnjo uporabo, in vanj nadomestimo naslednje izraze za in pridobljene iz (12.1):

Če te izraze nadomestimo v (12.2), bomo imeli:

(12.4)

. (12.5)

Tu so uvedeni naslednji zapisi:

. (12.6)

Diferencialna enačba (12.5) velja za sinusni vhodni signal (12.1) in določa izhodni signal nelinearne povezave brez upoštevanja višjih harmonikov.

Koeficienti v skladu z izrazi (12.3) za Fourierjeve koeficiente so funkcije konstantne komponente, amplitude A in frekvenco samonihanja na vhodu nelinearne povezave. Pri fiksnem A, in enačba (12.5) je linearna. Če torej zavržemo višje harmonike, potem lahko za fiksni harmonični signal prvotno nelinearno povezavo nadomestimo z enakovredno linearno povezavo, ki jo opisuje enačba (12.5). Ta zamenjava se imenuje harmonična linearizacija .

Na sl. Slika 12.4 običajno prikazuje diagram te povezave, sestavljen iz dveh vzporednih povezav.

riž. 12.4. Ekvivalenten linearni element, dobljen kot rezultat harmonične linearizacije.

Ena povezava () prehaja konstantno komponento, druga pa samo sinusno komponento samonihanja.

Koeficienti se imenujejo harmonični linearizacijski koeficienti oz harmonični prenosni koeficienti: - prenosni koeficient konstantne komponente in - dva prenosna koeficienta sinusne komponente lastnega nihanja. Ti koeficienti so določeni z nelinearnostjo in vrednostmi ter po formulah (12.3). Obstajajo že pripravljeni izrazi, definirani s temi formulami za številne tipične nelinearne povezave. Za te in na splošno vse nelinearne povezave brez vztrajnosti količine niso odvisne in so samo funkcije amplitude A In .