Območje formule štirikotne piramide. Kako najti površino stranske površine piramide

Ploščina stranske ploskve poljubne piramide je enaka vsoti površin njenih stranskih ploskev. Smiselno je podati posebno formulo za izražanje tega območja v primeru redna piramida. Torej nam je podana pravilna piramida, na osnovi katere leži pravilen n-kotnik s stranico, enako a. Naj bo h višina stranske ploskve, imenovane tudi apotema piramide. Ploščina ene stranske ploskve je enaka 1/2ah, celotna stranska ploskev piramide pa ima ploščino n/2ha. Ker je na obod osnove piramide, lahko zapišemo najdeno formulo v obliki:

Bočna površina pravilne piramide je enak zmnožku njenega apotema in polovice obsega osnove.

Glede skupna površina, potem preprosto dodamo površino osnove k stranski.

Včrtana in opisana krogla in krogla. Upoštevati je treba, da središče krogle, včrtane v piramido, leži na presečišču simetralnih ravnin notranjih diedrskih kotov piramide. Središče krogle, opisane v bližini piramide, leži na presečišču ravnin, ki potekajo skozi središča robov piramide in so pravokotne nanje.

Prisekana piramida.Če piramido prereže ravnina, ki je vzporedna z njeno osnovo, potem se del med sečno ravnino in osnovo imenuje prisekana piramida. Na sliki je prikazana piramida, če zavržemo njen del, ki leži nad rezalno ravnino, dobimo prisekano piramido. Jasno je, da je majhna zavržena piramida homotetična veliki piramidi s središčem homotetije na vrhu. Koeficient podobnosti enako razmerju višine: k=h 2 /h 1, ali stranski robovi, ali druge ustrezne linearne mere obeh piramid. Vemo, da so površine podobnih likov povezane kot kvadrati linearnih dimenzij; tako sta ploščini baz obeh piramid (tj. ploščina baz prisekane piramide) povezani kot

Tukaj je S 1 območje spodnje baze, S 2 pa območje zgornje baze prisekane piramide. V istem razmerju so stranske površine piramide Podobno pravilo velja za količine.

Prostornine podobnih teles so povezani kot kocke svojih linearnih dimenzij; na primer, prostornine piramid so povezane kot zmnožek njihovih višin in površine baz, iz česar takoj dobimo naše pravilo. Je povsem splošne narave in neposredno izhaja iz dejstva, da ima prostornina vedno razsežnost tretje dolžinske potence. S tem pravilom izpeljemo formulo, ki izraža prostornino prisekane piramide skozi višino in površino baz.

Naj bo podana prisekana piramida z višino h in osnovnima ploščinama S 1 in S 2 . Če si predstavljamo, da jo razširimo na polno piramido, potem koeficient podobnosti med polno piramido in malo piramido zlahka najdemo kot koren razmerja S 2 /S 1 . Višina prisekane piramide je izražena kot h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Zdaj imamo za prostornino prisekane piramide (V 1 in V 2 označujeta prostornino polne in male piramide)

formula za prostornino prisekane piramide

Izpeljimo formulo za ploščino S stranske ploskve pravilne prisekane piramide skozi oboda P 1 in P 2 baz in dolžino apoteme a. Razmišljamo popolnoma enako kot pri izpeljavi formule za prostornino. Piramido dopolnimo z zgornjim delom, imamo P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, kjer je k koeficient podobnosti, P 1 in P 2 sta oboda baz, S 1 in S 2 so površine stranskih ploskev celotne nastale piramide in njenega zgornjega dela v skladu s tem. Za stransko ploskev najdemo (a 1 in a 2 sta apotemi piramid, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formula za stransko površino pravilne prisekane piramide

Opredelitev. Stranski rob- to je trikotnik, v katerem en kot leži na vrhu piramide, nasprotna stran pa sovpada s stranjo baze (poligona).

Opredelitev. Stranska rebra- to so skupne stranice stranskih ploskev. Piramida ima toliko robov, kolikor kotov ima mnogokotnik.

Opredelitev. Višina piramide- to je pravokotnik, spuščen od vrha do dna piramide.

Opredelitev. Apotema- to je pravokotna na stransko ploskev piramide, spuščena z vrha piramide na stran baze.

Opredelitev. Diagonalni odsek- to je odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi vrh piramide in diagonalo baze.

Opredelitev. Pravilna piramida je piramida, katere osnova je pravilen mnogokotnik, višina pa se spušča v središče baze.

Prostornina in površina piramide

Formula. Prostornina piramide skozi osnovno površino in višino:

Lastnosti piramide

Če so vsi stranski robovi enaki, potem lahko okoli baze piramide narišemo krog, središče baze pa sovpada s središčem kroga. Tudi navpičnica, spuščena z vrha, poteka skozi središče osnove (kroga).

Če so vsi stranski robovi enaki, potem so nagnjeni na ravnino podnožja pod enakimi koti.

Stranska robova sta enaka, če tvorita enake kote z osnovno ravnino ali če lahko okoli osnove piramide opišemo krog.

Če so stranske ploskve nagnjene na ravnino podnožja pod enakim kotom, se lahko v osnovo piramide vpiše krog, vrh piramide pa se projicira v njeno središče.

Če sta stranski ploskvi nagnjeni na ravnino osnove pod enakim kotom, sta apotemi stranskih ploskvi enaki.

Lastnosti pravilne piramide

1. Vrh piramide je enako oddaljen od vseh vogalov osnove.

2. Vsi stranski robovi so enaki.

3. Vsa stranska rebra so nagnjena pod enakim kotom na podlago.

4. Apoteme vseh stranskih ploskev so enake.

5. Ploščine vseh stranskih ploskev so enake.

6. Vse ploskve imajo enake diedrske (ploske) kote.

7. Okoli piramide lahko opišemo kroglo. Središče obrobljene krogle bo presečišče navpičnic, ki gredo skozi sredino robov.

8. Kroglo lahko vgradite v piramido. Središče včrtane krogle bo točka presečišča simetral, ki izhajajo iz kota med robom in bazo.

9. Če središče včrtane krogle sovpada s središčem obrobljene krogle, potem je vsota ravninskih kotov pri oglišču enaka π ali obratno, en kot je enak π/n, kjer je n število kotov na dnu piramide.

Povezava med piramido in kroglo

Kroglo lahko opišemo okoli piramide, če je na dnu piramide polieder, okoli katerega lahko opišemo krog (nujen in zadosten pogoj). Središče krogle bo presečišče ravnin, ki potekajo pravokotno skozi središča stranskih robov piramide.

Okoli vsake trikotne ali pravilne piramide je vedno mogoče opisati kroglo.

Krogla je lahko včrtana v piramido, če se simetrali notranjih diedrskih kotov piramide sekata v eni točki (nujen in zadosten pogoj). Ta točka bo središče krogle.

Razmerje med piramido in stožcem

Pravimo, da je stožec vpisan v piramido, če njuni oglišči sovpadata in je osnova stožca vpisana v osnovo piramide.

Stožec je mogoče vpisati v piramido, če so apoteme piramide med seboj enake.

Pravimo, da je stožec obpisan okoli piramide, če njuni oglišči sovpadata in je vznožje stožca obkroženo okoli vznožja piramide.

Okoli piramide lahko opišemo stožec, če so vsi stranski robovi piramide med seboj enaki.

Razmerje med piramido in valjem

Piramida se imenuje včrtana v valj, če vrh piramide leži na eni podlagi valja, osnova piramide pa je včrtana v drugo osnovo valja.

Okoli piramide lahko opišemo valj, če lahko opišemo krog okoli vznožja piramide.

Opredelitev. Prisekana piramida (piramidalna prizma)- to je polieder, ki se nahaja med osnovo piramide in presečno ravnino, vzporedno z osnovo. Tako ima piramida veliko osnovo in manjšo osnovo, ki je podobna večji. Stranske ploskve so trapezaste.

Opredelitev. Trikotna piramida (tetraeder) je piramida, v kateri so tri ploskve in osnova poljubni trikotniki.

Tetraeder ima štiri ploskve in štiri oglišča ter šest robov, pri čemer katera koli dva roba nimata skupnih oglišč, vendar se ne dotikata.

Vsako oglišče je sestavljeno iz treh ploskev in robov, ki tvorijo trikotni kot.

Odsek, ki povezuje oglišče tetraedra s središčem nasprotne ploskve, se imenuje mediana tetraedra(GM).

Bimedian imenovan segment, ki povezuje središča nasprotnih robov, ki se ne dotikajo (KL).

Vse bimediane in mediane tetraedra se sekajo v eni točki (S). V tem primeru so bimediane razdeljene na pol, mediane pa v razmerju 3:1, začenši od vrha.

Opredelitev. Poševna piramida je piramida, pri kateri eden od robov z osnovo tvori top kot (β).

Opredelitev. Pravokotna piramida je piramida, pri kateri je ena od stranskih ploskev pravokotna na osnovo.

Opredelitev. Ostrokotna piramida- piramida, v kateri je apotem več kot polovica dolžine stranice baze.

Opredelitev. Topa piramida- piramida, pri kateri je apotem krajši od polovice stranice baze.

Opredelitev. Pravilni tetraeder- tetraeder z vsemi štirimi stranicami - enakostranični trikotniki. Je eden izmed petih pravilni poligoni. V pravilnem tetraedru so vsi diedrski koti (med ploskvami) in triedrski koti (pri vrhu) enaki.

Opredelitev. Pravokotni tetraeder imenujemo tetraeder, pri katerem je med tremi robovi na vrhu pravi kot (robovi so pravokotni). Oblikujejo se trije obrazi pravokoten trikotni kot in robovi so pravokotne trikotnike, osnova pa je poljuben trikotnik. Apotem katere koli ploskve je enak polovici stranice osnove, na katero pade apotem.

Opredelitev. Izoedrski tetraeder se imenuje tetraeder, katerega stranske ploskve so enake druga drugi, osnova pa je pravilen trikotnik. Takšen tetraeder ima ploskve, ki so enakokraki trikotniki.

Opredelitev. Ortocentrični tetraeder imenujemo tetraeder, pri katerem se vse višine (navpičnice), ki so spuščene z vrha na nasprotno ploskev, sekajo v eni točki.

Opredelitev. Zvezdna piramida Polieder, katerega osnova je zvezda, se imenuje.

Opredelitev. Bipiramida- polieder, sestavljen iz dveh različnih piramid (piramide so lahko tudi odrezane), ki imata skupno bazo, oglišči pa ležita na nasprotnih straneh osnovne ravnine.

je večplastna figura, katere osnova je mnogokotnik, preostale ploskve pa predstavljajo trikotniki s skupnim vrhom.

Če je osnova kvadrat, se imenuje piramida štirikotne, če trikotnik – potem trikotne. Višino piramide narišemo od njenega vrha pravokotno na podnožje. Uporablja se tudi za izračun površine apotema– višina stranske ploskve, spuščena z vrha.
Formula za površino stranske površine piramide je vsota površin njenih stranskih ploskev, ki so med seboj enake. Vendar se ta metoda izračuna uporablja zelo redko. V bistvu se površina piramide izračuna skozi obod baze in apotem:

Oglejmo si primer izračuna površine bočne površine piramide.

Naj nam bo podana piramida z osnovo ABCDE in vrhom F. AB =CD =DE =EA =3 cm. Poiščite ploščino stranske ploskve piramide.
Poiščimo obseg. Ker so vsi robovi osnove enaki, bo obseg peterokotnika enak:
Zdaj lahko najdete stransko območje piramide:

Območje pravilne trikotne piramide

Pravilno trikotna piramida je sestavljen iz osnove, v kateri leži pravilen trikotnik in treh po površini enakih stranskih ploskev.
Formulo za stransko površino pravilne trikotne piramide je mogoče izračunati na različne načine. Uporabite lahko običajno formulo za izračun z uporabo oboda in apoteme ali pa poiščete površino ene ploskve in jo pomnožite s tri. Ker je ploskev piramide trikotnik, uporabimo formulo za površino trikotnika. Potreben bo apotem in dolžina baze. Oglejmo si primer izračuna bočne površine pravilne trikotne piramide.

Podana je piramida z apotemom a = 4 cm in osnovno ploskev b = 2 cm. Poiščite ploščino stranske ploskve piramide.
Najprej poiščite območje ene od stranskih ploskev. V tem primeru bo:
Nadomestite vrednosti v formulo:
Ker so v pravilni piramidi vse stranice enake, bo površina stranske površine piramide enaka vsoti površin treh ploskev. Oziroma:

Območje prisekane piramide

Okrnjeno Piramida je polieder, ki ga tvorita piramida in njen presek vzporeden z osnovo.
Formula za stransko površino prisekane piramide je zelo preprosta. Ploščina je enaka zmnožku polovice vsote obsegov baz in apoteme:

Skupna površina bočne površine piramide je sestavljena iz vsote površin njenih stranskih ploskev.

V štirikotni piramidi sta dve vrsti ploskev - štirikotnik na dnu in trikotniki s skupnim vrhom, ki tvorijo stransko površino.
Najprej morate izračunati površino stranskih ploskev. Če želite to narediti, lahko uporabite formulo za površino trikotnika ali pa uporabite formulo za površino štirikotne piramide (samo če je polieder pravilen). Če je piramida pravilna in je znana dolžina roba a osnove in apotem h, ki sta ji narisana, potem:

Če sta v skladu s pogoji podani dolžina roba c pravilne piramide in dolžina stranice osnove a, potem lahko vrednost najdete z naslednjo formulo:

Če sta podana dolžina roba na dnu in ostri kot nasproti njega na vrhu, potem lahko površino stranske površine izračunamo z razmerjem kvadrata stranice a do dvojnega kosinusa polovice kot α:

Oglejmo si primer izračuna površine štirikotne piramide skozi stranski rob in stran baze.

Problem: Naj bo dana pravilna štirikotna piramida. Dolžina roba b = 7 cm, dolžina osnovne stranice a = 4 cm Nadomestite dane vrednosti v formulo:

Prikazali smo izračune površine ene stranske ploskve za pravilno piramido. Oziroma. Če želite najti površino celotne površine, morate rezultat pomnožiti s številom obrazov, to je s 4. Če je piramida poljubna in njeni obrazi niso enaki drug drugemu, je treba izračunati območje za vsako posamezno stran. Če je osnova pravokotnik ali paralelogram, potem je vredno zapomniti njihove lastnosti. Stranice teh figur so v parih vzporedne, zato bodo tudi ploskve piramide v parih enake.
Formula za površino osnove štirikotne piramide je neposredno odvisna od tega, kateri štirikotnik leži na dnu. Če je piramida pravilna, se površina baze izračuna po formuli, če je osnova romb, se morate spomniti, kako se nahaja. Če je na dnu pravokotnik, bo iskanje njegovega območja precej preprosto. Dovolj je poznati dolžine stranic baze. Oglejmo si primer izračuna površine osnove štirikotne piramide.

Naloga: Naj bo podana piramida, na kateri leži pravokotnik s stranicami a = 3 cm, b = 5 cm, z vrha piramide je na vsako od stranic spuščen apotem. h-a =4 cm, h-b =6 cm leži na isti premici kot presečišče diagonal. Najdi polna površina piramide.
Formula za površino štirikotne piramide je sestavljena iz vsote površin vseh ploskev in površine osnove. Najprej poiščemo površino baze:


Zdaj pa poglejmo stranice piramide. V parih sta enaki, ker višina piramide seka presečišče diagonal. To pomeni, da sta v naši piramidi dva trikotnika z osnovo a in višina h-a, kot tudi dva trikotnika z osnovo b in višina h-b. Zdaj poiščemo območje trikotnika z dobro znano formulo:


Zdaj pa izvedimo primer izračuna površine štirikotne piramide. V naši piramidi s pravokotnikom na dnu bi formula izgledala takole:

Trikotna piramida je polieder, katerega osnova je pravilen trikotnik.

V taki piramidi so robovi baze in robovi strani enaki drug drugemu. V skladu s tem se površina stranskih ploskev najde iz vsote površin treh enakih trikotnikov. S formulo lahko najdete stransko površino pravilne piramide. In izračun lahko naredite večkrat hitreje. Če želite to narediti, morate uporabiti formulo za površino stranske površine trikotne piramide:

kjer je p obseg baze, katere vse stranice so enake b, a je apotem, spuščen od vrha do te baze. Oglejmo si primer izračuna površine trikotne piramide.

Problem: Naj bo dana pravilna piramida. Stranica trikotnika na dnu je b = 4 cm, a = 7 cm.
Ker glede na pogoje problema poznamo dolžine vseh potrebnih elementov, bomo našli obseg. Spomnimo se, da so v pravilnem trikotniku vse strani enake, zato se obseg izračuna po formuli:

Zamenjajmo podatke in poiščimo vrednost:

Zdaj, ko poznamo obseg, lahko izračunamo stransko površino:

Če želite uporabiti formulo za površino trikotne piramide za izračun polne vrednosti, morate najti površino baze poliedra. Če želite to narediti, uporabite formulo:

Formula za površino osnove trikotne piramide je lahko drugačna. Za določeno številko je mogoče uporabiti kateri koli izračun parametrov, vendar najpogosteje to ni potrebno. Oglejmo si primer izračuna površine osnove trikotne piramide.

Naloga: V pravilni piramidi je stranica trikotnika na dnu a = 6 cm.
Za izračun potrebujemo samo dolžino stranice pravilnega trikotnika, ki se nahaja na dnu piramide. Zamenjajmo podatke v formulo:

Precej pogosto morate najti skupno površino poliedra. Če želite to narediti, boste morali sešteti površino stranske površine in podlage.

Oglejmo si primer izračuna površine trikotne piramide.

Problem: Naj bo dana pravilna trikotna piramida. Osnovna stranica je b = 4 cm, apotem je a = 6 cm. Poiščite celotno površino piramide.
Najprej poiščimo površino bočne površine z že znano formulo. Izračunajmo obseg:

Zamenjajte podatke v formulo:
Zdaj pa poiščimo površino baze:
Če poznamo površino osnovne in stranske površine, najdemo skupno površino piramide:

Pri izračunu površine pravilne piramide ne pozabite, da je osnova pravilen trikotnik in da so številni elementi tega poliedra med seboj enaki.