V tej lekciji si bomo ogledali še dve operaciji z vektorji: vektorski produkt vektorjev in mešani produkt vektorjev (takojšnja povezava za tiste, ki jo potrebujejo). Ni kaj, včasih se zgodi, da za popolno srečo, poleg skalarni produkt vektorjev, potrebnih je vedno več. To je vektorska odvisnost. Morda se zdi, da smo zašli v džunglo analitične geometrije. To je narobe. V tem delu višje matematike je na splošno malo lesa, razen morda dovolj za Ostržka. Pravzaprav je material zelo običajen in preprost - komajda bolj zapleten kot enak pikasti izdelek, tipičnih nalog bo še manj. Glavna stvar v analitični geometriji, kot bodo mnogi prepričani ali so se že prepričali, je, da se NE ZMOTI PRI IZRAČUNAH. Ponavljajte kot urok in srečni boste =)

Če se vektorji iskrijo nekje daleč, kot strela na obzorju, ni pomembno, začnite z lekcijo Vektorji za lutke obnoviti ali ponovno pridobiti osnovno znanje o vektorjih. Bolj pripravljeni bralci se lahko selektivno seznanijo z informacijami; poskušal sem zbrati čim bolj popolno zbirko primerov, ki jih pogosto najdemo v praktično delo

Kaj vas bo takoj osrečilo? Ko sem bil majhen, sem znal žonglirati z dvema in celo tremi žogami. Dobro se je izšlo. Zdaj vam sploh ne bo treba žonglirati, saj bomo razmislili le prostorski vektorji, ploski vektorji z dvema koordinatama pa bodo izpuščeni. Zakaj? Tako so se rodila ta dejanja - definirana in delujeta vektor in mešani produkt vektorjev tridimenzionalni prostor. Je že lažje!

Ta operacija, tako kot skalarni produkt, vključuje dva vektorja. Naj bodo to neminljive črke.

Sama akcija označen z kot sledi: . Obstajajo še druge možnosti, vendar sem navajen vektorski produkt vektorjev označevati na ta način, v oglatih oklepajih s križcem.

In to takoj vprašanje: če v skalarni produkt vektorjev sta vključena dva vektorja in tukaj sta dva vektorja tudi pomnožena kakšna je razlika? Očitna razlika je najprej v REZULTATU:

Rezultat skalarnega produkta vektorjev je ŠTEVILO:

Rezultat navzkrižnega produkta vektorjev je VEKTOR: , to pomeni, da vektorje pomnožimo in spet dobimo vektor. Zaprt klub. Pravzaprav od tod izvira ime operacije. V različnih poučna literatura oznake so lahko tudi različne, uporabil bom črko .

Opredelitev navzkrižnega produkta

Najprej bo definicija s sliko, nato komentarji.

Opredelitev: Vektorski izdelek nekolinearni vektorji, posneti v tem vrstnem redu, imenovan VEKTOR, dolžina kar je številčno enaka površini paralelograma, zgrajen na teh vektorjih; vektor pravokoten na vektorje, in je usmerjena tako, da je osnova pravilno usmerjena:

Razčlenimo definicijo, tukaj je veliko zanimivih stvari!

Torej je mogoče poudariti naslednje pomembne točke:

1) Izvirni vektorji, označeni z rdečimi puščicami, po definiciji ni kolinearna. Primer kolinearnih vektorjev bo primerno obravnavati nekoliko kasneje.

2) Vektorji so vzeti v strogo določenem vrstnem redu: – "a" se pomnoži z "be", in ne »biti« z »a«. Rezultat vektorskega množenja je VEKTOR, ki je označen z modro. Če vektorje pomnožimo v obratnem vrstnem redu, dobimo vektor enake dolžine in nasprotne smeri (barva maline). To pomeni, da je enakost resnična .

3) Zdaj pa se seznanimo z geometrijskim pomenom vektorskega produkta. To je zelo pomembna točka! DOLŽINA modrega vektorja (in s tem škrlatnega vektorja) je številčno enaka PLOŠČINI paralelograma, zgrajenega na vektorjih. Na sliki je ta paralelogram črno osenčen.

Opomba : risba je shematična in seveda nazivna dolžina vektorskega produkta ni enaka površini paralelograma.

Spomnimo se enega od geometrijske formule: Površina paralelograma je enaka zmnožku sosednjih stranic in sinusa kota med njima. Zato je na podlagi zgoraj navedenega veljavna formula za izračun DOLŽINE vektorskega produkta:

Poudarjam, da formula govori o DOLŽINI vektorja in ne o samem vektorju. Kakšen je praktični pomen? In pomen je, da se v problemih analitične geometrije območje paralelograma pogosto najde s konceptom vektorskega izdelka:

Pojdimo po drugega pomembna formula. Diagonala paralelograma (rdeča pikčasta črta) ga deli na dva enaka trikotnika. Zato je območje trikotnika, zgrajenega na vektorjih (rdeče senčenje), mogoče najti s formulo:

4) Enako pomembno dejstvo je, da je vektor pravokoten na vektorja, tj . Seveda je tudi nasprotno usmerjen vektor (malinasta puščica) pravokoten na prvotne vektorje.

5) Vektor je usmerjen tako, da osnova ima desno orientacija. V lekciji o prehod na novo osnovo Govoril sem dovolj podrobno o ravninska orientacija, zdaj pa bomo ugotovili, kaj je vesoljska orientacija. Razložil vam bom na prste desna roka . Mentalno kombinirajte kazalec z vektorjem in srednji prst z vektorjem. Prstanec in mezinec pritisnite na dlan. Kot rezultat palec– vektorski produkt bo pogledal navzgor. To je desno usmerjena osnova (to je ta na sliki). Zdaj spremenite vektorje ( kazalec in sredinec) na nekaterih mestih, posledično se bo palec obrnil in vektorski produkt bo že gledal navzdol. To je tudi desno usmerjena osnova. Morda imate vprašanje: katera osnova ima levo orientacijo? "Dodeli" istim prstom leva roka vektorje ter pridobimo levo osnovo in levo orientacijo prostora (v tem primeru bo palec nameščen v smeri spodnjega vektorja). Figurativno povedano, te baze "sukajo" ali usmerjajo prostor v različne smeri. In tega koncepta ne bi smeli obravnavati kot nekaj namišljenega ali abstraktnega - na primer, orientacijo prostora spremeni najbolj običajno ogledalo, in če "izvlečete odsevni predmet iz ogledala", potem v splošnem primeru ne bo mogoče kombinirati z "originalom". Mimogrede, drži tri prste do ogledala in analiziraj odsev ;-)

... kako dobro je, da zdaj veš desno in levo usmerjeno baze, ker so izjave nekaterih predavateljev o spremembi usmeritve strašljive =)

Navzkrižni produkt kolinearnih vektorjev

Definicija je bila podrobno obravnavana, treba je ugotoviti, kaj se zgodi, ko so vektorji kolinearni. Če sta vektorja kolinearna, ju lahko postavimo na eno ravno črto in tudi naš paralelogram se »sešteje« v eno ravno črto. Območje takega, kot pravijo matematiki, degeneriran paralelogram je enak nič. Enako izhaja iz formule - sinus nič ali 180 stopinj je enak nič, kar pomeni, da je površina enaka nič

Torej, če , potem . Strogo gledano je sam vektorski produkt enak ničelnemu vektorju, vendar se v praksi to pogosto zanemarja in piše, da je preprosto enak nič.

Poseben primer je vektorski produkt vektorja s samim seboj:

Z navzkrižnim produktom lahko preverite kolinearnost tridimenzionalnih vektorjev in to nalogo med drugim bomo analizirali tudi.

Rešiti praktični primeri se lahko zahteva trigonometrična tabela da bi iz njega našli vrednosti sinusov.

No, prižgimo ogenj:

Primer 1

a) Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev, če

b) Poiščite ploščino paralelograma, zgrajenega na vektorjih, če

rešitev: Ne, to ni tipkarska napaka, namerno sem naredil enake začetne podatke v klavzulah. Ker bo zasnova rešitev drugačna!

a) Glede na pogoj, morate najti dolžina vektor (navzkrižni produkt). Po ustrezni formuli:

Odgovori:

Če ste bili vprašani o dolžini, potem v odgovoru navedemo dimenzijo - enote.

b) Glede na pogoj morate najti kvadrat paralelogram, zgrajen na vektorjih. Površina tega paralelograma je številčno enaka dolžini vektorskega produkta:

Odgovori:

Upoštevajte, da odgovor sploh ne govori o vektorskem produktu; območje figure, zato so dimenzije kvadratne enote.

Vedno pogledamo, KAJ moramo najti glede na stanje, in na podlagi tega oblikujemo jasno odgovor. Morda se zdi dobesednost, vendar je med učitelji veliko dobesednikov in naloga z njimi dobre možnosti se bo vrnil v revizijo. Čeprav to ni posebno namišljeno prepirjenje – če je odgovor napačen, se zdi, da oseba ne razume. preproste stvari in/ali ni razumel bistva naloge. To točko je treba vedno imeti pod nadzorom pri reševanju katerega koli problema v višji matematiki in tudi pri drugih predmetih.

Kam je izginila velika črka "en"? Načeloma bi ga lahko še dodatno priložili rešitvi, vendar zaradi skrajšanja vnosa tega nisem naredil. Upam, da vsi to razumejo in je oznaka za isto stvar.

Priljubljen primer rešitve DIY:

Primer 2

Poiščite območje trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če

Formula za iskanje površine trikotnika skozi vektorski produkt je podana v komentarjih k definiciji. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.

V praksi je naloga res zelo pogosta; trikotniki vas lahko na splošno mučijo.

Za reševanje drugih težav bomo potrebovali:

Lastnosti vektorskega produkta vektorjev

Nekatere lastnosti vektorskega produkta smo že obravnavali, vendar jih bom vključil v ta seznam.

Za poljubne vektorje in poljubno število veljajo naslednje lastnosti:

1) V drugih virih informacij ta element običajno ni poudarjen v lastnostih, vendar je v praksi zelo pomemben. Pa naj bo.

2) – lastnost je obravnavana tudi zgoraj, včasih se imenuje antikomutativnost. Z drugimi besedami, vrstni red vektorjev je pomemben.

3) – asociativne oz asociativno zakoni o vektorskem produktu. Konstante je mogoče preprosto premakniti izven vektorskega produkta. Saj res, kaj naj počnejo tam?

4) – distribucija oz razdelilni zakoni o vektorskem produktu. Tudi z odpiranjem oklepajev ni težav.

Za dokaz si oglejmo kratek primer:

Primer 3

Poiščite, če

rešitev: Pogoj spet zahteva iskanje dolžine vektorskega produkta. Pobarvajmo našo miniaturo:

(1) V skladu z asociativnimi zakoni jemljemo konstante izven obsega vektorskega produkta.

(2) Konstanto vzamemo izven modula in modul "poje" znak minus. Dolžina ne more biti negativna.

(3) Ostalo je jasno.

Odgovori:

Čas je, da dodamo še drva na ogenj:

Primer 4

Izračunajte površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če

rešitev: Poiščite površino trikotnika s formulo . Ulov je v tem, da sta vektorja »tse« in »de« sama predstavljena kot vsota vektorjev. Algoritem tukaj je standarden in nekoliko spominja na primera št. 3 in 4 lekcije Točkovni produkt vektorjev. Zaradi jasnosti bomo rešitev razdelili na tri stopnje:

1) V prvem koraku izrazimo vektorski produkt skozi vektorski produkt, pravzaprav izrazimo vektor z vektorjem. O dolžinah še ni govora!

(1) Zamenjajte izraze vektorjev.

(2) S pomočjo distribucijskih zakonov odpremo oklepaje po pravilu množenja polinomov.

(3) Z uporabo asociativnih zakonov premaknemo vse konstante onkraj vektorskih produktov. Z malo izkušenj lahko 2. in 3. korak izvedete sočasno.

(4) Prvi in ​​zadnji člen sta zaradi lepe lastnosti enaka nič (ničelni vektor). V drugem členu uporabimo lastnost antikomutativnosti vektorskega produkta:

(5) Predstavljamo podobne pogoje.

Kot rezultat se je izkazalo, da je vektor izražen z vektorjem, kar je bilo potrebno doseči:

2) V drugem koraku poiščemo dolžino vektorskega produkta, ki ga potrebujemo. To dejanje je podobno 3. primeru:

3) Poiščite območje zahtevanega trikotnika:

Faze 2-3 rešitve bi lahko zapisali v eno vrstico.

Odgovori:

Obravnavana težava je precej pogosta pri testi, tukaj je primer neodvisne rešitve:

Primer 5

Poiščite, če

Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije. Poglejmo, kako pozorni ste bili pri preučevanju prejšnjih primerov ;-)

Navzkrižni produkt vektorjev v koordinatah

, podana v ortonormirani osnovi, izraženo s formulo:

Formula je res enostavna: v zgornjo vrstico determinante zapišemo koordinatne vektorje, v drugo in tretjo vrstico »vstavimo« koordinate vektorjev in vnesemo v strogem redu– najprej koordinate vektorja »ve«, nato koordinate vektorja »double-ve«. Če je treba vektorje pomnožiti v drugačnem vrstnem redu, je treba vrstice zamenjati:

Primer 10

Preverite, ali so naslednji prostorski vektorji kolinearni:
A)
b)

rešitev: Preverjanje temelji na eni od izjav v tej lekciji: če sta vektorja kolinearna, potem je njihov vektorski produkt enak nič (ničelni vektor): .

a) Poiščite vektorski produkt:

Vektorji torej niso kolinearni.

b) Poiščite vektorski produkt:

Odgovori: a) ni kolinearna, b)

Tukaj so morda vse osnovne informacije o vektorskem produktu vektorjev.

Ta del ne bo zelo velik, saj je malo problemov, kjer se uporablja mešani produkt vektorjev. Pravzaprav bo vse odvisno od definicije, geometrijski pomen in nekaj delujočih formul.

Mešani kos vektorji je produkt treh vektorji:

Tako so se postavili v vrsto kot vlak in komaj čakajo, da jih identificirajo.

Najprej spet definicija in slika:

Opredelitev: Mešano delo nekoplanarni vektorji, posneti v tem vrstnem redu, poklical volumen paralelopipeda, zgrajen na teh vektorjih, opremljen z znakom "+", če je osnova desna, in znakom "–", če je osnova leva.

Naredimo risanje. Nam nevidne črte so narisane s pikčastimi črtami:

Poglobimo se v definicijo:

2) Vektorji so vzeti v določenem vrstnem redu, to je prerazporeditev vektorjev v produktu, kot morda ugibate, ne poteka brez posledic.

3) Preden komentiram geometrijski pomen, bom opozoril na očitno dejstvo: mešani produkt vektorjev je ŠTEVILO: . V izobraževalni literaturi je lahko zasnova nekoliko drugačna; mešani izdelek sem navajen označevati s , rezultat izračunov pa s črko "pe".

Po definiciji mešani produkt je prostornina paralelepipeda, zgrajen na vektorjih (slika je narisana z rdečimi vektorji in črnimi črtami). To pomeni, da je število enako prostornini danega paralelepipeda.

Opomba : Risba je shematska.

4) Ne obremenjujmo se spet s konceptom orientacije osnove in prostora. Pomen zadnjega dela je, da se glasnosti lahko doda znak minus. Z enostavnimi besedami, je lahko mešani produkt negativen: .

Neposredno iz definicije sledi formula za izračun volumna paralelopipeda, zgrajenega na vektorjih.

Površina paralelograma, zgrajenega na vektorjih, je enaka produktu dolžin teh vektorjev in kota kota, ki leži med njimi.

Dobro je, če pogoji podajajo dolžine teh istih vektorjev. Vendar pa se tudi zgodi, da je formulo za območje paralelograma, zgrajenega na vektorjih, mogoče uporabiti šele po izračunih z uporabo koordinat.
Če imate srečo in pogoji podajajo dolžine vektorjev, potem morate samo uporabiti formulo, o kateri smo že podrobno razpravljali v članku. Površina bo enaka produktu modulov in sinusu kota med njimi:

Oglejmo si primer izračuna površine paralelograma, zgrajenega na vektorjih.

Naloga: Paralelogram je zgrajen na vektorjih in . Poiščite površino, če je , In kot med njima je 30°.
Izrazimo vektorje skozi njihove vrednosti:

Morda imate vprašanje - od kod prihajajo ničle? Ne smemo pozabiti, da delamo z vektorji in zanje . upoštevajte tudi, da če je rezultat , bo pretvorjen v . Zdaj opravimo končne izračune:

Vrnimo se k problemu, ko dolžine vektorjev v pogojih niso določene. Če vaš paralelogram leži v kartezičnem koordinatnem sistemu, boste morali narediti naslednje.

Izračun dolžin stranic figure, podane s koordinatami

Za začetek poiščemo koordinate vektorjev in od končnih koordinat odštejemo ustrezne koordinate začetka. Recimo, da so koordinate vektorja a (x1;y1;z1), vektor b pa (x3;y3;z3).
Zdaj poiščemo dolžino vsakega vektorja. Da bi to naredili, je treba vsako koordinato kvadrirati, nato pa dobljene rezultate sešteti in izluščiti koren iz končnega števila. Na podlagi naših vektorjev bodo naslednji izračuni:


Zdaj moramo najti skalarni produkt naših vektorjev. Da bi to naredili, se njihove ustrezne koordinate pomnožijo in seštejejo.

Če imamo dolžine vektorjev in njihov skalarni produkt, lahko najdemo kosinus kota, ki leži med njima .
Zdaj lahko najdemo sinus istega kota:
Zdaj imamo vse potrebne količine in z že znano formulo zlahka najdemo površino paralelograma, zgrajenega na vektorjih.

kvadrat paralelogram, zgrajen na vektorji, se izračuna kot produkt dolžin teh vektorjev in sinusa kota med njima. Če so znane le koordinate vektorjev, je treba za izračun uporabiti koordinatne metode, vključno z določitvijo kota med vektorji.

Potrebovali boste

• - koncept vektorja;
• - lastnosti vektorjev;
• - kartezične koordinate;
• - trigonometrične funkcije.

Navodila

• Če sta znani dolžini vektorjev in kot med njimi, potem, da bi našli območje paralelogram, zgrajen na vektorji, poiščite produkt njihovih modulov (dolžin vektorjev) s sinusom kota med njima S=│a│ │ b│ sin(α).
• Če so vektorji podani v kartezičnem koordinatnem sistemu, potem, da bi našli območje paralelogram na podlagi njih naredite naslednje:
• Poiščite koordinate vektorjev, če niso podane takoj, tako da od ustreznih koordinat koncev vektorjev odštejete koordinate iz začetkov. Na primer, če koordinate izhodišče vektor (1;-3;2) in končni (2;-4;-5), potem bodo koordinate vektorja (2-1;-4+3;-5-2)=(1 ;-1;-7 ). Naj bodo koordinate vektorja a(x1;y1;z1), vektorja b(x2;y2;z2).
• Poiščite dolžine vsakega od vektorjev. Kvadrirajte vsako od vektorskih koordinat in poiščite njihovo vsoto x1²+y1²+z1². Izvlecite kvadratni koren rezultata. Za drugi vektor naredite enak postopek. Tako dobimo │a│in│b│.
• Poiščite pikčasti produkt vektorjev. Če želite to narediti, pomnožite njihove ustrezne koordinate in seštejte produkte │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2.
• Določite kosinus kota med njima, za katerega se skalarni produkt vektorjev, dobljen v koraku 3, deli s produktom dolžin vektorjev, ki so bili izračunani v koraku 2 (Cos(α)= │a b│/(│a │ │ b│)).
• Sinus dobljenega kota bo enak kvadratnemu korenu razlike med številom 1 in kvadratom kosinusa istega kota, izračunanega v 4. koraku (1-Cos²(α)).
• Izračunajte površino paralelogram, zgrajen na vektorji potem ko smo našli zmnožek njihovih dolžin, izračunan v 2. koraku, in rezultat pomnožili s številom, dobljenim po izračunih v 5. koraku.
• V primeru, da so koordinate vektorjev določene na ravnini, se koordinata z med izračuni preprosto zavrže. Ta izračun je numerični izraz vektorskega produkta dveh vektorjev.