Enačba x 2 1. Rešitve enačbe x2 = a. Nepopolne kvadratne enačbe

((3 * x – 1) = 0;

-(3 * x – 1) = 0;

Od tu vidimo, da obstaja ena enačba 3 * x – 1 = 0.

Dobili smo linearno enačbo v obliki 3 * x – 1 = 0

Da bi rešili enačbo, ugotovimo, katere lastnosti ima enačba:

• Enačba je linearna in je zapisana kot a * x + b = 0, kjer sta a in b poljubni števili;
• Ko je a = b = 0, ima enačba neskončno število rešitev;
• Če je a = 0, b ≠ 0, enačba nima rešitve;
• Če je a ≠ 0, b = 0, ima enačba rešitev: x = 0;
• Če sta a in b kateri koli števili, ki ni 0, se koren najde z naslednjo formulo x = - b/a.

Od tu dobimo, da je a = 3, b = - 1, kar pomeni, da ima enačba en koren.

Preverjanje rešitve enačbe

Nadomestimo najdeno vrednost x = 1/3 v prvotni izraz |3 * x - 1| = 0, potem dobimo:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

Da bi našli vrednost izraza, najprej po vrsti izračunamo množenje ali deljenje, nato seštejemo ali odštejemo. Se pravi, dobimo:

To pomeni, da je x = 1/3 koren enačbe |3 * x - 1| = 0.

|3 * x - 1| = 0;

Modul se odpre z znakom plus in minus. Dobimo 2 enačbi:

1) 3 * x - 1 = 0;

Na eno stran prenašamo znane vrednosti, na drugo pa neznane vrednosti. Pri prenosu vrednosti se njihovi predznaki spremenijo v nasprotni predznak. Se pravi, dobimo:
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

Odpiranje oklepaja. Ker je pred oklepajem znak minus, se znaki vrednosti, ko se razširijo, spremenijo v nasprotni znak. Se pravi, dobimo:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1/(- 3);
x = 1/3;
Odgovor: x = 1/3.

Oglejmo si enačbo x^2=a, kjer je a lahko poljubno število. Obstajajo trije primeri reševanja te enačbe, odvisno od vrednosti, ki jo ima število a (a0).

Razmislimo o vsakem primeru posebej.

Primeri različnih primerov enačbe x^2=a

x^2=a, za a<0

Ker kvadrat katerega koli realnega števila ne more biti negativno število, je enačba x^2=a za a

x^2=a, pri čemer je a=0

V tem primeru ima enačba en koren. Ta koren je število 0. Ker je enačbo mogoče prepisati v obliki x*x=0, se včasih tudi reče, da ima ta enačba dva korena, ki sta med seboj enaka in enaka 0.

x^2=a, za a>0

V tem primeru je enačba x^2=a za a rešena na naslednji način. Najprej premaknemo a na levo stran.

Iz definicije kvadratnega korena sledi, da lahko a zapišemo v naslednji obliki: a=(√a)^2. Potem lahko enačbo prepišemo na naslednji način:

x^2 - (√a)^2 = 0.

Na levi strani vidimo formulo za razliko kvadratov;

(x+√a)*(x-√a)=0;

Zmnožek dveh oklepajev je enak nič, če je vsaj eden od njiju enak nič. torej

Zato je x1=√a x2=-√a.

To rešitev lahko preverimo z izrisom grafa.

Na primer, naredimo to za enačbo x^2 = 4.

Če želite to narediti, morate sestaviti dva grafa y=x^2 in y=4. In poglejte koordinate x njihovih presečišč. Korenine naj bodo 2 in -2. Na sliki je vse jasno vidno.

Potrebujete pomoč pri študiju?

Prejšnja tema:

Pri predmetu matematika v 7. razredu se prvič srečamo enačbe z dvema spremenljivkama, vendar jih proučujemo le v okviru sistemov enačb z dvema neznankama. Zato pade izpred oči cela vrsta problemov, pri katerih so na koeficiente enačbe uvedeni določeni pogoji, ki jih omejujejo. Poleg tega so prezrte tudi metode za reševanje problemov, kot je »Reši enačbo v naravnih ali celih številih«, čeprav v Materiali za enotni državni izpit in naprej sprejemni izpiti Tovrstne težave so vse pogostejše.

Katero enačbo bomo imenovali enačba z dvema spremenljivkama?

Tako so na primer enačbe 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 ali xy = 12 enačbe v dveh spremenljivkah.

Razmislite o enačbi 2x – y = 1. Spremeni se v prava enakost za x = 2 in y = 3, tako da je ta par vrednosti spremenljivke rešitev zadevne enačbe.

Tako je rešitev katere koli enačbe z dvema spremenljivkama niz urejenih parov (x; y), vrednosti spremenljivk, ki to enačbo spremenijo v pravo numerično enakost.

Enačba z dvema neznankama lahko:

A) imeti eno rešitev. Na primer, enačba x 2 + 5y 2 = 0 ima edinstveno rešitev (0; 0);

b) imajo več rešitev. Na primer, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ima 4 rešitve: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nimajo rešitev. Na primer, enačba x 2 + y 2 + 1 = 0 nima rešitev;

G) imajo neskončno veliko rešitev. Na primer, x + y = 3. Rešitve te enačbe bodo števila, katerih vsota je enaka 3. Niz rešitev podana enačba lahko zapišemo v obliki (k; 3 – k), kjer je k poljuben realno število.

Glavne metode za reševanje enačb z dvema spremenljivkama so metode, ki temeljijo na faktoriziranju izrazov, izolaciji celotnega kvadrata, uporabi lastnosti kvadratne enačbe, omejenih izrazov in metod ocenjevanja. Enačba se običajno pretvori v obliko, iz katere je mogoče dobiti sistem za iskanje neznank.

Faktorizacija

Primer 1.

Reši enačbo: xy – 2 = 2x – y.

rešitev.

Združimo izraze za namene faktorizacije:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Iz vsakega oklepaja izvzamemo skupni faktor:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Imamo:

y = 2, x – poljubno realno število ali x = -1, y – poljubno realno število.

torej odgovor so vsi pari oblike (x; 2), x € R in (-1; y), y € R.

Enako nič ni negativna števila

Primer 2.

Rešite enačbo: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

rešitev.

Združevanje:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Zdaj lahko vsak oklepaj prepognemo s formulo razlike na kvadrat.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Vsota dveh nenegativnih izrazov je nič le, če je 3x – 2 = 0 in 2y – 3 = 0.

To pomeni x = 2/3 in y = 3/2.

Odgovor: (2/3; 3/2).

Metoda ocenjevanja

Primer 3.

Rešite enačbo: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

rešitev.

V vsakem oklepaju označimo celoten kvadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Ocenimo pomen izrazov v oklepajih.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 in (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, potem je leva stran enačbe vedno vsaj 2. Enakost je možna, če:

(x + 1) 2 + 1 = 1 in (y – 2) 2 + 2 = 2, kar pomeni x = -1, y = 2.

Odgovor: (-1; 2).

Spoznajmo še eno metodo za reševanje enačb z dvema spremenljivkama druge stopnje. Ta metoda je sestavljena iz obravnavanja enačbe kot kvadrat glede na neko spremenljivko.

Primer 4.

Rešite enačbo: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

rešitev.

Rešimo enačbo kot kvadratno enačbo za x. Poiščimo diskriminanco:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Enačba bo imela rešitev le, ko je D = 0, torej če je y = 4. V prvotno enačbo nadomestimo vrednost y in ugotovimo, da je x = 3.

Odgovor: (3; 4).

Pogosto v enačbah z dvema neznankama kažejo omejitve spremenljivk.

Primer 5.

Rešite enačbo v celih številih: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

rešitev.

Prepišimo enačbo kot x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Desna stran nastala enačba, deljena s 5, daje ostanek 2. Zato x 2 ni deljiv s 5. Toda kvadrat števila, ki ni deljivo s 5, daje ostanek 1 ali 4. Tako je enakost nemogoča in ni rešitve.

Odgovor: brez korenin.

Primer 6.

Rešite enačbo: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

rešitev.

Označimo celotne kvadrate v vsakem oklepaju:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Leva stran enačbe je vedno večja ali enaka 3. Enakost je možna, če je |x| – 2 = 0 in y + 3 = 0. Torej je x = ± 2, y = -3.

Odgovor: (2; -3) in (-2; -3).

Primer 7.

Za vsak par negativnih celih števil (x;y), ki ustreza enačbi
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, izračunajte vsoto (x + y). V odgovoru navedite najmanjši znesek.

rešitev.

Izberimo celotne kvadratke:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Ker sta x in y celi števili, sta tudi njuna kvadrata cela števila. Vsoto kvadratov dveh celih števil, ki je enaka 37, dobimo, če seštejemo 1 + 36. Torej:

(x – y) 2 = 36 in (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 in (y + 2) 2 = 36.

Z reševanjem teh sistemov in ob upoštevanju, da sta x in y negativna, najdemo rešitve: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odgovor: -17.

Ne obupajte, če imate težave pri reševanju enačb z dvema neznankama. Z malo vaje lahko obvladate vsako enačbo.

Imate še vprašanja? Ne veste, kako rešiti enačbe v dveh spremenljivkah?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
Prva lekcija je brezplačna!

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Ponujamo vam ugodno brezplačno spletni kalkulator za reševanje kvadratnih enačb. Na jasnih primerih lahko hitro ugotovite in razumete, kako so rešeni.
Za proizvodnjo rešite kvadratno enačbo na spletu, najprej zmanjšajte enačbo na splošni videz:
ax 2 + bx + c = 0
Ustrezno izpolnite polja obrazca:

Kako rešiti kvadratno enačbo

Kako rešiti kvadratno enačbo:	Vrste korenin:
1. Zmanjšajte kvadratno enačbo na splošno obliko: Splošni pogled Аx 2 +Bx+C=0 Primer: 3x - 2x 2 +1=-1 Zmanjšaj na -2x 2 +3x+2=0 2. Poiščite diskriminanco D. D=B 2 -4*A*C. Za naš primer je D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25. 3. Iskanje korenin enačbe. x1=(-B+D 1/2)/2A. Za naš primer x1=(-3+5)/(-4)=-0,5 x2=(-B-D 1/2)/2A. Za naš primer x2=(-3-5)/(-4)=2 Če B - sodo število, potem je bolj priročno izračunati diskriminanco in korenine z uporabo formul: D=K 2 -ac x1=(-K+D 1/2)/A x2=(-K-D 1/2)/A, Kjer je K=B/2	1. Prave korenine. Poleg tega. x1 ni enako x2 Do situacije pride, ko je D>0 in A ni enako 0. 2. Prave korenine so enake. x1 je enako x2 Situacija nastopi, ko je D=0. Vendar niti A, niti B, niti C ne smejo biti enaki 0. 3. Dva kompleksna korena. x1=d+ei, x2=d-ei, kjer je i=-(1) 1/2 Do situacije pride, ko D 4. Enačba ima eno rešitev. A=0, B in C nista enaka nič. Enačba postane linearna. 5. Enačba ima nešteto rešitev. A=0, B=0, C=0. 6. Enačba nima rešitev. A=0, B=0, C ni enako 0.

Za utrjevanje algoritma je tukaj še nekaj ilustrativni primeri rešitev kvadratnih enačb.

Primer 1. Reševanje navadne kvadratne enačbe z različnimi realnimi koreni.
x 2 + 3x -10 = 0
V tej enačbi
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
kvadratni koren Označili ga bomo s številko 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Za preverjanje zamenjajmo:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Primer 2. Reševanje kvadratne enačbe z ujemajočimi se realnimi koreninami.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Zamenjajmo
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Primer 3. Reševanje kvadratne enačbe s kompleksnimi koreni.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Diskriminanta je negativna – koreni so kompleksni.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, kjer je I kvadratni koren iz -1

Tukaj so pravzaprav vsi možni primeri reševanja kvadratnih enačb.
Upamo, da naš spletni kalkulator vam bo zelo koristilo.
Če je bilo gradivo uporabno, lahko