Kaj je polieder, definicija in vrste. Poliedri. Eulerjev izrek o poliedrih. Topološko pravilni in nepravilni poliedri. Poliedri v naravi

Uvod

Površino, ki je sestavljena iz mnogokotnikov in omejuje neko geometrijsko telo, imenujemo poliedrska ploskev ali polieder.

Polieder je omejeno telo, katerega površina je sestavljena iz končnega števila mnogokotnikov. Mnogokotnike, ki omejujejo polieder, imenujemo ploskve, presečišča ploskev pa robove.

Poliedri imajo lahko raznoliko in zelo zapleteno strukturo. Različne strukture, kot so hiše, zgrajene iz opeke in betonskih blokov, so primeri poliedrov. Druge primere lahko najdemo med pohištvom, na primer mizo. V kemiji je oblika molekul ogljikovodikov tetraeder, pravilni dvajseteder, kocka. V fiziki so kristali primeri poliedrov.

Že od antičnih časov so ideje o lepoti povezane s simetrijo. To verjetno pojasnjuje zanimanje ljudi za poliedre - neverjetne simbole simetrije, ki so pritegnili pozornost izjemnih mislecev, ki so bili presenečeni nad lepoto, popolnostjo in harmonijo teh figur.

Prve omembe poliedrov so znane tri tisoč let pred našim štetjem v Egiptu in Babilonu. Dovolj je, da se spomnimo slavnih Egipčanske piramide in najbolj znana med njimi je Keopsova piramida. to redna piramida, v osnovi katerega je kvadrat s stranico 233 m in višina 146,5 m. Ni naključje, da pravijo, da je Keopsova piramida tiha razprava o geometriji.

Zgodovina pravilnih poliedrov sega v antične čase. Od 7. stoletja pred našim štetjem v Stara Grčija Ustvarjajo se filozofske šole, v katerih postopoma prehajajo iz praktične v filozofsko geometrijo. V teh šolah je velik pomen pridobilo sklepanje, s pomočjo katerega je bilo mogoče pridobiti nove geometrijske lastnosti.

Eden prvih in najbolj znane šole je bil pitagorejski, poimenovan po svojem ustanovitelju Pitagori. Razpoznavni znak pitagorejcev je bil pentagram, v jeziku matematike je pravilen nekonveksen ali zvezdast peterokotnik. Pentagramu je bila dodeljena sposobnost zaščite človeka pred zlimi duhovi.

Pitagorejci so verjeli, da materijo sestavljajo štirje osnovni elementi: ogenj, zemlja, zrak in voda. Obstoj petih pravilnih poliedrov so pripisali strukturi snovi in ​​vesolja. Po tem mnenju morajo imeti atomi glavnih elementov obliko različnih teles:

§ Vesolje je dodekaeder

§ Zemlja - kocka

§ Ogenj - tetraeder

§ Voda - ikozaeder

§ Zrak - oktaeder

Pozneje je učenje pitagorejcev o pravilnih poliedrih v svojih delih orisal še en starogrški znanstvenik, idealistični filozof Platon. Od takrat so pravilni poliedri postali znani kot Platonova telesa.

Platonova telesa so pravilni homogeni konveksni poliedri, to je konveksni poliedri, katerih vse ploskve in koti so enaki, ploskve pa so pravilni poligoni. V vsako oglišče pravilnega poliedra konvergira enako število robov. Vsi diedrski koti na robovih in vsi poliedrski koti na ogliščih pravilnega mnogokotnika so enaki. Platonova telesa so tridimenzionalni analog ravnih pravilnih poligonov.

Teorija poliedrov je sodobna veja matematike. Tesno je povezan s topologijo, teorijo grafov in ima velika vrednost kot za teoretično raziskovanje v geometriji in za praktične aplikacije v drugih vejah matematike, na primer v algebri, teoriji števil, uporabna matematika- linearno programiranje, teorija optimalnega vodenja. torej ta tema je relevanten, znanje o tem vprašanju pa je pomembno za sodobno družbo.

Glavni del

Polieder je omejeno telo, katerega površina je sestavljena iz končnega števila mnogokotnikov.

Dajmo definicijo poliedra, ki je enakovredna prvi definiciji poliedra.

Polieder – To je številka, ki je zveza končnega števila tetraedrov, za katere so izpolnjeni naslednji pogoji:

1) vsaka dva tetraedra nimata skupne točke, imajo bodisi skupno oglišče, ali samo skupni rob, ali celotno skupno ploskev;

2) od vsakega tetraedra do drugega lahko greste vzdolž verige tetraedrov, v kateri vsak naslednji meji na prejšnjega vzdolž celotne ploskve.

Elementi poliedra

Lice poliedra je določen poligon (mnogokotnik je omejeno zaprto območje, katerega meja je sestavljena iz končnega števila segmentov).

Stranice ploskev imenujemo robovi poliedra, oglišča ploskev pa oglišča poliedra. Elementi poliedra so poleg oglišč, robov in ploskev tudi ravni koti njegovih ploskev in diedrski koti na njegovih robovih. Diedrski kot pri robu poliedra je določen z njegovimi ploskvami, ki se približujejo temu robu.

Klasifikacija poliedrov

Konveksni polieder - je polieder, katerega kateri koli točki lahko povežemo z odsekom. Konveksni poliedri imajo številne izjemne lastnosti.

Eulerjev izrek. Za vsak konveksni polieder V-R+G=2,

kje IN – število njegovih oglišč, R - število njegovih reber, G - število njegovih obrazov.

Cauchyjev izrek. Dva zaprta konveksna poliedra, enako sestavljena iz vsaka enakih ploskev, sta enaka.

Konveksni polieder velja za pravilnega, če so vse njegove ploskve enaki pravilni mnogokotniki in se na vsakem njegovem oglišču steka enako število robov.

Pravilni polieder

Polieder se imenuje pravilen, če je, prvič, konveksen, drugič, vse njegove ploskve so enaki pravilni mnogokotniki, in tretjič, konvergirajo v vsakem od njegovih vrhov. enako število ploskve, in četrtič, vsi njegovi diedrski koti so enaki.

Obstaja pet konveksnih pravilnih poliedrov - tetraeder, oktaeder in ikozaeder s trikotnimi ploskvami, kocka (heksaeder) s kvadratnimi ploskvami in dodekaeder s peterokotnimi ploskvami. Dokaz za to dejstvo je znan že več kot dva tisoč let; s tem dokazom in študijo petih pravilnih teles so Evklidovi elementi (starogrški matematik, avtor prvih teoretičnih razprav o matematiki, ki so prišle do nas) zaključeni. Zakaj so pravilni poliedri dobili takšna imena? To je posledica števila njihovih obrazov. Tetraeder ima 4 obraze, v prevodu iz grščine "tetra" - štiri, "hedron" - obraz. Heksaeder (kocka) ima 6 obrazov, "hexa" ima šest; oktaeder - oktaeder, "okto" - osem; dodekaeder - dodekaeder, "dodeka" - dvanajst; Ikozaeder ima 20 ploskev, ikosi pa dvajset.

2.3. Vrste pravilnih poliedrov:

1) Pravilni tetraeder(sestavljen iz štirih enakostranični trikotniki. Vsako njegovo oglišče je oglišče trikotnika. Zato je vsota ravninskih kotov pri vsakem oglišču 180 0);

2)Kocka- paralelepiped, katerega vse ploskve so kvadrati. Kocka je sestavljena iz šestih kvadratov. Vsako oglišče kocke je oglišče treh kvadratov. Zato je vsota ravninskih kotov pri vsakem oglišču 270 0.

3) Pravilni oktaeder ali samo oktaeder– polieder z osmimi pravilnimi trikotnimi ploskvami in štirimi ploskvami, ki se srečujejo na vsakem oglišču. Oktaeder je sestavljen iz osmih enakostraničnih trikotnikov. Vsako oglišče oktaedra je oglišče štirih trikotnikov. Zato je vsota ravninskih kotov pri vsakem oglišču 240 0. Zgradimo jo lahko tako, da zložimo osnove dveh piramid, katerih osnove so kvadrati, stranske ploskve pa pravilni trikotniki. Robove oktaedra lahko dobimo tako, da povežemo središča sosednjih ploskev kocke, če pa povežemo središča sosednjih ploskev pravilnega oktaedra, dobimo robove kocke. Pravijo, da sta kocka in oktaeder dualna drug drugemu.

4)Ikozaeder- sestavljen iz dvajsetih enakostraničnih trikotnikov. Vsako oglišče ikozaedra je oglišče petih trikotnikov. Zato je vsota ravninskih kotov pri vsakem oglišču enaka 300 0.

5) Dodekaeder- polieder, sestavljen iz dvanajstih pravilnih petkotnikov. Vsako oglišče dodekaedra je oglišče treh pravilnih peterokotnikov. Zato je vsota ravninskih kotov pri vsakem oglišču 324 0.

Dodekaeder in ikozaeder sta med seboj dualna tudi v tem smislu, da s povezovanjem središč sosednjih ploskev ikozaedra z segmenti dobimo dodekaeder in obratno.

Pravilni tetraeder je dualen sam sebi.

Poleg tega ne obstaja pravilni polieder, katerega ploskve so na splošno pravilni šesterokotniki, sedmerokotniki in n-kotniki za n ≥ 6.

Pravilni polieder je polieder, pri katerem so vse ploskve pravilni enaki mnogokotniki in vsi diedrski koti enaki. Obstajajo pa tudi poliedri, pri katerih so vsi poliedrski koti enaki, ploskve pa so pravilni, vendar nasprotni pravilni poligoni. Poliedre te vrste imenujemo enakokotni polpravilni poliedri. Poliedre te vrste je prvi odkril Arhimed. Podrobno je opisal 13 poliedrov, ki so jih pozneje v čast velikemu znanstveniku poimenovali Arhimedova telesa. To so prisekan tetraeder, prisekan oksaeder, prisekan ikozaeder, prisekan kub, prisekan dodekaeder, kuboktaeder, ikozidodekaeder, prisekan kuboktaeder, prisekan ikozidodekaeder, rombikuboktaeder, rombikozidodekaeder, "snub" (snub) kocka , "snub" ( snub) dodekaeder.

2.4. Polpravilni poliedri ali Arhimedova telesa so konveksni poliedri z dvema lastnostma:

1. Vse ploskve so pravilni mnogokotniki dveh ali več vrst (če so vse ploskve pravilni mnogokotniki iste vrste, je to pravilni polieder).

2. Za kateri koli par oglišč obstaja simetrija poliedra (to je gibanje, ki polieder pretvori vase), ki prenaša eno oglišče v drugo. Zlasti vsi poliedrski vrhni koti so skladni.

Poleg polpravilnih poliedrov lahko iz pravilnih poliedrov - platonskih teles - dobite tako imenovane pravilne zvezdaste poliedre. Le štiri so, imenujemo jih tudi Kepler-Poinsotova telesa. Kepler je odkril mali dodekaeder, ki ga je poimenoval bodičasti ali ježek, in veliki dodekaeder. Poinsot je odkril še dva pravilna zvezdasta poliedra, dvojna prvemu dva: veliki zvezdasti dodekaeder in veliki ikozaeder.

Dva tetraedra, ki potekata drug skozi drugega, tvorita oktaeder. Johannes Kepler je tej figuri dal ime "stella octangula" - "osmerokotna zvezda". Najdemo ga tudi v naravi: to je tako imenovani dvojni kristal.

V definiciji pravilnega poliedra beseda "konveksen" namerno ni bila poudarjena - računajoč na navidezno očitnost. In to pomeni dodatno zahtevo: "in katere vse ploskve ležijo na eni strani ravnine, ki poteka skozi katero koli od njih." Če opustimo takšno omejitev, bomo morali platonskim telesom poleg "podaljšanega oktaedra" dodati še štiri poliedre (imenujemo jih Kepler-Poinsotova telesa), od katerih bo vsak "skoraj pravilen". Vsi so pridobljeni s Platonovo "glavno vlogo" teles, to je tako, da se njegovi robovi razširijo, dokler se med seboj ne sekajo, zato se imenujejo zvezdasti. Kocka in tetraeder ne ustvarjata novih figur - njuni obrazi se, ne glede na to, koliko nadaljujete, ne sekata.

Če razširite vse ploskve oktaedra, dokler se ne sekajo med seboj, boste dobili lik, ki se pojavi, ko dva tetraedra prodreta - "stella octangula", ki se imenuje "razširjena oktaeder."

Ikozaeder in dodekaeder dajeta svetu štiri "skoraj pravilne poliedre" hkrati. Eden od njih je majhen zvezdasti dodekaeder, ki ga je prvi pridobil Johannes Kepler.

Stoletja matematiki niso priznavali pravice vseh vrst zvezd, da se imenujejo poligoni, ker se njihove stranice sekajo. Ludwig Schläfli ni izključil geometrijskega telesa iz družine poliedrov zgolj zato, ker so se njegove ploskve sekale, vendar je ostal neomajen, takoj ko se je pogovor nanesel na mali zvezdasti dodekaeder. Njegov argument je bil preprost in tehten: ta keplerska žival ne uboga Eulerjeve formule! Nastanejo njegove bodice dvanajst ploskev, trideset robov in dvanajst oglišč, zato B+G-R sploh ni enako dve.

Schläfli je imel prav in narobe. Geometrični jež seveda ni tako bodičast, da bi se uprl nezmotljivi formuli. Samo ne smete upoštevati, da ga tvori dvanajst sekajočih se zvezdastih ploskev, ampak nanj gledati kot na preprosto, pošteno geometrijsko telo, sestavljeno iz 60 trikotnikov, ki ima 90 robov in 32 oglišč.

Potem je B+G-R=32+60-90 enak, kot je bilo pričakovano, 2. Toda potem beseda "pravilno" ne velja za ta polieder - navsezadnje njegove ploskve zdaj niso enakostranične, ampak samo enakokraki trikotniki. Kepler ni ugotovil, da ima številka, ki jo je prejel, dvojnika.

Polieder, imenovan "veliki dodekaeder", je zgradil francoski geometer Louis Poinsot dvesto let po Keplerjevih zvezdah.

Veliki ikozaeder je prvi opisal Louis Poinsot leta 1809. In spet je Kepler, ko je videl velik zvezdasti dodekaeder, prepustil čast odkritja druge figure Louisu Poinsotu. Tudi te številke napol ustrezajo Eulerjevi formuli.

Praktična uporaba

Poliedri v naravi

Pravilni poliedri so najugodnejše oblike, zato so zelo razširjeni v naravi. To potrjuje oblika nekaterih kristalov. Na primer, kristali kuhinjska sol imajo obliko kocke. Pri proizvodnji aluminija se uporablja aluminijevo-kalijev kremen, katerega monokristal ima obliko pravilnega oktaedra. Proizvodnja žveplove kisline, železa in posebnih vrst cementa ni mogoča brez žveplovih piritov. Kristali te kemikalije so v obliki dodekaedra. V različnih kemične reakcije uporablja se natrijev antimonov sulfat - snov, ki so jo sintetizirali znanstveniki. Kristal natrijevega antimonovega sulfata ima obliko tetraedra. Zadnji pravilni polieder, ikozaeder, izraža obliko borovih kristalov.

Poliedri v obliki zvezde so zelo dekorativni, kar jim omogoča široko uporabo v industriji nakita pri izdelavi vseh vrst nakita. Uporabljajo se tudi v arhitekturi. Številne oblike zvezdastih poliedrov predlaga narava sama. Snežinke so poliedri v obliki zvezde. Že od antičnih časov so ljudje poskušali opisati vse možne vrste snežink in sestavljali posebne atlase. Zdaj je znanih več tisoč različnih vrst snežink.

Pravilne poliedre najdemo tudi v živi naravi. Na primer, okostje enoceličnega organizma Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) je oblikovano kot ikozaeder. Večina fevdarjev živi naprej globoko morje in služijo kot plen koralnim ribam. Toda najpreprostejša žival se ščiti z dvanajstimi bodicami, ki izhajajo iz 12 oglišč okostja. Izgleda bolj kot zvezdasti polieder.

Opazimo lahko tudi poliedre v obliki cvetov. Osupljiv primer so kaktusi.

Povezane informacije.

Čeprav se stereometrija preučuje le v srednji šoli, vsak šolar pozna kocko, pravilne piramide in druge preproste poliedre. Tema "Poliedri" ima svetle aplikacije, tudi v slikarstvu in arhitekturi. Poleg tega sta v njem, po figurativnem izrazu akademika Aleksandrova, združena "led in ogenj", to je živa domišljija in stroga logika. Ampak v šolski tečaj Stereometriji pravilnih poliedrov je posvečeno malo časa. Toda za mnoge so pravilni poliedri zelo zanimivi, vendar ni priložnosti, da bi o njih izvedeli več v razredu. Zato sem se odločil govoriti o vseh pravilnih poliedrih različnih oblik in njihovih zanimivih lastnostih.

Struktura pravilnih poliedrov je zelo priročna za preučevanje številnih transformacij poliedra v samega sebe (rotacije, simetrije itd.). Nastale transformacijske skupine (imenujemo jih simetrične skupine) so se izkazale za zelo zanimive z vidika teorije končnih skupin. Ista simetrija je omogočila ustvarjanje serije ugank v obliki pravilnih poliedrov, ki se je začela z "Rubikovo kocko" in "moldavsko piramido".

Za sestavo povzetka smo uporabili poljudnoznanstveno in matematično revijo "Quantum", iz katere so bili vzeti podatki o tem, kaj je pravilni polieder, o njihovem številu, o konstrukciji vseh pravilnih poliedrov in opisu vseh vrtljajev, pri katerih polieder je kombiniran s prvotnim položajem. Iz časopisa "Matematika", ki sem ga prejel zanimiv podatek o zvezdastih pravilnih poliedrih, njihovih lastnostih, odkritju in uporabi.

Zdaj imate priložnost, da se potopite v svet pravilnega in veličastnega, v svet lepega in izjemnega, ki očara naše oči.

1. Pravilni poliedri

1. 1 Definicija pravilnih poliedrov.

Konveksni polieder se imenuje pravilen, če so njegove ploskve enaki pravilni poliedri in so vsi poliedrski koti enaki.

Razmislimo o možnih pravilnih poliedrih in najprej o tistih, katerih ploskve so pravilni trikotniki. Najenostavnejši tak pravilni polieder je trikotna piramida, katerih ploskve so pravilni trikotniki. Tri ploskve se stikajo na vsakem od njegovih vrhov. Ker ima ta polieder le štiri ploskve, se imenuje tudi pravilni tetraeder ali preprosto tetraeder, kar je prevedeno iz grški jezik pomeni tetraeder.

Polieder, katerega ploskve so pravilni trikotniki in se štiri ploskve stikajo v vsakem oglišču, njegova ploskev je sestavljena iz osmih pravilnih trikotnikov, zato se imenuje oktaeder.

Polieder, v katerem se pet pravilnih trikotnikov stika v vsakem oglišču. Njegovo površje sestavlja dvajset pravilnih trikotnikov, zato ga imenujemo ikozaeder.

Upoštevajte, da ker se na ogliščih konveksnega poliedra ne more srečati več kot pet pravilnih trikotnikov, ni drugih pravilnih mnogokotnikov, katerih ploskve so pravilni trikotniki.

Podobno, ker se lahko samo trije kvadrati stekajo v ogliščih konveksnega poliedra, potem razen kocke ni drugih pravilnih poliedrov, katerih ploskve so kvadrati. Kocka ima šest ploskev in se zato imenuje tudi heksaeder.

Polieder, katerega ploskve so pravilni peterokotniki in na vsakem oglišču se srečajo tri ploskve. Njegovo površje sestavlja dvanajst pravilnih petkotnikov, zato ga imenujemo dodekaeder.

Iz definicije pravilnega poliedra sledi, da je pravilni polieder "popolnoma simetričen": če označite neko ploskev G in eno od njenih oglišč A, potem lahko za katero koli drugo ploskev G1 in njeno oglišče A1 združite polieder sam s seboj tako, da premikanje v prostoru tako, da bo ploskev G poravnana z G1 in bo oglišče A končalo v točki A1.

1. 2. Zgodovinsko ozadje.

Zgoraj naštetih pet pravilnih poliedrov, pogosto imenovanih tudi »platonska telesa«, je pred več kot dva tisoč leti prevzelo domišljijo matematikov, mistikov in filozofov antike. Stari Grki so celo vzpostavili mistično ujemanje med tetraedrom, kocko, oktaedrom in ikozaedrom ter štirimi naravnimi načeli – ognjem, zemljo, zrakom in vodo. Kar zadeva peti pravilni polieder, dodekaeder, so ga obravnavali kot obliko vesolja. Te ideje niso le preteklost. In zdaj, dve tisočletji kasneje, mnoge privlači osnovno estetsko načelo.

Prvi štirje poliedri so bili znani že dolgo pred Platonom. Arheologi so našli dodekaeder, narejen v času etruščanske civilizacije vsaj 500 pr. e. Toda očitno so v Platonovi šoli dodekaeder odkrili neodvisno. Obstaja legenda o Platonovem učencu Hipazi, ki je umrl na morju, ker je razkril skrivnost "žoge z dvanajstimi peterokotniki".

Že od časov Platona in Evklida je dobro znano, da obstaja točno pet vrst pravilnih poliedrov.

Dokažimo to dejstvo. Naj bodo vse ploskve nekega poliedra pravilni n-kotniki in k število ploskev, ki mejijo na oglišče (je enako za vsa oglišča). Oglejmo si oglišče A našega poliedra. Naj bodo M1, M2,. , Mk - konci k robov, ki izhajajo iz njega; ker sta diedrska kota na teh robovih enaka, je AM1M2Mk pravilna piramida: pri vrtenju za kot 360º/k okrog višine AN preide oglišče M v M, oglišče M1 v M2. Mk do M1.

Primerjajmo enakokraka trikotnika AM1M2 in HM1M2. Imata skupno osnovo, stranica AM1 pa je večja od HM1, torej M1AM2

Tetraeder 3 3 4 4 6

Kocka 4 3 8 6 12

Oktaeder 3 4 6 8 12

Dodekaeder 5 3 20 12 30

Ikozaeder 3 5 12 20 30

1. 3. Konstrukcija pravilnih poliedrov.

Vse ustrezne poliedre lahko sestavimo z uporabo kocke kot osnove.

Da bi dobili pravilen tetraeder, je dovolj, da vzamete štiri nesosednja oglišča kocke in iz nje odrežete piramide s štirimi ravninami, od katerih vsaka poteka skozi tri od vzetih oglišč.

Takšen tetraeder lahko v kocko vpišemo na dva načina.

Presek dveh takšnih pravilnih tetraedrov je samo pravilni oktaeder: polieder osmih trikotnikov z oglišči v središčih ploskev kocke.

2. Lastnosti pravilnih poliedrov.

2. 1. Krogla in pravilni poliedri.

Oglišča vsakega pravilnega poliedra ležijo na krogli (kar ni presenetljivo, če se spomnimo, da oglišča vsakega pravilnega mnogokotnika ležijo na krogu). Poleg te sfere, imenovane "opisana sfera", obstajata še dve pomembni sferi. Ena od njih, "srednja krogla", poteka skozi središča vseh robov, druga, "včrtana krogla", pa se dotika vseh ploskev v njihovih središčih. Vse tri krogle imajo skupno središče, ki ga imenujemo središče poliedra.

Polmer včrtane krogle Ime poliedra Polmer včrtane krogle

Tetraeder

Dodekaeder

Ikozaeder

2. 1. Samoporavnavanje poliedrov.

Kakšne samoporavnave (rotacije, ki se prevedejo vase) imajo kocka, tetraeder in oktaeder? Upoštevajte, da se določena točka, središče poliedra, spremeni vase za vsako samoporavnavo, tako da imajo vse samoporavnave skupno fiksno točko.

Poglejmo, kakšne rotacije obstajajo v prostoru s fiksno točko A. Pokažimo, da je taka rotacija nujno rotacija za določen kot okoli določene premice, ki poteka skozi točko A. Dovolj je, da naše gibanje F(c F(A) = A) za označevanje fiksne ravne črte. Najdete ga tako: razmislite o treh točkah M1, M2 = F(M1) in M3 = F(M2), ki se razlikujejo od fiksne točke A, skozi njih narišite ravnino in nanjo spustite pravokotno AN - to bo želeno ravno črto. (Če je M3 = M1, potem naša premica poteka skozi sredino segmenta M1M2, F pa je osna simetrija: rotacija za kot 180°).

Torej je samoporavnava poliedra nujno rotacija okoli osi, ki poteka skozi središče poliedra. Ta os seka naš polieder na oglišču ali na notranji točki roba ali ploskve. Posledično naša samoporavnava prevede oglišče, rob ali ploskev vase, kar pomeni, da prevede vase oglišče, sredino roba ali središče ploskve. Sklep: gibanje kocke, tetraedra ali oktaedra, ki ga združuje sam s seboj, je vrtenje okoli osi enega od tri vrste: središče poliedra je oglišče, središče poliedra je sredina roba, središče poliedra je središče ploskve.

Na splošno velja, da če je polieder poravnan sam s seboj, ko ga zavrtimo okoli ravne črte za kot 360°/m, potem se ta ravna črta imenuje simetrična os m-tega reda.

2. 2. Gibanje in simetrija.

Glavno zanimanje za pravilne poliedre je veliko število simetrije, ki jo imajo.

Ko razmišljamo o samoporavnavi poliedrov, lahko vključimo ne samo rotacije, ampak tudi vse premike, ki transformirajo polieder vase. Tukaj je gibanje vsaka transformacija prostora, ki ohranja parne razdalje med točkami.

Število gibov mora poleg vrtenja vključevati tudi zrcalne gibe. Med njimi so simetrija glede na ravnino (odboj), pa tudi sestava odboja glede na ravnino in vrtenje okoli premice, pravokotne nanjo (to je splošni pogled zrcalno gibanje s fiksno točko). Takih gibanj seveda ni mogoče realizirati z zveznim premikanjem poliedra v prostoru.

Oglejmo si pobližje simetrije tetraedra. Vsaka premica, ki poteka skozi poljubno oglišče in središče tetraedra, poteka skozi središče nasprotne ploskve. Rotacija za 120 ali 240 stopinj okoli te premice je ena od simetrij tetraedra. Ker ima tetraeder 4 oglišča (in 4 ploskve), dobimo skupaj 8 direktnih simetrij. Vsaka premica, ki poteka skozi središče in razpolovišče roba tetraedra, gre skozi razpolovišče nasprotnega roba. Zasuk za 180 stopinj (pol obrata) okoli takšne premice je prav tako simetrija. Ker ima tetraeder 3 pare robov, dobimo še 3 neposredne simetrije. torej skupno število obstaja do 12 neposrednih simetrij, vključno s transformacijo identitete. Lahko se pokaže, da ni drugih neposrednih simetrij in da obstaja 12 povratnih simetrij. Tako tetraeder omogoča skupno 24 simetrij.

Neposredne simetrije preostalih pravilnih poliedrov je mogoče izračunati s formulo [(q - 1)N0 + N1 + (p - 1)N2]/2 + 1, kjer je p število stranic pravilnih mnogokotnikov, ki so ploskve poligona polieder, q je število ploskev, ki mejijo na vsako oglišče, N0 je število oglišč, N1 je število robov in N2 je število ploskev vsakega poliedra.

Heksaeder in oktaeder imata po 24 simetrij, ikozaeder in dodekaeder pa po 60 simetrij.

Vsi pravilni poliedri imajo simetrijske ravnine (tetraeder jih ima 6, kocka in oktaeder 9, ikozaeder in dodekaeder 15).

2. 3. Zvezdasti poliedri.

Poleg pravilnih poliedrov imajo zvezdasti poliedri lepe oblike. Samo štirje so. Prva dva je odkril J. Kepler (1571 - 1630), drugi dve pa je skoraj 200 let pozneje zgradil L. Poinsot (1777 - 1859). Zato se pravilni zvezdasti poliedri imenujejo Kepler-Poinsotova telesa. Dobimo jih iz pravilnih poliedrov z razširitvijo njihovih ploskev ali robov. Francoski geometer Poinsot je leta 1810 zgradil štiri pravilne zvezdaste poliedre: mali zvezdasti dodekaeder, veliki zvezdasti dodekaeder, veliki dodekaeder in veliki ikozaeder. Ti štirje poliedri imajo ploskve, ki sekajo pravilne poliedre, vsaka ploskev dveh pa je samosekajoči se mnogokotnik. Toda Poinsot ni mogel dokazati, da drugih pravilnih poliedrov ni.

Leto kasneje (leta 1811) je to uspelo francoskemu matematiku Augustinu Louisu Cauchyju (1789 - 1857). Izkoristil je dejstvo, da se po definiciji pravilnega poliedra le-ta lahko nadgradi sam nase tako, da poljubna njegova ploskev sovpada s predhodno izbrano. Iz tega sledi, da so vse ploskve zvezdastega poliedra enako oddaljene od neke točke-središča krogle, včrtane v polieder.

Ravnine ploskev zvezdastega poliedra, ki se sekajo, tvorijo tudi pravilen konveksni polieder, to je Platonovo telo, opisano okoli iste krogle. Cauchy je to platonsko telo imenoval jedro tega zvezdastega poliedra. Tako lahko zvezdasti polieder dobimo z nadaljevanjem ravnin ploskev enega od Platonovih teles.

Nemogoče je dobiti zvezdaste poliedre iz tetraedra, kocke ali oktaedra. Oglejmo si dodekaeder. Nadaljevanje njegovih robov vodi do zamenjave vsake ploskve z zvezdastim pravilnim peterokotnikom, rezultat pa je majhen zvezdast dodekaeder.

Na nadaljevanju ploskev dodekaedra sta možna naslednja dva primera: 1) če upoštevamo pravilne pentagone, dobimo velik dodekaeder.

2) če obravnavamo zvezdaste peterokotnike kot obraze, potem dobimo velik zvezdast dodekaeder.

Ikozaeder ima eno samo zvezdasto obliko. Ko se rob pravilnega ikozaedra podaljša, dobimo velik ikozaeder.

Tako obstajajo štiri vrste pravilnih zvezdastih poliedrov.

Zvezdni poliedri so zelo dekorativni, kar jim omogoča široko uporabo v industriji nakita pri izdelavi vseh vrst nakita.

Številne oblike zvezdastih poliedrov predlaga narava sama. Snežinke so poliedri v obliki zvezde. Že od antičnih časov so ljudje poskušali opisati vse možne vrste snežink in sestavljali posebne atlase. Zdaj je znanih več tisoč različnih vrst snežink.

Zaključek

Delo zajema naslednje teme: pravilni poliedri, konstrukcija pravilnih poliedrov, samoporavnavanje, gibanje in simetrije, zvezdasti poliedri in njihove lastnosti. Izvedeli smo, da obstaja le pet pravilnih poliedrov in štirje zvezdasti pravilni poliedri, ki se pogosto uporabljajo na različnih področjih.

Preučevanje Platonovih teles in z njimi povezanih likov se nadaljuje vse do danes. In čeprav glavni motivi sodobne raziskave služijo lepoti in simetriji, imajo tudi nekaj znanstveni pomen, zlasti v kristalografiji. Kristali kuhinjske soli, natrijevega tioantimonida in kromovega galuna se v naravi pojavljajo v obliki kocke, tetraedra in oktaedra. Ikozaedra in dodekaedra ne najdemo med kristalnimi oblikami, lahko pa ju opazimo med oblikami mikroskopskih morskih organizmov, znanih kot radiolarji.

Ideje Platona in Keplerja o povezavi pravilnih poliedrov s harmonično strukturo sveta v našem času so se nadaljevale v zanimivi znanstveni hipotezi, ki je v zgodnjih 80. sta izrazila moskovska inženirja V. Makarov in V. Morozov. Menijo, da ima jedro Zemlje obliko in lastnosti rastočega kristala, ki vpliva na razvoj vseh naravni procesi hoja po planetu. Žarki tega kristala oziroma njegovo silovito polje določajo strukturo ikozaedra-dodekaedra Zemlje. Kaže se v tem, da zemeljska skorja kot projekcije vpisanih globus pravilni poliedri: ikozaeder in dodekaeder.

Številna nahajališča mineralov se razprostirajo vzdolž mreže ikozaedra-dodekaedra; 62 oglišč in središč robov poliedrov, ki jih avtorji imenujejo vozlišča, ima številne specifične lastnosti, ki omogočajo razlago nekaterih nerazumljivih pojavov. Tukaj se nahajajo vroče točke starodavne kulture in civilizacije: Peru, Severna Mongolija, Haiti, obrska kultura in druge. Na teh točkah opazimo maksimume in minimume atmosferski tlak, velikanski vrtinci Svetovnega oceana. Ta vozlišča vsebujejo jezero Loch Ness, Bermudski trikotnik. Nadaljnje študije Zemlje lahko določijo odnos do te znanstvene hipoteze, v kateri, kot je razvidno, zavzemajo pomembno mesto pravilni poliedri.

Struktura pravilnih poliedrov je zelo priročna za preučevanje številnih transformacij poliedra v samega sebe (rotacije, simetrije itd.). Nastale transformacijske skupine (imenujemo jih simetrične skupine) so se izkazale za zelo zanimive z vidika teorije končnih skupin. Ista simetrija je omogočila ustvarjanje serije ugank v obliki pravilnih poliedrov, ki se je začela z "Rubikovo kocko" in "moldavsko piramido".

Kiparji, arhitekti in umetniki so pokazali tudi veliko zanimanje za oblike pravilnih poliedrov. Vsi so bili presenečeni nad popolnostjo in harmonijo poliedrov. Leonardo da Vinci (1452 - 1519) se je zanimal za teorijo poliedrov in jih je pogosto upodabljal na svojih platnih. Salvador Dali je na sliki "Zadnja večerja" upodobil sv. Jezusa s svojimi učenci na ozadju ogromnega prozornega dodekaedra.

Del geometrije, ki smo ga do sedaj preučevali, se imenuje planimetrija - ta del je govoril o lastnostih ravnine geometrijske oblike, torej figure, ki se v celoti nahajajo v določeni ravnini. Toda večina predmetov okoli nas ni ravnih. Vsak realni predmet zaseda del prostora.

Veja geometrije, v kateri preučujemo lastnosti likov v prostoru, se imenuje stereometrija.

Če so ploskve geometrijskih teles sestavljene iz mnogokotnikov, se taka telesa imenujejo poliedri.

Mnogokotnike, ki sestavljajo polieder, imenujemo njegove ploskve. Predpostavlja se, da nobeni sosednji ploskvi poliedra ne ležita v isti ravnini.

Stranice ploskev imenujemo robovi, konce robov pa oglišča poliedra.

Odsek, ki povezuje dve oglišči, ki ne pripadata isti ploskvi, se imenuje diagonala poliedra.

Poliedri so lahko konveksni ali nekonveksni.

Za konveksni polieder je značilno, da se nahaja na eni strani ravnine vsake njegove ploskve. Slika prikazuje konveksni polieder – oktaeder. Oktaeder ima osem ploskev, vse ploskve so pravilni trikotniki.

Na sliki je prikazan nekonveksen (konkaven) mnogokotnik. Če upoštevamo na primer ravnino trikotnika \(EDC\), potem je očitno del mnogokotnika na eni strani, del pa na drugi strani te ravnine.

Za nadaljnje definicije uvedemo pojem vzporedne ravnine in vzporedne premice v prostoru ter pravokotnost premice in ravnine.

Dve ravnini se imenujeta vzporedni, če nimata skupnih točk.

Dve premici v prostoru se imenujeta vzporedni, če ležita v isti ravnini in se ne sekata.

Neposredno se imenuje pravokotno na ravnino, če je pravokotna na katero koli premico v tej ravnini.

Prizma

Zdaj lahko uvedemo definicijo prizme.

\(n\)-gonalna prizma je polieder, sestavljen iz dveh enakih \(n\)- kvadrati, ležanje v vzporedne ravnine, in \(n\)-paralelogrami, ki so nastali s povezovanjem oglišč \(n\)-kotnikov z odseki vzporednih premic.

Enaka \(n\)-kotnika imenujemo osnove prizme.

Stranice mnogokotnikov imenujemo robovi podstavkov.

Paralelogrami se imenujejo stranski obrazi prizme.

Vzporedni segmenti se imenujejo stranska rebra prizme.

Prizme so lahko ravne ali poševne.

Če sta osnovi pravilne prizme pravilni mnogokotnik, se taka prizma imenuje pravilna.

Za ravne prizme so vse stranske ploskve pravokotniki. Stranski robovi ravne prizme so pravokotni na ravnine njenih baz.

Če je iz katere koli točke ene osnove na drugo osnovo prizme potegnjena navpičnica, potem se ta navpičnica imenuje višina prizme.

Slika prikazuje nagnjeno štirikotno prizmo, v kateri je vrisana višina B 1 E.

V ravni prizmi je vsak stranski rob višina prizme.

Slika prikazuje pravilno trikotno prizmo. Vse stranske ploskve so pravokotniki; vsak stranski rob lahko imenujemo višina prizme. Trikotna prizma nima diagonal, saj so vsa oglišča povezana z robovi.

Slika prikazuje pravilno štirikotno prizmo. Osnovi prizme sta kvadrata. Vse diagonale pravilne štirikotne prizme so enake, se v eni točki sekajo in v tej točki razpolavljajo.

Imenuje se štirikotna prizma, katere osnove so paralelogrami paralelopiped.

Zgornjo pravilno štirikotno prizmo lahko imenujemo tudi ravni paralelopiped.

Če sta osnovi pravilnega paralelepipeda pravokotnika, potem je tudi ta paralelepiped pravokotne.

Slika prikazuje pravokotni paralelopiped. Dolžine treh robov s skupnim vrhom imenujemo mere pravokotni paralelopiped.

Na primer, AB , AD in A A 1 lahko imenujemo dimenzije.

Ker sta trikotnika ABC in AC C 1 pravokotna, je torej kvadrat dolžine diagonale pravokotnega paralelopipeda enak vsoti kvadratov njegovih dimenzij:

A C 1 2 = AB 2 + AD 2 + A A 1 2 .

Če skozi ustrezne diagonale baz narišemo odsek, dobimo tako imenovano diagonalni odsek prizme.

V ravnih prizmah so diagonalni odseki pravokotniki. Enaki diagonalni odseki potekajo skozi enake diagonale.

Na sliki je prikazana pravilna šestkotna prizma, v kateri sta narisana dva različna diagonala, ki potekata skozi različno dolgi diagonali.

Osnovne formule za izračune v ravnih prizmah

1. Bočna površina S stran = P osnovni ⋅ H, kjer je \(H\) višina prizme. Za nagnjene prizme se površina vsake stranske ploskve določi posebej.

2. Celotna površina S popolna. = 2 ⋅ S osnova. + stran S. . Ta formula velja za vse prizme, ne samo za ravne.

3. Zvezek V = S glavni. ⋅ H. Ta formula velja za vse prizme, ne samo za ravne.

Piramida

\(n\)- premogovna piramida- polieder, sestavljen iz \(n\)-kotnika na dnu in \(n\)-trikotnikov, ki so nastali s povezavo vrha piramide z vsemi oglišči osnovnega mnogokotnika.

\(n\)-kotnik imenujemo osnova piramide.

Trikotniki so stranske ploskve piramide.

Skupno oglišče trikotnikov je oglišče piramide.

Rebra, ki segajo od vrha, so stranska rebra piramide.

Navpičnico z vrha piramide na ravnino osnove imenujemo višina piramide.

Cilj lekcije:

1. Uvedite koncept pravilnih poliedrov.
2. Razmislite o vrstah pravilnih poliedrov.
3. Reševanje problemov.
4. Vzbuditi zanimanje za temo, naučiti videti lepoto v geometrijskih telesih, razviti prostorsko domišljijo.
5. Medpredmetne povezave.

Vidnost: mize, modeli.

Napredek lekcije

I. Organizacijski trenutek. Sporočite temo lekcije, oblikujte cilje lekcije.

II. Učenje nove snovi/

Na voljo v šolski geometriji posebne teme, ki se ga veselite, pričakujete srečanje z neverjetno lepim materialom. Take teme vključujejo "pravilne poliedre". Tu se ne odpre le neverjeten svet geometrijskih teles z edinstvenimi lastnostmi, temveč tudi zanimive znanstvene hipoteze. In potem lekcija geometrije postane nekakšna študija nepričakovanih vidikov znanega šolskega predmeta.

Nobeno geometrijsko telo nima takšne popolnosti in lepote kot pravilni poliedri. "Obstaja šokantno majhno število pravilnih poliedrov," je nekoč zapisal L. Carroll, "vendar je ta po številu zelo skromen oddelek uspel priti v same globine različnih znanosti."

Definicija pravilnega poliedra.

Polieder se imenuje pravilen, če:

1. je konveksen;
2. vse njene ploskve so pravilni mnogokotniki, ki so med seboj enaki;
3. enako število robov konvergira v vsaki njegovi točki;
4. vsi njegovi diedrski koti so enaki.

Izrek: Obstaja pet različnih (do podobnosti) vrst pravilnih poliedrov: pravilni tetraeder, pravilni heksaeder (kocka), pravilni oktaeder, pravilni dodekaeder in pravilni ikozaeder.

Tabela 1.Nekatere lastnosti pravilnih poliedrov so podane v naslednji tabeli.

Vrsta obraza	Ravni vrhni kot	Pogled poliedrskega vrhnega kota	Vsota ravninskih kotov pri oglišču	IN	R	G	Ime poliedra
Pravilni trikotnik	60º	3-stranski	180º	4	6	4	Pravilni tetraeder
Pravilni trikotnik	60º	4-stranski	240º	6	12	8	Pravilni oktaeder
Pravilni trikotnik	60º	5-stranski	300º	12	30	20	Pravilni ikozaeder
kvadrat	90º	3-stranski	270º	8	12	6	Pravilni heksaeder (kocka)
Pravilni trikotnik	108º	3-stranski	324º	20	30	12	Pravilni dodekaeder

Razmislimo o vrstah poliedrov:

Pravilni tetraeder

<Рис. 1>

Pravilni oktaeder

<Рис. 2>

Pravilni ikozaeder

<Рис. 3>

Pravilni heksaeder (kocka)

<Рис. 4>

Pravilni dodekaeder

<Рис. 5>

Tabela 2. Formule za iskanje volumnov pravilnih poliedrov.

Vrsta poliedra	Prostornina poliedra
Pravilni tetraeder
Pravilni oktaeder
Pravilni ikozaeder
Pravilni heksaeder (kocka)
Pravilni dodekaeder

"Platonove trdne snovi".

Kocka in oktaeder sta dualna, tj. dobimo drug od drugega, če vzamemo težišča ploskev ene kot oglišča druge in obratno. Dodekaeder in ikozaeder sta podobno dvojna. Tetraeder je dualen sam sebi. Pravilni dodekaeder dobimo iz kocke tako, da na njenih ploskvah zgradimo "strehe" (evklidska metoda); oglišča tetraedra so katera koli štiri oglišča kocke, ki niso po paru sosednja vzdolž roba. Tako dobimo iz kocke vse druge pravilne poliedre. Presenetljivo je že samo dejstvo, da obstaja le pet zares pravilnih poliedrov - navsezadnje je pravilnih mnogokotnikov na ravnini neskončno veliko!

Vse pravilne poliedre so poznali že v stari Grčiji in zadnja, XII knjiga slavnih Evklidovih načel je posvečena njim. Te poliedre pogosto imenujemo platonske trdne snovi v idealistični sliki sveta, ki jo je podal veliki starogrški mislec Platon. Štirje izmed njih so poosebljali štiri elemente: tetraeder-ogenj, kocka-zemlja, ikozaeder-voda in oktaeder-zrak; peti polieder, dodekaeder, je simboliziral celotno vesolje. V latinščini so jo začeli imenovati quinta essentia (»peta esenca«).

Očitno ni bilo težko priti do pravilnega tetraedra, kocke, oktaedra, še posebej, ker imajo te oblike naravne kristale, npr.: kocka je monokristal kuhinjske soli (NaCl), oktaeder je monokristal kalija. galun ((KAlSO 4) 2 12H 2 O). Obstaja domneva, da so stari Grki dobili obliko dodekaedra s preučevanjem kristalov pirita (žveplov pirit FeS). Če imamo dodekaeder, ni težko zgraditi ikozaedra: njegova oglišča bodo središča 12 ploskev dodekaedra.

Kje drugje lahko vidite ta neverjetna telesa?

V zelo lepi knjigi nemškega biologa z začetka tega stoletja E. Haeckela »Lepota oblik v naravi« lahko preberete naslednje vrstice: »Narava goji v svojem nedrju neizčrpno število neverjetnih bitij, ki po lepoti in raznolikosti daleč presega vse oblike, ki jih je ustvarila človeška umetnost.« Naravna bitja, prikazana v tej knjigi, so lepa in simetrična. To je neločljiva lastnost naravne harmonije. Toda tukaj lahko vidite enocelične organizme - feodarije, katerih oblika natančno odraža ikozaeder. Kaj povzroča to naravno geometrizacijo? Morda zaradi vseh poliedrov z enakim številom ploskev ima ikozaeder največji volumen in najmanjšo površino. to geometrijska lastnost pomaga morskim mikroorganizmom premagati pritisk vodnega stolpca.

Zanimivo je tudi, da je bil ikozaeder tisti, ki je bil v središču pozornosti biologov v njihovih sporih o obliki virusov. Virus ne more biti popolnoma okrogel, kot so mislili prej. Da bi ugotovili njegovo obliko, so vzeli različne poliedre in nanje usmerili svetlobo pod enakimi koti kot tok atomov na virus. Izkazalo se je, da zgoraj omenjene lastnosti omogočajo shranjevanje genetskih informacij. Pravilni poliedri so najugodnejše figure. In narava to izdatno izkorišča. Pravilni poliedri določajo obliko kristalnih mrež nekaterih kemikalije. Naslednji problem bo ponazoril to idejo.

Naloga. Model molekule metana CH 4 ima obliko pravilnega tetraedra z vodikovimi atomi v štirih ogliščih in ogljikovim atomom v središču. Določite vezni kot med dvema CH vezema.

<Рис. 6>

rešitev. Ker ima pravilni tetraeder šest enakih robov, je mogoče izbrati kocko tako, da so diagonale njenih ploskev robovi pravilnega tetraedra. Središče kocke je tudi središče tetraedra, ker so štiri oglišča tetraedra tudi oglišča kocke, okrog njih opisana krogla pa je enolično določena s štirimi točkami, ki ne ležijo v isti ravnini.

Trikotnik AOC je enakokrak. Torej je a stranica kocke, d je dolžina diagonale stranske ploskve ali roba tetraedra. Torej, a = 54,73561 0 in j = 109,47 0

Naloga. V kocki z enim ogliščem (D) so narisane diagonale ploskev DA, DB in DC, katerih konca sta povezana z ravnimi črtami. Dokažite, da je polieder DABC, ki ga tvorijo štiri ravnine, ki potekajo skozi te premice, pravilni tetraeder.

<Рис. 7>

Naloga. Rob kocke je enak a. Izračunajte površino vanj včrtanega pravilnega oktaedra. Poiščite njegovo razmerje s površino pravilnega tetraedra, včrtanega v isto kocko.

<Рис. 8>

Posplošitev pojma polieder.

Polieder je zbirka končnega števila ravnih mnogokotnikov, tako da:

1. vsaka stran katerega koli poligona je hkrati stranica drugega (vendar samo ena (imenovana sosednja prvi) na tej strani);
2. iz katerega koli od mnogokotnikov, ki sestavljajo polieder, lahko dosežete katerega koli od njih tako, da se premaknete na tistega, ki meji nanj, od tega pa na tistega, ki meji nanj itd.

Te mnogokotnike imenujemo ploskve, njihove stranice imenujemo robovi, njihova oglišča pa oglišča poliedra.

Zgornja definicija poliedra ima različne pomene, odvisno od tega, kako je poligon definiran:

– če pod mnogokotnikom razumemo ravne sklenjene lomljene črte (tudi če se sekajo), pridemo do ta definicija polieder;

– če mnogokotnik razumemo kot del ravnine, ki ga omejujejo lomljene črte, potem s tega vidika polieder razumemo kot ploskev, sestavljeno iz mnogokotnih kosov. Če ta ploskev ne seka sama sebe, potem je to celotna ploskev nekega geometrijskega telesa, ki ga imenujemo tudi polieder. Iz tega izhaja tretji pogled na poliedre kot geometrijska telesa, ki prav tako dopušča obstoj »lukenj« v teh telesih, omejenih s končnim številom ravnih ploskev.

Najenostavnejši primeri poliedrov so prizme in piramide.

Polieder se imenuje n- premog piramida, če ima eno od svojih ploskev (bazo) n- trikotnik, ostale ploskve pa so trikotniki s skupnim ogliščem, ki ne leži v osnovni ravnini. Trikotno piramido imenujemo tudi tetraeder.

Polieder se imenuje n-ogljikova prizma, če sta njeni ploskvi (osnovi) enaki n-kotniki (ki ne ležijo v isti ravnini), dobljeni drug od drugega z vzporednim prevajanjem, preostale ploskve pa so paralelogrami, katerih nasprotne strani so ustrezne stranice osnov.

Za vsak polieder ničelnega rodu je Eulerjeva karakteristika (število oglišč minus število robov plus število ploskev) enaka dve; simbolično: B – P + G = 2 (Eulerjev izrek). Za polieder rodu str velja naslednja relacija: B – P + G = 2 – 2 str.

Konveksni polieder je polieder, ki leži na eni strani ravnine katere koli svoje ploskve. Najpomembnejši so naslednji konveksni poliedri:

<Рис. 9>

1. pravilni poliedri (platonska telesa) - taki konveksni poliedri, katerih vse ploskve so enaki pravilni mnogokotniki in vsi poliedrski koti na ogliščih pravilni in enaki<Рис. 9, № 1-5>;
2. izogoniki in izoedri - konveksni poliedri, katerih vsi poliedrski koti so enaki (izogoniki) ali vse ploskve enake (izoedri); poleg tega skupina vrtenj (z odboji) izogona (izoedra) okoli težišča spremeni katero koli njegovo oglišče (ploskev) v katero koli drugo njegovo oglišče (ploskev). Tako dobljene poliedre imenujemo polpravilni poliedri (Arhimedova telesa).<Рис. 9, № 10-25>;
3. paraleloedri (konveksni) - poliedri, obravnavani kot telesa, katerih vzporedno presečišče lahko zapolni ves neskončni prostor, tako da ne vstopajo drug v drugega in med seboj ne puščajo praznin, tj. oblikovali pregrado prostora<Рис. 9, № 26-30>;
4. Če pod mnogokotnikom razumemo ravne sklenjene lomljene črte (tudi tiste, ki se sekajo same s seboj), potem lahko navedemo še 4 nekonveksne (zvezdaste) pravilne poliedre (Poinsotova telesa). V teh poliedrih se ploskve med seboj sekajo ali pa so ploskve samosekajoči se poligoni<Рис. 9, № 6-9>.

III. Domača naloga.

IV. Reševanje nalog št. 279, št. 281.

V. Povzetek.

Seznam uporabljene literature:

1. "Matematična enciklopedija", urednik I. M. Vinogradova, založba" Sovjetska enciklopedija”, Moskva, 1985. Zvezek 4, strani 552–553 Zvezek 3, strani 708–711.
2. "Mala matematična enciklopedija", E. Fried, I. Pastor, I. Reiman in drugi Založba Madžarske akademije znanosti, Budimpešta, 1976. Str. 264–267.
3. "Zbirka nalog iz matematike za tiste, ki vstopajo na univerze" v dveh knjigah, ki jih je uredil M.I. Scanavi, knjiga 2 – Geometrija, založba “ podiplomska šola”, Moskva, 1998. Str. 45–50.
4. “Praktične vaje v matematiki: Vadnica za tehnične šole", založba "Višja šola", Moskva, 1979. Str. 388–395, str. 405.
5. "Revizija matematike", izdaja 2–6, dodatna, učbenik za tiste, ki vstopajo na univerze, Založba višje šole, Moskva, 1974. Str. 446–447.
6. Enciklopedični slovar mladi matematik, A. P. Savin, Založba "Pedagogika", Moskva, 1989. Str. 197–199.
7. »Enciklopedija za otroke. T.P. matematika", odgovorni urednik M. D. Aksenova; metoda in odgovor. urednik V. A. Volodin, založba Avanta+, Moskva, 2003. Str. 338–340.
8. Geometrija, 10–11: Učbenik za izobraževalne ustanove/ L.S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomcev
9. in drugi - 10. izdaja - M.: Izobraževanje, 2001. Str. 68–71.
10. "Kvant" št. 9, 11 - 1983, št. 12 - 1987, št. 11, 12 - 1988, št. 6, 7, 8 - 1989. Poljudna znanstvena revija za fiziko in matematiko Akademije znanosti ZSSR in ZSSR Akademija pedagoških znanosti. Založba "Science". Glavno uredništvo fizikalne in matematične literature. Stran 5–9, 6–12, 7–9, 10, 4–8, 13, 16, 58.