Geometrijski in fizični pomen. Izpeljanka. Geometrijski in mehanski pomen odvoda Geometrijski pomen odvoda funkcije v točki x0

Odvod funkcije.

1. Opredelitev izpeljanke, njen geometrijski pomen.

2. Odvod kompleksne funkcije.

3. Odvod inverzne funkcije.

4. Izpeljanke višjega reda.

5. Parametrsko definirane funkcije in implicitno.

6. Diferenciacija parametrično in implicitno podanih funkcij.

Uvod.

Izvor diferencialnega računa sta bili dve vprašanji, ki sta ju postavili zahteve znanosti in tehnologije v 17. stoletju.

1) Vprašanje računanja hitrosti za poljubno zadan zakon gibanja.

2) Vprašanje iskanja (z uporabo izračunov) tangente na poljubno dano krivuljo.

Problem risanja tangente na nekatere krivulje je rešil starogrški znanstvenik Arhimed (287-212 pr. n. št.) z metodo risanja.

Toda šele v 17. in 18. stoletju, v povezavi z napredkom naravoslovja in tehnologije, so ta vprašanja dobila ustrezen razvoj.

Eno od pomembnih vprašanj pri preučevanju katerega koli fizičnega pojava je običajno vprašanje hitrosti, hitrosti pojava pojava.

Hitrost, s katero se premika letalo ali avto, je vedno najpomembnejši pokazatelj njegove zmogljivosti. Stopnja rasti prebivalstva posamezne države je ena glavnih značilnosti njenega družbenega razvoja.

Prvotna ideja hitrosti je jasna vsem. Vendar ta splošna ideja ni dovolj za rešitev večine praktičnih problemov. Treba je imeti takšno kvantitativno opredelitev te količine, ki ji pravimo hitrost. Potreba po tako natančni kvantitativni določitvi je v zgodovini služila kot ena glavnih spodbud za nastanek matematične analize. Celotno poglavje matematične analize je posvečeno reševanju tega osnovnega problema in sklepanju iz te rešitve. Nadaljujemo s preučevanjem tega razdelka.

Definicija odvoda, njegov geometrijski pomen.

Naj bo podana funkcija, ki je definirana v določenem intervalu (a,c) in neprekinjeno v njem.

1. Povejmo argument X inkrement , potem bo funkcija dobila

prirastek:

2. Ustvarimo odnos .

3. Prehod na mejo pri in ob predpostavki, da je meja

obstaja, dobimo količino, imenovano

odvod funkcije glede na argument X.

Opredelitev. Odvod funkcije v točki je meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta pri →0.

Vrednost izpeljanke je očitno odvisna od točke X, v katerem se nahaja, zato je izpeljanka funkcije neka funkcija od X. Označeno z .

Po definiciji imamo

ali (3)

Primer. Poiščite odvod funkcije.

1. ;

Ta članek začnemo s pregledom potrebnih definicij in pojmov.

Nato bomo prešli na pisanje enačbe tangente in podali podrobne rešitve najbolj tipičnih primerov in problemov.

Za zaključek se bomo osredotočili na iskanje enačbe tangente na krivulje drugega reda, to je na krožnico, elipso, hiperbolo in parabolo.

Navigacija po straneh.

Definicije in pojmi.

Opredelitev.

Kot ravne črte y=kx+b je kot, izmerjen od pozitivne smeri osi x do premice y=kx+b v pozitivni smeri (to je v nasprotni smeri urinega kazalca).

Na sliki je pozitivna smer osi x prikazana z vodoravno zeleno puščico, pozitivna smer kota je prikazana z zelenim lokom, ravna črta je prikazana z modro črto in naklonski kot premice črta je prikazana z rdečim lokom.

Opredelitev.

Naklon ravne črte y=kx+b imenujemo numerični koeficient k.

Naklon ravne črte je enak tangensu naklonskega kota ravne črte, to je .

Opredelitev.

Neposredno AB, narisan skozi dve točki na grafu funkcije y=f(x), se imenuje sekant. Z drugimi besedami, sekant je premica, ki poteka skozi dve točki na grafu funkcije.

Na sliki je sekansa AB prikazana kot modra črta, graf funkcije y=f(x) je prikazan kot črna krivulja, naklonski kot sekanse pa je prikazan kot rdeč lok.

Če upoštevamo, da je kotni koeficient ravne črte enak tangensu kota naklona (to je bilo obravnavano zgoraj), tangens kota v pravokotnem trikotniku ABC pa je razmerje nasprotnega kraka do sosednji (to je definicija tangente kota), potem bo za naš sekans veljal niz enakosti , kjer sta abscisi točk A in B, - ustrezne vrednosti funkcij.

to je sekantni kot je določena z enakostjo oz , A sekantna enačba zapisana v obrazcu oz (če je potrebno, glejte razdelek).

Sekanta deli graf funkcije na tri dele: levo od točke A, od A do B in desno od točke B, čeprav ima lahko več kot dve skupni točki z grafom funkcije.

Spodnja slika prikazuje tri dejansko različne sekante (točki A in B sta različni), vendar sovpadata in sta podani z eno enačbo.

Nikoli nismo naleteli na govor o sekanti za ravno črto. A vseeno, če izhajamo iz definicije, potem ravna črta in njena sekanta sovpadata.

V nekaterih primerih ima sekans lahko neskončno število presečišč z grafom funkcije. Na primer, sekans, definiran z enačbo y=0, ima neskončno število skupnih točk s sinusnim valom.

Opredelitev.

Tangenta na graf funkcije y=f(x) v točki imenovana ravna črta, ki poteka skozi točko, s segmentom katere se graf funkcije praktično združi za vrednosti x, ki so poljubno blizu .

Razložimo to definicijo s primerom. Pokažimo, da se premica y = x+1 dotika grafa funkcije v točki (1; 2). Da bi to naredili, bomo prikazali grafe teh funkcij, ko se približamo tangentni točki (1; 2). Graf funkcije je prikazan v črni barvi, tangentna črta je prikazana kot modra črta, tangentna točka pa je prikazana kot rdeča pika.

Vsaka naslednja risba je povečano območje prejšnje (ta področja so označena z rdečimi kvadratki).

Jasno je razvidno, da se v bližini tangentne točke graf funkcije praktično zlije s tangento y=x+1.

Zdaj pa preidimo na bolj smiselno definicijo tangente.

Da bi to naredili, bomo pokazali, kaj se bo zgodilo s sekanto AB, če je točka B neskončno bližje točki A.

Spodnja slika prikazuje ta postopek.

Sekanta AB (prikazana kot modra pikčasta črta) bo težila k temu, da zavzame položaj tangente na ravno črto (prikazana kot modra polna črta), naklonski kot sekante (prikazan kot rdeč črtkan lok) bo težil k naklonski kot tangente (prikazan kot rdeč poln lok).

Opredelitev.

torej tangenta na graf funkcije y=f(x) v točki A je mejni položaj sekante AB pri .

Zdaj lahko nadaljujemo z opisom geometrijskega pomena odvoda funkcije v točki.

Geometrijski pomen odvoda funkcije v točki.

Oglejmo si sekanto AB grafa funkcije y=f(x), tako da imata točki A in B koordinate oz. , kjer je prirastek argumenta. Označimo s prirastkom funkcije. Označimo vse na risbi:

Iz pravokotnega trikotnika ABC imamo . Ker je po definiciji tangenta mejni položaj sekante, potem .

Spomnimo se definicije odvoda funkcije v točki: odvod funkcije y=f(x) v točki je meja razmerja prirastka funkcije proti prirastku argumenta pri , označena z .

torej , kjer je naklon tangente.

Tako je obstoj odvoda funkcije y=f(x) v točki enakovreden obstoju tangente na graf funkcije y=f(x) v točki dotika in naklon tangente je enak vrednosti odvoda v točki, to je .

Sklepamo: geometrijski pomen odvoda funkcije v točki je v obstoju tangente na graf funkcije na tej točki.

Enačba tangente.

Za pisanje enačbe katere koli ravne črte na ravnini je dovolj, da poznamo njen kotni koeficient in točko, skozi katero poteka. Tangenta poteka skozi točko dotika in njen kotni koeficient za diferenciabilno funkcijo je enak vrednosti odvoda v točki. To pomeni, da lahko iz točke vzamemo vse podatke, da napišemo enačbo tangente.

Enačba tangente na graf funkcije y = f(x) v točki izgleda kot .

Predpostavimo, da obstaja končna vrednost odvoda, sicer je tangenta ravna ali navpična (če in ) ali ne obstaja (če ).

Odvisno od kotnega koeficienta je lahko tangenta vzporedna z osjo abscise (), vzporedna z osjo ordinate (v tem primeru bo enačba tangente v obliki), povečanje () ali zmanjšanje ().

Čas je, da podamo nekaj primerov za pojasnilo.

Primer.

Zapišite enačbo za tangento na graf funkcije v točki (-1;-3) in določimo naklonski kot.

rešitev.

Funkcija je definirana za vsa realna števila (po potrebi glejte članek). Ker je (-1;-3) točka dotika, potem .

Poiščemo odvod (za to je lahko koristno gradivo v članku o razlikovanju funkcije, iskanje odvoda) in izračunamo njegovo vrednost v točki:

Ker je vrednost odvoda v tangentni točki naklon tangente in je enaka tangensu kota naklona, ​​potem .

Zato je naklonski kot tangente enak , enačba tangente pa ima obliko

Grafična ilustracija.

Graf prvotne funkcije je prikazan v črni barvi, tangentna črta je prikazana kot modra črta, tangentna točka pa je prikazana kot rdeča pika. Slika na desni je povečan pogled na območje, označeno z rdečim pikčastim kvadratom na sliki na levi.

Primer.

Ugotovite, ali obstaja tangenta na graf funkcije v točki (1; 1), če da, potem sestavite njeno enačbo in določite njen naklonski kot.

rešitev.

Domena funkcije je celotna množica realnih števil.

Iskanje izpeljanke:

Ko izpeljanka ni definirana, ampak in Zato je v točki (1;1) navpična tangenta, njena enačba je x = 1, naklonski kot pa je enak .

Grafična ilustracija.

Primer.

Poiščite vse točke na grafu funkcije, pri katerih:
a) tangenta ne obstaja; b) tangenta je vzporedna z osjo x; c) tangenta je vzporedna s premico.

rešitev.

Kot vedno začnemo z domeno definicije funkcije. V našem primeru je funkcija definirana na celotni množici realnih števil. Razširimo znak modula, upoštevajmo dva intervala in :

Razlikujmo funkcijo:

pri x=-2 izpeljanka ne obstaja, ker enostranske meje na tej točki niso enake:

Tako lahko z izračunom vrednosti funkcije pri x=-2 podamo odgovor na točko a): tangenta na graf funkcije v točki (-2;-2) ne obstaja.

b) Tangenta je vzporedna z osjo x, če je njen naklon enak nič (tangens naklonskega kota je enak nič). Ker , potem moramo najti vse vrednosti x, pri katerih odvod funkcije izgine. Te vrednosti bodo abscisa tangentnih točk, na katerih je tangenta vzporedna z osjo Ox.

Ko rešimo enačbo , in kdaj je enačba :

Ostaja še izračunati ustrezne vrednosti funkcije:

zato, - zahtevane točke grafa funkcije.

Grafična ilustracija.

Graf prvotne funkcije je upodobljen s črno črto, rdeče pike pa označujejo najdene točke, v katerih so tangente vzporedne z osjo abscise.

c) Če sta premici na ravnini vzporedni, sta njuna kotna koeficienta enaka (to piše v članku). Na podlagi te trditve moramo najti vse točke na grafu funkcije, pri katerih je naklon tangente enak osmim petinam. To pomeni, da moramo rešiti enačbo. Torej, ko rešimo enačbo , in kdaj je enačba .

Diskriminanta prve enačbe je negativna, zato nima pravih korenin:

Druga enačba ima dva realna korena:

Poiščemo ustrezne vrednosti funkcij:

Na točkah tangente na graf funkcije so vzporedne s premico.

Grafična ilustracija.

Graf funkcije je prikazan s črno črto, rdeča črta prikazuje graf premice, modre črte prikazujejo tangente na graf funkcije v točkah .

Pri trigonometričnih funkcijah je lahko zaradi njihove periodičnosti neskončno število tangent, ki imajo enak naklon (enako strmino).

Primer.

Zapišite enačbe za vse tangente na graf funkcije ki so pravokotne na premico.

rešitev.

Da ustvarimo enačbo za tangento na graf funkcije, moramo poznati le njen naklon in koordinate točke dotika.

Kotni koeficient tangente najdemo iz: zmnožek kotnih koeficientov pravokotnih ravnih črt je enak minus ena, tj. Ker je po pogoju kotni koeficient pravokotne premice enak , potem .

Začnimo iskati koordinate tangentnih točk. Najprej poiščemo abscise, nato izračunamo ustrezne vrednosti funkcije - to bodo ordinate tangentnih točk.

Pri opisu geometrijskega pomena odvoda funkcije v točki smo opozorili, da. Iz te enakosti najdemo absciso tangentnih točk.

Prišli smo do trigonometrične enačbe. Prosimo, bodite pozorni nanjo, saj jo bomo kasneje uporabili pri izračunu ordinat tangentnih točk. Rešujemo (če imate kakršne koli težave, glejte razdelek reševanje trigonometričnih enačb):

Abscise tangentnih točk so bile najdene, izračunajmo ustrezne ordinate (tu uporabljamo enakost, na katero smo vas prosili, da ste pozorni tik zgoraj):

Tako vse stične točke. Zato imajo zahtevane tangentne enačbe obliko:

Grafična ilustracija.

Slika črne krivulje prikazuje graf prvotne funkcije na segmentu [-10;10], modre črte prikazujejo tangente. Jasno je razvidno, da so pravokotni na rdečo črto. Dotične točke so označene z rdečimi pikami.

Tangenta na krožnico, elipso, hiperbolo, parabolo.

Do te točke smo bili zaposleni z iskanjem enačb za tangente na grafe funkcij z eno vrednostjo oblike y = f(x) na različnih točkah. Kanonične enačbe krivulj drugega reda niso funkcije z eno vrednostjo. Lahko pa predstavimo krog, elipso, hiperbolo in parabolo s kombinacijo dveh enovrednih funkcij in po tem lahko sestavimo tangentne enačbe po dobro znani shemi.

Tangenta na krožnico.

Krog s središčem v točki in polmer R je podan z .

Zapišimo to enakost kot zvezo dveh funkcij:

Tukaj prva funkcija ustreza zgornjemu polkrogu, druga - spodnjemu.

Torej, da bi sestavili enačbo tangente na krog v točki, ki pripada zgornjemu (ali spodnjemu) polkrogu, najdemo enačbo tangente na graf funkcije (ali) v določeni točki.

To je enostavno pokazati na točkah kroga s koordinatami in tangente so vzporedne z osjo x in so podane z enačbami oz. (na spodnji sliki so prikazane kot modre pike in modre ravne črte), v točkah pa in - so vzporedne z ordinatno osjo in imajo enačbe oz. (na spodnji sliki so označene z rdečimi pikami in rdečimi ravnimi črtami).

Tangenta na elipso.

Elipsa s središčem v točki s polosema a in b je podana z enačbo .

Elipso, tako kot krog, lahko definiramo s kombinacijo dveh funkcij - zgornje in spodnje polelipse:

Tangente na ogliščih elipse so vzporedne bodisi z abscisno osjo (na spodnji sliki prikazano kot modre ravne črte) bodisi z ordinatno osjo (na spodnji sliki prikazano z rdečimi ravnimi črtami).

To pomeni, da je zgornja polelipsa podana s funkcijo in spodnji - .

Zdaj lahko uporabimo standardni algoritem za sestavo enačbe za tangento na graf funkcije v točki.

Prva tangenta v točki:

Druga tangenta v točki :

Grafična ilustracija.

Tangenta na hiperbolo.

Hiperbola s središčem v točki in vrhovi in je podana z enakostjo (slika spodaj levo), in z oglišči in - enakost (slika spodaj desno).

Kot kombinacijo dveh funkcij lahko hiperbolo predstavimo kot

oz .

V ogliščih hiperbole so tangente vzporedne z osjo Oy v prvem primeru in vzporedne z osjo Ox v drugem primeru.

Tako najdemo enačbo tangente na hiperbolo, ugotovimo, kateri funkciji pripada točka dotika in nadaljujemo na običajen način.

Postavlja se logično vprašanje: kako ugotoviti, kateri funkciji pripada točka. Da bi odgovorili nanj, nadomestimo koordinate v vsako enačbo in vidimo, katera od enačb se spremeni v identiteto. Poglejmo si to s primerom.

Primer.

Napišite enačbo za tangento na hiperbolo na točki.

rešitev.

Zapišimo hiperbolo v obliki dveh funkcij:

Ugotovimo, kateri funkciji pripada tangentna točka.

Pri prvi funkciji torej točka ne pripada grafu te funkcije.

Pri drugi funkciji torej točka pripada grafu te funkcije.

Poiščite kotni koeficient tangente:

Tako ima tangentna enačba obliko .

Grafična ilustracija.

Tangenta na parabolo.

Če želite ustvariti enačbo za tangento na parabolo oblike v točki uporabimo standardno shemo in zapišemo enačbo tangente kot . Tangenta na graf takšne parabole v oglišču je vzporedna z osjo Ox.

Parabola Najprej ga definiramo s kombinacijo dveh funkcij. Če želite to narediti, rešimo to enačbo za y:

Zdaj ugotovimo, kateri funkciji pripada tangentna točka in nadaljujemo po standardni shemi.

Tangenta na graf takšne parabole na vrhu je vzporedna z osjo Oy.

Za drugo funkcijo:

Pridobivanje točke dotika .

Tako ima enačba želene tangente obliko .

Opredelitev derivata. Njegov fizični pomen. Definicija diferenciabilne funkcije. Oblikujte izrek o povezavi med diferenciabilnostjo in zveznostjo funkcije.

Izpeljanka - osnovni koncept diferencialnega računa, ki označuje hitrost spremembe funkcije.

Izpeljanka - to je meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom njenega argumenta, saj se prirastek argumenta nagiba k ničli, če taka meja obstaja.

Funkcija, ki ima končni odvod, se imenuje razločljiv.
Postopek izračuna izpeljanke se imenuje diferenciacija

Če je položaj točke, ko se premika vzdolž številske premice, podan s funkcijo S= f(t), kje t je čas gibanja, nato pa odvod funkcije S– trenutna hitrost gibanja v trenutku t. Po analogiji s tem modelom na splošno pravijo, da je odvod funkcije pri= f(x) – stopnja spremembe funkcije na točki X.

Izrek(nujni pogoj za diferenciabilnost funkcije).Če je funkcija diferenciabilna v točki, potem je v tej točki zvezna.

Dokaz. Naj funkcija y=f(x) razločljiv v točki X 0 . Na tej točki argument povečamo Dx. Funkcija se bo povečala Du. Poiščimo ga.

torej y=f(x) neprekinjeno v točki X 0 .

Posledica.če X 0 je točka diskontinuitete funkcije, potem funkcija na njej ni diferenciacijska.

Obratno izrek ne drži. Kontinuiteta ne pomeni diferenciabilnosti.

Primer. y=|x| , X 0 = 0.

Dх> 0, ;

Dx< 0, .

Na točki X 0 = Funkcija je zvezna, vendar nima odvoda.

Geometrijski pomen izpeljanke. Tangentne in normalne enačbe

Geometrijski pomen izpeljanke. Razmislite o grafu funkcije l= f (x):

Iz slike 1 je jasno, da za kateri koli dve točki A in B grafa funkcije:

Kje je naklonski kot sekante AB.

Tako je razmerje razlike enako naklonu sekante. Če fiksiramo točko A in premaknemo točko B proti njej, potem neomejeno pada in se približa 0, sekanta AB pa se približa tangenti AC. Zato je meja razmerja razlike enaka naklonu tangente v točki A. Sledi: Odvod funkcije v točki je naklon tangente na graf te funkcije v tej točki. To je tisto geometrijski pomen izpeljanka.

Tangentna enačba. Izpeljimo enačbo tangente na graf funkcije v točki A ( x 0 , f (x 0)). Na splošno enačba ravne črte s koeficientom naklona f ’(x 0) ima obliko:

l = f ’(x 0) · x + b.

Najti b, izkoristimo dejstvo, da tangenta poteka skozi točko A:

f (x 0) = f ’(x 0) · x 0 +b,

od tukaj, b = f (x 0) – f ’(x 0) · x 0 in zamenjava tega izraza b, bomo dobili tangentna enačba:

l =f (x 0) + f ’(x 0) · ( x – x 0) .

normalno na graf funkcije l = f (x) v točki A ( x 0 ; l 0) se imenuje ravna črta, ki poteka skozi točko A in pravokotno na tangento na to točko. Podana je z enačbo

kar izhaja iz lastnosti kotnih koeficientov medsebojno pravokotnih premic.

V primeru neskončnega odvoda tangenta v točki x 0 postane navpična in je podana z enačbo x = x 0 in normala je vodoravna: l = l 0 .

Če želite ugotoviti geometrijsko vrednost odvoda, razmislite o grafu funkcije y = f(x). Vzemimo poljubno točko M s koordinatami (x, y) in točko N blizu nje (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Narišimo ordinati $\overline(M_(1) M)$ in $\overline(N_(1) N)$ ter iz točke M - ravno črto, vzporedno z osjo OX.

Razmerje $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ je tangens kota $\alpha $1, ki ga tvori sekanta MN s pozitivno smerjo osi OX. Ko se $\Delta $x nagiba k nič, se bo točka N približala M, mejni položaj sekante MN pa bo tangenta MT na krivuljo v točki M. Tako je odvod f`(x) enak tangenti kota $\alpha $, ki ga tvori tangenta na krivuljo v točki M (x, y) s pozitivno smerjo na os OX - kotni koeficient tangente (slika 1).

Slika 1. Funkcijski graf

Pri izračunu vrednosti z uporabo formul (1) je pomembno, da ne delate napak v znakih, ker prirastek je lahko tudi negativen.

Točka N, ki leži na krivulji, lahko teži k M s katerekoli strani. Torej, če je na sliki 1 tangenta podana v nasprotni smeri, se bo kot $\alpha $ spremenil za znesek $\pi $, kar bo pomembno vplivalo na tangens kota in s tem na kotni koeficient.

Zaključek

Iz tega sledi, da je obstoj odvoda povezan z obstojem tangente na krivuljo y = f(x), kotni koeficient - tg $\alpha $ = f`(x) pa je končen. Zato tangenta ne sme biti vzporedna z osjo OY, sicer $\alpha $ = $\pi $/2 in bo tangenta kota neskončna.

Na nekaterih točkah zvezna krivulja morda nima tangente ali ima tangento, ki je vzporedna z osjo OY (slika 2). Potem funkcija ne more imeti odvoda v teh vrednostih. Na funkcijski krivulji je lahko poljubno število podobnih točk.

Slika 2. Izjemne točke krivulje

Razmislite o sliki 2. Naj se $\Delta $x nagiba k ničli od negativnih ali pozitivnih vrednosti:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Če imajo v tem primeru razmerja (1) končno mejo, jo označimo kot:

V prvem primeru je izpeljanka na levi, v drugem pa na desni.

Obstoj meje kaže na enakovrednost in enakost levega in desnega odvoda:

Če leva in desna odvodnica nista enaka, potem v dani točki obstajajo tangente, ki niso vzporedne z OY (točka M1, slika 2). V točkah M2, M3 relacije (1) težijo v neskončnost.

Za točke N, ki ležijo levo od M2, $\Delta $x $

Desno od $M_2$ je $\Delta $x $>$ 0, vendar je izraz tudi f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Za točko $M_3$ na levi je $\Delta $x $$ 0 in f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, tj. izrazi (1) tako na levi kot na desni so pozitivni in se nagibajo k +$\infty $ tako, ko se $\Delta $x približuje -0 in +0.

Primer odsotnosti odvoda na določenih točkah premice (x = c) je prikazan na sliki 3.

Slika 3. Brez izvedenih finančnih instrumentov

Primer 1

Slika 4 prikazuje graf funkcije in tangento na graf na abscisni točki $x_0$. Poiščite vrednost odvoda funkcije na abscisi.

rešitev. Odvod v točki je enak razmerju med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta. Izberimo dve točki na tangenti s celimi koordinatami. Naj bosta to na primer točki F (-3,2) in C (-2,4).

Predavanje: Pojem odvoda funkcije, geometrijski pomen odvoda

Koncept odvoda funkcije

Oglejmo si neko funkcijo f(x), ki bo zvezna v celotnem obravnavanem intervalu. Na obravnavanem intervalu izberemo točko x 0 in vrednost funkcije na tej točki.

Torej, poglejmo graf, na katerem označimo našo točko x 0, pa tudi točko (x 0 + ∆x). Spomnimo se, da je ∆x razdalja (razlika) med dvema izbranima točkama.

Prav tako je vredno razumeti, da vsak x ustreza svoji vrednosti funkcije y.

Razlika med vrednostmi funkcije v točki x 0 in (x 0 + ∆x) se imenuje prirastek te funkcije: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

Bodimo pozorni na dodatne informacije, ki so na voljo na grafu - to je sekans, ki se imenuje KL, kot tudi trikotnik, ki ga tvori z intervali KN in LN.

Kot, pod katerim se sekanta nahaja, se imenuje njen naklonski kot in ga označimo z α. Zlahka ugotovimo, da je tudi stopinjska mera kota LKN enaka α.

Zdaj pa se spomnimo odnosov v pravokotnem trikotniku tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

To pomeni, da je tangens sekante kota enak razmerju med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta.

Enkrat je izpeljanka meja razmerja prirastka funkcije in prirastka argumenta na neskončno majhnih intervalih.

Izpeljanka določa hitrost, s katero se funkcija spreminja na določenem območju.

Geometrijski pomen izpeljanke

Če najdete odvod katere koli funkcije na določeni točki, potem lahko določite kot, pod katerim se bo nahajala tangenta na graf v danem toku glede na os OX. Bodite pozorni na graf - tangencialni kot naklona je označen s črko φ in je določen s koeficientom k v enačbi premice: y = kx + b.

To pomeni, da lahko sklepamo, da je geometrijski pomen odvoda tangens tangentnega kota na neki točki funkcije.