Iskanje koordinat razpolovišča odseka: primeri, rešitve. Vektorji za lutke. Dejanja z vektorji. Vektorske koordinate. Najenostavnejše težave z vektorji Koordinate razpolovišča odseka na spletu

Vektor je količina, označena s svojo numerično vrednostjo in smerjo. Z drugimi besedami, vektor je usmerjen segment. Položaj vektor AB v prostoru je podana s koordinatami izhodišča vektor A in končne točke vektor B. Poglejmo, kako določimo koordinate središča vektor.

Navodila

Najprej določimo oznako začetka in konca vektor. Če je vektor zapisan kot AB, potem je točka A izhodišče vektor, točka B pa je konec. In obratno, za vektor BA točka B je začetek vektor, točka A pa je konec. Naj nam bo dan vektor AB s koordinatami izhodišča vektor A = (a1, a2, a3) in konec vektor B = (b1, b2, b3). Nato koordinate vektor AB bo naslednji: AB = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3), tj. od končne koordinate vektor potrebno je odšteti pripadajočo izhodiščno koordinato vektor. Dolžina vektor AB (ali njegov modul) se izračuna kot kvadratni koren vsote kvadratov njegovih koordinat: |AB| = ?((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).

Poiščite koordinate točke, ki je sredina vektor. Označimo ga s črko O = (o1, o2, o3). Najdene so koordinate sredine vektor enake koordinatam sredine pravilnega segmenta, po naslednjih formulah: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2, o3 = (a3 + b3)/2. Poiščimo koordinate vektor AO: AO = (o1 – a1, o2 – a2, o3 – a3) = ((b1 – a1)/2, (b2 – a2)/2, (b3 – a3)/2).

Poglejmo si primer. Naj bo podan vektor AB s koordinatami izhodišča vektor A = (1, 3, 5) in konec vektor B = (3, 5, 7). Nato koordinate vektor AB lahko zapišemo kot AB = (3 – 1, 5 – 3, 7 – 5) = (2, 2, 2). Poiščimo modul vektor AB: |AB| = ?(4 + 4 + 4) = 2 * ?3. Določena vrednost dolžine vektor nam bo pomagal pri nadaljnjem preverjanju pravilnosti središčnih koordinat vektor. Nato poiščemo koordinate točke O: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). Nato koordinate vektor AO se izračuna kot AO = (2 – 1, 4 – 3, 6 – 5) = (1, 1, 1).

Preverimo. Dolžina vektor AO = ?(1 + 1 + 1) = ?3. Spomnimo se, da je dolžina izvirnika vektor je enako 2 * ?3, tj. pol vektor res enaka polovici dolžine izvirnika vektor. Zdaj pa izračunajmo koordinate vektor OB: OB = (3 – 2, 5 – 4, 7 – 6) = (1, 1, 1). Poiščimo vsoto vektorjev AO in OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Zato koordinate sred vektor so bile pravilno ugotovljene.

Koristen nasvet

Po izračunu koordinat sredine vektorja obvezno izvedite vsaj najenostavnejšo kontrolo - izračunajte dolžino vektorja in jo primerjajte z dolžino danega vektorja.

Spodnji članek obravnava vprašanja iskanja koordinat sredine segmenta, če so njegove koordinate na voljo kot začetni podatki skrajne točke. Toda preden začnemo preučevati to vprašanje, uvedimo nekaj definicij.

Definicija 1

Segment– ravna črta, ki povezuje dve poljubni točki, imenovani konci segmenta. Na primer, naj bodo to točki A in B ter v skladu s tem segment A B.

Če odsek A B nadaljujemo v obe smeri iz točk A in B, dobimo premico A B. Potem je segment A B del nastale ravne črte, omejene s točkama A in B. Odsek A B združuje točki A in B, ki sta njegovi konci, ter množico točk, ki ležijo med njimi. Če na primer vzamemo poljubno točko K, ki leži med točkama A in B, lahko rečemo, da točka K leži na odseku A B.

Definicija 2

Dolžina odseka– razdalja med koncema segmenta v danem merilu (odsek enote dolžine). Dolžino odseka A B označimo takole: A B .

Definicija 3

Sredina segmenta– točka, ki leži na segmentu in je enako oddaljena od njegovih koncev. Če je sredina segmenta A B označena s točko C, potem velja enakost: A C = C B

Začetni podatki: koordinatna črta O x in nesovpadajoče točke na njej: A in B. Te točke ustrezajo realna števila x A in x B. Točka C je sredina segmenta A B: potrebno je določiti koordinato x C.

Ker je točka C razpolovišče odseka A B, bo veljala enakost: | A C | = | C B | . Razdalja med točkama je določena z modulom razlike njihovih koordinat, tj.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Potem sta možni dve enakosti: x C - x A = x B - x C in x C - x A = - (x B - x C)

Iz prve enakosti izpeljemo formulo za koordinate točke C: x C = x A + x B 2 (polovica vsote koordinat koncev odseka).

Iz druge enakosti dobimo: x A = x B, kar je nemogoče, ker v izvornih podatkih - nesovpadajoče točke. torej formula za določanje koordinat sredine segmenta A B s konci A (x A) in B(xB):

Dobljena formula bo osnova za določanje koordinat sredine segmenta na ravnini ali v prostoru.

Izhodiščni podatki: pravokotni koordinatni sistem na ravnini O x y, dve poljubni nesovpadajoči točki z danima koordinatama A x A, y A in B x B, y B. Točka C je sredina odseka A B. Za točko C je treba določiti koordinate x C in y C.

Vzemimo za analizo primer, ko točki A in B ne sovpadata in ne ležita na isti koordinatni premici ali premici, ki je pravokotna na eno od osi. A x, A y; B x, B y in C x, C y - projekcije točk A, B in C na koordinatne osi (ravne črte O x in O y).

Po konstrukciji so premice A A x, B B x, C C x vzporedne; tudi premice so med seboj vzporedne. Skupaj s tem po Thalesovem izreku iz enakosti A C = C B sledita enakosti: A x C x = C x B x in A y C y = C y B y, ki pa kažeta, da je točka C x sredina odseka A x B x in C y je sredina odseka A y B y. In potem na podlagi prej pridobljene formule dobimo:

x C = x A + x B 2 in y C = y A + y B 2

Enake formule lahko uporabimo v primeru, ko točki A in B ležita na isti koordinatni črti ali črti, pravokotni na eno od osi. Ne bomo izvedli podrobne analize tega primera, obravnavali ga bomo le grafično:

Če povzamem vse zgoraj navedeno, koordinate sredine segmenta A B na ravnini s koordinatami koncev A (x A, y A) in B(xB, yB) so opredeljeni kot:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Začetni podatki: koordinatni sistem O x y z in dve poljubni točki z danima koordinatama A (x A, y A, z A) in B (x B, y B, z B). Treba je določiti koordinate točke C, ki je sredina segmenta A B.

A x, A y, A z; B x , B y , B z in C x , C y , C z - projekcije vseh danih točk na osi koordinatnega sistema.

Po Thalesovem izreku veljajo naslednje enakosti: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Zato so točke C x , C y , C z razpolovišča odsekov A x B x , A y B y , A z B z . potem, Za določitev koordinat sredine segmenta v prostoru so pravilne naslednje formule:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Dobljene formule so uporabne tudi v primerih, ko točki A in B ležita na eni od koordinatnih premic; na ravni črti, pravokotni na eno od osi; v enem koordinatna ravnina ali ravnino, pravokotno na eno od koordinatnih ravnin.

Določitev koordinat sredine segmenta preko koordinat polmernih vektorjev njegovih koncev

Formulo za iskanje koordinat sredine segmenta lahko izpeljemo tudi glede na algebraično interpretacijo vektorjev.

Vhodni podatki: pravokotni kartezični koordinatni sistem O x y, točke z danimi koordinatami A (x A, y A) in B (x B, x B). Točka C je sredina odseka A B.

Glede na geometrijska definicija dejanj na vektorje, bo veljala naslednja enakost: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Točka C je v tem primeru presečišče diagonal paralelograma, zgrajenega na osnovi vektorjev O A → in O B →, tj. točka sredine diagonal. Koordinate vektorja radija točke so enake koordinatam točke, potem veljajo enakosti: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , y B). Izvedimo nekaj operacij na vektorjih v koordinatah in dobimo:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Zato ima točka C koordinate:

x A + x B 2, y A + y B 2

Po analogiji je določena formula za iskanje koordinat sredine segmenta v prostoru:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Primeri reševanja nalog pri iskanju koordinat razpolovišča segmenta

Med problemi, ki vključujejo uporabo zgoraj pridobljenih formul, so tisti, pri katerih je neposredno vprašanje izračunati koordinate sredine segmenta, in tisti, ki vključujejo uvedbo danih pogojev na to vprašanje: izraz "mediana" se pogosto uporablja, cilj je najti koordinate enega od koncev segmenta, pogosti pa so tudi problemi simetrije, katerih rešitev na splošno tudi ne bi smela povzročati težav po študiju te teme. Poglejmo tipične primere.

Primer 1

Začetni podatki: na ravnini - točke z danimi koordinatami A (- 7, 3) in B (2, 4). Treba je najti koordinate sredine segmenta A B.

rešitev

Sredino odseka A B označimo s točko C. Njegove koordinate bodo določene kot polovica vsote koordinat koncev segmenta, tj. točki A in B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Odgovori: koordinate sredine segmenta A B - 5 2, 7 2.

Primer 2

Začetni podatki: koordinate trikotnika A B C so znane: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Najti je treba dolžino mediane A M.

rešitev

1. Glede na pogoje problema je A M mediana, kar pomeni, da je M razpolovišče odseka B C . Najprej poiščemo koordinate sredine segmenta B C, tj. M točke:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Ker zdaj poznamo koordinate obeh koncev mediane (točki A in M), lahko uporabimo formulo za določitev razdalje med točkama in izračun dolžine mediane A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

odgovor: 58

Primer 3

Začetni podatki: v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalni prostor dani paralelopiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Podane so koordinate točke C 1 (1, 1, 0), definirana pa je tudi točka M, ki je razpolovišče diagonale B D 1 in ima koordinate M (4, 2, - 4). Izračunati je potrebno koordinate točke A.

rešitev

Diagonali paralelepipeda se sekata v eni točki, ki je središče vseh diagonal. Na podlagi te izjave lahko upoštevamo, da je točka M, ki je znana iz pogojev problema, razpolovna točka segmenta A C 1. Na podlagi formule za iskanje koordinat sredine segmenta v prostoru najdemo koordinate točke A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

odgovor: koordinate točke A (7, 3, - 8).

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Končno sem dobil v roke obsežno in dolgo pričakovano temo analitično geometrijo. Najprej nekaj o tem delu višje matematike ... Zagotovo se zdaj spomnite šolskega tečaja geometrije s številnimi izreki, njihovimi dokazi, risbami itd. Kaj skrivati, neljuba in pogosto nejasna tema za precejšen del študentov. Analitična geometrija, nenavadno, se morda zdi bolj zanimiva in dostopna. Kaj pomeni pridevnik »analitičen«? Takoj prideta na misel dve oguljeni matematični frazi: »metoda grafične rešitve« in » analitična metoda rešitve." Grafična metoda, seveda, je povezano z gradnjo grafov in risb. Analitično enako metoda vključuje reševanje problemov v glavnem skozi algebraične operacije. V zvezi s tem je algoritem za reševanje skoraj vseh problemov analitične geometrije preprost in pregleden; pogosto je dovolj, da natančno uporabite potrebne formule - in odgovor je pripravljen! Ne, seveda brez risb sploh ne bomo mogli, poleg tega pa jih bom za boljše razumevanje gradiva poskušal citirati po potrebi.

Na novo odprt pouk o geometriji se ne pretvarja, da je teoretično popoln; osredotočen je na reševanje praktičnih problemov. V svoja predavanja bom vključil samo tisto, kar je z mojega vidika pomembno v praksi. Če potrebujete popolnejšo pomoč pri katerem koli pododdelku, priporočam naslednjo precej dostopno literaturo:

1) Stvar, ki jo, brez šale, pozna več generacij: Šolski učbenik o geometriji, avtorji – L.S. Atanasyan in družba. Ta obešalnik za šolsko garderobo je doživel že 20 (!) Ponatisov, kar seveda ni meja.

2) Geometrija v 2 zvezkih. Avtorji L.S. Atanasjan, Bazilev V.T.. To je literatura za srednja šola, boste potrebovali prvi zvezek. Naloge, ki jih redko srečam, mi lahko padejo izpred oči in priročnik za usposabljanje bo nudil neprecenljivo pomoč.

Obe knjigi je mogoče brezplačno prenesti na spletu. Poleg tega lahko uporabite moj arhiv z že pripravljenimi rešitvami, ki jih najdete na strani Prenesite primere iz višje matematike.

Med orodji ponovno predlagam svoj razvoj - programski paket v analitični geometriji, kar bo močno poenostavilo življenje in prihranilo veliko časa.

Predpostavlja se, da bralec pozna osnovne geometrijske pojme in like: točka, premica, ravnina, trikotnik, paralelogram, paralelopiped, kocka itd. Priporočljivo je, da si zapomnite nekaj izrekov, vsaj Pitagorov izrek, pozdrav ponavljalcem)

In zdaj bomo zaporedno obravnavali: koncept vektorja, dejanja z vektorji, vektorske koordinate. Priporočam nadaljnje branje najpomembnejši člen Točkovni produkt vektorjev, in tudi Vektor in mešani produkt vektorjev. Tudi lokalna naloga - razdelitev segmenta v tem pogledu - ne bo odveč. Na podlagi zgornjih informacij lahko obvladate enačba premice v ravnini z najenostavnejši primeri rešitev, ki bo omogočila naučijo se reševati geometrijske probleme. Uporabni so tudi naslednji članki: Enačba ravnine v prostoru, Enačbe premice v prostoru, Osnovni problemi na premici in ravnini, drugi razdelki analitične geometrije. Seveda bodo na poti upoštevane standardne naloge.

Vektorski koncept. Brezplačni vektor

Najprej ponovimo šolsko definicijo vektorja. Vektor klical usmeril segment, za katerega sta označena njegov začetek in konec:

V tem primeru je začetek odseka točka, konec odseka pa točka. Sam vektor je označen z . Smer je bistveno, če premaknete puščico na drugi konec segmenta, dobite vektor, in to je že popolnoma drugačen vektor. Koncept vektorja je priročno identificirati z gibanjem fizičnega telesa: strinjate se, vstopiti skozi vrata inštituta ali zapustiti vrata inštituta sta popolnoma različni stvari.

Posamezne točke ravnine ali prostora je priročno obravnavati kot tako imenovane ničelni vektor. Za tak vektor se konec in začetek ujemata.

!!! Opomba: Tukaj in naprej lahko domnevate, da vektorji ležijo v isti ravnini ali pa domnevate, da se nahajajo v prostoru - bistvo predstavljenega gradiva velja tako za ravnino kot za prostor.

Oznake: Mnogi so v oznaki takoj opazili palico brez puščice in rekli, da je tudi puščica na vrhu! Res je, da lahko napišete s puščico: , vendar je tudi to mogoče vnos, ki ga bom uporabljal v prihodnje. Zakaj? Očitno se je ta navada razvila iz praktičnih razlogov; moji strelci v šoli in na univerzi so se izkazali za preveč različno velike in kosmate. IN poučna literatura včasih se s klinopisom sploh ne ukvarjajo, temveč črke poudarijo krepko: , s čimer namigujejo, da gre za vektor.

To je bila stilistika, zdaj pa o načinih pisanja vektorjev:

1) Vektorje lahko zapišemo z dvema velikima latiničnima črkama:
in tako dalje. V tem primeru prva črka Nujno označuje začetno točko vektorja, druga črka pa končno točko vektorja.

2) Vektorji so zapisani tudi z malimi latiničnimi črkami:
Zlasti zaradi kratkosti lahko naš vektor na novo označimo kot majhen latinska črka.

Dolžina oz modul vektor, ki ni nič, se imenuje dolžina segmenta. Dolžina ničelnega vektorja je nič. Logično.

Dolžina vektorja je označena z znakom modula: ,

Kako najti dolžino vektorja se bomo naučili (oz. ponovili, odvisno kdo) malo kasneje.

To so bile osnovne informacije o vektorjih, ki jih poznajo vsi šolarji. V analitični geometriji je t.i prosti vektor.

Preprosto povedano - vektor lahko narišemo iz katere koli točke:

Takim vektorjem smo sicer navajeni reči enaki (definicija enakih vektorjev bo podana v nadaljevanju), čisto matematično gledano pa gre za ISTI VEKTOR oz. prosti vektor. Zakaj brezplačno? Ker med reševanjem problemov lahko "pripnete" ta ali oni "šolski" vektor na KATERO koli točko ravnine ali prostora, ki ga potrebujete. To je zelo kul funkcija! Predstavljajte si usmerjen segment poljubne dolžine in smeri - lahko ga "klonirate" neskončno velikokrat in na kateri koli točki v prostoru, pravzaprav obstaja VSEM. Obstaja takšen študentski rek: Vsakemu predavatelju je mar za vektor. Konec koncev ne gre samo za duhovito rimo, vse je skoraj pravilno - tu je mogoče dodati tudi režiran segment. Ampak ne hitite se veseliti, študenti sami pogosto trpijo =)

Torej, prosti vektor- To veliko enako usmerjeni segmenti. Šolska definicija vektorja, podana na začetku odstavka: "Usmerjeni segment se imenuje vektor ...", pomeni specifična usmerjen segment, vzet iz dane množice, ki je vezan na določeno točko v ravnini ali prostoru.

Opozoriti je treba, da je z vidika fizike koncept prostega vektorja na splošno napačen in da je točka uporabe pomembna. Dejansko neposreden udarec enake moči v nos ali čelo, ki je dovolj za razvoj mojega neumnega primera, povzroči različne posledice. vendar nesvoboden vektorje najdemo tudi v poteku vyshmat (ne hodite tja :)).

Dejanja z vektorji. Kolinearnost vektorjev

IN šolski tečaj geometriji so upoštevana številna dejanja in pravila z vektorji: seštevanje po pravilu trikotnika, seštevanje po pravilu paralelograma, pravilo vektorske razlike, množenje vektorja s številom, skalarni produkt vektorjev itd. Za izhodišče naj ponovimo dve pravili, ki sta še posebej pomembni za reševanje problemov analitične geometrije.

Pravilo za dodajanje vektorjev z uporabo pravila trikotnika

Razmislite o dveh poljubnih neničelnih vektorjih in:

Najti morate vsoto teh vektorjev. Ker vsi vektorji veljajo za proste, smo vektor izločili na stran konec vektor:

Vsota vektorjev je vektor. Za boljše razumevanje pravila je priporočljivo vključiti fizični pomen: naj potuje neko telo po vektorju, nato pa po vektorju. Potem je vsota vektorjev vektor nastale poti z začetkom na odhodni točki in koncem na prihodni točki. Podobno pravilo je formulirano za vsoto poljubnega števila vektorjev. Kot pravijo, lahko gre telo svojo pot zelo nagnjeno po cikcaku ali morda na avtopilotu - po nastalem vektorju vsote.

Mimogrede, če je vektor prestavljen iz začela vektor, potem dobimo ekvivalent pravilo paralelograma dodajanje vektorjev.

Najprej o kolinearnosti vektorjev. Dva vektorja se imenujeta kolinearni, če ležijo na isti premici ali na vzporednih premicah. Grobo rečeno, govorimo o vzporednih vektorjih. Toda v zvezi z njimi se vedno uporablja pridevnik "kolinearni".

Predstavljajte si dva kolinearna vektorja. Če so puščice teh vektorjev usmerjene v isto smer, se takšni vektorji imenujejo sorežiral. Če puščice kažejo v različnih smereh, bodo vektorji nasprotnih smereh.

Oznake: kolinearnost vektorjev zapišemo z običajnim simbolom paralelizma: , detajliranje pa je možno: (vektorji so sousmerjeni) ali (vektorji so nasprotno usmerjeni).

delo neničelni vektor na številu je vektor, katerega dolžina je enaka , vektorja in pa sta sousmerjena in nasprotno usmerjena na .

Pravilo množenja vektorja s številom je lažje razumeti s pomočjo slike:

Oglejmo si ga podrobneje:

1) Smer. Če je množitelj negativen, potem vektor spremeni smer v nasprotje.

2) Dolžina. Če je množitelj znotraj ali , potem je dolžina vektorja zmanjša. Torej je dolžina vektorja polovica dolžine vektorja. Če je modul množitelja večji od ena, potem je dolžina vektorja poveča na trenutke.

3) Upoštevajte to vsi vektorji so kolinearni, medtem ko je en vektor izražen skozi drugega, na primer . Velja tudi obratno: če je en vektor mogoče izraziti skozi drugega, potem so taki vektorji nujno kolinearni. Torej: če vektor pomnožimo s številom, dobimo kolinearno(glede na original) vektor.

4) Vektorji so sousmerjeni. Vektorji in so tudi sorežirani. Vsak vektor prve skupine je nasprotno usmerjen glede na kateri koli vektor druge skupine.

Kateri vektorji so enaki?

Dva vektorja sta enaka, če sta v isti smeri in imata enake dolžine . Upoštevajte, da sosmernost pomeni kolinearnost vektorjev. Definicija bi bila netočna (odvečna), če bi rekli: "Dva vektorja sta enaka, če sta kolinearna, sosmerna in imata enako dolžino."

Z vidika koncepta prostega vektorja sta enaka vektorja enaka vektorja, kot smo razpravljali v prejšnjem odstavku.

Vektorske koordinate na ravnini in v prostoru

Prva točka je obravnavanje vektorjev na ravnini. Upodabljajmo kartezični pravokotni koordinatni sistem in ga narišimo iz koordinatnega izhodišča samski vektorji in:

Vektorji in pravokoten. Ortogonalno = pravokotno. Priporočam, da se počasi navadite na izraze: namesto vzporednosti in pravokotnosti uporabljamo besedi oz. kolinearnost in ortogonalnost.

Oznaka: Ortogonalnost vektorjev zapišemo z običajnim simbolom pravokotnosti, na primer: .

Obravnavani vektorji se imenujejo koordinatni vektorji oz orts. Ti vektorji tvorijo osnova na letalu. Kaj je osnova, mislim, da je mnogim intuitivno jasno, več podrobne informacije najdete v članku Linearna (ne)odvisnost vektorjev. Osnova vektorjev Preprosto povedano, osnova in izvor koordinat določata celoten sistem - to je nekakšen temelj, na katerem vre polno in bogato geometrijsko življenje.

Včasih se imenuje konstruirana osnova ortonormalno osnova ravnine: “orto” - ker sta koordinatna vektorja pravokotna, pridevnik “normaliziran” pomeni enoto, tj. dolžine baznih vektorjev so enake ena.

Oznaka: osnovo običajno zapišemo v oklepaju, znotraj katerega v strogem zaporedju bazični vektorji so navedeni, na primer: . Koordinatni vektorji je prepovedano preurediti.

katera koli ravninski vektor edini način izraženo kot:
, kje - številke ki se imenujejo vektorske koordinate v tej osnovi. In sam izraz klical vektorska dekompozicijapo osnovi .

Večerja postrežena:

Začnimo s prvo črko abecede: . Risba jasno kaže, da se pri razgradnji vektorja na osnovo uporabljajo pravkar obravnavani:
1) pravilo za množenje vektorja s številom: in ;
2) seštevanje vektorjev po pravilu trikotnika: .

Sedaj miselno narišite vektor iz katere koli druge točke na ravnini. Povsem očitno je, da mu bo njegov propad »neusmiljeno sledil«. Tukaj je svoboda vektorja - vektor »vse nosi s seboj«. Ta lastnost seveda velja za vsak vektor. Smešno je, da samih baznih (prostih) vektorjev ni treba izrisati iz izhodišča; enega lahko narišemo na primer levo spodaj, drugega pa desno zgoraj, pa se ne bo nič spremenilo! Res je, da vam tega ni treba storiti, saj bo tudi učitelj pokazal izvirnost in vam na nepričakovanem mestu narisal "kredit".

Vektorji natančno ponazarjajo pravilo množenja vektorja s številom, vektor je sosmeren z osnovnim vektorjem, vektor je usmerjen nasproti osnovnega vektorja. Za te vektorje je ena od koordinat enaka nič, to lahko natančno zapišete takole:


In bazni vektorji, mimogrede, so takšni: (pravzaprav so izraženi skozi sebe).

In končno: , . Mimogrede, kaj je vektorsko odštevanje in zakaj nisem govoril o pravilu odštevanja? Nekje v linearna algebra, ne spomnim se kje, sem opazil, da je odštevanje poseben primer seštevanja. Tako razširitve vektorjev "de" in "e" enostavno zapišemo kot vsoto: , . Sledite risbi, da vidite, kako dobro staro seštevanje vektorjev po pravilu trikotnika deluje v teh situacijah.

Obravnavana razgradnja forme včasih imenovana vektorska dekompozicija v sistemu ort(tj. v sistemu enotskih vektorjev). Vendar to ni edini način za pisanje vektorja;

Ali z enačajom:

Bazični vektorji so zapisani takole: in

To pomeni, da so koordinate vektorja navedene v oklepajih. Pri praktičnih nalogah se uporabljajo vse tri možnosti zapisa.

Dvomil sem, ali naj govorim, a bom vseeno rekel: vektorskih koordinat ni mogoče preurediti. Strogo na prvem mestu zapišemo koordinato, ki ustreza enotskemu vektorju, strogo na drugem mestu zapišemo koordinato, ki ustreza enotskemu vektorju. Dejansko in sta dva različna vektorja.

Na letalu smo ugotovili koordinate. Zdaj pa poglejmo vektorje v tridimenzionalnem prostoru, tukaj je skoraj vse enako! Dodal bo samo še eno koordinato. Težko je narediti tridimenzionalne risbe, zato se bom omejil na en vektor, ki ga bom zaradi enostavnosti pustil ob strani od izvora:

katera koli 3D vesoljski vektor edini način razširiti na ortonormirano osnovo:
, kjer so koordinate vektorja (števila) v tej osnovi.

Primer iz slike: . Poglejmo, kako tukaj delujejo vektorska pravila. Najprej pomnožimo vektor s številom: (rdeča puščica), (zelena puščica) in (malinasta puščica). Drugič, tukaj je primer dodajanja več, v tem primeru treh vektorjev: . Vsota vektorja se začne na začetni točki izhodišča (začetek vektorja) in konča na končni točki prihoda (konec vektorja).

Vsi vektorji tridimenzionalnega prostora so seveda tudi prosti; poskusite miselno odmakniti vektor od katere koli druge točke in razumeli boste, da bo njegova razgradnja "ostala z njim."

Podobno kot pri ravnem primeru, poleg pisanja različice z oklepaji se pogosto uporabljajo: bodisi .

Če v razširitvi manjka eden (ali dva) koordinatna vektorja, se na njihovo mesto postavijo ničle. Primeri:
vektor (natančno ) – pišimo ;
vektor (natančno ) – pišimo ;
vektor (natančno ) – napišimo.

Bazični vektorji so zapisani na naslednji način:

To je verjetno vse najmanj teoretično znanje, potrebnih za reševanje problemov analitične geometrije. Izrazov in definicij je lahko veliko, zato priporočam, da čajniki ponovno preberejo in razumejo te informacije. In za vsakega bralca bo koristno, da se občasno obrne na osnovno lekcijo, da bi bolje usvojil gradivo. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormirana baza, vektorska dekompozicija - ti in drugi pojmi se bodo v prihodnosti pogosto uporabljali. Opozarjam, da gradivo spletnega mesta ni dovolj za opravljanje teoretičnega testa ali kolokvija iz geometrije, saj skrbno šifriram vse izreke (in brez dokazov) - v škodo znanstveni slog predstavitev, ampak plus vašemu razumevanju teme. Če želite prejeti podrobne teoretične informacije, se priklonite profesorju Atanasyanu.

In prehajamo na praktični del:

Najenostavnejši problemi analitične geometrije.
Dejanja z vektorji v koordinatah

Zelo priporočljivo je, da se naučite reševati naloge, ki se bodo obravnavale popolnoma samodejno, in formule zapomni si, sploh si ga ni treba namerno zapomniti, sami si ga bodo zapomnili =) To je zelo pomembno, saj drugi problemi analitične geometrije temeljijo na najpreprostejših elementarnih primerih in bo nadležno porabiti dodaten čas za žrenje kmetov . Ni vam treba zapenjati zgornjih gumbov na srajci, marsikaj vam je znano iz šole.

Predstavitev gradiva bo potekala vzporedno - tako za letalo kot za vesolje. Iz razloga, ker vse formule... se boste prepričali sami.

Kako najti vektor iz dveh točk?

Če sta podani dve točki ravnine in , ima vektor naslednje koordinate:

Če sta podani dve točki v prostoru in , ima vektor naslednje koordinate:

to je iz koordinat konca vektorja morate odšteti ustrezne koordinate začetek vektorja.

Vaja: Za iste točke zapišite formule za iskanje koordinat vektorja. Formule na koncu lekcije.

Primer 1

Glede na dve točki ravnine in . Poiščite vektorske koordinate

rešitev: po ustrezni formuli:

Namesto tega bi lahko uporabili naslednji vnos:

O tem se bodo odločili esteti:

Osebno sem navajen na prvo različico posnetka.

odgovor:

V skladu s pogojem ni bilo potrebno sestaviti risbe (kar je značilno za probleme analitične geometrije), a da bi razjasnil nekatere točke za lutke, ne bom len:

Vsekakor morate razumeti razlika med koordinatami točke in vektorskimi koordinatami:

Koordinate točk– to so navadne koordinate v pravokotnem koordinatnem sistemu. Mislim, da vsi znajo risati točke na koordinatno ravnino že od 5.-6. Vsaka točka ima strogo določeno mesto na ravnini in jih ni mogoče nikamor premakniti.

Koordinate vektorja– to je njegova širitev glede na osnovo, v tem primeru. Vsak vektor je prost, zato ga lahko po želji ali potrebi enostavno odmaknemo od katere druge točke na ravnini (v izogib zmedi ga preoznačimo npr. z ). Zanimivo je, da za vektorje sploh ni treba zgraditi osi ali pravokotnega koordinatnega sistema, potrebujete samo osnovo, v tem primeru ortonormirano osnovo ravnine.

Zapisi koordinat točk in koordinat vektorjev se zdijo podobni: , in pomen koordinat absolutno drugačen, in te razlike bi se morali dobro zavedati. Ta razlika seveda velja tudi za prostor.

Dame in gospodje, napolnimo roke:

Primer 2

a) Podane so točke in . Poišči vektorje in .
b) Točke so podane In . Poišči vektorje in .
c) Podane so točke in . Poišči vektorje in .
d) Točke so podane. Poiščite vektorje .

Morda je to dovolj. To so primeri za neodvisna odločitev, poskusite jih ne zanemariti, obrestovalo se bo ;-). Ni potrebe po risbah. Rešitve in odgovori na koncu lekcije.

Kaj je pomembno pri reševanju nalog analitične geometrije? Pomembno je, da ste IZJEMNO PREVIDNI, da se izognete mojstrski napaki "dva plus dva je enako nič". Se takoj opravičujem, če sem se kje zmotil =)

Kako najti dolžino segmenta?

Dolžina je, kot smo že omenili, označena z znakom modula.

Če sta podani dve točki ravnine in , potem lahko dolžino segmenta izračunamo s formulo

Če sta podani dve točki v prostoru in , lahko dolžino segmenta izračunamo s formulo

Opomba: Formule bodo ostale pravilne, če bodo ustrezne koordinate zamenjane: in , vendar je prva možnost bolj standardna

Primer 3

rešitev: po ustrezni formuli:

odgovor:

Zaradi jasnosti bom naredil risbo

Segment – to ni vektor, in seveda ga ne morete nikamor premakniti. Poleg tega, če rišete v merilu: 1 enota. = 1 cm (dve celici zvezka), potem lahko dobljeni odgovor preverite z navadnim ravnilom z neposrednim merjenjem dolžine segmenta.

Da, rešitev je kratka, vendar jih je še nekaj v njej pomembne točke da bi rad pojasnil:

Najprej v odgovor vnesemo dimenzijo: »enote«. Pogoj ne pove, KAJ je to, milimetre, centimetre, metre ali kilometre. Zato bi bila matematično pravilna rešitev splošna formulacija: "enote" - skrajšano kot "enote".

Drugič, ponovimo šolsko snov, ki je uporabna ne le za obravnavano nalogo:

Prosimo, upoštevajte pomembno tehnična tehnika – odstranitev množitelja izpod korena. Kot rezultat izračunov imamo rezultat in dober matematični slog vključuje odstranitev faktorja izpod korena (če je mogoče). Podrobneje je postopek videti takole: . Seveda ne bi bilo napak, če bi pustili odgovor tak, kot je - vsekakor pa bi bil to pomanjkljivost in tehten argument za prepir s strani učitelja.

Tu so še drugi pogosti primeri:

Pogosto je dovolj že v korenu veliko število, Na primer. Kaj storiti v takih primerih? S pomočjo kalkulatorja preverimo, ali je število deljivo s 4: . Da, bilo je popolnoma razdeljeno, torej: . Ali pa se mogoče število spet deli s 4? . Torej: . Zadnja številka števila je liha, zato tretjič deljenje s 4 očitno ne bo delovalo. Poskusimo deliti z devet: . Kot rezultat:
pripravljena

Zaključek:če pod korenom dobimo število, ki ga ni mogoče izluščiti kot celoto, potem poskušamo faktor odstraniti izpod korena - s kalkulatorjem preverimo, ali je število deljivo s: 4, 9, 16, 25, 36, 49 itd.

Med odločanjem razne naloge koreni so pogosti, vedno poskušajte izluščiti dejavnike izpod korena, da se izognete nižji oceni in nepotrebnim težavam pri dokončanju rešitev na podlagi komentarjev učitelja.

Ponovimo tudi kvadriranje korenov in druge potence:

Pravila za dejanja z diplomami v splošni pogled je mogoče najti v šolski učbenik pri algebri, ampak mislim, da je iz navedenih primerov že vse ali skoraj vse jasno.

Naloga za samostojno rešitev z odsekom v prostoru:

Primer 4

Podane so točke in . Poišči dolžino odseka.

Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.

Kako najti dolžino vektorja?

Če je podan ravninski vektor, se njegova dolžina izračuna po formuli.

Če je podan prostorski vektor, se njegova dolžina izračuna po formuli .

Te formule (kot tudi formule za dolžino segmenta) je enostavno izpeljati z uporabo dobro znanega Pitagorovega izreka.