Čemu služijo integrali? Poskusite si sami odgovoriti na to vprašanje.

Pri razlagi teme integralov učitelji navajajo področja uporabe, ki so šolskim glavam malo uporabna. Med njimi:

• izračun površine figure.
• Izračun telesne mase z neenakomerno gostoto.
• določanje prevožene razdalje pri premikanju s spremenljivo hitrostjo.
• itd.

Vseh teh procesov ni vedno mogoče povezati, zato se marsikateri študent zmede, tudi če ima vse osnovno znanje za razumevanje integrala.

Glavni razlog za nevednost– nerazumevanje praktični pomen integrali.

Integral - kaj je to?

Predpogoji. Potreba po integraciji se je pojavila v Stara Grčija. Takrat je Arhimed začel uporabljati metode, ki so bile v bistvu podobne sodobnemu integralnemu računu, da bi našel površino kroga. Glavni pristop za določanje površine neenakomernih figur je bila takrat "metoda izčrpanja", ki jo je precej enostavno razumeti.

Bistvo metode. Ta številka ustreza monotono zaporedje druge figure, nato pa se izračuna meja zaporedja njihovih območij. Ta meja je bila vzeta kot območje te slike.

Ta metoda zlahka izsledi idejo integralnega računa, ki je najti mejo neskončne vsote. To idejo so kasneje uporabili znanstveniki za rešitev uporabni problemi astronavtika, ekonomija, mehanika itd.

Moderni integral. Klasična teorija integracije je bila oblikovana v splošni pogled Newton in Leibniz. Zanašal se je na takrat obstoječe zakone diferencialnega računa. Da bi ga razumeli, morate imeti nekaj osnovnega znanja, ki vam bo pomagalo uporabljati matematični jezik za opisovanje vizualnih in intuitivnih idej o integralih.

Razlagamo koncept "Integral"

Postopek iskanja izpeljanke imenujemo diferenciacija in iskanje antiizpeljave – integracija.

Integral matematični jezik– to je antiderivacija funkcije (kar je bilo pred derivatom) + konstanta "C".

Integral s preprostimi besedami je območje krivulje. Nedoločen integral je celotno območje. Določen integral je ploščina v danem območju.

Integral je zapisan takole:

Vsak integrand se pomnoži s komponento "dx". Prikazuje, nad katero spremenljivko se izvaja integracija. "dx" je prirastek argumenta. Namesto X je lahko katerikoli drug argument, na primer t (čas).

Nedoločen integral

Nedoločen integral nima meja integracije.

Za rešitev nedoločenih integralov je dovolj, da poiščemo protiodvod integranda in mu dodamo "C".

Določen integral

Pri določenem integralu sta omejitvi "a" in "b" zapisana na integracijskem znaku. Ti so prikazani na X-osi v spodnjem grafu.

Če želite izračunati določen integral, morate poiskati antiderivacijo, vanj nadomestiti vrednosti "a" in "b" in poiskati razliko. V matematiki se temu reče Newton-Leibnizova formula:

Tabela integralov za študente (osnovne formule)

Prenesite integralne formule, koristne vam bodo

Kako pravilno izračunati integral

Obstaja več preprostih operacij za transformacijo integralov. Tu so glavne:

Odstranitev konstante izpod znaka integrala

Razgradnja integrala vsote v vsoto integralov

Če zamenjate a in b, se predznak spremeni

Integral lahko razdelite na intervale na naslednji način:

To so najenostavnejše lastnosti, na podlagi katerih bodo kasneje oblikovani bolj zapleteni izreki in metode računanja.

Primeri integralnih izračunov

Reševanje nedoločenega integrala

Reševanje določenega integrala

Osnovni pojmi za razumevanje teme

Da boste razumeli bistvo integracije in ne boste zaprli strani zaradi nesporazumov, vam bomo razložili številne osnovne pojme. Kaj je funkcija, odvod, limit in protiodvod.

funkcija– pravilo, po katerem so vsi elementi iz enega sklopa v korelaciji z vsemi elementi iz drugega.

Izpeljanka– funkcija, ki opisuje stopnjo spremembe druge funkcije na vsaki določeni točki. V strogem jeziku je to meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta. Izračuna se ročno, lažje pa je uporabiti izpeljano tabelo, ki vsebuje večino standardnih funkcij.

Prirastek– kvantitativna sprememba funkcije z določeno spremembo argumenta.

Omejitev– vrednost, h kateri teži vrednost funkcije, ko argument teži k določeni vrednosti.

Primer meje: recimo, če je X enak 1, bo Y enak 2. Kaj pa, če X ni enak 1, ampak teži k 1, torej ga nikoli ne doseže? V tem primeru y ne bo nikoli dosegel 2, ampak se bo samo nagibal k tej vrednosti. V matematičnem jeziku je to zapisano takole: limY(X), ko je X –> 1 = 2. To se glasi: limita funkcije Y(X), ko x teži k 1, je enaka 2.

Kot smo že omenili, je odvod funkcija, ki opisuje drugo funkcijo. Izvirna funkcija je lahko izpeljanka neke druge funkcije. Ta druga funkcija se imenuje protiizpeljanka.

Zaključek

Iskanje integralov ni težko. Če ne razumete, kako to storiti,. Drugič postane bolj jasno. Ne pozabite! Reševanje integralov se zmanjša na preproste transformacije integranda in njegovo iskanje v .

Če vam besedilna razlaga ne ustreza, si oglejte video o pomenu integrala in odvoda:

Integrali - kaj so, kako jih rešiti, primeri rešitev in razlaga za lutke posodobil: 22. novembra 2019 avtor: Znanstveni članki.Ru

Ta kalkulator vam omogoča spletno reševanje določenega integrala. V bistvu izračun določenega integrala je iskanje števila, ki je enako ploščini pod grafom funkcije. Za rešitev je potrebno določiti meje integracije in funkcijo, ki jo je treba integrirati. Po integraciji bo sistem našel protiodvod za dano funkcijo, izračunal njene vrednosti na točkah na mejah integracije, našel njihovo razliko, ki bo rešitev določenega integrala. Če želite rešiti nedoločen integral, morate uporabiti podobno spletni kalkulator, ki se nahaja na naši spletni strani pod povezavo – Reši nedoločeni integral.

Dovolimo izračunaj določen integral na spletu hitro in zanesljivo. Vedno boste dobili pravo odločitev. Še več, za tabularne integrale bo odgovor predstavljen v klasični obliki, to je izražen preko znanih konstant, kot je število "pi", "eksponent" itd. Vsi izračuni so popolnoma brezplačni in ne zahtevajo registracije. Z reševanjem določenega integrala pri nas se boste rešili delovno intenzivnih in zapleteni izračuni, ali s samostojnim reševanjem integrala - lahko preverite prejeto rešitev.

Določen integral. Primeri rešitev

Pozdravljeni še enkrat. V tej lekciji bomo podrobno preučili tako čudovito stvar, kot je določen integral. Tokratni uvod bo kratek. Vse. Ker je zunaj okna snežna nevihta.

Da bi se naučili reševati določene integrale, morate:

1) Biti sposoben najti nedoločeni integrali.

2) Biti sposoben izračunati določen integral.

Kot lahko vidite, morate za obvladovanje določenega integrala dokaj dobro razumeti »navadne« nedoločene integrale. Torej, če se šele začenjate potapljati v integralni račun in kotliček sploh še ni zavrel, potem je bolje začeti z lekcijo Nedoločen integral. Primeri rešitev. Poleg tega obstajajo pdf tečaji za ultra hitra priprava- če imate dobesedno en dan, še pol dneva.

V splošni obliki je določeni integral zapisan takole:

Kaj je dodano v primerjavi z nedoločenim integralom? več meje integracije.

Spodnja meja integracije
Zgornja meja integracije je standardno označen s črko .
Segment se imenuje segment integracije.

Preden pridemo do praktični primeri, majhno pogosto vprašanje o določenem integralu.

Kaj pomeni rešiti določen integral? Rešiti določen integral pomeni najti število.

Kako rešiti določen integral? Uporaba Newton-Leibnizove formule, znane iz šole:

Bolje je, da formulo prepišete na ločen kos papirja; naj bo pred vašimi očmi skozi celotno lekcijo.

Koraki za rešitev določenega integrala so naslednji:

1) Najprej poiščemo antiizpeljavo funkcije (nedoločen integral). Upoštevajte, da je konstanta v določenem integralu ni dodano. Oznaka je čisto tehnična in navpična palica nima nikakršnega matematičnega pomena, pravzaprav je samo oznaka. Zakaj je potrebno samo snemanje? Priprava na uporabo Newton-Leibnizove formule.

2) Nadomestite vrednost zgornje meje v antiizpeljavo funkcijo: .

3) Nadomestite vrednost spodnje meje v antiizpeljavo funkcijo: .

4) Izračunamo (brez napak!) Razliko, torej najdemo število.

Ali vedno obstaja določen integral? Ne, ne vedno.

Na primer, integral ne obstaja, ker segment integracije ni vključen v domeno integranda (vrednosti pod kvadratnim korenom ne morejo biti negativne). Tukaj je manj očiten primer: . Tukaj na integracijskem intervalu tangenta prenaša neskončne pavze v točkah , , in zato tako določen integral tudi ne obstaja. Mimogrede, kdo ga še ni prebral? metodološko gradivo Grafi in osnovne lastnosti elementarnih funkcij– zdaj je čas za to. Odlično bo pomagalo pri celotnem tečaju višje matematike.

Za to da določen integral sploh obstaja, zadostuje, da je integrand zvezen na intervalu integracije.

Iz zgoraj navedenega sledi prvo pomembno priporočilo: preden začnete reševati KATERIKOLI določeni integral, se morate prepričati, da funkcija integrand je zvezna na intervalu integracije. Ko sem bil študent, se mi je večkrat zgodil incident, ko sem se dolgo mučil z iskanjem težke protiizpeljanke, in ko sem jo končno našel, sem si razbijal glavo z drugim vprašanjem: »Kakšna neumnost je izpadla ?" V poenostavljeni različici je situacija videti nekako takole:

???! Negativnih števil ne morete zamenjati pod koren! Kaj za vraga je to?! Začetna nepazljivost.

Če rešiti (in testno delo, med testom ali izpitom) Ponudijo vam integral kot ali , nato morate odgovoriti, da ta določeni integral ne obstaja in utemeljiti, zakaj.

! Opomba : v slednjem primeru besede "določeno" ni mogoče izpustiti, ker integral s točkovnimi diskontinuitetami razdelimo na več, v tem primeru na 3 neprave integrale, in formulacija »ta integral ne obstaja« postane napačna.

Ali je lahko določeni integral enak negativno število? mogoče. In negativno število. In nič. Lahko se izkaže celo za neskončnost, a bo že nepravilni integral, ki imajo ločeno predavanje.

Ali je lahko spodnja meja integracije večja od zgornje meje integracije? Morda se ta situacija dejansko pojavlja v praksi.

– integral lahko enostavno izračunamo z uporabo Newton-Leibnizove formule.

Kaj je višja matematika nepogrešljiva? Seveda brez vseh vrst lastnosti. Zato razmislimo o nekaterih lastnostih določenega integrala.

V določenem integralu lahko preuredite zgornjo in spodnjo mejo ter spremenite predznak:

Na primer, v določenem integralu je pred integracijo priporočljivo spremeniti meje integracije v "običajen" vrstni red:

– v tej obliki je veliko bolj priročno integrirati.

– to ne velja le za dve, ampak tudi za poljubno število funkcij.

V določenem integralu lahko izvedemo zamenjava integracijske spremenljivke, vendar ima ta v primerjavi z nedoločenim integralom svoje posebnosti, o katerih bomo govorili kasneje.

Za določen integral velja: formula integracije po delih:

Primer 1

rešitev:

(1) Konstanto vzamemo iz predznaka integrala.

(2) Integrirajte preko tabele z uporabo najbolj priljubljene formule . Priporočljivo je, da nastajajočo konstanto ločite od in postavite izven oklepaja. To ni nujno, vendar je priporočljivo - zakaj dodatni izračuni?

. Najprej zamenjamo zgornjo, nato spodnjo mejo. Izvedemo nadaljnje izračune in dobimo končni odgovor.

Primer 2

Izračunaj določen integral

To je primer, ki ga lahko rešite sami, rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.

Malo zapletimo nalogo:

Primer 3

Izračunaj določen integral

rešitev:

(1) Uporabljamo lastnosti linearnosti določenega integrala.

(2) Integriramo po tabeli, pri tem pa izvzamemo vse konstante - ne bodo sodelovale pri zamenjavi zgornje in spodnje meje.

(3) Za vsakega od treh členov uporabimo Newton-Leibnizovo formulo:

ŠIBKI ČLEN določenega integrala so računske napake in pogosta ZMEDA V ZNAKIH. Bodite previdni! Posebno pozornost namenjam tretjemu terminu: – prvo mesto v hit paradi napak zaradi nepazljivosti, zelo pogosto pišejo samodejno (še posebej, če je zamenjava zgornje in spodnje meje izvedena ustno in ni tako podrobno zapisana). Še enkrat natančno preučite zgornji primer.

Opozoriti je treba, da obravnavana metoda reševanja določenega integrala ni edina. Z nekaj izkušnjami se lahko rešitev bistveno zmanjša. Sam sem na primer navajen reševati take integrale takole:

Tu sem verbalno uporabil pravila linearnosti in verbalno integriral s pomočjo tabele. Na koncu sem imel samo en oklepaj z označenimi omejitvami: (za razliko od treh oklepajev pri prvi metodi). In v "celotno" antiizpeljavo funkcijo sem najprej zamenjal 4, nato -2 in spet izvedel vsa dejanja v mislih.

Kakšne so slabosti kratke rešitve? Tukaj vse ni zelo dobro z vidika racionalnosti izračunov, a osebno mi je vseeno - izračunam navadne ulomke na kalkulatorju.
Poleg tega obstaja povečano tveganje za napako pri izračunih, zato je za študenta čaja bolje uporabiti prvo metodo, z "mojo" metodo reševanja se bo znak zagotovo nekje izgubil.

Vendar pa so nedvomne prednosti druge metode hitrost rešitve, kompaktnost zapisa in dejstvo, da je antiderivacija v enem oklepaju.

Nasvet: preden uporabimo Newton-Leibnizovo formulo, je koristno preveriti: ali je bila sama protiizpeljava pravilno najdena?

Torej, v zvezi z obravnavanim primerom: preden nadomestimo zgornjo in spodnjo mejo v antiizpeljavo funkcijo, je priporočljivo preveriti na osnutku, ali je bil nedoločen integral pravilno najden? Razlikujmo:

Dobljena je izvirna funkcija integranda, kar pomeni, da je bil nedoločen integral pravilno najden. Zdaj lahko uporabimo Newton-Leibnizovo formulo.

Takšno preverjanje ne bo odveč pri izračunu katerega koli določenega integrala.

Primer 4

Izračunaj določen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Poskusi jo rešiti na kratek in podroben način.

Spreminjanje spremenljivke v določenem integralu

Za določen integral veljajo vse vrste zamenjav kot za nedoločen integral. Torej, če niste zelo dobri z zamenjavami, morate natančno prebrati lekcijo Substitucijska metoda v nedoločenem integralu.

V tem odstavku ni nič strašnega ali težkega. Novost je v vprašanju kako spremeniti meje integracije pri zamenjavi.

V primerih bom poskušal podati vrste zamenjav, ki jih še ni bilo mogoče najti nikjer na spletnem mestu.

Primer 5

Izračunaj določen integral

Glavno vprašanje tukaj ni dokončen integral, ampak kako pravilno izvesti zamenjavo. Poglejmo si tabela integralov in ugotovimo, kako najbolj izgleda naša funkcija integrand? Očitno je, da na dolgi logaritem: . Vendar obstaja eno neskladje, v tabeli integral pod korenom, in v našem - "x" na četrto moč. Ideja o zamenjavi izhaja tudi iz sklepanja - lepo bi bilo, če bi našo četrto moč nekako spremenili v kvadrat. To je resnično.

Najprej pripravimo naš integral za zamenjavo:

Iz zgornjih premislekov povsem naravno izhaja zamenjava:
Tako bo vse v redu v imenovalcu: .
Ugotovimo, v kaj se bo spremenil preostali del integranda, za to najdemo diferencial:

V primerjavi z zamenjavo v nedoločenem integralu dodamo dodaten korak.

Iskanje novih meja integracije.

Čisto preprosto je. Poglejmo našo zamenjavo in stare omejitve integracije, .

Najprej zamenjamo spodnjo mejo integracije, to je nič, v nadomestni izraz:

Nato nadomestimo zgornjo mejo integracije v nadomestni izraz, to je koren treh:

pripravljena In samo...

Nadaljujmo z rešitvijo.

(1) Glede na zamenjavo napišite nov integral z novimi limiti integracije.

(2) To je najenostavnejši tabelarni integral, integriramo po tabeli. Konstanto je bolje pustiti zunaj oklepaja (tega vam ni treba storiti), da ne moti nadaljnjih izračunov. Na desni narišemo črto, ki označuje nove meje integracije - to je priprava na uporabo Newton-Leibnizove formule.

(3) Uporabljamo Newton-Leibnizovo formulo .

Trudimo se, da odgovor zapišemo v čim bolj strnjeni obliki; tukaj sem uporabil lastnosti logaritmov.

Druga razlika od nedoločenega integrala je, da po zamenjavi ni potrebe po obratnih zamenjavah.

In zdaj nekaj primerov, da se odločite sami. Kakšne zamenjave narediti - poskusite uganiti sami.

Primer 6

Izračunaj določen integral

Primer 7

Izračunaj določen integral

To so primeri, o katerih se lahko odločite sami. Rešitve in odgovori na koncu lekcije.

In na koncu odstavka pomembne točke, katere analiza se je pojavila po zaslugi obiskovalcev spletnega mesta. Prvi zadeva zakonitost zamenjave. V nekaterih primerih tega ni mogoče storiti! Tako se zdi, da je primer 6 mogoče rešiti z uporabo univerzalna trigonometrična zamenjava, pa zgornja meja integracije ("pi") ni vključeno v domena definicije ta tangenta in zato ta zamenjava je nezakonita! torej funkcija "zamenjave" mora biti neprekinjena v vseh točke integracijskega segmenta.

V drugem e-poštnem sporočilu je bilo prejeto naslednje vprašanje: "Ali moramo spremeniti meje integracije, ko funkcijo uvrstimo pod diferencialni predznak?" Sprva sem hotel "zavreči neumnosti" in samodejno odgovoriti "seveda ne", potem pa sem razmišljal o razlogu za takšno vprašanje in nenadoma ugotovil, da ni informacij ne dovolj. Vendar je, čeprav očitno, zelo pomembno:

Če funkcijo podpišemo pod diferencialni predznak, potem ni treba spreminjati limitov integracije! Zakaj? Ker v tem primeru brez dejanskega prehoda na novo spremenljivko. Na primer:

In tu je seštevanje veliko bolj priročno kot akademska zamenjava s kasnejšim »slikanjem« novih meja integracije. torej če določeni integral ni zelo zapleten, potem vedno poskusite postaviti funkcijo pod diferencialni predznak! Je hitrejši, bolj kompakten in običajen - kot boste videli večkrat!

hvala lepa za tvoja pisma!

Metoda integracije po delih v določenem integralu

Tu je novosti še manj. Vsi izračuni artikla Integracija po delih v nedoločen integral v celoti veljajo za določen integral.
Samo ena podrobnost je plus, v formuli za integracijo po delih so dodane meje integracije:

Newton-Leibnizovo formulo je treba tukaj uporabiti dvakrat: za produkt in potem, ko vzamemo integral.

Za primer sem ponovno izbral tip integrala, ki ga še ni bilo mogoče najti nikjer na spletnem mestu. Primer ni najpreprostejši, ampak zelo, zelo informativen.

Primer 8

Izračunaj določen integral

Odločimo se.

Integrirajmo po delih:

Kdor ima težave z integralom, naj si ogleda lekcijo Integrali trigonometričnih funkcij, tam je podrobno obravnavano.

(1) Rešitev zapišemo v skladu s formulo integracije po delih.

(2) Za produkt uporabimo Newton-Leibnizovo formulo. Za preostali integral uporabimo lastnosti linearnosti in ga razdelimo na dva integrala. Naj vas znaki ne zmedejo!

(4) Uporabimo Newton-Leibnizovo formulo za dva najdena protiodvoda.

Če sem iskren, mi formula ni všeč. in če se le da, ... sploh brez njega! Poglejmo drugo rešitev, z mojega vidika je bolj racionalna.

Izračunaj določen integral

Na prvi stopnji najdem nedoločen integral:

Integrirajmo po delih:

Ugotovljena je bila antiderivativna funkcija. V tem primeru nima smisla dodajati konstante.

Kakšna je prednost takšnega pohoda? Nobene potrebe ni, da bi »prenašali« meje integracije; dejansko je lahko naporno ducatkrat zapisovati majhne simbole meja integracije

Na drugi stopnji preverim(običajno v osnutku).

Tudi logično. Če sem napačno našel funkcijo protiodvoda, bom napačno rešil določen integral. Bolje je, da takoj ugotovimo, ločimo odgovor:

Prvotna funkcija integranda je bila pridobljena, kar pomeni, da je bila funkcija antiderivacije pravilno najdena.

Tretja stopnja je uporaba Newton-Leibnizove formule:

In tukaj je pomembna korist! Pri "moji" metodi rešitve obstaja veliko manjše tveganje, da bi se zmedli pri zamenjavah in izračunih - Newton-Leibnizova formula se uporabi samo enkrat. Če čajnik reši podoben integral s formulo (na prvi način), potem se bo zagotovo kje zmotil.

Obravnavani algoritem rešitve lahko uporabimo za katerikoli določen integral.

Dragi študent, natisni in shrani:

Kaj storiti, če dobite določen integral, ki se zdi zapleten ali ni takoj jasno, kako ga rešiti?

1) Najprej poiščemo nedoločen integral (antiderivacijsko funkcijo). Če je na prvi stopnji prišlo do zapleta, nima smisla naprej zibati čolna z Newtonom in Leibnizom. Obstaja samo en način - povečati svojo raven znanja in spretnosti pri reševanju nedoločeni integrali.

2) Najdeno antiizpeljavo funkcijo preverimo z diferenciacijo. Če je ugotovljeno napačno, bo tretji korak izguba časa.

3) Uporabljamo Newton-Leibnizovo formulo. Vse izračune izvajamo IZJEMNO PREVIDNO - tukaj šibki člen naloge.

In za prigrizek integral za samostojno rešitev.

Primer 9

Izračunaj določen integral

Rešitev in odgovor sta nekje v bližini.

Naslednja priporočena lekcija na temo je Kako izračunati površino figure z določenim integralom?
Integrirajmo po delih:

Ste prepričani, da ste jih rešili in dobili enake odgovore? ;-) In obstaja pornografija za staro žensko.

Spletna storitev na spletna stran vam omogoča, da najdete reševanje določenega integrala na spletu. Rešitev se izvede samodejno na strežniku, rezultat pa je uporabniku posredovan v nekaj sekundah. Vse spletne storitve na spletnem mestu so popolnoma brezplačne, rešitev pa je predstavljena v priročni in razumljivi obliki. Naša prednost je tudi v tem, da uporabniku omogočamo vnos mej integracije, vključno z mejami integracije: minus in plus neskončnost. Tako postane reševanje določenega integrala enostavno, hitro in kakovostno. Pomembno je, da strežnik omogoča izračunaj določene integrale na spletu kompleksne funkcije, katerega rešitev je na drugih spletnih servisih pogosto nemogoča zaradi nepopolnosti njihovih sistemov. Zagotavljamo zelo preprost in intuitiven mehanizem za vnos funkcij in možnost izbire integracijske spremenljivke, za katero vam ni treba prevajati dane v eno spremenljiva funkcija drugemu, brez povezanih napak in tipkarskih napak. Na strani so tudi povezave do teoretičnih člankov in tabel o reševanju določenih integralov. Vse skupaj vam bo omogočilo zelo hiter izračun določenega integrala na spletu in po želji iskanje in razumevanje teorije reševanja določenih integralov. Na http://site lahko obiščete tudi druge storitve: spletna rešitev meje, odpeljanke, vsota nizov. Odpiranje zavihka za reševanje nedoločenih integralov na spletu je čisto preprosto - povezava je v vrstici med koristne povezave. Poleg tega se storitev nenehno izboljšuje in razvija, vsak dan pa se pojavlja vedno več novih funkcij in izboljšav. Rešite določene integrale z nami! Vse spletne storitve so na voljo tudi neregistriranim uporabnikom in so popolnoma brezplačne.

Z reševanjem določenega integrala pri nas lahko preverite lastno rešitev ali pa se znebite nepotrebnih delovno intenzivnih izračunov in zaupate visokotehnološkemu avtomatiziranemu stroju. Natančnost, izračunana v servisu, bo zadostila skoraj vsem inženirskim standardom. Pogosto je za številne tabelarične določene integrale rezultat podan v natančnem izrazu (z uporabo dobro znanih konstant in neelementarnih funkcij).

Vnesite funkcijo, za katero želite najti integral

Kalkulator ponuja DETALJNA REŠITEV določeni integrali.

Ta kalkulator najde rešitev za določen integral funkcije f(x) z dano zgornjo in spodnjo mejo.

Primeri

Uporaba diplome
(kvadrat in kocka) in ulomki

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Kvadratni koren

Sqrt(x)/(x + 1)

Kockasti koren

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Uporaba sinusa in kosinusa

2*sin(x)*cos(x)

arcsinus

X*arcsin(x)

ark kosinus

X*arccos(x)

Uporaba logaritma

X*log(x, 10)

Naravni logaritem

Razstavljavec

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Iracionalni ulomki

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangens

X*arctg(x)

Arkotangens

X*arсctg(x)

Hiperbolični sinus in kosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hiperbolični tangens in kotangens

Ctgh(x)/tgh(x)

Hiperbolični arkus in arkosinus

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberbolični arktangens in arkotangens

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Pravila za vnos izrazov in funkcij

Izrazi so lahko sestavljeni iz funkcij (oznake so podane po abecednem vrstnem redu): absolutno(x) Absolutna vrednost x
(modul x oz |x|) arccos(x) Funkcija - ark kosinus od x arccosh(x) Arkus kosinus hiperbolični iz x arcsin(x) Arkusin iz x arcsinh(x) Arkusin hiperbolični iz x arctan(x) Funkcija - arktangens od x arctgh(x) Arktangens hiperbolični iz x e eštevilo, ki je približno enako 2,7 exp(x) Funkcija - eksponent x(kar je e^x) log(x) oz ln(x) Naravni logaritem od x
(dobiti log7(x), morate vnesti log(x)/log(7) (ali na primer for log10(x)=log(x)/log(10)) piŠtevilo je "pi", kar je približno enako 3,14 greh(x) Funkcija - sinus od x cos(x) Funkcija – kosinus x sinh(x) Funkcija - Sinus hiperbolični od x cosh(x) Funkcija - Kosinus hiperbolični iz x sqrt(x) funkcija - kvadratni koren od x sqr(x) oz x^2 Funkcija - kvadrat x tan (x) Funkcija - Tangenta od x tgh(x) Funkcija - Tangentna hiperbolika iz x cbrt(x) Funkcija - kubični koren iz x

V izrazih je mogoče uporabiti naslednje operacije: Realne številke vnesite kot 7.5 , ne 7,5 2*x- množenje 3/x- delitev x^3- potenciranje x+7- dodatek x - 6- odštevanje
Druge lastnosti: nadstropje (x) Funkcija - zaokroževanje x navzdol (primer floor(4.5)==4.0) strop (x) Funkcija - zaokroževanje x navzgor (primer zgornje meje (4,5)==5,0) znak(x) Funkcija - znak x erf(x) Funkcija napake (ali verjetnostni integral) Laplace (x) Laplaceova funkcija