Osnovne lastnosti nedoločenega integrala s primeri. Osnovne lastnosti nedoločenega integrala. Invariantnost oblik integracije

Vsota serij

spletna stran vam omogoča, da najdete spletna serija sumštevilčno zaporedje. Poleg iskanja vsote niza spletnega številskega zaporedja je strežnik v na spletu bo našel delna vsota serije. To je uporabno za analitične izračune, ko spletna serija sum je treba predstaviti in najti kot rešitev limite zaporedja delne vsote serije. V primerjavi z drugimi spletnimi mesti, spletna stran ima nesporno prednost, saj omogoča iskanje spletna serija sum ne le številčno, ampak tudi funkcionalno območje, kar nam bo omogočilo določitev območja konvergence izvirnika vrstica z uporabo najbolj znanih metod. Po teoriji vrstice, nujen pogoj konvergenca številskega zaporedja je enakost limite skupnega člena nič številske serije saj spremenljivka teži v neskončnost. Vendar pa ta pogoj ne zadošča za določitev konvergence številske serije na spletu. Za določitev konvergenca serij na spletu najdeni so bili različni zadostni znaki konvergence ali divergence vrstica. Najbolj znani in pogosto uporabljeni med njimi so znaki D'Alemberta, Cauchyja, Raabeja, primerjava številske serije, kot tudi integralni znak konvergence številske serije. Posebno mesto med številske serije zasedajo tiste, v katerih se znaki izrazov strogo izmenjujejo, in absolutne vrednosti številske serije monotono zmanjšati. Izkazalo se je, da za take številske serije nujen znak konvergence vrste na spletu je hkrati zadosten, to je enakost limite splošnega člena na nič številske serije saj spremenljivka teži v neskončnost. Obstaja veliko različnih spletnih mest, ki ponujajo strežniki izračunati spletne serije vsote, kot tudi razširitev funkcij v vrstica na neki točki na spletu iz domene definicije te funkcije. Če funkcijo razširimo na serije na spletu na teh strežnikih ni posebej težko, potem računanje vsota funkcijske serije na spletu, katerega vsak člen v nasprotju s številčnim vrstica, ni številka, ampak funkcija, se zaradi pomanjkanja potrebnih tehničnih sredstev zdi skoraj nemogoča. Za www.stran tega problema ni.

Medtem ko je bil depozit shranjen v banki, so se obresti obračunavale mesečno, najprej 5%, nato 12%, nato in nazadnje 12,5% na mesec. Znano je, da je bil depozit podvržen vsaki novi obrestni meri za celo število mesecev, po preteku roka hrambe pa se je začetni znesek povečal za Določite rok hrambe depozita.

rešitev.

znano:

1. Obresti na depozit so se obračunavale mesečno.

2. Vsak naslednji odstotek povečanja po koncu koledarskega meseca je bil izračunan ob upoštevanju novo oblikovanega zneska depozita in ob upoštevanju prejšnjih povečanj.

Če je začetni znesek depozita po 5-odstotni mesečni obrestni meri trajal več mesecev, se je depozit mesečno povečal za večkrat in ta koeficient se bo ohranil, dokler se stopnja ne spremeni.

Če se obrestna mera spremeni z na (obrestna mera je trajala mesece), se bo začetni znesek depozita za mesece večkrat povečal.

Recimo, da je obrestna mera trajala mesece in obrestna mera je trajala mesece. Potem bodo ustrezni faktorji povečanja:

Tako bo koeficient povečanja zneska depozita kot celote za celotno obdobje hrambe depozita v banki:

Po drugi strani pa se je glede na pogoje problema začetni znesek depozita v istem času povečal za, tj.

Po temeljnem aritmetičnem izreku vsak naravno število, večje od 1, je mogoče predstaviti kot produkt prafaktorjev in ta predstavitev je edinstvena do vrstnega reda njihovega pojavljanja. V tem primeru:

Rešimo ta sistem glede na naravno in Iz zadnje enačbe sistema imamo: S temi vrednostmi bo sistem dobil obliko:

Tako je bil depozit v banki shranjen 7 mesecev. Z ugotovljenimi vrednostmi in je dejansko enaka nič.

Odgovor: 7.

Opomba.

Za preprostejšo različico tega problema glejte številke in.

Vir: A. Larin: Možnost usposabljanja № 81.

Semyon Kuznetsov je nameraval vse svoje prihranke vložiti na varčevalni račun pri Navrode Bank pri 500 % v upanju, da jih bo dvignil čez eno leto A rubljev Vendar je propad banke Navrode spremenil njegove načrte in preprečil nepremišljeno dejanje. Posledično je gospod Kuznetsov del denarja dal v Prvo mestno banko, preostanek pa v kozarec za testenine. Leto kasneje je First Municipal povečal odstotek plačila za dvakrat in pol, gospod Kuznetsov pa se je odločil, da bo depozit pustil še eno leto. Posledično je znesek, prejet na First Municipal, znašal rubljev. Ugotovite, kakšne obresti je prva občinska banka nabrala za prvo leto, če je Semyon "vložil" rublje v kozarec testenin.

rešitev.

Predpostavimo, da so bili prihranki Kuznecova X r.

Semyon je načrtoval, da bo v enem letu od banke Navroda prejel 6 X = A(p).

Vendar je gospod Kuznetsov (r) svoje prihranke »vložil« v kozarec za testenine, preostale rublje pa v Prvo občinsko banko. Recimo, v tej banki so plačila obresti v prvem letu hrambe sredstev znašala l%. Nato je v drugem letu ta obrestna mera postala %. V dveh letih skladiščenja v Prvi občinski banki je Semyonov depozit narasel na

In vrednost tega izraza je

Rešimo enačbo za pri.

Ne ustreza namenu naloge.

Prva občinska banka je Semyonu Kuznetsovu pripisala 20% za prvo leto hrambe depozita.

Odgovor: 20 %.

Vir: A. Larin: Možnost usposabljanja št. 94.

Osnovni del klasifikatorja: Praktični problemi

itd. – minimalno znanje o številske serije. Treba je razumeti, kaj je niz, ga znati podrobno opisati in ne razširiti oči po frazah "serija se zbliža", "serija se razhaja", "vsota serije". Zato, če je vaše razpoloženje popolnoma na ničli, preživite 5-10 minut na tem članku Vrstice za lutke(dobesedno prve 2-3 strani), nato pa se vrnite sem in pogumno začnite reševati primere!

Upoštevati je treba, da v večini primerov iskanje vsote niza ni enostavno in to težavo običajno rešimo z funkcionalna serija (bomo živeli, bomo živeli :)). Torej, na primer, količina priljubljenega umetnika izhod prek Fourierjeve vrste. V zvezi s tem je v praksi skoraj vedno potrebna namestitev samo dejstvo konvergence, vendar ne najti določene številke (mnogi so, mislim, to že opazili). Vendar pa je med veliko pestrostjo številskih nizov nekaj predstavnikov, ki omogočajo, da se tudi poln čajnik brez težav dotakne presvetega. In v uvodni lekciji sem dal primer neskončno padajoče geometrijske progresije , katerega količino enostavno izračunamo po znani šolski formuli.

V tem članku bomo nadaljevali z obravnavanjem podobnih primerov, poleg tega se bomo naučili stroge definicije vsote in se ob tem seznanili z nekaterimi lastnostmi vrst. Ogrejmo se ... in ogrejmo se kar na napredkih:

Primer 1

Poiščite vsoto serije

rešitev: Predstavljajmo si našo serijo kot vsoto dveh serij:

zakaj v tem Ali je to mogoče narediti? Izvedena dejanja temeljijo na dveh preprostih izjavah:

1) Če vrste konvergirajo , potem konvergira tudi serija, sestavljena iz vsot ali razlik ustreznih členov: . V tem primeru je pomembno dejstvo, o katerem govorimo zbliževanje vrstice. V našem primeru mi vemo vnaprej, da bosta obe geometrijski progresiji konvergirali, kar nedvomno pomeni, da prvotno vrsto razgradimo v dve vrstici.

2) Druga lastnost je še bolj očitna. Konstanto lahko premaknete izven serije: , kar ne bo vplivalo na njegovo konvergenco ali divergenco in končno vsoto. Zakaj izpostaviti konstanto? Da, samo zato, da ji »ne bo v napoto«. Toda včasih je koristno, če tega ne storite

Čisti primer je videti nekako takole:

Formulo uporabimo dvakrat, da poiščemo vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije: , kjer je prvi člen progresije, in je osnova progresije.

Odgovori: vsota serije

Začetek rešitve je mogoče oblikovati v nekoliko drugačnem slogu - napišite serijo neposredno in prerazporedite njene člane:

Naprej po brezpotjih.

Primer 2

Poiščite vsoto serije

To je primer za neodvisna odločitev. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Tu ni posebnih užitkov, sem pa nekega dne naletel na nenavadno serijo, ki lahko neizkušenega človeka preseneti. Tudi to... se neskončno zmanjšuje geometrijsko napredovanje! Dejansko in znesek se izračuna v samo nekaj trenutkih: .

In zdaj požirek, ki daje življenje matematična analiza potrebno za reševanje nadaljnjih težav:

Kaj je vsota serije?

Stroga definicija konvergence/divergence in vsote vrste v teoriji je podana s t.i. delni zneski vrstica. Delno pomeni nepopolno. Zapišimo delne vsote številskega niza :

IN posebno vlogo delna vsota igranj članov serije "en":

Če je limita delnih vsot številskega niza enaka dokončnoštevilka: , potem se taka serija imenuje konvergenten, sama številka pa je vsota serije. Če je limita neskončna ali ne obstaja, se vrsta pokliče divergenten.

Vrnimo se k demo vrstici in zapišite njene delne vsote:

Limita delnih vsot je natanko neskončno padajoča geometrijska progresija, katere vsota je enaka: . V lekciji smo si ogledali podobno mejo o številskih zaporedjih. Pravzaprav je sama formula neposredna posledica zgornjih teoretičnih izračunov (glej 2. zvezek Matana).

Tako je narisano splošni algoritem za rešitev našega problema: potrebno je sestaviti n-to delno vsoto niza in poiskati limito. Poglejmo, kako se to izvaja v praksi:

Primer 3

Izračunajte vsoto serije

rešitev: v prvem koraku morate razgraditi skupni izraz serije na vsoto ulomkov. Uporabljamo metoda nedoločenih koeficientov:

Kot rezultat:

takoj koristno porabiti obratno delovanje, s čimer se izvede preverjanje:

Splošni člen serije je bil pridobljen v izvirni obliki, zato je bila razgradnja v vsoto ulomkov uspešno izvedena.

Zdaj naredimo delni seštevek serije. Na splošno se to izvaja ustno, a enkrat bom čim bolj podrobno opisal, iz česa je prišlo:

Kako ga napisati, je popolnoma jasno, čemu pa je enak prejšnji izraz? V skupnem terminu serije NAMESTO Zamenjamo "en":

Skoraj vsi členi delne vsote se uspešno izničijo:


Prav takšne zapiske delamo s svinčnikom v zvezek. Prekleto priročno.

Ostaja še izračunati osnovno mejo in ugotoviti vsoto serije:

Odgovori:

Podobna serija za neodvisno rešitev:

Primer 4

Izračunajte vsoto serije

Približen primer končne rešitve na koncu lekcije.

Očitno je iskanje vsote niza samo po sebi dokaz njegove konvergence (poleg primerjalni znaki, D'Alembert, Cauchy itd.), na kar namiguje predvsem besedilo naslednja naloga:

Primer 5

Poiščite vsoto vrste ali ugotovite njeno razhajanje

Avtor: videz skupnega člana, lahko takoj ugotovite, kako se ta tovariš obnaša. Brez kompleksov. Z uporabo omejevalni kriterij za primerjavo Zlahka je ugotoviti (tudi verbalno), da se bo ta serija zbližala s serijo . Ampak pred nami redek primer, ko se tudi znesek izračuna brez večjih težav.

rešitev: Razširimo imenovalec ulomka v produkt. Če želite to narediti, se morate odločiti kvadratna enačba:

Torej:

Faktorje je bolje razvrstiti v naraščajočem vrstnem redu: .

Opravimo vmesni pregled:

OK

Tako je splošni izraz serije:

Torej:

Ne bodimo leni:

Kar je bilo potrebno preveriti.

Zapišimo delno vsoto »en« članov niza, pri tem pa bodimo pozorni, da »števec« niza »začne delovati« od števila . Kot v prejšnjih primerih je varneje raztegniti kobro na spodobno dolžino:

Če pa ga zapišemo v eni ali dveh vrsticah, bo še vedno precej težko krmariti med pojmi (v vsakem izrazu so 3). In tu nam bo na pomoč priskočila geometrija. Naj kača zapleše na našo melodijo:

Ja, kar tako v zvezek zapišemo en izraz pod drugega in jih kar tako prečrtamo. Mimogrede, moj lastni izum. Kot razumete, to ni najlažja naloga v tem življenju =)

Kot rezultat odstranjevanja dobimo:

In končno, seštevek serije:

Odgovori:

Primer 8

Izračunajte vsoto serije

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

Obravnavana težava nas seveda ne razveseljuje s svojo raznolikostjo - v praksi se srečamo bodisi z neskončno padajočo geometrijsko progresijo bodisi z nizom z delnim racionalnim skupnim členom in razgradljivim polinomom v imenovalcu (mimogrede, ne vsak takšen polinom omogoča iskanje vsote serije). Toda kljub temu včasih naletimo na nenavadne primerke in po ustaljeni dobri tradiciji zaključim lekcijo s kakšnim zanimivim problemom.

Te lastnosti se uporabljajo za pretvorbo integrala z namenom redukcije na enega izmed elementarnih integralov in nadaljnje računanje.

1. Odvod nedoločenega integrala je enak integrandu:

2. Diferencial nedoločenega integrala je enak integrandu:

3. Nedoločen integral diferenciala določene funkcije je enak vsoti te funkcije in poljubne konstante:

4. Konstantni faktor lahko vzamemo iz integralnega predznaka:

Poleg tega je a ≠ 0

5. Integral vsote (razlike) je enak vsoti (razliki) integralov:

6. Lastnost je kombinacija lastnosti 4 in 5:

Še več, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Lastnost invariantnosti nedoločenega integrala:

Če, potem

8. Lastnina:

Če, potem

Pravzaprav to lastnino predstavlja poseben primer integracije z uporabo metode spreminjanja spremenljivke, ki je podrobneje obravnavana v naslednjem razdelku.

Poglejmo primer:

Najprej smo uporabili lastnost 5, nato lastnost 4, nato smo uporabili tabelo protiodpeljav in dobili rezultat.

Algoritem našega spletnega integralnega kalkulatorja podpira vse zgoraj navedene lastnosti in jih zlahka najde podrobna rešitev za vaš integral.

Naj funkcija l = f(x) je definiran na intervalu [ a, b ], a < b. Izvedimo naslednje operacije:

1) razdelimo se [ a, b] pike a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b na n delni segmenti [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) v vsakem od delnih segmentov [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, izberite poljubno točko in izračunajte vrednost funkcije na tej točki: f(z i ) ;

3) poiščite dela f(z i ) · Δ x i , kjer je dolžina delnega odseka [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) pobotajmo se integralna vsota funkcije l = f(x) na segmentu [ a, b ]:

Z geometrijska točka Z vizualnega vidika je ta vsota σ vsota ploščin pravokotnikov, katerih osnove so delni segmenti [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], višine pa so enake f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) ustrezno (slika 1). Označimo z λ dolžina najdaljšega delnega segmenta:

5) poišči limito integralne vsote, ko λ → 0.

Opredelitev.Če obstaja končna meja integralna vsota (1) in ni odvisna od načina razdelitve segmenta [ a, b] na delne segmente, niti iz izbora točk z i v njih, potem se ta meja imenuje določen integral od funkcije l = f(x) na segmentu [ a, b] in je označena

torej

V tem primeru funkcija f(x) se imenuje integrabilen dne [ a, b]. Številke a in b imenujemo spodnja in zgornja meja integracije, f(x) – funkcija integranda, f(x ) dx– izraz integranda, x– integracijska spremenljivka; segment [ a, b] imenujemo integracijski interval.

1. izrek.Če funkcija l = f(x) je zvezna na intervalu [ a, b], potem je integrabilen na tem intervalu.

Določen integral z enakimi mejami integracije je enak nič:

če a > b, potem po definiciji predpostavljamo

2. Geometrijski pomen določenega integrala

Naj na segmentu [ a, b] podana je zvezna nenegativna funkcija l = f(x ) . Krivočrtni trapez je figura, ki je zgoraj omejena z grafom funkcije l = f(x), od spodaj - vzdolž osi Ox, levo in desno - ravne črte x = a in x = b(slika 2).

Določen integral nenegativne funkcije l = f(x) z geometrijskega vidika enako površini krivočrtni trapez, ki ga zgoraj omejuje graf funkcije l = f(x) , levo in desno – odseki x = a in x = b, od spodaj - segment osi Ox.

3. Osnovne lastnosti določenega integrala

1. Vrednost določenega integrala ni odvisna od oznake integracijske spremenljivke:

2. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka določenega integrala:

3. Določeni integral algebraične vsote dveh funkcij je enak algebraični vsoti določenih integralov teh funkcij:

4. Če funkcija l = f(x) je integrabilen na [ a, b] In a < b < c, To

5. (izrek o srednji vrednosti). Če funkcija l = f(x) je zvezna na intervalu [ a, b], potem je na tem segmentu točka, taka da

4. Newton–Leibnizova formula

2. izrek.Če funkcija l = f(x) je zvezna na intervalu [ a, b] In F(x) je kateri koli od njegovih antiizpeljank na tem segmentu, potem velja naslednja formula:

ki se imenuje Newton-Leibnizova formula. Razlika F(b) - F(a) se običajno zapiše takole:

kjer se simbol imenuje dvojni nadomestni znak.

Tako lahko formulo (2) zapišemo kot:

Primer 1. Izračunaj integral

rešitev. Za integrand f(x ) = x 2 ima poljubna antiizpeljava obliko

Ker lahko v Newton-Leibnizovi formuli uporabimo katero koli protiizpeljavo, za izračun integrala vzamemo protiizpeljavo, ki ima najpreprostejšo obliko:

5. Sprememba spremenljivke v določenem integralu

Izrek 3. Naj funkcija l = f(x) je zvezna na intervalu [ a, b]. če:

1) funkcija x = φ ( t) in njegov derivat φ "( t) so zvezni pri ;

2) niz funkcijskih vrednosti x = φ ( t) za je segment [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, potem je formula veljavna

ki se imenuje formula za spreminjanje spremenljivke v določenem integralu .

Za razliko od nedoločen integral, v tem primeru ni potrebe da se vrnete na prvotno integracijsko spremenljivko - dovolj je le, da poiščete nove meje integracije α in β (za to morate rešiti spremenljivko t enačbe φ ( t) = a in φ ( t) = b).

Namesto zamenjave x = φ ( t) lahko uporabite zamenjavo t = g(x) . V tem primeru iskanje novih meja integracije nad spremenljivko t poenostavlja: α = g(a) , β = g(b) .

Primer 2. Izračunaj integral

rešitev. Uvedimo novo spremenljivko z uporabo formule. Če kvadriramo obe strani enakosti, dobimo 1 + x = t 2 , kje x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Najdemo nove meje integracije. Če želite to narediti, nadomestimo stare meje v formulo x = 3 in x = 8. Dobimo: , od kje t= 2 in α = 2; , kje t= 3 in β = 3. Torej,

Primer 3. Izračunaj

rešitev. Naj u= dnevnik x, potem , v = x. Po formuli (4)