Zreduciraj enačbo premice na enačbo v segmentih. Enačba premice na ravnini. Smerni vektor je raven. Normalni vektor. Normalna enačba premice

Lastnosti premice v evklidski geometriji.

Skozi vsako točko lahko narišemo neskončno število ravnih črt.

Skozi poljubni dve točki, ki se ne ujemata, lahko narišemo eno samo premico.

Dve divergentni premici v ravnini se sekata v eni točki ali pa sta

vzporedno (izhaja iz prejšnjega).

IN tridimenzionalni prostor Obstajajo tri možnosti za relativni položaj dveh črt:

• črte se sekajo;

• črte so vzporedne;

• ravne črte se sekajo.

Naravnost linija— algebraična krivulja prvega reda: premica v kartezičnem koordinatnem sistemu

je na ravnini podana z enačbo prve stopnje (linearna enačba).

Splošna enačba premice.

Opredelitev. Vsako premico na ravnini je mogoče določiti z enačbo prvega reda

Ax + Wu + C = 0,

in stalna A, B niso enake nič hkrati. Ta enačba prvega reda se imenuje splošno

enačba premice. Odvisno od vrednosti konstant A, B in Z Možni so naslednji posebni primeri:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- premica poteka skozi izhodišče

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ravna črta, vzporedna z osjo Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ravna črta, vzporedna z osjo Oh

. B = C = 0, A ≠0- ravna črta sovpada z osjo Oh

. A = C = 0, B ≠0- ravna črta sovpada z osjo Oh

Enačbo ravne črte lahko predstavimo v v različnih oblikah odvisno od danosti

začetni pogoji.

Enačba premice iz točke in normalnega vektorja.

Opredelitev. V kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu vektor s komponentami (A, B)

pravokotna na premico, podano z enačbo

Ax + Wu + C = 0.

Primer. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi točko A (1, 2) pravokotno na vektor (3, -1).

rešitev. Z A = 3 in B = -1 sestavimo enačbo premice: 3x - y + C = 0. Da bi našli koeficient C

Zamenjajmo koordinate dane točke A v dobljeni izraz, torej dobimo: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Skupaj: zahtevana enačba: 3x - y - 1 = 0.

Enačba premice, ki poteka skozi dve točki.

V prostoru naj bosta podani dve točki M 1 (x 1, y 1, z 1) in M2 (x 2, y 2, z 2), Potem enačba premice,

skozi te točke:

Če je kateri od imenovalcev enak nič, mora biti ustrezni števec enak nič. Vklopljeno

ravnini, je zgoraj zapisana enačba premice poenostavljena:

če x 1 ≠ x 2 in x = x 1, Če x 1 = x 2 .

Ulomek = k klical pobočje neposredno.

Primer. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi točki A(1, 2) in B(3, 4).

rešitev. Z uporabo zgoraj zapisane formule dobimo:

Enačba ravne črte z uporabo točke in naklona.

če splošna enačba neposredno Ax + Wu + C = 0 vodi do:

in določiti , potem se pokliče nastala enačba

enačba premice z naklonom k.

Enačba premice iz točke in smernega vektorja.

Po analogiji s točko, ki upošteva enačbo ravne črte skozi normalni vektor, lahko vnesete nalogo

premica skozi točko in usmerjevalni vektor premice.

Opredelitev. Vsak neničelni vektor (α 1, α 2), katerih komponente izpolnjujejo pogoj

Aα 1 + Bα 2 = 0 klical usmerjevalni vektor premice.

Ax + Wu + C = 0.

Primer. Poiščite enačbo premice s smernim vektorjem (1, -1) in poteka skozi točko A(1, 2).

rešitev. Enačbo iskane premice bomo iskali v obliki: Ax + By + C = 0. Po definiciji je

koeficienti morajo izpolnjevati naslednje pogoje:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Potem ima enačba premice obliko: Ax + Ay + C = 0, oz x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dobimo C/A = -3, tj. zahtevana enačba:

x + y - 3 = 0

Enačba ravne črte v segmentih.

Če je v splošni enačbi ravne črte Ах + Ву + С = 0 С≠0, potem z deljenjem z -С dobimo:

ali kje

Geometrijski pomen koeficientov je, da je koeficient a koordinata presečišča

ravna z osjo Oh, A b- koordinata presečišča črte z osjo Oh.

Primer. Podana je splošna enačba premice x - y + 1 = 0. Poiščite enačbo te premice v segmentih.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalna enačba neposredno.

Če obe strani enačbe Ax + Wu + C = 0 deli s številom ki se imenuje

normalizacijski faktor, potem dobimo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna enačba premice.

Predznak ± normalizacijskega faktorja je treba izbrati tako, da μ*C< 0.

r- dolžina navpičnice, spuščene iz izhodišča na premico,

A φ - kot, ki ga tvori ta navpičnica s pozitivno smerjo osi Oh.

Primer. Podana je splošna enačba premice 12x - 5y - 65 = 0. Potrebno je napisati različne vrste enačb

ta ravna črta.

Enačba te premice v segmentih:

Enačba te premice z naklonom: (deli s 5)

Enačba premice:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Upoštevati je treba, da vsake ravne črte ni mogoče predstaviti z enačbo v segmentih, na primer ravne črte,

vzporedno z osema ali poteka skozi izhodišče.

Kot med premicami na ravnini.

Opredelitev. Če sta podani dve vrstici y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, nato pa ostri kot med tema črtama

bo definiran kot

Dve premici sta vzporedni, če k 1 = k 2. Dve črti sta pravokotni

če k 1 = -1/ k 2 .

Izrek.

Neposredno Ax + Wu + C = 0 in A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 vzporedno, ko so koeficienti sorazmerni

A 1 = λA, B 1 = λB. Če tudi С 1 = λС, potem črte sovpadajo. Koordinate presečišča dveh črt

najdemo kot rešitev sistema enačb teh premic.

Enačba premice, ki poteka skozi to točko pravokotno na to premico.

Opredelitev. Premica, ki poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1) in pravokotno na premico y = kx + b

predstavljen z enačbo:

Razdalja od točke do črte.

Izrek. Če je podana točka M(x 0, y 0), potem razdalja do premice Ax + Wu + C = 0 opredeljeno kot:

Dokaz. Naj bistvo M 1 (x 1, y 1)- osnova navpičnice, spuščene iz točke M za dano

neposredno. Nato razdalja med točkami M in M 1:

(1)

Koordinate x 1 in ob 1 lahko najdemo kot rešitev sistema enačb:

Druga enačba sistema je enačba premice, ki poteka skozi dano točko M 0 pravokotno

dana ravna črta. Če pretvorimo prvo enačbo sistema v obliko:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potem z reševanjem dobimo:

Če nadomestimo te izraze v enačbo (1), ugotovimo:

Izrek je dokazan.

In podrobno bomo analizirali posebno vrsto enačbe premice - . Začnimo z obliko enačbe ravne črte v segmentih in navedimo primer. Nato se bomo osredotočili na konstruiranje premice, ki je podana z enačbo premice v segmentih. Na koncu bomo pokazali, kako se izvede prehod s popolne splošne enačbe premice na enačbo premice v segmentih.

Navigacija po strani.

Enačba premice v segmentih - opis in primer.

Naj Oxyja popravijo na letalu.

Enačba premice v segmentih na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu ima Oxy obliko , kjer sta a in b nekaj realnih števil, ki ni nič.

Ni naključje, da je enačba črte v segmentih dobila takšno ime - absolutni vrednosti števil a in b sta enaki dolžinam segmentov, ki jih črta odreže koordinatne osi Ox in Oy, šteto od izvora.

Razjasnimo to točko. Vemo, da koordinate katere koli točke na premici zadoščajo enačbi te premice. Potem je jasno razvidno, da premica, določena z enačbo premice v segmentih, poteka skozi točke in , saj in . In točki in se nahajata natančno na koordinatnih oseh Ox oziroma Oy in sta oddaljeni od izhodišča koordinat za a in b enoto. Znaka številk a in b označujeta smer, v kateri naj bodo segmenti položeni. Znak "+" pomeni, da je segment narisan v pozitivni smeri koordinatne osi, znak "-" pa nasprotno.

Upodabljajmo shematsko risbo, ki pojasnjuje vse zgoraj navedeno. Prikazuje lokacijo črt glede na fiksni pravokotni koordinatni sistem Oxy, odvisno od vrednosti števil a in b v enačbi črte v segmentih.

Zdaj je postalo jasno, da enačba premice v segmentih olajša konstrukcijo te premice v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy. Za sestavo ravne črte, ki je podana z enačbo ravne črte v segmentih oblike , morate v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini označiti točke in in jih nato z ravnilom povezati z ravno črto.

Dajmo primer.

Primer.

Konstruirajte premico, podano z enačbo premice v segmentih oblike.

rešitev.

Na podlagi podane enačbe premice v segmentih je razvidno, da premica poteka skozi točke . Označimo jih in povežemo z ravno črto.

Redukcija splošne enačbe premice na enačbo premice v segmentih.

Pri reševanju nekaterih problemov, povezanih s črto na ravnini, je priročno delati z enačbo črte v segmentih. Vendar pa obstajajo druge vrste enačb, ki definirajo premico na ravnini. Zato je treba izvesti prehod iz dane enačbe črte v enačbo te črte v segmentih.

V tem odstavku bomo pokazali, kako dobimo enačbo premice v segmentih, če je podana popolna splošna enačba premice.

Spoznajmo celotno splošno enačbo premice na ravnini . Ker A, B in C niso enaki nič, lahko prenesemo število C na desna stran enakosti, delite obe strani dobljene enakosti z –С in koeficienta za x in y pošljite na imenovalce:
.

(Pri zadnjem prehodu smo uporabili enakost ).

Torej iz splošne enačbe premice prenese na enačbo ravne črte v segmentih, kjer .

Primer.

Premica v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy je podana z enačbo . Napiši enačbo te premice v segmentih.

rešitev.

Premaknimo se za sekundo na desno stran dane enakosti: . Zdaj razdelimo nastalo enakost na obe strani: . Ostaja preoblikovanje nastale enakosti v želeno obliko: . Tako smo dobili zahtevano enačbo premice v segmentih.

odgovor:

Če ravna črta določa

Enačba črte oblike , kjer je a in b– imenujemo nekatera realna števila, ki niso nič enačba premice v segmentih. To ime ni naključno, saj so absolutne vrednosti števil A in b enake dolžinam odsekov, ki jih premica odseka na koordinatnih oseh Ox in Oj oziroma (segmenti se štejejo od izhodišča). Tako enačba črte v segmentih olajša sestavo te črte na risbi. To storite tako, da na ravnini označite točke s koordinatami in v pravokotnem koordinatnem sistemu ter jih s pomočjo ravnila povežete z ravno črto.

Na primer, sestavimo ravno črto, podano z enačbo v segmentih oblike . Označi točke in jih poveži.

Podrobnejše informacije o tej vrsti enačbe premice na ravnini najdete v članku Enačba premice v segmentih.

Vrh strani

Konec dela -

Ta tema spada v razdelek:

Algebra in analitična geometrija. Pojem matrike, operacije na matrikah in njihove lastnosti

Koncept matrike so operacije na matrikah in njihovih lastnostih.. matrika je pravokotna tabela, sestavljena iz števil, ki jih ni mogoče.. in seštevanje matrike je operacija po elementih..

Če potrebujete dodatni material na to temo ali niste našli tistega, kar ste iskali, priporočamo uporabo iskanja v naši bazi del:

Kaj bomo naredili s prejetim materialom:

Če vam je bilo to gradivo koristno, ga lahko shranite na svojo stran v družabnih omrežjih:

Tweet

Vse teme v tem razdelku:

Opredelitev diferenciabilnosti
Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija funkcije. Za funkcijo pravimo, da je na neki točki diferencibilna, če ima na tej točki končni odvod in

Pravilo razlikovanja
Posledica 1. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda:

Geometrijski pomen izpeljanke. Tangentna enačba
Naklonski kot ravne črte y = kx+b je kot, izmerjen od položaja

Geometrijski pomen odvoda funkcije v točki
Oglejmo si sekanto AB grafa funkcije y = f(x), tako da imata točki A in B koordinate

rešitev
Funkcija je določena za vse realna števila. Ker je (-1; -3) točka dotika, potem

Nujni pogoji za ekstrem in zadostni pogoji za ekstrem
Definicija naraščajoče funkcije. Funkcija y = f(x) narašča na intervalu X, če za kateri koli

Zadostni znaki ekstrema funkcije
Če želite najti maksimume in minimume funkcije, lahko uporabite katerega koli od treh zadostnih znakov ekstremuma. Čeprav je najpogostejši in priročen prvi.

Osnovne lastnosti določenega integrala. Lastnost 1. Izpeljanka iz določen integral na zgornji meji je enak integrandu, v katerega je namesto spremenljivke integrirana

Newton-Leibnizova formula (z dokazom)
Newton-Leibnizova formula. Naj bo funkcija y = f(x) zvezna na intervalu in je F(x) eden od antiodvodov funkcije na tem intervalu, potem velja enačba

Enačba premice v segmentih

Naj bo dana splošna enačba premice:

Enačba premice v odsekih, kjer so odseki, ki jih premica odseka na ustreznih koordinatnih oseh.

Konstruirajte ravno črto, podano s splošno enačbo:

Iz tega lahko sestavimo enačbo te premice v segmentih:

Relativni položaj premic na ravnini.

Izjava 1.

Za ravne črte in podane z enačbami:

Naključje je potrebno in zadostno, da:

Dokaz: in sovpadata, njuna smerna vektorja in sta kolinearna, tj.

Vzemimo točko M 0 s to ravno črto, potem:

Če prvo enačbo pomnožimo z in drugi dodamo z (2), dobimo:

Torej so formule (2), (3) in (4) enakovredne. Naj bo (2) izpolnjeno, potem so enačbe sistema (*) enakovredne;

Izjava 2.

Premice in podane z enačbami (*) so vzporedne in ne sovpadajo, če in samo če:

Dokaz:

Tudi če se ne ujemata:

Nekonsistentno, tj. glede na Kronecker-Capellijev izrek:

To je mogoče le, če:

To pomeni, ko je izpolnjen pogoj (5).

Ko je izpolnjena prva enakost (5), - neizpolnjevanje druge enakosti povzroči nekompatibilnost sistema (*) sta premici vzporedni in ne sovpadata.

Opomba 1.

Polarni koordinatni sistem.

Popravimo točko na ravnini in jo imenujemo pol. Žarek, ki izhaja iz pola, se bo imenoval polarna os.

Izberimo merilo za merjenje dolžin odsekov in se dogovorimo, da se vrtenje okoli točke v nasprotni smeri urinega kazalca šteje za pozitivno. Razmislite o kateri koli točki dano letalo, označimo z njegovo razdaljo do pola in jo imenujemo polarni radij. Kot, za katerega je treba zasukati polarno os, da sovpada z njim, bomo označili in ga imenovali polarni kot.

Definicija 3.

Polarne koordinate točke so njen polarni polmer in polarni kot:

Opomba 2. v pol. Vrednost točk, razen točke, se določi do termina.

Razmislite o kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu: pol sovpada z izhodiščem, polarna os pa sovpada s pozitivno polosjo. Tukaj. Nato:

Kakšno je razmerje med pravokotnim kartezičnim in polarnim koordinatnim sistemom.

Bernoullijeva lemniskatna enačba. Zapišite ga v polarnem koordinatnem sistemu.

Normalna enačba premice na ravnini. Naj polarna os sovpada z - osjo, ki gre skozi izhodišče. Naj:

Naj potem:

Pogoj (**) za točko:

Enačba premice v polarnem koordinatnem sistemu.

Tukaj - dolžina, potegnjena od izhodišča do ravne črte, - kot naklona normale na os.

Enačbo (7) lahko prepišemo:

Normalna enačba premice na ravnini.

Naj je podan nek afini koordinatni sistem OXY.

Izrek 2.1. Vsaka ravna črta l koordinatni sistem OX je podan z linearno enačbo oblike

A x+B l+ C = O, (1)

kjer so A, B, C R in A 2 + B 2 0. Nasprotno pa katera koli enačba oblike (1) definira ravno črto.

Enačba, kot je (1) - splošna enačba premice .

Naj bodo vsi koeficienti A, B in C v enačbi (1) različni od nič. Potem

Ah-By=-C in .

Označimo -C/A=a, -C/B=b. Dobimo

-enačba v segmentih .

Dejansko so števila |a| in |b| označite velikost segmentov, odrezanih z ravno črto l na oseh OX oziroma OY.

Naj bo naravnost l je podana s splošno enačbo (1) v pravokotnem koordinatnem sistemu in naj pripadata točki M 1 (x 1,y 1) in M ​​2 (x 2,y 2) l. Potem

A x 1 + V pri 1 + C = A X 2 + V pri 2 + C, to je A( x 1 -x 2) + B( pri 1 -pri 2) = 0.

Zadnja enakost pomeni, da je vektor =(A,B) pravokoten na vektor =(x 1 -x 2,y 1 -y 2). tiste. Vektor (A,B) se imenuje normalni vektor premice l.

Razmislite o vektorju =(-B,A). Potem

A(-B)+BA=0. tiste. ^.

Zato je vektor =(-B,A) vektor smeri pikantnega l.

Parametrične in kanonične enačbe premice

Enačba premice, ki poteka skozi dve danih točk

Naj bo podana premica v afinem koordinatnem sistemu (0, X, Y) l, njegov smerni vektor = (m,n) in točka M 0 ( x 0 ,l 0) v lasti l. Potem za poljubno točko M ( x,pri) te vrstice imamo

in od takrat .

Če označimo in

Radius vektorja točk M oziroma M 0 torej

- enačba premice v vektorski obliki.

Ker =( X,pri), =(X 0 ,pri 0), potem

x= x 0 + mt,

l= l 0 + nt

- parametrična enačba neposredno .

Iz tega sledi

- kanonična enačba premice .

Končno, če na ravni liniji l glede na dve točki M 1 ( X 1 ,pri 1) in

M2( x 2 ,pri 2), nato vektor =( X 2 -X 1 ,l 2 -pri 1) je vodniki vektor premice l. Potem

- enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki.

Relativni položaj dveh ravnih črt.

Naj naravnost l 1 in l 2 podajajo njihove splošne enačbe

l 1: A 1 X+ B 1 pri+ C 1 = 0, (1)

l 2: A 2 X+ B 2 pri+ C 2 = 0.

Izrek. Naj naravnost l 1 in l 2 podajajo enačbe (1). Takrat in samo takrat:

1) premice se sekajo, ko ni števila λ tako, da

A 1 =λA 2, B 1 =λB 2;

2) premice sovpadajo, ko obstaja število λ tako, da

A 1 =λA 2, B 1 =λB 2, C 1 =λC 2;

3) premice so različne in vzporedne, ko obstaja število λ tako, da

A 1 =λA 2, B 1 =λB 2, C 1 λC 2.

Kup ravnih črt

Kup ravnih črt je množica vseh premic v ravnini, ki potekajo skozi določeno točko, imenovano center žarek.

Za določitev enačbe žarka je dovolj, da poznamo kateri koli dve ravni črti l 1 in l 2, ki poteka skozi sredino žarka.

Naj bodo premice v afinem koordinatnem sistemu l 1 in l 2 podajajo enačbe

l 1: A 1 x+ B 1 l+ C 1 = 0,

l 2: A 2 x+ B 2 l+ C 2 = 0.

Enačba:

A 1 x+ B 1 l+ C + λ (A 2 X+ B 2 l+ C) = 0

- enačba svinčnika premic, definiranih z enačbama l 1 in l 2.

V prihodnosti bomo pod koordinatnim sistemom razumeli pravokotni koordinatni sistem .

Pogoji vzporednosti in pravokotnosti dveh premic

Naj bodo črte podane l 1 in l 2. njihove splošne enačbe; = (A 1 ,B 1), = (A 2 ,B 2) – normalni vektorji teh premic; k 1 = tgα 1, k 2 = tanα 2 – kotni koeficienti; = ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) – vektorji smeri. Potem naravnost l 1 in l 2 so vzporedni, če in samo če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

bodisi ali k 1 =k 2 ali .

Naj bo zdaj naravnost l 1 in l 2 sta pravokotna. Potem je očitno A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Če naravnost l 1 in l 2 so podane z enačbami

l 1: pri=k 1 x+ b 1 ,

l 2: pri=k 2 x+ b 2 ,

potem je tanα 2 = tan(90º+α) = .

Iz tega sledi

Končno, če sta vektorja smeri in ravna, potem je ^, tj

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Zadnje razmerje izraža nujni in zadostni pogoj za pravokotnost dveh ravnin.

Kot med dvema ravnima črtama

Pod kotom φ med dvema ravnima črtama l 1 in l 2 bomo razumeli najmanjši kot, za katerega je treba zasukati eno ravno črto, tako da postane vzporedna ali sovpada z drugo ravno črto, to je 0 £ φ £

Naj bodo premice podane s splošnimi enačbami. To je očitno

cosφ=

Naj bo zdaj naravnost l 1 in l 2 podajajo enačbe s koeficienti naklona k 1 in k 2 oz. Potem

Očitno je, da je ( X-X 0) + B( pri-pri 0) + C( z-z 0) = 0

Odprimo oklepaje in označimo D= -A x 0 - V pri 0 - C z 0 . Dobimo

A x+B l+ C z+ D = 0 (*)

- enačba ravnine v splošni pogled oz splošna enačba ravnine.

Izrek 3.1 Linearna enačba(*) (A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0) je enačba ravnine in obratno, vsaka enačba ravnine je linearna.

1) D = 0, potem gre ravnina skozi izhodišče.

2) A = 0, potem je ravnina vzporedna z osjo OX

3) A = 0, B = 0, potem je ravnina vzporedna z ravnino OXY.

Naj bodo vsi koeficienti v enačbi različni od nič.

- enačba ravnine v segmentih. Številke |a|, |b|, |c| navedite vrednosti segmentov, ki jih odseka ravnina na koordinatnih oseh.