Rezultanta dveh sil. Rezultanta dveh sil Sili f1 in f2 sta enaki

Pogosto na telo ne deluje ena, ampak več sil hkrati. Oglejmo si primer, ko na telo delujeta dve sili ( in ). Na primer, na telo, ki leži na vodoravni površini, vplivata sila težnosti () in reakcija podlage () (slika 1).

Ti dve sili lahko nadomestimo z eno, ki se imenuje rezultantna sila (). Poiščite jo kot vektorsko vsoto sil in:

Določanje rezultante dveh sil

OPREDELITEV

Rezultanta dveh sil imenujemo sila, ki povzroči učinek na telo, podoben delovanju dveh ločenih sil.

Upoštevajte, da delovanje posamezne sile ni odvisno od tega, ali obstajajo druge sile ali ne.

Newtonov drugi zakon za rezultanto dveh sil

Če na telo delujeta dve sili, potem Newtonov drugi zakon zapišemo kot:

Smer rezultante vedno sovpada po smeri s smerjo pospeška telesa.

To pomeni, da če na telo delujeta dve sili () v istem trenutku, bo pospešek () tega telesa neposredno sorazmeren vektorski vsoti teh sil (ali sorazmeren rezultantnim silam):

M je masa zadevnega telesa. Bistvo drugega Newtonovega zakona je v tem, da sile, ki delujejo na telo, določajo, kako se spreminja hitrost telesa, in ne samo velikost hitrosti telesa. Upoštevajte, da je Newtonov drugi zakon izpolnjen izključno v inercialnih referenčnih sistemih.

Rezultanta dveh sil je lahko enaka nič, če sta sili, ki delujeta na telo, usmerjeni v različne smeri in enaki po velikosti.

Iskanje velikosti rezultante dveh sil

Če želite najti rezultanto, morate na risbi prikazati vse sile, ki jih je treba upoštevati pri nalogi, ki deluje na telo. Sile dodajamo po pravilih vektorskega seštevanja.

Predpostavimo, da na telo delujeta dve sili, ki sta usmerjeni vzdolž iste premice (slika 1). Iz slike je razvidno, da so usmerjeni v različne smeri.

Rezultantne sile (), ki delujejo na telo, bodo enake:

Za iskanje modula rezultante sil izberemo os, jo označimo z X in jo usmerimo vzdolž smeri delovanja sil. Nato s projekcijo izraza (4) na os X dobimo, da je velikost (modul) rezultante (F) enaka:

kje so moduli ustreznih sil.

Predstavljajmo si, da na telo delujeta dve sili in , ki sta druga na drugo obrnjeni pod določenim kotom (slika 2). Rezultanto teh sil poiščemo s pravilom paralelograma. Velikost rezultante bo enaka dolžini diagonale tega paralelograma.

Primeri reševanja problemov

PRIMER 1

telovadba	Telo z maso 2 kg premika nit navpično navzgor, njegov pospešek pa je enak 1. Kakšna je velikost in smer rezultante sile? Katere sile delujejo na telo?
rešitev	Na telo delujeta gravitacijska sila () in reakcijska sila niti () (slika 3). Rezultanto zgornjih sil je mogoče najti z uporabo drugega Newtonovega zakona: V projekciji na os X ima enačba (1.1) obliko: Izračunajmo velikost rezultantne sile:
Odgovori	H, je rezultanta sile usmerjena enako kot pospešek telesa, to je navpično navzgor. Na telo delujeta dve sili in .

Da bi odgovorili na to vprašanje, je treba iz pogojev problema potegniti nekaj zaključkov:

1. Smer teh sil;
2. Modularna vrednost sil F1 in F2;
3. Ali lahko te sile ustvarijo tako rezultanto sile, da premakne voziček z mesta?

Smer sil

Da bi določili glavne značilnosti gibanja vozička pod vplivom dveh sil, je treba poznati njihovo smer. Na primer, če voziček vleče v desno s silo, ki je enaka 5 N, in ista sila vleče voziček v levo, potem je logično domnevati, da bo voziček obstal. Če sta sili sosmerni, je za iskanje rezultante sile potrebno le najti njuno vsoto. Če je katera koli sila usmerjena pod kotom na ravnino gibanja vozička, je treba vrednost te sile pomnožiti s kosinusom kota med smerjo sile in ravnino. Matematično bi to izgledalo takole:

F = F1 * cosa; kje

F – sila, usmerjena vzporedno s površino gibanja.

Kosinusni izrek za iskanje rezultujočega vektorja sil

Če imata dve sili izhodišče v eni točki in je med njunima smerema določen kot, potem je treba trikotnik dopolniti z nastalim vektorjem (torej tistim, ki povezuje konca vektorjev F1 in F2). Poiščimo nastalo silo z uporabo kosinusnega izreka, ki pravi, da je kvadrat katere koli stranice trikotnika enak vsoti kvadratov drugih dveh strani trikotnika minus dvakratni produkt teh strani in kosinus kota med njimi. Zapišimo to v matematični obliki:

F = F 1 2 + F 2 2 - 2 * F 1 * F 2 * cosa.

Z zamenjavo vseh znanih količin lahko določite velikost nastale sile.

Rezultat.Že veste, da se dve sili uravnotežita, če sta enaki po velikosti in usmerjeni v nasprotni smeri. Takšni sta na primer sila gravitacije in sila normalne reakcije, ki delujeta na knjigo, ki leži na mizi. V tem primeru pravimo, da je rezultanta obeh sil enaka nič. V splošnem je rezultanta dveh ali več sil sila, ki povzroči enak učinek na telo kot hkratno delovanje teh sil.

Razmislimo eksperimentalno, kako najti rezultanto dveh sil, usmerjenih vzdolž ene ravne črte.

Dajmo izkušnje

Postavite svetlobni blok na gladko površino vodoravna površina mizo (tako da lahko zanemarimo trenje med blokom in površino mize). Blok bomo potegnili v desno z enim dinamometrom in v levo z dvema dinamometroma, kot je prikazano na sl. 16.3. Upoštevajte, da so dinamometri na levi pritrjeni na blok, tako da so natezne sile vzmeti teh dinamometrov različne.

riž. 16.3. Kako lahko najdete rezultanto dveh sil?

Da blok miruje, bomo videli, če je velikost sile, ki ga vleče v desno, enaka vsoti sil, ki blok vlečejo v levo. Diagram tega poskusa je prikazan na sl. 16.4.

riž. 16.4. Shematski prikaz sil, ki delujejo na blok

Sila F 3 uravnoteži rezultanto sil F 1 in F 2, to je, da ji je enaka po velikosti in v nasprotni smeri. To pomeni, da je rezultanta sil F 1 in F 2 usmerjena v levo (kot te sile), njen modul pa je enak F 1 + F 2. Če sta torej dve sili usmerjeni enako, je njuna rezultanta usmerjena enako kot ti sili, modul rezultante pa je enak vsoti modulov komponent sil.

Poglejmo silo F 1. Uravnoteži rezultantni sili F 2 in F 3, usmerjeni v nasprotni smeri. To pomeni, da je rezultanta sil F 2 in F 3 usmerjena v desno (to je proti večji od teh sil), njen modul pa je enak F 3 - F 2. Če sta torej dve sili, ki nista enaki po velikosti, usmerjeni nasproti, je njuna rezultanta usmerjena kot večja od teh sil, modul rezultante pa enako razliki moduli večje in manjše trdnosti.

Iskanje rezultante več sil imenujemo seštevek teh sil.

Dve sili sta usmerjeni vzdolž ene premice. Modul ene sile je enak 1 N, modul druge sile pa 2 N. Ali je lahko modul rezultante teh sil enak: a) nič; b) 1 N; c) 2 N; d) 3 N?

Vsebina članka

STATIKA, veja mehanike, katere predmet je materialna telesa, ki mirujejo, ko so izpostavljeni zunanjim silam. V najširšem pomenu besede je statika teorija ravnovesja katerega koli telesa - trdnega, tekočega ali plinastega. V ožjem pomenu se ta izraz nanaša na preučevanje ravnovesja trdnih teles, pa tudi neraztegljivih upogljivih teles - kablov, pasov in verig. Ravnotežje deformirajočih se trdnih teles obravnava teorija elastičnosti, ravnotežje tekočin in plinov pa hidroaeromehanika.
Cm. HIDROAEROMEHANIKA.

Zgodovinski podatki.

Statika je najstarejši del mehanike; nekatere njegove principe so poznali že stari Egipčani in Babilonci, o čemer pričajo piramide in templji, ki so jih zgradili. Med prvimi ustvarjalci teoretične statike je bil Arhimed (ok. 287–212 pr. n. št.), ki je razvil teorijo vzvoda in oblikoval temeljni zakon hidrostatike. Utemeljitelj moderne statike je bil Nizozemec S. Stevin (1548–1620), ki je leta 1586 oblikoval zakon seštevanja sil ali pravilo paralelograma in ga uporabil za reševanje številnih problemov.

Osnovni zakoni.

Zakoni statike izhajajo iz splošnih zakonov dinamike kot poseben primer, ko se hitrosti trdnih teles nagibajo k nič, vendar je zaradi zgodovinskih razlogov in pedagoških razlogov statiko pogosto predstavljeno neodvisno od dinamike in jo gradi na naslednjih postuliranih zakonih in načelih: : a) zakon seštevanja sil, b) princip ravnotežja in c) princip akcije in reakcije. Pri trdnih telesih (natančneje idealno trdnih telesih, ki se pod vplivom sil ne deformirajo) je uveden še en princip, ki temelji na definiciji togega telesa. To je načelo prenosa sile: stanje trdnega telesa se ne spremeni, ko se točka uporabe sile premika vzdolž črte njenega delovanja.

Sila kot vektor.

V statiki lahko silo obravnavamo kot vlečno ali potisno silo, ki ima določeno smer, velikost in točko delovanja. Z matematičnega vidika je vektor, zato ga lahko predstavimo z usmerjenim odsekom ravne črte, katerega dolžina je sorazmerna z velikostjo sile. ( Vektorske količine, za razliko od drugih količin, ki nimajo smeri, so označene s krepkimi črkami.)

Paralelogram sil.

Razmislite o telesu (slika 1, A), na katerega delujejo sile F 1 in F 2, ki se uporablja v točki O in je na sliki predstavljen z usmerjenimi segmenti O.A. in O.B.. Kot kažejo izkušnje, delovanje sil F 1 in F 2 je enako eni sili R, ki ga predstavlja segment O.C.. Velikost sile R enaka dolžini diagonale paralelograma, sestavljenega iz vektorjev O.A. in O.B. kot njegove stranice; njegova smer je prikazana na sl. 1, A. Moč R imenujemo rezultantna sila F 1 in F 2. Matematično je to zapisano kot R = F 1 + F 2, kjer je seštevanje razumljeno v geometrijski smisel zgoraj omenjene besede. To je prvi zakon statike, imenovan pravilo paralelograma sil.

Rezultantna sila.

Namesto konstruiranja paralelograma OACB določite smer in velikost rezultante R trikotnik OAC lahko sestavite s premikanjem vektorja F 2 vzporedna sama s seboj, dokler ni združena izhodišče (nekdanja točka O) s koncem (točka A) vektorja O.A.. Zadnja stran trikotnika OAC bo očitno imela enako velikost in isto smer kot vektor R(slika 1, b). To metodo iskanja rezultante lahko posplošimo na sistem mnogih sil F 1 , F 2 ,..., F n na isti točki O obravnavanega telesa. Torej, če je sistem sestavljen iz štirih sil (slika 1, V), potem lahko najdemo rezultanto sile F 1 in F 2, zložite ga s silo F 3, nato dodamo novo rezultanto s silo F 4 in kot rezultat dobimo celotno rezultanto R. Rezultat R, ki ga najdemo s tako grafično konstrukcijo, predstavlja zaključna stranica mnogokotnika sil OABCD (sl. 1, G).

Zgornjo definicijo rezultante lahko posplošimo na sistem sil F 1 , F 2 ,..., F n, uporabljen v točkah O 1, O 2,..., O n trdnega telesa. Izberemo točko O, imenovano točka redukcije, in na njej zgradimo sistem vzporedno prenesenih sil, ki so po velikosti in smeri enake silam. F 1 , F 2 ,..., F n. Rezultat R teh vzporedno prenesenih vektorjev, tj. vektor, ki ga predstavlja zaključna stranica poligona sil, se imenuje rezultanta sil, ki delujejo na telo (slika 2). Jasno je, da vektor R ni odvisna od izbrane referenčne točke. Če je vektorska velikost R(odsek ON) ni enak nič, potem telo ne more mirovati: v skladu z Newtonovim zakonom se mora vsako telo, na katerega deluje sila, gibati pospešeno. Tako je telo lahko v stanju ravnovesja le, če je rezultanta vseh sil, ki delujejo nanj, enaka nič. Vendar tega nujnega pogoja ni mogoče šteti za zadostnega - telo se lahko premika, ko je rezultanta vseh sil, ki delujejo nanj, enaka nič.

Kot preprost, a pomemben primer za razlago tega razmislite o tanki togi palici dolžine l, katere teža je zanemarljiva v primerjavi z velikostjo sil, ki delujejo nanj. Na palico naj delujeta dve sili F in -F, ki se nanaša na njegove konce, enake velikosti, vendar nasprotno usmerjene, kot je prikazano na sl. 3, A. V tem primeru rezultat R enako F – F= 0, vendar palica ne bo v ravnovesju; očitno se bo vrtela okoli svoje sredine O. Sistem dveh enakih, a nasprotno usmerjenih sil, ki delujeta v več kot eni premici, je "par sil", ki ga je mogoče označiti s produktom velikosti sile F na "rami" l. Pomen takega produkta lahko pokažemo z naslednjim sklepanjem, ki ponazarja pravilo vzvoda, ki ga je izpeljal Arhimed, in vodi do sklepa o pogoju rotacijskega ravnovesja. Oglejmo si lahko homogeno togo palico, ki se lahko vrti okoli osi v točki O, na katero deluje sila F 1 uporabljen na daljavo l 1 od osi, kot je prikazano na sl. 3, b. Pod silo F 1 palica se bo vrtela okoli točke O. Kot lahko vidite iz izkušenj, je mogoče vrtenje takšne palice preprečiti z uporabo določene sile F 2 na tej razdalji l 2, tako da enakost velja F 2 l 2 = F 1 l 1 .

Tako lahko rotacijo preprečimo na nešteto načinov. Pomembno je le, da izberete silo in točko njenega delovanja tako, da je produkt sile na ramo enak F 1 l 1. To je pravilo finančnega vzvoda.

Ravnotežnih pogojev za sistem ni težko izpeljati. Delovanje sil F 1 in F 2 na osi povzroči protidelovanje v obliki reakcijske sile R, ki deluje v točki O in je usmerjena nasproti silam F 1 in F 2. V skladu z zakonom mehanike o akciji in reakciji je velikost reakcije R enaka vsoti sil F 1 + F 2. Zato je rezultanta vseh sil, ki delujejo na sistem, enaka F 1 + F 2 + R= 0, zato je potreben ravnotežni pogoj, omenjen zgoraj, izpolnjen. Moč F 1 ustvarja navor, ki deluje v smeri urinega kazalca, tj. moment sile F 1 l 1 glede na točko O, ki je uravnotežena z navorom v nasprotni smeri urnega kazalca F 2 l 2 moči F 2. Očitno je, da je pogoj za ravnotežje telesa enakost algebraične vsote momentov na nič, kar izključuje možnost rotacije. Če moč F deluje na palico pod kotom q, kot je prikazano na sl. 4, A, potem lahko to silo predstavimo kot vsoto dveh komponent, od katerih je ena ( F p), vrednost F cos q, deluje vzporedno s palico in je uravnotežen z reakcijo nosilca - F p in drugo ( F n), velikost F greh q, usmerjen pod pravim kotom na vzvod. V tem primeru je navor enak Fl greh q; lahko se uravnoteži s katero koli silo, ki ustvarja enak navor, ki deluje v nasprotni smeri urinega kazalca.

Za lažje upoštevanje predznakov momentov v primerih, ko na telo deluje veliko sil, je moment sile F glede na katero koli točko O telesa (slika 4, b) lahko obravnavamo kot vektor L, enako vektorski izdelek r ґ F vektor položaja r do moči F. torej L = rґ F. Ni težko pokazati, da če trdna obstaja sistem sil, ki deluje na točke O 1, O 2,..., O n (slika 5), ​​potem lahko ta sistem nadomestimo z rezultanto R moč F 1 , F 2 ,..., F n, ki deluje na kateri koli točki Oў telesa, in par sil L, katerega moment je enak vsoti [ r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r nґ F n]. Da bi to preverili, je dovolj, da v točki Oŭ mentalno uporabite sistem parov enakih, a nasprotno usmerjenih sil F 1 in - F 1 ; F 2 in - F 2 ;...; F n in - F n, kar očitno ne bo spremenilo agregatnega stanja trdne snovi.

Ampak moč F 1 v točki O 1 in sila – F 1, uporabljena v točki Oў, tvorita par sil, katerih moment glede na točko Oў je enak r 1 ґ F 1. Prav tako moč F 2 in - F 2, uporabljena v točkah O 2 oziroma Oў, tvorita par s trenutkom r 2 ґ F 2 itd. Skupni trenutek L vseh takih parov glede na točko Oў je podana z vektorsko enakostjo L = [r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r nґ F n]. Druge sile F 1 , F 2 ,..., F n uporabljeni v točki Oў, skupaj dajejo rezultanto R. Toda sistem ne more biti v ravnotežju, če količine R in L se razlikujejo od nič. Posledično je pogoj, da so vrednosti hkrati enake nič R in L je nujen pogoj ravnovesje. Lahko se pokaže, da zadostuje tudi, če telo na začetku miruje. Tako se problem ravnotežja zmanjša na dva analitična pogoja: R= 0 in L= 0. Ti dve enačbi predstavljata matematični prikaz načela ravnotežja.

Teoretična načela statike se pogosto uporabljajo pri analizi sil, ki delujejo na konstrukcije in konstrukcije. V primeru zvezne porazdelitve sil vsote, ki dajejo nastali moment L in rezultat R, se nadomestijo z integrali in v skladu z običajnimi metodami integralnega računa.

Problem 3.2.1

Določite rezultanto dveh sil F 1 =50N in F 2 =30N, ki med seboj tvorita kot 30° (slika 3.2a).

Slika 3.2

Vektorja sile F 1 in F 2 premaknimo na presečišče akcijskih premic in ju seštejmo po pravilu paralelograma (slika 2.2b). Točka uporabe in smer rezultante sta prikazani na sliki. Modul nastalega rezultata je določen s formulo:

Odgovor: R=77,44N

Problem 3.2.2

Določite rezultanto sistema konvergentnih sil F 1 =10N, F 2 =15N, F 3 =20N, če so znani koti, ki jih tvorijo vektorji teh sil z osjo Ox: α 1 =30 °, α 2 = 45 ° in α 3 =60 ° (slika 3.3a)

Slika 3.3

Projiciramo sile na osi Ox in Oy:

Rezultatski modul

Na podlagi dobljenih projekcij določimo smer rezultante (sl. 3.3b)

Odgovor: R=44,04N

Problem 3.2.3

Na točki povezave dveh navojev deluje navpična sila P = 100 N (slika 3.4a). Določite sile v navojih, če so v ravnovesju koti, ki jih tvorijo navoji z osjo OY enaki α=30°, β=75°.

Slika 3.4

Natezne sile navojev bodo usmerjene vzdolž navojev od priključne točke (slika 3.4b). Sistem sil T 1, T 2, P je sistem konvergentnih sil, ker liniji delovanja sil se sekata na mestu stika niti. Pogoj ravnotežja za ta sistem:

Prevajanje analitične enačbe ravnovesje sistema konvergentnih sil projiciram vektorsko enačbo na osi.

Rešimo sistem dobljenih enačb. Iz prve izrazimo T 2.

Zamenjajmo dobljeni izraz v drugega in določimo T 1 in T 2 .

N,

Preverimo rešitev iz pogoja, da mora biti modul P vsote sil T 1 in T 2 enak P (slika 3.4c).

Odgovor: T 1 =100N, T 2 =51,76N.

Problem 3.2.4

Določite rezultanto sistema konvergentnih sil, če so podani njihovi moduli: F 1 =12N, F 2 =10N, F 3 =15N in kot α = 60 ° (slika 3.5a).

Slika 3.5

Določimo projekcije rezultante

Rezultat modula:

Na podlagi dobljenih projekcij določimo smer rezultante (sl. 3.5b)

Odgovor: R=27,17N

Problem 3.2.6

Tri palice AC, BC, DC so zgibno povezane v točki C. Določite sile v palicah, če so podani sila F=50N, kot α=60° in kot β=75°. Sila F je v ravnini Oyz. (slika 3.6)

Slika 3.6

Na začetku predpostavimo, da so vse palice raztegnjene in temu primerno usmerimo reakcije v palicah iz vozlišča C. Nastali sistem N 1, N 2, N 3, F je sistem konvergentnih sil. Pogoj ravnovesja za ta sistem.