Hornerjevo vezje - primeri in algoritmi za reševanje polinoma. Predstavitev na temo "hornerjevo vezje" Razširitev polinoma v potencah Hornerjevo vezje na spletu

Bezoutov izrek, kljub svoji navidezni preprostosti in očitnosti, je eden od osnovnih izrekov teorije polinomov. V tem izreku so algebraične značilnosti polinomov (omogočajo delo s polinomi kot celimi števili) povezane z njihovimi funkcionalnimi značilnostmi (ki vam omogočajo, da polinome obravnavate kot funkcije).

Bezoutov izrek navaja, da je ostanek pri deljenju polinoma s polinomom .

Koeficienti polinoma ležijo v nekem komutativnem obroču z enoto (na primer v polju realnih ali kompleksnih števil).

Bezoutov izrek - dokaz.

Polinom delimo z ostankom P(x) na polinom (x-a):

Na podlagi dejstva, da deg R(x)< deg (x-a) = 1 - polinom stopnje, ki ni višja od nič. Zamenjamo, saj dobimo .

Vendar ni najpomembnejši izrek, ampak posledica Bezoutovega izreka:

1. Število je koren polinoma P(x) takrat in samo takrat P(x) deljiva z binomom brez ostanka x-a.

Na podlagi tega množica korenin polinoma P(x) je identična množici korenov ustrezne enačbe x-a.

2. Prosti člen polinoma se deli s poljubnim celoštevilskim korenom polinoma s celimi koeficienti (če je vodilni koeficient enak ena, so vsi racionalni koreni celi).

3. Recimo, da je celoštevilski koren zmanjšanega polinoma P(x) s celimi koeficienti. To pomeni, da je za vsako celo število število deljivo z .

Bezoutov izrek omogoča, da po najdbi enega korena polinoma iščemo korenine polinoma, katerega stopnja je že za 1 manjša: če , potem je ta polinom P(x) bo videti takole:

Primeri Bezoutovega izreka:

Poiščite ostanek pri deljenju polinoma z binomom.

Primeri rešitev Bezoutovega izreka:

Na podlagi Bezoutovega izreka zahtevani ostanek ustreza vrednosti polinoma v točki. Potem bomo našli , za to zamenjamo vrednost v izraz za polinom namesto . Dobimo:

Odgovori: Ostanek = 5.

Hornerjeva shema.

Hornerjeva shema je algoritem za deljenje (deljenje po Hornerjevi shemi) polinomov, napisan za poseben primer, če je količnik enak binomu.

Sestavimo ta algoritem:

Predpostavimo, da je to dividenda

Količnik (njegova stopnja bo verjetno ena manjša), r- ostanek (ker je deljenje izvedeno s polinomom 1 stopnje, potem bo stopnja ostanka ena manjša, tj. nič, torej je ostanek konstanta).

Po definiciji deljenja z ostankom P(x) = Q(x) (x-a) + r. Po zamenjavi polinomskih izrazov dobimo:

Odpremo oklepaje in izenačimo koeficiente pri enakih potencah, nato pa koeficiente količnika izrazimo preko koeficientov dividenda in delitelja:

Primerno je povzeti izračune v naslednji tabeli:

Označi tiste celice, katerih vsebina je vključena v izračune v naslednjem koraku.

Primeri sheme Horner:

Recimo, da moramo polinom deliti z binomom x-2.

Ustvarimo tabelo z dvema vrsticama. V 1 vrstico zapišemo koeficiente našega polinoma. V drugi vrstici bomo dobili koeficiente nepopolnega količnika po naslednji shemi: najprej prepišemo vodilni koeficient tega polinoma, nato pa, da dobimo naslednji koeficient, zadnjega najdenega pomnožimo z a=2 in seštejte z ustreznim koeficientom polinoma F(x). Najnovejši koeficient bo ostanek, vsi predhodni pa bodo koeficienti nepopolnega količnika.

1. Razdelite 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 na x − 1 z uporabo Hornerjeve sheme.

rešitev:

Naredimo tabelo dveh vrstic: v prvo vrstico zapišimo koeficiente polinoma 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11, urejeno v padajočem vrstnem redu stopenj spremenljivke x. Upoštevajte, da ta polinom ne vsebuje x v prvi stopnji, tj. koeficient pred x na prvo potenco je enako 0. Ker delimo z x−1, potem v drugo vrstico zapišemo eno:

Začnimo izpolnjevati prazne celice v drugi vrstici. V drugo celico druge vrstice zapišemo številko 5 , preprosto premaknite iz ustrezne celice prve vrstice:

Izpolnimo naslednjo celico po tem principu: 1⋅ 5 + 5 = 10 :

Na enak način izpolnimo četrto celico druge vrstice: 1⋅ 10 + 1 = 11 :

Za peto celico dobimo: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

In končno, za zadnjo, šesto celico, imamo: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

Problem je rešen, ostane le še, da zapišemo odgovor:

Kot lahko vidite, so številke v drugi vrstici (med ena in nič) koeficienti polinoma, dobljenega po deljenju s 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 na x−1. Seveda, saj je stopnja prvotnega polinoma 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 je bilo enako štiri, potem je stopnja dobljenega polinoma 5 x 3 +10x 2 +11x+11 je ena manj, tj. enako tri. Zadnja številka v drugi vrstici (ničla) pomeni ostanek deljenja polinoma 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 na x−1.
V našem primeru je ostanek nič, tj. polinomi so enakomerno deljivi. Ta rezultat lahko označimo tudi na naslednji način: vrednost polinoma je 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 ob x=1 je enako nič.
Sklep lahko oblikujemo tudi v tej obliki: ker je vrednost polinoma 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 ob x=1 je enako nič, potem je enota koren polinoma 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11.

2. Poiščite delni količnik in ostanek polinoma.

A(X) = X 3 – 2X 2 + 2X– 1 na binom X – 1.

rešitev:

		– 2		– 1
α = 1		– 1

odgovor: Q(x) = X 2 – X + 1 , R(x) = 0.

3. Izračunajte vrednost polinoma A(X) pri X = – 1 če A(X) = X 3 – 2 X – 1.

rešitev:

			– 2	– 1
α = – 1		– 1	– 1

odgovor: A(– 1) = 0.

4. Izračunajte vrednost polinomaA(X) pri X= 3, nepopoln količnik in ostanek, kje

A(X)= 4 X 5 – 7X 4 + 5X 3 – 2 X + 1.

rešitev:

		– 7			– 2
α = 3					178	535

odgovor: R(x) = A(3) = 535, Q(x) = 4 X 4 + 5X 3 + 20X 2 + 60X +178.

5. Poiščite korenine enačbeX 3 + 4 X 2 + X – 6 = 0.

rešitev:

Poiščite delitelje prostega člena ±1; ± 2; ± 3; ± 6

Tu je a = 1 (x – 1 = x – a), koeficienti polinoma dividende pa so enaki
1, 4, 1, – 6. Sestavimo tabelo za uporabo Hornerjeve sheme:

Ministrstvo za izobraževanje in mladinsko politiko Čuvaške republike

BOU DP(PK)S "Čuvaški inštitut za izobraževanje" Ministrstvo za izobraževanje Čuvašije

Tečajna naloga

Izbirni predmet « Tehnike in metode za reševanje enačb višjih stopenj"

Izpolnila učiteljica matematike

MBOU "Srednja šola št. 49 s poglobljenim

študij posameznih predmetov"

Čeboksari

Rumjanceva Julija Izosimovna

Čeboksari

Tema lekcije: Korenine polinoma. Hornerjeva shema

Cilj lekcije:

naučiti, kako najti vrednost polinoma in njegove korenine z uporabo Bezoutovega izreka in Hornerjeve sheme;

razvijati spretnosti pri iskanju korenin polinomov;

naučiti se povzemati in sistematizirati gradivo;

razvijati računalniške sposobnosti, koncentracijo, funkcije samokontrole;

gojiti samozahtevnost in delavnost.

Načrt lekcije:

I. Organizacijski trenutek

VI. Samostojno delo

VIII. Domača naloga

NAPREDEK POUKA

I. Organizacijski trenutek

Sporočite temo lekcije, oblikujte cilje lekcije.

II. Posodabljanje znanja učencev

1. Preverjanje domače naloge.

a) Poiščite GCD ((x 6 – 1); (x 8 – 1)) z uporabo evklidskega algoritma (učenec kuha na deski).

rešitev:

GCD ((x 6 – 1); (x 8 – 1)) = x 2 – 1.

Odgovori: x 2 – 1 .

b) Ugotovi, ali je polinom deljiv f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 na (x – 1), (x + 1), (x – 2) (preverjeno od spredaj).

rešitev. Po Bezoutovem izreku, če f(1) = 0, To f(x) deljeno z (x – 1). Preverimo.

f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) ni deljivo z (x – 1);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x) je deljeno z (x – 2).

Odgovori: deljivo z (x – 2).

c) Polinom P(x) pri deljenju z (x – 1) da ostanek 3, pri deljenju z (x – 2) daje ostanek 5. Poiščite ostanek pri deljenju polinoma P(x) z (x 2 – 3 x + 2).

(Rešitev vnaprej projiciramo na platno ali napišemo na tablo).

rešitev.

P(x) = (x – 1) Q 1 (x) + 3 (1)
P(x) = (x – 2) Q 2 (x) + 5 (2)
Iz (1) in (2) sledi, da P(1) = 3, P(2) = 5.
Naj bo P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b ali
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b (3)

Z zaporedno zamenjavo x = 1 in x = 2 v (3) dobimo sistem enačb, iz katerega je a = 2, b = 1.

Odgovori: 2 x + 1.

d) Pri kakšni m in n polinom x 3 + m x + n za poljubno x deljivo z x 2 + 3 x + 10 brez ostanka.

rešitev. Pri deljenju z "votilom" dobimo x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30)).

Ker deljenje izvedemo brez ostanka, potem je (m – 1) x + (n + 30) = 0, to pa je možno (za vsak x) samo v primeru, ko je m = 1, n = –30.

Odgovori: m = 1, n = –30.

2. Teoretični pregled

a) Kako brati izrek

b) Navedite primer uporabe Bezoutovega izreka?

c) Kako najti vodilni koeficient zmnožka iz pravila množenja dveh polinomov?

d) Ali ima polinom ničelno stopnjo?

III. Priprava na študij novega materiala

V polinomu, tako kot v vsakem dobesednem izrazu, lahko zamenjate številke namesto spremenljivke in posledično se spremeni v številski izraz, torej na koncu v število. Naredimo dve pomembni opombi za reševanje problemov:

Pomenf(0)je enak prostemu členu polinoma.

Pomenf(1)je enaka vsoti koeficientov polinoma.

Iskanje vrednosti polinoma ne predstavlja temeljnih težav, vendar so lahko izračuni precej okorni. Za poenostavitev izračunov obstaja tehnika, imenovana Hornerjeva shema – poimenovana po angleškem matematiku iz 16. stoletja. Ta shema je sestavljena iz zapolnitve tabele dveh vrstic.

Na primer za izračun vrednosti polinoma f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 za x = 7 (to pomeni, ugotovite, ali je deljivo z (x – 7) z uporabo Bezoutovega izreka), morate zamenjati število za x 7 . Če je f(7) = 0, potem je f(x) razdeljeno brez ostanka. Če je f(7 ) ni enako 0, potem je f(x) deljeno z (x – 7) z ostankom. Za lažje iskanje vrednosti f(7) uporabimo Hornerjevo shemo. Izpolnimo dvovrstično tabelo z naslednjim algoritmom:

1. Najprej je napisana vrstica koeficienta.
2. Vodilni koeficient je podvojen v drugi vrstici, pred njim pa je vrednost spremenljivke (v našem primeru številka 7), pri kateri izračunamo vrednost polinoma.

Rezultat je tabela, katere prazne celice je treba izpolniti.

Tabela 1

3. To naredimo po enem samem pravilu: za prazno celico na desni se število 2 pomnoži s 7 in doda številu nad prazno celico. Odgovor je zapisan v prvo prazno celico. To naredimo, da zapolnimo preostale prazne celice. Zato je v prvo prazno celico postavljeno število 2 7 – 9 = 5, v drugo prazno celico je postavljeno število 5 7 – 32 = 3, v tretjo številko 3 7 + 0 = 21 in v zadnjih 21 7 – 57 = 90. V celoti ta tabela izgleda takole:

Tabela 2

Zadnja številka druge vrstice je odgovor.

komentar: program za izračun vrednosti polinoma na računalniku je sestavljen po Hornerjevi shemi.

IV. Utrjevanje naučene snovi

Razmislimo o rešitvi domače naloge št. 1 (b) po Hornerjevi shemi. Torej, z uporabo Hornerjeve sheme ugotovite, ali je polinom (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 deljiv z (x – 1), (x + 1), (x – 2) . Če morate preveriti več vrednosti, potem, da shranite izračune, zgradite eno kombinirano vezje.

Tabela 3

V zadnjem stolpcu v tretji, četrti in peti vrstici so ostanki pri deljenju. Potem je f(x) brez ostanka deljen z (x – 2), ker r = 0.

V. Iskanje korenin polinoma

Bezoutov izrek omogoča, da po najdbi ene korenine polinoma nadaljujemo z iskanjem korenin polinoma, katerega stopnja je ena manjša. Včasih s to tehniko - imenuje se "zmanjšanje stopnje" - lahko najdete vse korene polinoma.

Predvsem z izbiro enega korena kubične enačbe in s tem znižanjem stopnje jo je mogoče v celoti rešiti z rešitvijo nastale kvadratne enačbe.

Pri reševanju takšnih problemov je ista Hornerjeva shema zelo koristna. Vendar Hornerjeva shema dejansko daje veliko več: številke v drugi vrstici (brez zadnjega) so koeficienti delne veje na (x - a).

V tabeli 3:

Primer 1. Poiščite korenine polinoma f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3).

rešitev. Delitelji prostega člena: – 1, 1, – 3, 3 so lahko korenine polinoma. Pri x = 1 je očitno vsota koeficientov enaka nič. To pomeni, da je x 1 = 1 koren. S Hornerjevo shemo preverimo koren števila - 1 in druge delitelje prostega člena.

Tabela 4

x = –1 - koren
drugič x = –1 ni koren
preverimo x = 3
x = 3 – koren.
f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1), x 2 + x – 1 = 0,

Komentiraj. Pri iskanju korenin polinoma ne smete izvajati nepotrebnih natančnih izračunov v primerih, ko očitne grobe ocene vodijo do želenega rezultata.
Na primer, Hornerjeva shema za testiranje vrednosti 31 in – 31 kot »kandidatnih korenin« polinoma x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 bi lahko izgledala takole:

Tabela 5

31 in – 31 nista korena polinoma x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31.

Primer 2. Poiščite korenine polinoma f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55.

rešitev. Delitelji števila 55: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Upoštevajte, da – 1 in 1 nista korena polinoma. Preostale delilnike je treba preveriti.

Komentiraj. Za učence je zelo pomembno, da obvladajo »dolgo« Hornerjevo shemo. V tem primeru je "dolga" shema primerna.

Tabela 6

x 2 + 57 x + 3 129 = 0, brez korenin.

odgovor: ni korenin.

VI. Samostojno delo

Na tabli se tri osebe odločijo za naknadno preverjanje.

Poiščite korenine polinoma z uporabo Hornerjeve sheme:

a) f (x) = x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;

odgovor: – 1; 2; – 3.

b) f (x) = x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;

odgovor: 1; 2; 3.

c) f (x) = x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4.

odgovor:

(Preizkus se izvaja v parih, ocene so podane).

VII. Študentsko raziskovalno delo

– Fantje, ali niste opazili, katere polinome smo večinoma preučevali v razredu?

(Odgovori učencev).

– Da, to so polinomi s celimi koeficienti in z vodilnim členom k ​​= 1.

– V kolikšnem številu so bili prejeti odgovori?

(Odgovori učencev).

– Tako je, korenine polinoma s celimi koeficienti in z vodilnim členom k ​​= 1 so celo število ali iracionalne ali cele in iracionalne ali pa nimajo korenin. Zaključek zapišite v zvezke.

VIII. Domača naloga

1. št. 129 (1, 3, 5, 6) – N. Ya. Vilenkin – 10, str.
2. Naučite se teorije te lekcije.

IX. Povzetek lekcije in ocenjevanje

Literatura

M.L. Galitsky. Poglobljen študij algebre in matematične analize. // Razsvetljenje, 1997

G.V. Dorofejev. Polinomi z eno spremenljivko. // Sankt Peterburg. Posebna literatura, 1997

N.Ya. Vilenkin. Algebra in matematična analiza. 10. razred // Vzgojae

Pojasnilo.

Tečaj je namenjen učencem 10. razreda fizike in matematike z dobro stopnjo matematične pripravljenosti in je zasnovan tako, da jim pomaga pri pripravi na različna tekmovanja in olimpijade iz matematike ter prispeva k nadaljevanju resnega matematičnega izobraževanja. Razširja osnovni predmet matematike, je predmetno specifičen in študentom omogoča, da se seznanijo z zanimivimi, nestandardnimi vprašanji matematike in metodami za reševanje enačb višjega reda. Tečaj vključuje možnost diferenciranega učenja.

Z usmerjanjem šolarjev v iskanje lepih, elegantnih rešitev enačb višjih stopenj učitelj s tem prispeva k estetski vzgoji učencev in dviguje njihovo matematično kulturo. Predmet je nadaljevanje učbenika, ki predvideva učenje šolarjev samostojnega dela in reševanja enačb višjih stopenj. Pri načrtnem poučevanju šolarjev reševanja enačb višjih stopenj jih je treba naučiti opazovati, uporabljati analogijo, indukcijo, primerjave in delati ustrezne sklepe. Učencem je treba z enačbami višjih stopenj privzgojiti ne samo logično sklepanje, ampak tudi močno hevristično mišljenje.

Cilji in cilji predmeta.

Razvoj zanimanja za matematiko, hevrističnega mišljenja.

Spodbujajte nadaljevanje resnega matematičnega izobraževanja.

Naučiti, kako izbrati racionalno metodo za reševanje problemov in utemeljiti svojo izbiro.

Prispevajte k oblikovanju znanstvenega stila razmišljanja.

Pripravite se na enotni državni izpit.

Ta izbirni predmet obsega 34 tematskih ur.

Študente seznanimo z namenom in namenom izbirnega predmeta. Pouk obsega teoretični in praktični del - predavanja, posvetovalne delavnice, samostojno in raziskovalno delo.

Preučevanje osnovnih principov teorije polinomov nam omogoča posplošitev Vietovega izreka za enačbe katere koli stopnje. Sposobnost izvajanja operacij deljenja polinomov bo v prihodnosti olajšala reševanje problemov iz matematične analize.

Preučevanje Hornerjeve sheme in izreka o racionalnih koreninah polinomov nudi splošno metodo faktoriziranja katerega koli algebrskega izraza. Po drugi strani bo sposobnost reševanja enačb višjih stopenj znatno razširila obseg eksponentnih, logaritemskih, trigonometričnih in iracionalnih enačb in neenačb.

Literatura

1. Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavič L.I. Zbirka nalog iz algebre za 8.-9.

2 Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Težave z matematiko. Algebra.

3 Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Nestandardne metode za reševanje enačb in neenačb.

4 ..Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Enačbe in neenačbe.

5. Sharygin I.F. Izbirni predmet matematika.

Cilji in cilji tečaja 1

Literatura 4

Dodatek 6

Polinom oblike
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
lahko faktoriziramo po Hornerjevi shemi,če je znana vsaj ena njegova korenina.

Oglejmo si delitev po Hornerjevi shemi na primeru:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

Najprej morate najti eno korenino z izbirno metodo. Običajno je to delitelj prostega člena. V tem primeru delilniki števila -10 so ±1, ±2, ±5, ±10. Začnimo jih zamenjati enega za drugim:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ število 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ število -1 je koren polinoma

Našli smo 1 od korenin polinoma. Koren polinoma je -1, kar pomeni, da mora biti prvotni polinom deljiv z x+1. Za izvedbo delitve polinomov uporabimo Hornerjevo shemo:

	2	9	-10	-27	-10
-1

Koeficienti prvotnega polinoma so prikazani v zgornji vrstici. Koren, ki smo ga našli, je postavljen v prvo celico druge vrstice -1. V drugi vrstici so koeficienti polinoma, ki nastane pri deljenju. Štejejo se takole:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	V drugo celico druge vrstice zapišemo številko 2, preprosto tako, da ga premaknete iz ustrezne celice prve vrstice.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

Zadnja številka je preostanek delitve. Če je enako 0, potem smo vse izračunali pravilno.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

A to še ni konec. Na enak način lahko poskusite razširiti polinom 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

Spet iščemo koren med delilniki prostega člena. Kot smo že ugotovili, delitelji števil -10 so ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ število 1 ni koren polinoma

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ število -1 ni koren polinoma

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ število 2 je koren polinoma

Zapišimo najdeni koren v našo Hornerjevo shemo in začnimo izpolnjevati prazne celice:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	V drugo celico tretje vrstice zapišemo številko 2, preprosto tako, da ga premaknete iz ustrezne celice druge vrstice.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

Tako smo faktorizirali prvotni polinom:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x 2 + 11x + 5)

Polinom 2x 2 + 11x + 5 lahko tudi faktoriziramo. Če želite to narediti, lahko rešite kvadratno enačbo prek diskriminante ali pa poiščete koren med delitelji števila 5. Tako ali drugače bomo prišli do zaključka, da je koren tega polinoma število -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	V drugo celico četrte vrstice zapišemo številko 2, preprosto tako, da ga premaknete iz ustrezne celice tretje vrstice.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

Tako smo prvotni polinom razstavili na linearne faktorje.

Običajno je polinom predstavljen kot:

$f(x)=\vsota\meje_(k=0)^(n) a_k x^k$

f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a k x k

kje a k to so realna števila, ki predstavljajo koeficiente polinoma in
x k to so spremenljivke polinoma.

Zgornji polinom imenujemo polinom n-te stopnje, tj deg(f(x)) = n, Kje n predstavlja najvišjo stopnjo spremenljivke.

Hornerjeva shema za deljenje polinoma je algoritem za poenostavitev izračuna vrednosti polinoma f(x) pri določeni vrednosti x = x 0 metoda delitve polinoma na monome (polinome 1. stopnje). Vsak monom vključuje največ en postopek množenja in en postopek seštevanja. Rezultat, dobljen iz enega monoma, se doda rezultatu, dobljenemu iz naslednjega monoma, in tako naprej na akumulativni način. Ta cepitveni proces imenujemo tudi sintetična cepitev.

Za razlago zgornjega zapišimo polinom v razširjeni obliki;

f(x 0) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 0 2 + ... + a n x 0 n

To lahko zapišemo tudi kot:

f(x 0) = a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + ... + (a n-1 + a n x 0)....)

Algoritem, ki ga predlaga ta shema, temelji na iskanju vrednosti zgoraj oblikovanih monomov, začenši s tistimi, ki so zaprti v več oklepajih, in se pomakniti navzven, da bi našli vrednosti monomov v zunanjih oklepajih.

Algoritem začne delovati tako, da sledite spodnjim korakom:

1. Dano k = n
2. Naj b k = a k
3. Naj b k - 1 = a k - 1 + b k x 0
4. Naj k = k - 1
5. Če k ≥ 0, nato se vrnite na 3. korak
sicer Konec

Ta algoritem je mogoče prikazati tudi grafično, ob upoštevanju tega polinoma 5. stopnje:

f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5

katerih vrednost je najdena kot x = x 0, tako da ga preuredite na naslednji način:

f(x 0) = a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + x 0 (a 4 + a 5 x 0))))

Drug način za predstavitev rezultatov z uporabo tega algoritma je v obliki spodnje tabele:

Tako je f(2) = 83.

Zakaj moramo to storiti?

Običajno smo pri iskanju vrednosti polinoma za določeno vrednost spremenljivke navajeni, da to vrednost nadomestimo s polinomom in izvedemo izračune. Razvijemo lahko tudi računalniški program za matematični izračun, kar je nujno, ko imamo opravka s kompleksnimi polinomi visokih stopenj.

Metoda, s katero računalnik obravnava težavo, je v veliki meri odvisna od tega, kako jo vi kot programer opišete računalniku. Lahko razvijete svoj program za iskanje vrednosti polinoma z neposredno zamenjavo vrednosti spremenljivke ali uporabite sintetično delitev, podano v Hornerjevi shemi. Edina razlika med tema dvema pristopoma je hitrost, s katero bo računalnik našel rešitev za dani primer.

Prednost Hornerjevega vezja je, da zmanjša število operacij množenja. Glede na to, da je čas obdelave vsakega postopka množenja 5- do 20-krat daljši od časa obdelave postopka seštevanja, lahko trdite, da bo izdelava programa za iskanje vrednosti polinoma z uporabo Hornerjeve sheme znatno zmanjšala čas izračuna, porabljen za računalnik.