ความแตกต่างระหว่างลูกบาศก์ของตัวเลขสองตัวคืออะไร?

ภาษารัสเซีย สูตรหรือกฎของการคูณแบบย่อใช้ในเลขคณิตหรือแม่นยำยิ่งขึ้นในพีชคณิตเพื่อให้กระบวนการคำนวณขนาดใหญ่เร็วขึ้นนิพจน์พีชคณิต

- สูตรเหล่านี้ได้มาจากกฎที่มีอยู่ในพีชคณิตสำหรับการคูณพหุนามหลายตัว การใช้สูตรเหล่านี้ช่วยแก้ปัญหาต่างๆ ได้อย่างรวดเร็วพอสมควรปัญหาทางคณิตศาสตร์

และยังช่วยลดความซับซ้อนของนิพจน์อีกด้วย กฎของการแปลงพีชคณิตอนุญาตให้คุณดำเนินการจัดการบางอย่างด้วยนิพจน์ หลังจากนั้นคุณจะได้รับนิพจน์ทางด้านขวาทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันหรือแปลงทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (เพื่อให้ได้นิพจน์ทางด้านซ้าย หลังเครื่องหมายเท่ากับ) สะดวกในการทราบสูตรที่ใช้สำหรับการคูณแบบย่อจากหน่วยความจำ เนื่องจากมักใช้ในการแก้ปัญหาและสมการ รายการด้านล่างนี้เป็นสูตรหลักที่รวมอยู่ในรายการนี้

และชื่อของพวกเขา

กำลังสองของผลรวม

ในการคำนวณกำลังสองของผลรวม คุณต้องค้นหาผลรวมที่ประกอบด้วยกำลังสองของเทอมแรก สองเท่าของผลคูณของเทอมแรกและเทอมที่สอง และกำลังสองของเทอมที่สอง ในรูปแบบของนิพจน์ กฎนี้เขียนดังนี้: (a + c)² = a² + 2ac + c²

ผลต่างกำลังสอง

ในการคำนวณกำลังสองของผลต่าง คุณต้องคำนวณผลรวมซึ่งประกอบด้วยกำลังสองของตัวเลขแรก สองเท่าของผลคูณของตัวเลขแรกและตัวที่สอง (ใช้เครื่องหมายตรงข้าม) และกำลังสองของตัวเลขที่สอง ในรูปแบบของนิพจน์ กฎนี้จะมีลักษณะดังนี้: (a - c)² = a² - 2ac + c²

ความแตกต่างของกำลังสอง

สูตรสำหรับผลต่างของตัวเลขสองตัวกำลังสองเท่ากับผลคูณของผลรวมของตัวเลขเหล่านี้และผลต่าง ในรูปแบบของนิพจน์ กฎนี้จะมีลักษณะดังนี้: a² - с² = (a + с)·(a - с)

ลูกบาศก์ของผลรวม

ในการคำนวณกำลังสามของผลรวมของสองเทอม คุณต้องคำนวณผลรวมที่ประกอบด้วยกำลังสามของเทอมแรก เพิ่มผลคูณของกำลังสองของเทอมแรกและเทอมที่สอง สามเท่า เพิ่มผลคูณของเทอมแรกและเทอมที่สองเป็นสามเท่า กำลังสอง และกำลังสามของเทอมที่สอง ในรูปแบบของนิพจน์ กฎนี้จะมีลักษณะดังนี้: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³

ผลรวมของลูกบาศก์

ตัวอย่าง.จำเป็นต้องคำนวณปริมาตรของรูปที่เกิดจากการเพิ่มลูกบาศก์สองก้อน ทราบเพียงขนาดของด้านข้างเท่านั้น

หากค่าด้านข้างน้อย การคำนวณก็ทำได้ง่าย

หากความยาวของด้านแสดงเป็นตัวเลขที่ยุ่งยาก ในกรณีนี้ การใช้สูตร "ผลรวมของลูกบาศก์" จะง่ายกว่าซึ่งจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก

ลูกบาศก์ความแตกต่าง

นิพจน์สำหรับผลต่างกำลังสามมีลักษณะดังนี้: เมื่อผลรวมของกำลังสามของเทอมแรก ให้ผลคูณลบของกำลังสองของเทอมแรกเป็นสามเท่าของวินาที และเป็นผลคูณของเทอมแรกสามเท่าด้วยกำลังสองของวินาที และกำลังสามลบของเทอมที่สอง ในรูปแบบของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ลูกบาศก์ของความแตกต่างจะมีลักษณะดังนี้: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³

ความแตกต่างของลูกบาศก์

สูตรความแตกต่างของลูกบาศก์แตกต่างจากผลรวมของลูกบาศก์ด้วยเครื่องหมายเดียว ดังนั้น ผลต่างของลูกบาศก์จึงเป็นสูตร เท่ากับสินค้าผลต่างระหว่างตัวเลขเหล่านี้ด้วยผลรวมกำลังสองบางส่วน ในรูปแบบนี้ ผลต่างของลูกบาศก์จะเป็นดังนี้: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2)

ตัวอย่าง.จำเป็นต้องคำนวณปริมาตรของตัวเลขที่จะคงอยู่หลังจากลบตัวเลขปริมาตรออกจากปริมาตรของลูกบาศก์สีน้ำเงิน สีเหลืองซึ่งก็คือลูกบาศก์เช่นกัน ทราบเพียงขนาดด้านข้างของลูกบาศก์เล็กและใหญ่เท่านั้น

หากค่าด้านข้างน้อย การคำนวณก็ค่อนข้างง่าย และถ้าความยาวของด้านแสดงเป็นจำนวนที่มีนัยสำคัญ ก็ควรใช้สูตรที่มีชื่อว่า "ความแตกต่างของลูกบาศก์" (หรือ "ลูกบาศก์ของความแตกต่าง") ซึ่งจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก

ในบทเรียนที่แล้ว เราดูสองวิธีในการแยกตัวประกอบพหุนาม: การเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ และวิธีการจัดกลุ่ม

ในบทนี้ เราจะดูวิธีอื่นในการแยกตัวประกอบพหุนาม โดยใช้สูตรคูณแบบย่อ.

เราขอแนะนำให้คุณเขียนแต่ละสูตรอย่างน้อย 12 ครั้ง เพื่อการท่องจำที่ดีขึ้น ให้จดสูตรการคูณแบบย่อทั้งหมดลงในแผ่นข้อมูลเล็กๆ

จำไว้ว่าสูตรลูกบาศก์มีลักษณะแตกต่างกันอย่างไร

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

ความแตกต่างของสูตรคิวบ์นั้นไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะจำดังนั้นเราขอแนะนำให้ใช้วิธีพิเศษในการจำ

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าสูตรการคูณแบบย่อใดๆ ก็ใช้ได้ผลเช่นกัน ด้านหลัง.

(ก - ข)(ก 2 + ab + b 2) = ก 3 − ข 3

ลองดูตัวอย่าง จำเป็นต้องแยกตัวประกอบความแตกต่างของลูกบาศก์

โปรดทราบว่า "27a 3" คือ "(3a) 3" ซึ่งหมายความว่าสำหรับผลต่างของสูตรลูกบาศก์ เราใช้ "3a" แทน "a"

เราใช้สูตรผลต่างของคิวบ์ แทนที่ "a 3" เรามี "27a 3" และแทนที่ "b 3" เช่นเดียวกับในสูตรคือ "b 3"

การใช้ผลต่างของลูกบาศก์ในทิศทางตรงกันข้าม

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง คุณต้องแปลงผลคูณของพหุนามเป็นผลต่างของลูกบาศก์โดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ

โปรดทราบว่าผลคูณของพหุนาม “(x − 1)(x 2 + x + 1)” มีลักษณะคล้ายกับด้านขวาของผลต่างของสูตรลูกบาศก์ “” มีเพียง “a” เท่านั้นที่มี “x” และอยู่ในตำแหน่งนั้น ของ “b” มี “1” .

สำหรับ “(x − 1)(x 2 + x + 1)” เราใช้สูตรผลต่างของลูกบาศก์ในทิศทางตรงกันข้าม

ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ จำเป็นต้องลดรูปผลคูณของพหุนาม

ถ้าเราเปรียบเทียบ “(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)” กับ ด้านขวาความแตกต่างของสูตรลูกบาศก์
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)“ จากนั้นคุณจะเข้าใจได้ว่าแทนที่ "a" จากวงเล็บแรกคือ "y 2" และแทนที่ "b" คือ "1"

สูตรคูณแบบย่อ

ศึกษาสูตรการคูณแบบย่อ: กำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์ ผลต่างของกำลังสองของสองนิพจน์ ลูกบาศก์ของผลรวมและลูกบาศก์ของผลต่างของสองนิพจน์ ผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์ของสองนิพจน์

การใช้สูตรคูณแบบย่อเมื่อแก้ตัวอย่าง

เพื่อให้นิพจน์ง่ายขึ้น ให้แยกตัวประกอบพหุนาม ลดพหุนามเป็น มุมมองมาตรฐานใช้สูตรคูณแบบย่อ ต้องรู้สูตรคูณแบบย่อด้วยใจจริง.

ให้ a, b R จากนั้น:

1. กำลังสองของผลรวมของสองนิพจน์มีค่าเท่ากับกำลังสองของนิพจน์แรกบวกสองเท่าของผลคูณของนิพจน์แรกและตัวที่สองบวกกำลังสองของนิพจน์ที่สอง

(ก + ข) 2 = ก 2 + 2ab + ข 2

2. กำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์มีค่าเท่ากับกำลังสองของนิพจน์แรกลบสองเท่าด้วยผลคูณของนิพจน์แรกและตัวที่สองบวกกำลังสองของนิพจน์ที่สอง

(ก - ข) 2 = ก 2 - 2ab + ข 2

3. ในการคำนวณกำลังสองของผลต่าง คุณต้องคำนวณผลรวมซึ่งประกอบด้วยกำลังสองของตัวเลขแรก สองเท่าของผลคูณของตัวเลขแรกและตัวที่สอง (ใช้เครื่องหมายตรงข้าม) และกำลังสองของตัวเลขที่สอง ในรูปแบบของนิพจน์ กฎนี้จะมีลักษณะดังนี้: (a - c)² = a² - 2ac + c²สองนิพจน์จะเท่ากับผลคูณของผลต่างของนิพจน์เหล่านี้และผลรวมของนิพจน์เหล่านี้

ก 2 - ข 2 = (ก -ข) (ก+ข)

4. สูตรสำหรับผลต่างของตัวเลขสองตัวกำลังสองเท่ากับผลคูณของผลรวมของตัวเลขเหล่านี้และผลต่าง ในรูปแบบของนิพจน์ กฎนี้จะมีลักษณะดังนี้: a² - с² = (a + с)·(a - с)สองนิพจน์จะเท่ากับกำลังสามของนิพจน์แรกบวกสามเท่าของผลคูณของกำลังสองของนิพจน์แรก และนิพจน์ที่สองบวกสามเท่าของผลคูณของนิพจน์แรก และกำลังสองของนิพจน์ที่สองบวกลูกบาศก์ของนิพจน์ที่สอง

(ก + ข) 3 = ก 3 + 3a 2 ข + 3ab 2 + ข 3

5. ลูกบาศก์ความแตกต่างสองนิพจน์จะเท่ากับกำลังสามของนิพจน์แรก ลบด้วยผลคูณของกำลังสองของนิพจน์แรก และนิพจน์ที่สองบวกสามเท่าของผลคูณของนิพจน์แรก และกำลังสองของนิพจน์ที่สองลบด้วยลูกบาศก์ของนิพจน์ที่สอง

(ก - ข) 3 = ก 3 - 3a 2 ข + 3ab 2 - ข 3

6. ในการคำนวณกำลังสามของผลรวมของสองเทอม คุณต้องคำนวณผลรวมที่ประกอบด้วยกำลังสามของเทอมแรก เพิ่มผลคูณของกำลังสองของเทอมแรกและเทอมที่สอง สามเท่า เพิ่มผลคูณของเทอมแรกและเทอมที่สองเป็นสามเท่า กำลังสอง และกำลังสามของเทอมที่สอง ในรูปแบบของนิพจน์ กฎนี้จะมีลักษณะดังนี้: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³สองนิพจน์จะเท่ากับผลคูณของผลรวมของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สองกับกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างของนิพจน์เหล่านี้

3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. ความแตกต่างของลูกบาศก์สองนิพจน์จะเท่ากับผลคูณของผลต่างของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สองด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมของนิพจน์เหล่านี้

ก 3 - ข 3 = (ก - ข) (ก 2 + ab + ข 2)

การใช้สูตรคูณแบบย่อเมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณ

ก) เรามีสูตรกำลังสองของผลรวมของสองนิพจน์

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) เราได้รับการใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10,000 – 400 + 4 = 9604

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณ

เราได้โดยใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสองของสองนิพจน์

ตัวอย่างที่ 3

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

(x - y) 2 + (x + y) 2

ลองใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

สูตรคูณแบบย่อในตารางเดียว:

(ก + ข) 2 = ก 2 + 2ab + ข 2
(ก - ข) 2 = ก 2 - 2ab + ข 2
ก 2 - ข 2 = (ก - ข) (ก+ข)
(ก + ข) 3 = ก 3 + 3a 2 ข + 3ab 2 + ข 3
(ก - ข) 3 = ก 3 - 3a 2 ข + 3ab 2 - ข 3
3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
ก 3 - ข 3 = (ก - ข) (ก 2 + ab + ข 2)

ความแตกต่างของกำลังสอง

ลองหาสูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง $a^2-b^2$

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดจำกฎต่อไปนี้:

ถ้าเราบวก monomial ใดๆ ในนิพจน์และลบ monomial เดียวกัน เราจะได้ข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้อง

ลองเพิ่มนิพจน์ของเราและลบออกด้วยค่าเอกพจน์ $ab$:

โดยรวมแล้วเราได้รับ:

นั่นคือความแตกต่างระหว่างกำลังสองของสอง monomials เท่ากับผลคูณของความแตกต่างและผลรวมของพวกเขา

ตัวอย่างที่ 1

นำเสนอเป็นผลิตภัณฑ์ $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

ผลรวมของลูกบาศก์

ลองหาสูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์ $a^3+b^3$

นำปัจจัยทั่วไปออกจากวงเล็บ:

ลองเอา $\left(a+b\right)$ ออกจากวงเล็บ:

โดยรวมแล้วเราได้รับ:

นั่นคือผลรวมของกำลังสองของโมโนเมียลสองตัวเท่ากับผลคูณของผลรวมและกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่าง

ตัวอย่างที่ 2

นำเสนอเป็นผลิตภัณฑ์ $(8x)^3+y^3$

นิพจน์นี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

จากการใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง เราได้:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

ความแตกต่างของลูกบาศก์

ลองหาสูตรสำหรับผลต่างของลูกบาศก์ $a^3-b^3$

ในการดำเนินการนี้ เราจะใช้กฎเดียวกันกับข้างต้น

ลองเพิ่มนิพจน์ของเราและลบ monomials $a^2b\ และ\ (ab)^2$:

นำปัจจัยทั่วไปออกจากวงเล็บ:

ลองเอา $\left(a-b\right)$ ออกจากวงเล็บ:

โดยรวมแล้วเราได้รับ:

นั่นคือผลต่างของกำลังสองของโมโนเมียลสองตัวจะเท่ากับผลคูณของผลต่างด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม

ตัวอย่างที่ 3

นำเสนอเป็นผลิตภัณฑ์ $(8x)^3-y^3$

นิพจน์นี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

จากการใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง เราได้:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

ตัวอย่างโจทย์การใช้สูตรหาผลต่างของกำลังสองและผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์

ตัวอย่างที่ 4

แยกตัวประกอบมันออกมา

ก) $((a+5))^2-9$

ค) $-x^3+\frac(1)(27)$

สารละลาย:

ก) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

เมื่อใช้สูตรผลต่างของกำลังสองเราจะได้:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

ลองเขียนนิพจน์นี้ในรูปแบบ:

ลองใช้สูตรลูกบาศก์:

ค) $-x^3+\frac(1)(27)$

ลองเขียนนิพจน์นี้ในรูปแบบ:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

ลองใช้สูตรลูกบาศก์:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]